2. UNITAT 4: FUNCIONS (unitats 4 i 5 del llibre de text)
Continguts:
4.1Conceptes previs:
4.1.1-definició de funció.Variable dependent i independent
4.1.2-domini
4.1.3-recorregut
4.1.4-continuïtat. Classificació de discontinuïtats. Introducció al concepte
de límit.
4.1.5-Intervals de creixement i decreixement.
4.1.6-màxims i mínims
4.1.7-periodicitat i simetria
4.1.8- Operacions amb funcions
4.2 Funcions elementals:
4.2.1-taxa de variació mitjana
4.2.2-funció lineal
4.2.3-funció quadràtica
4.2.4-funcions definides a trossos.
4.2.5-funció de proporcionalitat inversa
4.2.6-funció exponencial
2
5. 4.1.1 Definició de funció:
Una funció és una relació entre dues magnituds o variables, una d’independent i una
altra de dependent, de manera que a cada valor de la variable independent li correspon
un únic valor de la variable dependent.
Habitualment es pren la “x” com a variable independent i la “y” com a variable
dependent.
Les funcions s’expressen com y = f(x), que indica que el valor de la variable
“y” (dependent) està en funció del valor de la variable “x” (independent).
Perquè una gràfica sigui d'una funció, a cada valor de x només li pot correspondre un
valor de y.
El gràfic B no és una funció ja
que per un valor de x, li
correspon més d’un valor de
y
5
6. Exercici:En la fórmula de la longitud de la circumferència, quina és la variable
dependent i quina és la independent? Escriu la fórmula en forma de funció.
Una funció es pot expressar mitjançant:
a) Un enunciat:
Exemple:
En una autoescola cobren les tarifes següents per treure’s el permís de conduir:
150 euros de matrícula i 14 euros per classe pràctica. Escriu la funció que
calcula el preu per aconseguir el carnet de conduir.
b)Taula de valors
Es pot expressar una funció a través d’una taula de valors en la que hi ha
dades de les dues magnituds o variables que es relacionen, la independent
(x) i la dependent (y).
6
7. c) Representació gràfica
d) Expressió analítica o fórmula
L’expressió analítica d’una funció és la fórmula matemàtica que indica la relació existent
entre la variable independent (x) i la variable dependent (y). És la manera més precisa i
operativa d’expressar una funció, ja que és una relació matemàtica que permet calcular
fàcilment el valor de la variable dependent (y) per a cada valor de la variable
independent (x).
En aquest exemple la variable independent (x) és el número de classes pràctiques
realitzades, mentre que la variable dependent (y) és el cost, en euros, del carnet de
conduir. Llavors, l’expressió analítica de la funció correspondrà a la relació o fórmula
matemàtica següent: y = 150 + 14.x
7
8. 4.1.2 Domini d’una funció
El domini de definició d’una funció és un conjunt format per tots els valors de la
variable independent (x) que tenen un valor de variable dependent (y) associat.
El domini d’una funció l’escriurem com Df(x), si bé també podem trobar Dom y o bé
Dom f(x).
Per calcular el domini primerament cal estudiar el tipus de funció que tenim:
·Si es tracta d’una funció polinòmica, que és aquella funció que la seva expressió
correspon a un polinomi de grau “n”, qualsevol valor de “x” permet calcular-ne un
per a la “y”. Per tant el domini de les funcions polinòmiques és tots els nombres
reals
·Si tenim una funció racional, que és una funció que té “x” en el denominador, el seu
domini és tots els nombres reals excepte aquells que fan zero el denominador, ja que
no és possible dividir per zero. Per calcular el domini buscarem els valors que fan zero
el denominador, que seran els que no pertanyen al domini de definició de la funció.
Exemple:
8
9. Quan tinguem una funció irracional, que és una funció que té “x” dins una arrel,
caldrà distingir entre les que tenen un índex senar, el seu domini és tots els nombres
reals, les que tenen un índex parell. El domini d’aquestes últimes és tots els nombres
reals excepte aquells que fan que el radicand (el que hi ha dins l’arrel) sigui negatiu.
Exemple1:
Exemple2:
resolem la inequació de segon grau i llavors arribem a la conclusió que el
domini de la funció és: Dy = [–1, 1]
Altres tipus de funcions: exponencials, logarítmiques, trigonomètriques, etc:
cal estudiar en cada cas quins són els valors de “x” que permeten trobar un
valor associat de “y” i, per tant, formen part del domini de definició de la funció.
