Cours d’Analyse - Topologie Leçon 2 - T. Masrour - ENSAM

1. Leçon 3
Remarques

ouverts
(en general) ouvert
Par exemples :
ouvert.

fermés
(en general) fermé
En efet , on sait que
A=
or si la topologie est t.q les singletons soient des fermés et si la
reunion qcq était fermée alors n’importe quell ensemble serait fermé !
Par exemples :
L’ouvert
et pourtant les
sont des fermés dans
.
Exercice
Montrer que
est un fermé. (à faire en séance de cours)
Correction : M.q.
est un ouvert.
Soit
, on alors
on pourra considerer, par exemples,
condition ci-dessus.
, on définit un rayon
ou n’importe quelle autre valeur vérifiant la
Montrons, alors que,
Soit
.
cqfd.
Exercice
Montrer que si
alors toutes les distances engendrent la même topologie (voisinages,
ouverts, fermés)
(à faire en séance de T.D)
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2. Exercice
Soit
sont topologiquement équivalentes (à faire en séance de T.D)
, montrer que
Définition (intérieur)
Soit
L’interieur de
,
est un point intérieur à
noté
ssi
contient une
(ie.
est voisinage de ).
= l’ensemble de tous les points interieurs à .
Proposition
= le plus grand ouvert
.
Preuve
,
ouvert
si
Si
et
ouvert
ouvert
tq
.
est un point de l’interieur ie
.
Propriété
ouvert
.
Preuve (en cours )
Exemples :
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3. Propriété
Si
alors
Définition « adhérence »
Soient
un espace métrique,
est adhérent à l’ensemble
ssi
On définit et note l’adhérence de
et
alors :
par :
Exercice.
Montrer que :
Si
et si est adhérent à ,
alors
pour tout voisinage de on a
est infini.
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4. 7.
Suites dans un espace métrique.
Soit
un espace métrique, on définit une suite dans
dans qui à chaque fait associer
et qu’on note
comme une application
de
7.1. Définition (suites convergentes).
Soit
une suite dans
, on dit que
converge vers un certain
ssi
Ou d’une manière équivalente :
7.2. Définition (suites de Cauchy).
Soit
une suite dans
, on dit que
est de Cauchy dans
ssi
ou d’une manière équivalente :
7.3. Proposition
Toute suite
convergente dans (E,d) est de Cauchy dans (E,d).
Preuve :
La preuve est immédiate, soit
et soit
convergente dans (E,d) vers un certain
on sait qu’il existe un rang
t.q.
et
Or
cqfd.
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5. 7
P
Soient
c
c
l’
un espace métrique,
h
c
et
l
, on a alors l’équivalence suivante :
Preuve (exercice en séance de cours).
Supposons qu’il existe
suite dans
t.q.
, alors
Ou d’une manière équivalente
Donc :
cqfd.
Supposons maintenant que
et construisons une suite dans
manière suivante :
on choisit un élèment quelconque
qui converge vers
de la
on choisit un élèment quelconque
……..
La suite
Soit alors
on choisit un élèment quelconque
est par construction dans et vérifie :
pour que
il suffit que
ce qui est vrai pour tout entier
. Donc la suite converge vers .
cqfd.
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6. 7.5. Proposition.
Soient
un espace métrique,
, on alors la caractérisation suivante :
Preuve.
Montrons que
.
n’est pas adherent à
Or
= le plus grand ouvert inclu dans
=
cqfd.
7.6. Définition (Frontière).
Propriétés
Soient


un espace métrique et
, alors :
est un fermé.
et la réunion est disjointe.
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7.  Soit
, alors
et
 Si est ouvert alors
on a
(On peut chercher des exemples où
,
,
et
sont tous disjoints.
Preuve.( exercice en séance du cours).
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