1. 18. VEKTOR
A. Vektor Secara Geometri
1. Ruas garis berarah
AB = b – a
B.
3. Bila AP : PB = m : n, maka:
2. Sudut antara dua vektor
adalah θ
Vektor Secara Aljabar
1. Komponen dan panjang vektor: a =
 a1 
 
 a2 
a 
 3
= a1i + a2j + a3k;
2
2
|a| = a 1 + a 2 + a 3
2
2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
a±b=
 a1 
 
 a2 
a 
 3
C. Dot Product
±
 b1 
 
 b2 
b 
 3
=
 a 1 ± b1 
 
 a 2 ± b2 
a ± b 
 3 3
; ka = k
 a1 
 
 a2 
a 
 3
=
 ka1 
 
 ka 2 
 ka 
 3

2. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
Apabila diketahui a =
 a1 
 
 a2 
a 
 3
dan b =
 b1 
 
 b2 
b 
 3
, maka:
1. a · b = |a| |b| cos θ
= a1b1 + a2b2 + a3b3
2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3
3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos θ
4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos θ
5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0
D.
Proyeksi Vektor
1. Proyeksi skalar ortogonal
Panjang vektor proyeksi b pada a
a ⋅b
|p| =
|a|
SOAL
1. UN 2011 PAKET 12
Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –
4). Besar sudut ABC = …
a. π
2. Vektor proyeksi ortogonal :
vektor proyeksi b pada a
a ⋅b
⋅a
p=
| a |2
PENYELESAIAN
b. π
2
c. π
3
d. π
6
e. 0
Jawab : b
2. UN 2011 PAKET 46
Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1,
2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili AB dan v
mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh
vector u dan v adalah …
a. 30°
b. 45°
c. 60°
d. 90°
e. 120
204
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com

3. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
Jawab : b
3. UN 2010 PAKET A
Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i
+ j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b
sama dengan …
a. 30º
b. 45º
c. 60º
d. 90º
e. 120º
Jawab : c
4. UN 2009 PAKET A/B
Diketahui balok ABCD EFGH dengan
AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC
wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v,
maka sudut antara vektor u dan v adalah …
a. 0°
b. 30°
c. 45°
d. 60°
e. 90°
Jawab : e
SOAL
PENYELESAIAN
5. UN 2011 PAKET 12
Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i
– 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a
pada vector b adalah …
a. i – j + k
b. i – 3j + 2k
c. i – 4j + 4k
d. 2i – j + k
e. 6i – 8j + 6k
Jawab : b
6. UN 2011 PAKET 46
Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i
– 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a
pada vector b adalah …
a. –4i + 8j + 12k
b. –4i + 4j – 8k
c. –2i + 2j – 4k
d. –i + 2j + 3k
e. –i + j – 2k
Jawab : e
7. UN 2010 PAKET A
Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1),
dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u,
AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v
205
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com

4. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
adalah …
a. 3i – 6 j +
5
b. 3 5 i –
c.
d.
e.
12
5
6
5
k
j+
12
5
k
9
5 (5i – 2j + 4k)
27
45 (5i – 2j + 4k)
9
55 (5i – 2j + 4k)
Jawab : d
8. UN 2010 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
a. 1 (3i + j – 2k)
4
b.
c.
d.
3
14 (3i + j – 2k)
− 1 (3i + j – 2k)
7
3
− 14 (3i + j – 2k)
3
− 7 (3i + j – 2k)
e.
Jawab : c
SOAL
9. UN 2009 PAKET A/B
Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan
C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC
wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal
vektor u pada v adalah …
a. –3i – 6j – 9k
b. i + 2j + 3k
c. 1 i + 2 j + k
3
3
d. –9i – 18j – 27k
e. 3i + 6j + 9k
PENYELESAIAN
Jawab : a
10. UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor
b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor
a pada b adalah 5, maka nilai x = …
a.
–7
b.
–6
c.
5
d.
6
e.
7
Jawab : e
206
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com

5. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
11. UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus
vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang
memenuhi adalah …
a.
–2 atau 6
b.
–3 atau 4
c.
–4 atau 3
d.
–6 atau 2
e.
2 atau 6
Jawab : a
12. UN 2007 PAKET A
Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
a. –12i + 12j – 6k
b. –6i + 4j – 16k
c. –4i + 4j – 2k
d. –6i – 4j + 16k
e. 12i – 12j + 6k
Jawab : c
SOAL
13. UN 2007 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0).
Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah
…
a.
2i – 4j + 2k
b.
2i – 4j – 2k
c.
2i + 4j – 2k
d.
i – 2j – k
e.
i + 2j – k
PENYELESAIAN
Jawab : c
14. UN 2006
Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k,
b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika
vektor a tegak lurus b maka vector
a–c=…
a. –58i – 20j –3k
b. –58i – 23j –3k
c. –62i – 20j –3k
d. –62i – 23j –3k
207
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com

6. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
e. –62i – 23j –3k
Jawab : b
15. UN 2005
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P
membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3.
Panjang vektor PC adalah …
10
a.
b.
13
15
c.
d. 3 2
e. 9 2
Jawab : d
SOAL
16. UN 2004
Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan
q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada
p adalah 2, maka x adalah …
a. 5
6
b.
c.
d.
PENYELESAIAN
3
2
13
2
43
6
53
6
e.
Jawab : c
17. UN 2004
Diketahui a = I + 2j + 3k, b = – 3i – 2j – k,
dan c = I – 2j + 3k, maka 2a + b – c = …
a.
2i – 4j + 2k
b.
2i + 4j – 2k
c.
d.
–2i + 4j – 2k
2i + 4j + 2k
e.
–2i + 4j + 2k
Jawab : e
18. UAN 2003
208
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com

7. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
− 2 
 
Diberikan vektor a =  p  dengan p ∈ Real
 
 2 2
1
 
dan vektor b =  1  . Jika a dan b
 
 2
membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut
antara vektor a dan a + b adalah …
a. 12 7
4
b.
c.
d.
e.
5
2
5
4
5
14
2
7
7
7
7
7
Jawab : d
SOAL
19. UAN 2003
Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari
PENYELESAIAN
2 
 
vektor v = − 3 terhadap vektor u =
 
4 
 
209
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com

8. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
 − 1
 
 2  , maka w = …
 − 1
 
1 
 
a. − 1
 
3 
 
2 
 
d. − 4
 
2 
 
0 
 
b. − 1
 
 − 2
 
 − 2
 
e. 4
 
 − 2
 
 0
 
c. 1
 
 2
 
Jawab : d
20. EBTANAS 2002
Diketahui a + b = i – j + 4k dan
| a – b | = 14 . Hasil dari a · b = …
a. 4
b. 2
c. 1
d. 1
2
e. 0
Jawab : c
21. EBTANAS 2002
Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º.
Maka | 3a + 2b | = …
210
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com

9. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
a.
b.
c.
d.
e.
5
6
10
12
13
Jawab : b
22. EBTANAS 2002
Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada
u = (4 2 2) adalah …
a. – 4 (2 1 1)
3
b. –(2 1 1)
c.
d.
4
3 (2 1 1)
( 4 1 1)
3
e. (2 1 1)
Jawab : c
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 13 UN 2011
Menentukan sudut antara dua vektor.
a = 6 , ( a – b ).( a + b )
6. Diketahui
=0, dan a . ( a – b ) = 3. Besar sudut
antara vektor a dan b adalah ….
π
π
2π
a.
c.
e.
3
6
3
1. Diberikan vektor-vektor a = 4i – 2j + 2k dan
b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk
vektor a dan b sama dengan …
a. 30º
c. 60º
e. 120º
b. 45º
d. 90º




2. Diketahui vektor a =6 i −3 j −3 k ,




b = 2 i − j +3 k
dan




c = − i − 2 j +3 k . Besar sudut antara
5
 

vektor a dan b + c adalah ....
a. 300
c. 600
e. 1500
0
0
b. 45
d. 90


 
3. Diketahui vektor a = i − 2 j + 2 k dan




b = −i + j . Besar sudut antara vektor a

dan b adalah ....
a. 300
c. 600
e. 1350
0
0
b. 45
d. 120
4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB =
2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC
wakil vektor u dan wakil DH adalah
vektor v, maka sudut antara vektor u dan v
adalah …
a. 0°
c. 45°
e. 90°
b. 30°
d. 60°
b = 9 ,
a = 2 ,
5. Diketahui
a + = 5 . Besar sudut antara vektor a
b
dan vektor b adalah ….
a. 450
c. 1200
e. 1500
0
0
b. 60
d. 135
b.
π
d.
π
4
2
7. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan
C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …
a. π
c. π
e. 0
3
b. π
2
d. π
6
8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2),
B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili
AB dan v mewakili AC , maka sudut
yang dibentuk oleh vector u dan v adalah
…
a. 30°
c. 60°
e. 120
b. 45°
d. 90°
9. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j + 4k.
Jika a dan b membentuk sudut θ, maka nilai
sin θ = ....
a.
5
7
b.
2
7
c.
6
5
12
d.
6
7
6
e.
6
7
6
10. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k,
jika a dan b membentuk sudut θ,
maka tan θ = ... .
211
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com

10. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
a.
1
3
b.
3
14
5
5
c.
14
d.
14
1
5
e.
1
14
− 2 
 
12. Diberikan vektor a =  p  dengan p ∈
 
 2 2
1
 
Real dan vektor b =  1  . Jika a dan b
 
 2
5
14
11. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i
+ 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor
a tegak lurus b maka vektor a – c = …
a. –58i – 20j –3k
d. –62i – 23j –3k
b. –58i – 23j –3k
e. –62i – 23j –3k
c. –62i – 20j –3k
membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut
antara vektor a dan a + b adalah …
2
a. 12 7
c. 5 7
e. 7 7
4
4
b. 5
2
7
5
d. 14
7
13. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus
vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang
memenuhi adalah …
a. –2 atau 6
c. –4 atau 3
e. 2 atau 6
b. –3 atau 4
d. –6 atau 2
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 14 UN 2011
Menentukan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.
1. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari
vektor v =
2 
 
 − 3
4 
 
terhadap vektor u =
 − 1
 
2 
 − 1
 
,
maka w = …
212
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com

11. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
a.
1 
 
 − 1
3 
 
c.
 0
 
1 
 2
 
1 
2  
a.
1 
3  
 −1
1 
3  
−
1 
2  
 −1
1 
2  
−
b.
1 
3  
 −1
e.
 − 2
 
4 
 − 2
 
b.
2.
0 
 
 − 1
 − 2
 
6.
b. –(2 1 1)
6
5
j+
b. 3 5 i –
2 
 
 − 4
2 
 
c. 4 (2 1 1)
3
d. (
4
3
1 
1  
1 
3  
 −1
12
5
6
5
k
j+
d.
12
5
k
e.
27
45
9
55
(5i – 2j + 4k)
(5i – 2j + 4k)
c. 9 (5i – 2j + 4k)
5
7. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2).
Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor
v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v
adalah …
a. –3i – 6j – 9k
d. –9i – 18j – 27k
b. i + 2j + 3k
e. 3i + 6j + 9k
1
2
c. 3 i + 3 j + k
8.
Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3),
B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor
AB pada AC adalah …
a. –12i + 12j – 6k
d. –6i – 4j + 16k
b. –6i + 4j – 16k
e. 12i – 12j + 6k
c. –4i + 4j – 2k
9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1),
B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor
AB terhadap AC adalah …
a. 2i – 4j + 2k
d. i – 2j – k
b. 2i – 4j – 2k
e. i + 2j – k
c. 2i + 4j – 2k
10. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada
u = (4 2 2) adalah …
a. – 4 (2 1 1)
3
d. −
e.
Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan
C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u, AC wakil
vektor v, maka proyeksi u pada v adalah …
a. 3i –
d.
1 
1  
c.
1 
3  
 −1
e. (2 1 1)
1 1)
Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector
b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector
a pada vector b adalah …
a. i – j + k
d. 2i – j + k
b. i – 3j + 2k
e. 6i – 8j + 6k
c. i – 4j + 4k
4. Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector
b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector
a pada vector b adalah …
a. –4i + 8j + 12k
d. –i + 2j + 3k
b. –4i + 4j – 8k
e. –i + j – 2k
c. –2i + 2j – 4k
5. Diketahui vektor a =i −2 j +k dan vektor
b =i + j −k . Proyeksi ortogonal vektor a
pada b adalah …
3.
a. 1 (3i + j – 2k)
4
3
d. − 14 (3i + j – 2k)
3
b. 14 (3i + j – 2k)
3
e. − 7 (3i + j – 2k)
1
c. − 7 (3i + j – 2k)
2
11. Panjang proyeksi vektor a =− i +8 j +4k
pada vektor b = pj +4k adalah 8. Maka nilai
p adalah ....
a. – 4
c. 3
e. 6
b. – 3
d. 4
12. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vector
213
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com

12. LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a
pada b adalah 5, maka nilai x = …
a. –7
c. 5
e. 7
b. –6
d. 6
13. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika
panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x
adalah …
a. 5
6
b.
3
2
c. 13
2
d.
e. 53
6
43
6
214
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com