9
10. Per últim cal tenir en compte altres aspectes:
·El context real d’aquella funció.
Exemple: “en una autoescola cobren les tarifes següents per treure’s el permís
de conduir: 150 euros de matrícula i 14 euros per classe pràctica. Escriu la funció
que calcula el preu per aconseguir el carnet de conduir”.
Aquí el domini serà Dom f(x) = j, ja que el número de classes efectuades
no pot ser un nombre negatiu.
·La manera com es dóna la funció.
Exemple: “donada la funció d’expressió y = x2 + 5 definida en l’interval
[0 , 7) ...”
En aquest cas el domini serà Dy = [0 , 7) perquè així ho determina
l’enunciat de l’exercici.
10
11. 4.1.3 Recorregut
El conjunt de valors que tenen antiimatge es defineix com el recorregut d’una
funció, que són, doncs, tots els valors de “y” que tenen un valor de “x” associat. El
recorregut l’escriurem com Im y o bé Im f(x) o també Im f.
11
14. 4.1.4 Continuïtat:
La idea de funció contínua és la que es pot representar d'un sol traç, sense aixecar el
llapis del paper.
Quan una funció no és contínua en un punt es diu que presenta una discontinuïtat
Una funció y=f(x) és contínua en x=a si:
·La funció està definida en x=a, existeix f(a)=b.
·Les imatges dels valors pròxims a a tendeixen a b.
Hi ha diverses raons per les quals una funció no és contínua en un punt:
·Presenta un salt.
·La funció no està definida en aquest punt, o si ho està queda separat, hi ha un "forat" en
la gràfica.
·La funció no està definida i el seu valor creix (o decreix) quan ens apropem al punt.
14
15. Exemple:Les tres funcions dibuixades sota són discontínues en x=2,
però tenen diferents tipus de discontinuïtat.
15
16. Introducció al concepte de límit:
La idea intuitiva de límit és el valor al
qual s’acosta la variable dependent
quan la independent tendeix a un cert
valor.
Ho escriurem com:
on r és un nombre real o bé +∞ o − ∞
16
19. Quan els límits laterals en x = a són iguals a la imatge f(a), la funció és contínua. En cas
contrari es discontínua, i aleshores haurem d’analitzar les diferents possibilitats:
Discontinuïat evitable. Els límits laterals en
x tendeix a a són iguals però diferents de
f(a). També és possible que f(a) no
existeixi.
Discontinuïtat de salt. Els límits
laterals són dos nombres reals
diferents.
Discontinuïtat asimptòtica.
Un dels límits laterals o bé
tots dos donen infinit.
19
20. 4.1.5 Creixement i decreixement:
Una funció y = f(x) és creixent en un interval [a , b] si per a qualsevol x1 < x2,
llavors f(x1) < f(x2), sabent que x1, x2 ε [a , b].
Una funció y = f(x) és decreixent en un interval [a , b] si per a qualsevol x1 < x2,
llavors f(x1) > f(x2), sabent que x1, x2 ε [a , b].
Una funció y = f(x) és constant en un interval [a , b] si per a qualsevol x1 < x2,
llavors f(x1) = f(x2), sabent que x1, x2 ε [a , b].
Intervals de creixement i intervals de decreixement:
Es tracta d’escriure, mitjançant intervals, quan creix i quan decreix la funció. El que és
recomanable és donar aquests intervals un cop s’hagin estudiat els màxims i els mínims i,
sobretot, quan s’hagi fet el dibuix (encara que sigui esquemàtic) de la funció.
20
22. 4.1.6 Màxims i mínims:
Si una funció passa de ser creixent en un interval [a , c] a ser decreixent en un altre
interval [c , b], llavors en el punt “c” hi ha un màxim relatiu o local.
Si una funció passa de ser decreixent en un interval [a , c] a ser creixent en un
altre interval [c , b], llavors en el punt “c” hi ha un mínim relatiu o local.
Es defineix el màxim absolut o global com el màxim relatiu amb valor absolut de
f(x) més alt.
De manera anàloga, es defineix el mínim absolut o global com el mínim relatiu
amb valor absolut de f(x) més alt.
22
23. 4.1.7 Periodicitat i simetries:
Una funció és periòdica quan el seu valor es repeteix cada vegada que la
variable independent recorre un cert interval. El valor d'aquest interval
s'anomena període.
f(x+període)=f(x)
23
24. La gràfica d'algunes funcions pot presentar algun tipus de simetria que si
s'estudia prèviament, en facilita el dibuix.
