Ква

1. Федеральное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени академика С.П. КОРОЛЁВА»
(национальный исследовательский университет)
Кафедра теоретической механики
Динамика космической тросовой системы,
предназначенной для доставки груза с орбиты
Студент: Беляева Екатерина Александровна
beljaeva.ea@gmail.com
Научный руководитель: к.т.н., доцент Ледков Александр Сергеевич
ledkov@inbox.ru
Самара 2013

2. КТС. Эксперименты
2
YES2 SEDS-1
Космическая тросовая система (КТС) – это система космических
объектов, соединенных
длинными тонкими гибкими
элементами, например, два
космических аппарата (КА),
соединенных длинным тросом. С
их помощью можно облегчить
многие современные задачи
космической техники. Одной из
таких задач является доставка
груза с орбиты на Землю.

3. 3
Цель
Исследование динамики КТС, предназначенной для доставки груза с
орбиты, при использовании различных законов развертывания троса.
Задачи:
1. Построить математическую модель движения КТС, состоящей из
КА, невесомого растяжимого троса и груза;
2. Исследовать динамику системы при использовании различных
законов развертывания троса:
– использованный в Yes-2,
– равномерное развертывание (с постоянной скоростью)
– экспоненциальное кинематическое управление.

4. 4
Механическая система
Рассмотрим систему из двух тел и соединяющего их растяжимого троса.
Для решения этой задачи введем
следующие допущения:
• КА и груз являются материальными
точками;
• трос – невесомый упругий стержень;
• влияния атмосферы нет;
• вращением Земли пренебрегаем;
• движение происходит в плоскости
орбиты.
Механическая система

5. 5
Математическая модель
Составим уравнения движения системы в виде уравнения
Лагранжа 2-го рода:
(1)
(2)
0,d L L
dt q q
  
 
где - обобщенные координаты и П - потенциальная
энергия системы:
(3)
где
q ,R ,l  ,
,L T 
2
0
1 ,
2
M m тр
M m ES l
R r l
               
   
2 2
sin cos .r l R l   

6. Кинетическая энергия складывается из кинетической энергии КА и груза :
(4)
где
(5)
6
Кинетическая энергия
   
2 22
,
22 2
M m
MR M m
T T T R R R l l         
  
sin
cos
,
         






R
R
R
cos
,
sin
         
 
 
 



R
R
R
sin
,
cos


         





l
l
l
cos
sin
,
 

 
       
 


l
l
l 2
.  
mTMT

7. 7
Параметры тросовой системы
m 12 кг Масса груза
M 6300 кг Масса КА
E Модуль упругости (Юнга)
 Предел прочности
S Площадь сечения троса
9
170 10 Па
6 2
3,4 10
 м
Начальные условия
Начальный радиус-вектор КА
0,01 рад Начальный угол между R и тросом
Начальное значение угла истинной
аномалии
Начальная скорость изменения угла
истинной аномалии
( )
0R 9
6,65 10 м
0
0
2

0
3
0

R
  ЗG M
9
3 10 Па

8. Кинематический закон:
(8)
где – время развертывания, соответствующее длине =16 000 м, = 0 c,
= 1 м, а C – изменяемый параметр, обеспечивающий выполнение
условия: где n – средняя угловая скорость орбитального
движения.
Закон YES-2:
(7)
8
Исследуемые законы развертывания
троса
Равномерное развертывание:
(6)0
( ) ,
30000 .
начl t kt l
l м
 

5
,0 1
0
( ) , при ( ; ]j
i j ii
j
l t M t t t t

 
( )0
0 0 1
( )0 1
1 1
, ,
( )
2 , ,
C t t
C t t
l e l l l
l t
l e l l
         
 

 
1
l1
t 0
t
0
l
3,
4
l
nl



9. 9
Равномерное развертывание
График (l0 (t)+1000) и l (t) при k=2

10. 10
Равномерное развертывание при k=2
График l(t) - l 0(t)
Сила натяжения троса
7732,4 /kv м с
max 1,15рад 
Траектория движения груза

11. 11
Равномерное развертывание при k=25
Траектория движения груза
Сила натяжения троса
График l0 (t) и l (t)
7768,1 /kv м с
max 1,01рад 

12. 12
Равномерное развертывание при k=43
Траектория движения груза
Сила натяжения троса
График l0 (t) и l (t)
7758 /kv м с
max
2

 
10200разF Н

13. 13
Закон YES-2
7701 /kv м с
max 0,87 рад 
График (l0 (t)+1000) и l (t)

