Cours d’analyse topologie leçon 5 - t. masrour

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Cours d’analyse topologie leçon 5 - t. masrour

  1. 1. Leçon 5 Définition (équivalence de topologies). Soient et deux espace métriques (ou e.v.n) on dit qu’ils sont topologiquement équivalents ssi l’application identité est un homéomorphisme. On dit que d et d’ sont uniformément équivalents ssi l’application sont uniformément continues. et Remarque. Il est clair que l’uniforme équivalence implique l’équivalence mais l’inverse est en general faux (voir T.D) 10. Espaces Métriques Complets Avant de définir les espaces complets on commence par énoncer des résultats qui vont nous être d’une utilité par la suite. Proposition 1. suivante : Soient un espace métrique, et suite d’élements de 2. une partie de alors on a la caractérisation convergeant vers est fermé ssi toute suite d’élements de qui converge dans a sa limite dans . Preuve.  La preuve du point 1 est très facile. (à faire en séance de cours) 23 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  2. 2.  La preuve du deuxième point : Soit une suite dans telle qu’elle converge dans 1 de la proposition ci-dessus on a et donc . vers un élement a, or d’après le point Réciproquement : Soit , il existe alors suite dans est forcément dans (par hypothèse), il s’ensuit alors que convergeant vers . , cet élément Définition (espaces complets). Soit Cauchy dans un espace métrique (ou e.v.n) on dit que est convergente dans . est complet ssi toute suite de Exemples. 1. muni de la valeur absolue est un espace complet. 2. L’espace des fonctions continues muni de la distance uniforme est un espace complet. Théorème. Soit un sous espace métrique de 1. Si est complet alors est un fermé de 2. Si est complet alors : ( fermé est complet) . Preuve. 1. Montrons que Soit , alors il existe suite dans covergeant vers , donc elle est de Cauchy mais est un espace complet donc converge dans . D’où . 2. Soit une suite dans et de Cauchy dans , donc elle est de Cauchy dans or ce dernier est complet, donc la suite converge dans vers un élément . Maintenant comme est fermé alors forcément , et donc est bien convergente dans . Contre exemples. (à faire en exercices en séance de cours) 1. Montrer que 24 http://tawfik-masrour.blogpost.com muni de la valeur absolue n’est pas complet T. Masrour - Analyse 2
  3. 3. 2. Soit 2.1. Montrer que d est une distance 2.2. 3. définie par est il complet ? Soient et complet deux distances uniformément equivalents, montrer alors que : est complet 25 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  4. 4. h è L ’ ection de Cantor). Soit un espace métrique complet et une suite décroissante de fermés non vides de t.q. l , où l’on a noté (le diamètre de l’ensemble ), alors il existe un unique tel que : Preuve. Théorème de Baire. Soient un espace métrique complet, et une famille d’ouverts tous denses dans E, alors Théorème du point fixe. Soit un espace métrique complet, et soient lipshitzienne de dans [i.e. Alors : admet un unique point fixe . et une application ] Preuve. h è Soit l’équation : un intervalle ’ ions successives de Piccard. une function continue vérifiant : et et et , alors admet une solution unique définie et dérivable sur . Preuve. 26 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  5. 5. 11. Espaces Métriques Compacts. Définition (recouvrements). Soit un espace métrique (ou e.v.n) , on dit que la famille recouvre (ou un recouvrement de ) si Le recouvrement est dit ouvert (resp. fermé) ssi les sont tous ouverts (resp. tous fermés). On peut généraliser la définition à un recouvrement d’un ensemble l’identité ci-dessus par ou en remplaçant Définition (compact). Soit un espace métrique (ou e.v.n) , on dit que est compact ssi de tout recouvrement ouvert de on peut extraire un sous recouvrement fini. Théorème. est compact ssi de toute famille extraire une famille finie (i.e. ) t.q. de fermés de E d’intersection vide on peut . Preuve . Il suffit de passer au complémentaire. 27 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  6. 6. Théorème. Soit un espace métrique alors : 1. Si , compact alors est fermé. 2. Si est compact et si F est un fermé alors F est un compact. Preuve. 28 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  7. 7. Proposition. 1. Toute réunion finie de compacts est un compact. 2. Toute intersection quelconque de compacte est un compact. Preuve . Immédiate en utilisant la définition avec les recouvrements par des fermés. Proposition. Soient un espace métrique et un compact alors est un fermé et borné N.B. La réciproque est en général fausse. Preuve. On sait déjà que c’est un fermé il suffit de montrer la bornitude. , donc la famille est un recouvrement ouvert de F et comme ce dernier est compact il existe alors un nombre fini de t.q. où R est assez grand mais fini. Théorème. Soient continue et si c c et deux espaces métriques. Si est compact alors est un compact de ’ c c c c est une application . l’ Preuve. Corrolaire 1. Soit un espace compact et application continue injective alors un espace métrique, si est un homéomorphisme. est une Preuve. 29 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  8. 8. Corrolaire 2. Toute application de où E est compact est bornée et atteint ses bornes. Preuve. Corrolaire 3. si E est compact et f est continue alors elle est bornée. Preuve. Théorème de Heine. Soit continue. avec compact, si est continue alors est uniformément Preuve. 30 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2

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