Una funció és simètrica respecte a l'eix OY, si f(-x)=f(x)
Una funció és simètrica respecte a l'origen de coordenades quan f(-x)=-f(x).
24
25. 4.1.8 Operacions amb funcions:
Si tenim les expressions algebraiques de dues funcions, podem obtenir noves
funcions a partir d'anar efectuant operacions amb elles:
Definició. Siguin les funcions y = f (x) i y = g (x), definim la funció suma (f + g)(x) per:
(f + g)(x) = f (x) + g (x)
Exemple. Siguin les funcions f (x) = 2x + 1 i g (x) = x - 1. Aleshores, la seva suma
serà:
(f + g)(x) = f (x) + g (x) = (2x + 1) + (x - 1) = 2x + 1 + x - 1 = 3x
Per tant, (f + g)(x) = 3x
Definició. Siguin les funcions y = f (x) i y = g (x), definim la funció diferència (f - g
(x) per: (f - g)(x) = f (x) - g (x)
Exemple. Siguin les funcions f (x) = 2x + 1 i g (x) = x - 1. Aleshores, la seva diferència
serà:
(f - g)(x) = f (x) - g (x) = (2x + 1) - (x - 1) = 2x + 1 - x + 1 = x + 2
Per tant, (f - g)(x) = x + 2
25
26. Definició. Siguin les funcions y = f (x) i y = g (x), definim la funció producte (f · g)(x) per:
(f · g)(x) = f (x) · g (x)
Exemple. Siguin les funcions f (x) = 2x + 1 i g (x) = x - 1. Aleshores, el seu producte serà:
(f · g)(x) = f (x) · g (x) = (2x + 1) · (x - 1) = x2 - 2x + x - 1 = x2 - x - 1
Per tant, (f · g)(x) = x2 - x - 1
Definició Siguin les funcions y = f (x) i y = g (x), definim la funció quocient (f / g)(x) per:
(f / g)(x) = f (x) / g (x)
Exemple. Siguin les funcions f (x) = 2x + 1 i g (x) = x - 1. Aleshores, el seu quocient serà:
(f / g)(x) = f (x) / g (x) = (2x + 1) / (x - 1)
Per tant, (f / g)(x) = (2x + 1) / (x - 1)
26
27. Composició de funcions.
Si f i g són dues funcions, la funció “g composta amb f”, que la indicarem per gof, es
defineix com la funció que a cada valor de la variable x li correspon la imatge g(f(x)),
(g o f)(x) = g(f(x)).
La funció “f composta amb g” i que indiquem per fog la definim com (f o g)(x) =
f(g(x)). És fàcil comprovar que aquesta operació no és commutativa, és a dir:
(g o f)(x) ≠ (f o g)(x).
Exemple:
Si f(x) = 2x-3 i g(x) = x2, les funcions compostes són: (g o f)(x) = g(2x-3) = (2x-3)2 =
4x2–12x+9.
(f o g)(x) = f(x2) = 2x2-3.
Com podem comprovar, (g o f)(x) ≠ (f o g)(x).
Si f(x) = x + 1 i g(x) = x2+3,
(gof)(x)=g( x+1)=( x+1)2+3=x+1+3=x+4.
(fog)(x)=f(x2+3)= (x2+3)+1= x2+4. Com podem comprovar, (g o f)(x) ≠ (f o g)(x).
27
28. Siguin f(x) = sin x i g(x) = x2 + 2, calcula:
a) En aquest cas h(x) = f [g(x)] = f [ x2 + 2] = sin (x2 + 2).
b) Aquí h(x) = f [f(x)] = f [sin x] = sin (sin x).
c) Per últim, h(x) = g [g(x)] = g [x2 + 2] = (x2 + 2)2 + 2.
28
29. S’anomena funció inversa o recíproca de f a una altra funció (es designa per f –1)
que compleix la condició següent:
Si f(a) = b, aleshores f –1(b) = a
La funció inversa de f –1 és, al seu torn, f.
És per això que es diu, simplement, que
les funcions f i f –1 són inverses o
recíproques.
Les gràfiques de dues funcions inverses
són simètriques respecte de la recta y = x.
29
30. Com obtenir la inversa d’una funció
Per trobar la inversa de y = f(x), s’intercanvien la x i la y, x = f(y), i s’aïlla la y en
l’última expressió.