14. 14
Траектория движения груза
Сила натяжения троса
График l(t) - l 0(t)

15. 15
Кинематическое развертывание
График (l0 (t)+1000) и l (t) при С=1·10-3

16. 16
Кинематическое развертывание при
С=1·10-3
График l(t) - l 0(t)
Траектория движения груза
Сила натяжения троса
7758,9 /kv м с
max 0,67 рад 

17. 17
Кинематическое развертывание при
С=2·10-3
График l0 (t) и l (t)
Сила натяжения троса
Траектория движения груза
7758,9 /kv м с
max 1,3рад 
10200разF Н

18. 18
Результаты работы
1. Разработана математическая модель, описывающая движение
КТС как системы двух материальных точек, соединенных невесомым
упругим тросом.
2. Исследовано движение системы при использовании различных
законов управления. Проведен анализ влияния скорости равномерного
развертывания на характер движения системы. Выявлены граничные
значения скорости, приводящей к намотке троса на КА и к обрыву
троса после завершения развертывания.

19. 19
Список литературы
1. Наумов, С.А. Управление развертыванием орбитальной
тросовой системы для спуска малой капсулы [Текст]:
дисс. канд. техн. наук: 05.07.09/Наумов Сергей
Анатольевич. – С., 2006. – 96 с.
2. Белецкий, В.В. Динамика космических тросовых
систем [Текст]/ В.В. Белецкий, Е.М. Левин. М.: Наука,
1990. – 330 с.
3. Садов, Ю.А. Формы равновесия гибкого троса в
плоскости круговой орбиты. 0- и 1- параметрические
семейства [Текст]/Ю.А. Садов//Институт прикладной
математики им. М. В. Келдыша РАН. – 2001. – № 68. С.
1-29.
4. Ситарский, Ю.С. Развертывание механической
системы, состоящей из двух соединенных тросом КА,
из режима свободных колебаний [Текст]/Ю.С.
Ситарский, B.C. Ручинский//Научные труды MATH Рос.
гос. технол. ун-т. – 2004. – № 7. – С. 321-324.
5. Ситарский, Ю.С. Методика стабилизации движения
гибко связанных КА [Текст]/Ю.С. Ситарский, B.C.
Ручинский //Научные труды MATH – Рос. гос. технол.
ун-т. – 2004. – № 7. – С. 316-320.
6. Сидоров, И.М. О применении тросовых систем для
создания постоянно действующего транспортного
канала в космическом пространстве [Текст]/И.М.
Сидоров//Полет. 2000. – №8. – С.36-39.
7. Сидоров, И.М. Принципиальная возможность
использования тросовых систем для реализации
гравитационных маневров в окрестности планеты.
[Текст]/И.М. Сидоров//Докл. Российской академии
наук. – 2002. т. 384, № 4. – С. 483-488.
8. Асланов, B.C. Пространственное движение
космической тросовой системы, предназначенной для
доставки груза на Землю [Текст]/B.C. Асланов, А.С.
Ледков, Н.Р. Стратилатов//Общероссийский научно-
технический журнал "Полет". 2007. – №2. – С. 28-33.
9. Дигнат, Ф. Управление колебаниями орбитальной
тросовой системы [Текст]/Ф. Дигнат, В. Шилен//
Прикладная математика и механика. 2000. – т. 64. – вып.
5. – С. 747-754.
10. Kruijff, E.J. van der Heide Qualification and in-flight
demonstration of a European tether deployment system on
YES2 [Текст]/ E.J. Kruijff//Acta Astronautica. 2009. – Vol.
64. – №9-10. – P.882-905.
11. Zimmermann, F. Optimization of the tether-assisted return
mission of a guided re-entry capsule [Текст]/Frank
Zimmermann, F, Ulrich M. Schöttle, Ernst
Messerschmid//Aerospacecience and Technology. 2005. –
Vol. 9. – P.713–721.
12. Reb, S. Tethered satellite systems. Part 1. Orbital and
relative motion [Текст]/S. Reb. Technische Universität
München, 1991.
13. Маркеев, А.П. Теоретическая механика: учебник для
высших учебных заведений [Текст]/А.П. Маркеев. – М.;
Ижевск: РХД, 2007. – 592 с.
14. Aslanov, V.S., Ledkov, A.S. Dynamics of the Tethered
Satellite Systems [Текст]/V.S. Aslanov, A.S. Ledkov.
Woodhead Publishing Limited, Cambridge, UK, 2012 – P.
320

20. 20
Спасибо за внимание!