Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (1)

Équations de Lagrange
Si l’on choisit q i , i = 1,..., n
comme coo...
Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (2)
Remarque : 1. Pour calculer les dérivées

les variables


q i et q...
Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (3)
Dans le cas d’un système en vibrations libres et dissipatif, on obt...
Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (4)
L’équation d’annulation du déterminant est une équation de degré n ...
Exemple triple pendule.

T.MASROUR

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Exemple triple pendule (2)

T.MASROUR

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Système à 2 (n) degrés de liberté
- Méthode de la base modale Une des méthodes élégantes de résolution d'un système a n d...
n degrés de liberté : « cadre générale »
Soit le système à n degrés de liberté. En générale
l’équation du mouvement s’écri...
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T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations - chapitre1-1ddl chapitre2-n ddl(2)

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T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations - chapitre1-1ddl chapitre2-n ddl(2)

  1. 1. Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (1) Équations de Lagrange Si l’on choisit q i , i = 1,..., n comme coordonnées généralisées, on peut définir pour un système linéaire à n degrés de liberté : n n L’énergie potentielle : L’énergie cinétique : L’énergie de dissipation : Ep = 1 2 Ec = ∑∑ k q q ij i où k ij = k ji j i =1 j=1 n n 1 2   où m ∑∑ m q q 1   E = ∑∑ c q q 2 ij i j i =1 j=1 n ij = m ji n d ij i j où c ij = c ji i =1 j=1 Les équations de Lagrange s’écrivent alors : d  ∂E c  dt  ∂q i    ∂E c ∂E d ∂E p −  ∂q + ∂q + ∂q = f i i i i  Les seconds membres représentent les forces généralisées autres que celles dérivant du potentiel n n Ep , et telles que le travail global des forces extérieures s’écrive : dW = ∑ i =1 T.MASROUR f i dq i soit dW = dt  ∑f q i i i =1 Pag
  2. 2. Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (2) Remarque : 1. Pour calculer les dérivées les variables  q i et q i sont supposées indépendantes entre elles et ne sont pas fonctions du temps 2. Quant au calcul des dérivées les variables  q i et q i ∂E c ∂E c et i ∂q ∂q i d  ∂E c  dt  ∂q i       doivent être considérées comme fonctions du temps Applications. En appliquant les équations de Lagrange, on obtient n équations linéaires caractérisant l’état vibratoire du système : n ∑ m q ij j  +m ijq j + k ijq j = f i ( i = 1;....; n ) j=1 T.MASROUR Pag
  3. 3. Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (3) Dans le cas d’un système en vibrations libres et dissipatif, on obtient n ∑ m q ij j  +m ijq j + k ijq j = 0 ( i = 1;....; n ) j=1 On cherche un vecteur solutions sous la forme : q i = a i e jω t ( i = 1;....; n ) Obtenant ainsi un système de n équations algébriques linéaires et homogènes par rapport aux coeff ai ∑ (k n j=1 ij ) − m ijω2 a j = 0 ( i = 1;....; n ) Système qui n’admet de solution non triviale que si le déterminant est non nul çad : K − Mω 2 = 0 T.MASROUR Pag
  4. 4. Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (4) L’équation d’annulation du déterminant est une équation de degré n en le carré de la fréquence (appelée équation caractéristique du système. Sa résolution donne les pulsations propres en nombre au plus égal à n !!!! Les oscillations correspondant à ces différentes pulsations sont appelées les modes propres ou fondamentaux du système. T.MASROUR Pag
  5. 5. Exemple triple pendule. T.MASROUR Pag
  6. 6. Exemple triple pendule (2) T.MASROUR Pag
  7. 7. Système à 2 (n) degrés de liberté - Méthode de la base modale Une des méthodes élégantes de résolution d'un système a n degrés de liberté est la méthode de la base modale qui consiste a ramener le problème de n ddl couplés, a un ensemble de systèmes a 1 ddl découplés – – en normalisant l'équation du mouvement par rapport a la masse. en réalisent une transformation de coordonnées pour se placer dans la base modale ou les équations du mouvement sont découples. Soit le système à n degrés de liberté écrit sous sa forme matricielle dont on veut déterminer la réponse libre pour les conditions initiales : La première étape consiste a normaliser la matrice masse. En utilisant le changement de variable et en multipliant le système d'équations du mouvement par On remarque alors que : Finalement, le système peut s‘écrire : Les conditions initiales se réécrivent : T.MASROUR Pag
  8. 8. n degrés de liberté : « cadre générale » Soit le système à n degrés de liberté. En générale l’équation du mouvement s’écrit sous la forme matricielle suivante: 1) Vibrations libre non amorties 1.1) Méthode générale ..   .          [M ] +[C ] +[ K ]{q} ={F (t )} q q     [ M ] q  + [ K ]{ q} = { 0}   ..   Découpler les équations par un changement de base. M symétrique définie positive  M est inversible. Alors on peut écrire [ M ] − 1[ K ] ..    −1 q  +[ M] [ K ]{q} = {0}     est en générale non symétrique  Recherche des valeurs propres et vecteurs propres M est symétrique et définie positive  il existe une base de vecteurs propres φi il existe aussi n valeurs propres >=0 T.MASROUR Pag

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