Per exemple: f(x) = 5x – 7
y=5x–7
x=5y–7
y=(x+7)/5
S’ha obtingut: f–1(x) = (x + 7)/5.
30
31. 4.2.1 Taxa de variació mitjana:
La taxa de variació mitjana d'una funeió en un interval [a, b]mesura I'augment o la
disminueió de la funció a [a, b].És a dir, ens indica la variació relativa de la funció
respecte a la variable independent:
Exemple:Troba la taxa de variació mitjana de la funció
f(x) = x2 a I'interval [2, 4].
PRIMER. Calculem la variació de x i la variació de la funció.
Variació de x: 4- 2= 2
Variació de f(x)= f(4) - f(2) = 16- 4= 12
SEGON. Calculem el quocient que resulta quan dividim la variació de f(x) entre la
variació de x.
Aquest quocient és la taxa de variació mitjana de f(x) a I'interval [2, 4].
31
32. 4.2.2 Funció lineal:
La funció lineal relaciona dues magnituds directament proporcionals,
és a dir, tals que el seu quocient és constant
L’expressió de la funció lineal és:
y=mx+n
on:
-n és l’ordenada a l’origen: punt de tall de la
recta amb l’eix d’ordenades (y)
-m és el pendent
La gràfica d’aquesta funció és sempre una línia recta, creixent si m és positiva,
decreixent si m és negativa i tant més a prop de la vertical com major sigui el
valor absolut de m. Per aquest motiu, m també s'anomena pendent de la recta.
32
33. Si coneixem les cooredenades de dos punts de
la recta, podem calcular la pendent com:
Forma punt-pendent de l’equació de la recta: on x0 i y0 són les
coordenades d’un
y= m(x-x0 ) +y0
punt conegut de la
recta
Metodologia alternativa per trobar l’expressió de la funció lineal:
· 2 punts coneguts: sistema de dues eqaucions amb dues incògnites; m i n (valors
coneguts de x i y)
· 1 punt conegut i el pendent m conegut: una equació amb n com
incògnita (valors coneguts de x, y i m)
33
35. 4.2.3 Funció quadràtica:
Una funció es diu que és polinòmica de segon grau, si és del tipus:
2
y = ax + bx + c on a, b, i c són nombres
qualsevol, i a mai és zero.
El gràfic corresponent a una funció polinòmica de segon grau sempre és
una paràbola.
!
Característiques principals:
Quan a>0, el gràfic de la paràbola té les branques cap a dalt.
Quan a<0, el gràfic de la paràbola té les branques cap a baix.
−b
L’eix de simetria, és la recta vertical d’equació: x =
2a
⎛ − b ⎛ − b ⎞ ⎞
El vèrtex té per coordenades: ⎜ ,
⎜ 2a f ⎜ ⎟ ⎟
⎟
⎝ ⎝ 2a ⎠ ⎠
35
36. Metodologia per reperesentar funcions quadràtiques:
1. Trobar les coordenades del vèrtex
2. Trobar els punts de tall amb els eixos x=0 i y=0
Exercici: representa la funció y=x2+4x-5
36
37. 4.2.4 Funcions definides a trossos:
Hi ha un tipus de funcions que vénen definides amb diferents expressions
algebraiques segons els valors de x, es diu que estan definides a trossos.
Per descriure analíticament una funció formada per trossos d'altres funcions, es
donen les expressions dels diferents trams, per ordre d'esquerre a dreta, indicant en
cada tram els valors de x per als quals la funció està definida.
Exemple 1
37
40. 4.2.5 Funció proporcionalitat inversa:
Si el producte de dos nombres és 24, quins valors podem prendre aquests nombres?
x · y = 24 24
y=
x
Construim la taula de valors:
Representem els parells obtinguts:
24
x y=
x
2 12
4 6
6 4
12 2
–12 –2
–6 4
–4 –6
–2 –12
40
41. k
Les funcions de la forma y = s’anomenen funcions de proporcionalitat inversa
x
La gràfica d’aquestes funcions sempre és una hipèrbole.
El domini i el recorregut són tots els reals excepte el 0.
• És una funció senar: f(-x)=k/(-x)=-f(x).
• Si k>0 la funció és decreixent i la seva gràfica apareix als quadrants 1r i 3r.
• Si k<0 la funció és creixent i la seva gràfica està al 2n i 4t quadrant.
41
42. La gràfica és una hipèrbole. A la
figura es pot veure
el traçat de f(x)=1/x.
