Cours d’Analyse - Topologie Leçon 2 - T. Masrour

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Cours d’Analyse - Topologie Leçon 2 - T. Masrour

  1. 1. Université My Ismaïl Meknès Ecole Nationale Arts et Métiers ENSAM 2013-2014 Cours d’Analyse 2 Semestre 1 T. Masrour 1 http://tawfik-masrour.blogspot.com T. Masrour - Analyse 2
  2. 2. Leçon 2 2 http://tawfik-masrour.blogspot.com T. Masrour - Analyse 2
  3. 3. 1. Espaces vectoriels normés EVN 1.2.Définition (norme) Soit un espace vectoriel sur ( ) On définit une norme sur comme une application de à valeurs réélles positives : et qui vérifie les conditions suivantes: 1.3.Propriétés A partir d’une norme sur E, on peut toujours construire une distance par la formule : En effet, on a : 1.4.Exemples de normes. 1. Sur on a les trois normes classiques : 2. Soit norme sup : l’ensemble des fonctions bornées de dans lui-même, on le munit de la 3. On peut définir la même norme sur l’ensemble des fonctions continues 3 http://tawfik-masrour.blogspot.com T. Masrour - Analyse 2
  4. 4. 2. Topologie engendrée par une distance 2.2.Définition (voisinage) Soient un espace normé et , on appelle voisinage de contient une boule ouverte tout ensemble avec . de tel que 2.3.Propriétés  Tout ensemble  Toute contenant un voisinage de voisinages de de est aussi un voisinage de . est aussi un voisinage de . Preuve. Soit Soit des voisinages de . On a alors : pour tout ; avec . On a ainsi , Donc Donc: . est un voisinage de . cqfd. On définit une structure sur qui à chaque élément lui fait associer l’ensemble voisinages ouverts de .Cela définit une « Topologie » sur . de tous les est un espace topologique. Soit une famille On dit alors, que: telle que pour tout vérifiant . définit un système fondamental de voisinages de 2.4.Exemples : forme un système fondamental de voisinages dans un e.m ou e.v..n. forme un système fondamental de voisinages dans un e.m ou e.v..n.. 4 http://tawfik-masrour.blogspot.com T. Masrour - Analyse 2
  5. 5. 2.5.Exercice 1 (en séance de cours) Montrer que tout espace métrique est séparé i.e. et t.q. . Correction : 5 http://tawfik-masrour.blogspot.com T. Masrour - Analyse 2
  6. 6. 3. Ensembles Ouverts et Ensembles fermés 3.2.Définition « Ouverts » Soit un ensemble de l’espace métrique On dit que est un ouvert ssi . est voisinage de chacun de ses points i.e.: . 3.3.Propriétés sont des ouverts de ouverts ouvert ouverts ouvert 3.4.Preuve  Preuve de : immédiat.  Preuve de : Soit et Montrons alors que , où l’ensemble des indices est quelconque. . Or ceci est clairement vérifié puisque implique qu’il existe au moins un , et comme est un ouvert, donc enfin comme il en découle que  Preuve de Soit Montrons que Soit tel que : avec cette fois l’ensemble des indices fini i.e. . et est un ouvert, il existe alors tel que , alors comme l’ensemble des indices est fini On vérifie, alors, facilement que montre bien que 6 http://tawfik-masrour.blogspot.com par exemples. . , et donc que . ce qui Cqfd. T. Masrour - Analyse 2
  7. 7. 3.5.Exercice 2 Monter que: ssi un ouvert contenant tel que Correction : / un ouvert aussi voisinage de . / tq or tout ensemble qui contient un voisinage de est , il suffit alors de prendre 3.6.Exercice 3 Montrer que toute boule ouverte est un ouvert. Correction : 7 http://tawfik-masrour.blogspot.com T. Masrour - Analyse 2
  8. 8. 3.7.Définition (fermé) est un fermé ssi est un ouvert. 3.8.Propriétés sont des fermés de fermés fermé fermés fermé ( sont des fermés) 3.2.Preuve (à faire en exercice en séance de cours) 8 http://tawfik-masrour.blogspot.com T. Masrour - Analyse 2
  9. 9. 3.3.Remarques  ouverts en général ouvert Par exemples : ouvert.  fermés fermé En efet , on sait que A= or si la topologie est t.q les singletons soient des fermés et si la reunion qcq était fermée alors n’importe quell ensemble serait fermé ! Par exemples : L’ouvert et pourtant les sont des fermés. 3.4.Exercice 3  Montrer que 9 http://tawfik-masrour.blogspot.com est un fermé. (à faire en séance de cours) T. Masrour - Analyse 2

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