1) Determinantes são funções que associam escalares a matrizes quadradas e são usados na solução de sistemas de equações lineares. 2) Existem símbolos para representar determinantes de segunda ordem e eles podem ser calculados por decomposição de matrizes de ordem superior. 3) Determinantes possuem propriedades como não se alterarem com trocas de linhas e colunas e serem nulos se linhas forem iguais.

1. Determinante é uma função que associa um escalar a uma matriz quadrada. É um importante conceito matemático, usado, por
exemplo, na solução de sistemas de equações lineares.
Símbolos e determinantes de segunda ordem
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Na forma compacta, o determinante de uma matriz quadrada A é simbolizado por
det(A) #1.1#.
O determinante também pode ser representado pelos elementos da matriz, com a substituição dos colchetes por barras verticais.
Seja, por exemplo, uma matriz 2×2,
A seguir, os símbolos mencionados e a operação aritmética que define o determinante da matriz.
#A.1#
O determinante acima é de segunda ordem, em razão da dimensão da matriz.

2. Determinantes de ordens superiores
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Determinantes de terceira ordem ou superior podem ser calculados por decomposição. Seja uma matriz genérica 3×3:
Considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz. Cada elemento dessa linha é multiplicado pelo determinante da matriz que
restar pela eliminação da linha e da coluna que passam pelo elemento. E o determinante da matriz 3×3 é a soma dessas parcelas,
considerando sinal positivo para coluna ímpar e negativo para coluna par.
Na operação acima, os determinantes de segunda ordem são calculados de acordo com fórmula do tópico anterior. Com a
aplicação desse procedimento em cascata, determinantes de quaisquer ordens podem ser calculados.

3. Algumas propriedades dos determinantes
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#A.1#
Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas
são trocadas.
#B.1# Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.
#C.1#
Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou
uma linha ou coluna é nula, o determinante é nulo (k é um número qualquer).
#D.1#
Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum,
ele pode ser colocado em evidência.
#E.1#
Um determinante não se altera se, aos elementos de uma linha ou coluna, são somados
ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna.
#F.1# det(A B) = det(A) det(B)
#G.1#
det(kIn) = kn
. Portanto,
det(kA) = kn
det(A), onde A é uma matriz n×n
#H.1# det(A−1
) = [ det(A) ]−1
#I.1# det(AT
) = det(A)

4. Determinantes e equações lineares
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Determinantes podem ser usados para resolver sistemas de equações lineares. Seja, como exemplo, um sistema de 3 equações e
3 incógnitas:
Em termos de matrizes, ele pode ser escrito como A X = B. Ou na forma expandida:
A: matriz dos coeficientes.
X: matriz das incógnitas.
B: matriz dos termos independentes.
As matrizes A1, A2 e A3 são formadas pela substituição, na matriz A, da primeira, segunda e terceira colunas pela coluna da
matriz B.

5. E a solução do sistema é:
x1 =
det(A1)
#A.1#
det(A)
x2 =
det(A2)
#A.2#
det(A)
x3 =
det(A3)
#A.3#
det(A)
Naturalmente, para que o sistema tenha solução, o determinante da matriz A não pode ser nulo, isto é, det(A) ≠ 0.