A partir d'aquesta observeu com canvia la gràfica en variar el valor
de la constant k:
42
43. Les asímptotes
En la gràfica de la funció f(x) = k/x
es pot observar com les branques
de la hipèrbola s'aproximen en als
eixos de coordenades, són les
asímptotes.
Quan la gràfica d'una funció
s'apropa cada vegada més a una
recta, i es confonen, es diu que la
recta és una asímptota.
Asímptotes verticals. La recta x = a és
una asímptota vertical de la funció si es
verifica que quan el valor x tendeix al
valor a, el valor de f(x) tendeix a valors
cada vegada més grans, f(x)→+∞, o
més petits,
f(x)→–∞.
Asímptotes horitzontals. La recta y =
b és una asímptota horitzontal de la
funció si es verifica que quan x→+∞ o
x→–∞, el valor de f(x) → b.
43
46. 4.2.6 Funció exponencial:
La funció exponencial és de la forma y = ax, amb a com a nombre real positiu.
El domini són els nombres reals i el
recorregut són els reals positius
• És contínua
• Si a>1 la funció és creixent i
si 0<a<1 és decreixent.
• Talla l'eix OY en (0,1).
• L'eix OX és una asímptota
46
47. En les gràfiques es pot veure
com en multiplicar per una
constant y=k·ax el punt de
tall amb l'eix OY és (0,k).
En sumar (o restar) una
constant b la gràfica
desplaça cap amunt (o cap
avall) b unitats i l'asímptota
horitzontal passa a ser y=b.
47
48. La funció exponencial es presenta en multitud de fenòmens de creixement animal, vegetal,
econòmic, etc. En tots aquests contextos la variable és el temps.
Exemple:En un laboratori tenen un cultiu bacterià, si el seu pes es multiplica
per 2 cada dia, com es el seu creixement si el seu pes inicial és de 3 grams?
48
50. EXERCICI: El gràfic d’una funció exponencial del tipus y= kax passa pels
punts (0, 3) i (1,1).
a)Calcula a i k
b)Quin és el domini de definició?
c)És una funció creixent o decreixent (raona la resposta)?
solució:
a) a=1/3 i k=3
b) dom y= R
b) és una funció decreixent ja que a és un valor entre o i 1.
50
51. EXERCICI: De la següent funció y= x2 – 4x – 5
a) Quin és el vèrtex? És un màxim o un mínim?
b) Quins són els punts de tall amb els eixos?
c) Representa la funció. Quin és el domini de definició?
d) Troba els coeficients b i c per tal que el vèrtex de la funció y= x2 + bx +c
estigui en el punt ( 1,2)
SOLUCIÓ:
a) V (2,-9); és un mínim ja que el coeficient de x2 és positiu
b)eix x ( -1,0) i (5,0); per resolució de l’equació de segon grau x2 – 4x -5 =0.
Eix y (0, -5)
c)( 0,5 punts) Dom = R
d)Si la coordenada x del vèrtex és 1, llavors –b/2a=1 i obtenim –b/2=1;
llavors b=-2. Per calcular c, sabem que la coordenada y és 2; llavors
substituint obtenim: 2=12 -2·1 +c . Així, c =3
51
54. EXERCICI: De la següent hipèrbola, digues quin n’és el domini,
quines són les seves asímptotes i representa-la:
Solució
54
55. RESUM:
1.Funcions lineals:
− Funcions contínues
− dom = R
• Expressió general: y = mx + n
• Funció constant: y=n ( en aquest cas la m és 0)
• Funció proporcional: y = mx ( l’ordenada a l’origen és 0)
2.funcions quadràtiques: paràboles
− Funcions contínues
− Dom= R
− Representació és una paràbola
− La forma depèn del coeficient de x2
• Expressió general : y= ax2 + bx + c
• Vèrtex: abscisses = -b/2a
• Coeficient de x2 positiu: vèrtex = mínim
• Coeficient de x2 negatiu: vèrtex= màxim
55
56. 3. funcions de proporcionalitat inversa
− Funcions discontínues
− Representació: hipèrbole
• Expressió: y= k/x ;
• Presenten dues asímptotes: una vertical ( A.V) i una
horitzontal (A.H)
4. funcions exponencials:
y=ax
- dom= R i
-el recorregut són els reals positius
• És contínua
• Si a>1 la funció és creixent
si 0<a<1 és decreixent.
• Talla l'eix OY en (0,1).
• L'eix OX és una asímptota
56
