4. แคลคูลัส 24
นอกจากอุปนัยเชิงคณิตศาสตรจะใชพิสูจนขอความ P(n) เปนจริง ทุกจํานวนนับ n
แลว เราอาจประยุกตใชอุปนัยเชิงคณิตศาสตรเพื่อพิสูจนขอความ P(n) เปนจริง ทุกจํานวนนับ
n ≥ m เมื่อ m เปนจํานวนนับใด ๆ โดยมีวิธีการตอไปนี้
สําหรับจํานวนนับ n ใด ๆ ซึ่ง n ≥ m ให P(n) แทนขอความที่เกี่ยวของกับ n
ซึ่งมีสมบัติตอไปนี้
(1) P(m) เปนจริง
(2) สําหรับจํานวนนับ k ใด ๆ ซึ่ง k ≥ m ถา P(k) เปนจริง แลว P(k + 1) เปนจริง
ดังนั้น P(n) เปนจริง ทุกจํานวนนับ n ≥ m
ตัวอยาง 1.1.4 จงพิสูจนวา n
2 > 2
n ทุกจํานวนนับ n ≥ 5
วิธีทํา สําหรับจํานวนนับ n ใด ๆ ซึ่ง n ≥ 5
ให P(n) แทนขอความ n
2 > 2
n
เนื่องจาก 5
2 = 32 > 25 = 2
5
ดังนั้น P(5) เปนจริง
ให k เปนจํานวนนับใด ๆ ซึ่ง k ≥ 5
สมมติวา P(k) เปนจริง
นั่นคือ สมมติวา k
2 > 2
k
ดังนั้น 2( k
2 ) > 2 2
k
1k
2 +
> 2
k + 2
k
≥ 2
k + 5k (เพราะวา k ≥ 5 เพราะฉะนั้น 2
k ≥ 5k)
= 2
k + 2k + 3k
> 2
k + 2k + 1 (เพราะวา k ≥ 5 เพราะฉะนั้น 3k > 1)
= (k + 1)2
เพราะฉะนั้น 1k
2 +
> (k + 1)2
แสดงวา P(k + 1) เปนจริง
โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร สรุปไดวา P(n) เปนจริง ทุกจํานวนนับ n ≥ 5
นั่นคือ n
2 > 2
n ทุกจํานวนนับ n ≥ 5
5. บทที่ 1 ลําดับและอนุกรมของจํานวน 5
ตัวอยาง 1.1.5 จงพิสูจนวา 3
n ≤ n
2 ทุกจํานวนนับ n ≥ 10
วิธีทํา สําหรับจํานวนนับ n ใดๆ ซึ่ง n ≥ 10
ให P(n) แทนขอความ 3
n ≤ n
2
เนื่องจาก 3
10 = 1000 ≤ 1024 = 10
2
ดังนั้น P(10) เปนจริง
ให k เปนจํานวนนับใดๆ ซึ่ง k ≥ 10
สมมติวา P(k) เปนจริง
นั่นคือ สมมติวา 3
k ≤ k
2 ... (1)
ดังนั้น (k + 1)3
= 3
k + 3 2
k + 3k + 1
≤ k
2 + 3 2
k + 3k + 1 (จาก (1))
≤ k
2 + 3 2
k + 3 2
k + 3 2
k (เพราะวา k ≥ 10 เพราะฉะนั้น 3k ≤ 3 2
k , 1 ≤ 3 2
k )
= k
2 + 9 2
k
≤ k
2 + 3
k (เพราะวา k ≥ 10 เพราะฉะนั้น 9 2
k ≤ 3
k )
≤ k
2 + k
2 (จาก (1))
= k
2 (1 + 1)
= k
2 2
= 1k
2 +
เพราะฉะนั้น (k + 1)3
≤ 1k
2 +
แสดงวา P(k + 1) เปนจริง
โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร สรุปไดวา P(n) เปนจริง ทุกจํานวนนับ n ≥ 10
นั่นคือ 3
n ≤ n
2 ทุกจํานวนนับ n ≥ 10
6. แคลคูลัส 26
แบบฝกหัด 1.1
จงพิสูจนขอความตอไปนี้โดยใชอุปนัยเชิงคณิตศาสตร
1. 1 + 2 + 3 + ... + n = 2
)1n(n +
ทุกจํานวนนับ n
2. 3
1 + 3
3 + 3
5 + ... + (2n – 1)3
= 2
n (2 2
n – 1) ทุกจํานวนนับ n
3. 31
1
⋅
+ 42
1
⋅
+ 53
1
⋅
+ ... + )2n(n
1
+
= 2
1 ( 2
3 – 1n
1
+
– 2n
1
+
) ทุกจํานวนนับ n
4. (1 – 2
1 )(1 – 3
1 )(1 – 4
1 ) ... (1 – 1n
1
+
) = 1n
1
+
ทุกจํานวนนับ n
5. 1⋅3⋅5⋅...⋅(2n – 1) =
!n2
)!n2(
n
ทุกจํานวนนับ n
6. )x(f )n(
= 1n
nn
)1x2(
!n2)1(
+
+
−
ทุกจํานวนนับ n เมื่อ f(x) = 1x2
1
+
7. 3
n – n หารดวย 3 ลงตัว ทุกจํานวนนับ n
8. n
5 + 3 หารดวย 4 ลงตัว ทุกจํานวนนับ n
9. n
2 > 2n ทุกจํานวนนับ n ≥ 3
10. n
4 > 4
n ทุกจํานวนนับ n ≥ 5
7. บทที่ 1 ลําดับและอนุกรมของจํานวน 7
1.2 ลําดับของจํานวนจริง
บทนิยาม 1.2.1 ลําดับของจํานวนจริง คือฟงกชันที่มีโดเมนเปน N และมีคาเปนจํานวนจริง
ตัวอยางเชน ถาให a เปนฟงกชันซึ่งมีคา a(n) = 2n
n
+
, n ∈ N
เราจะไดวา a เปนลําดับของจํานวนจริงลําดับหนึ่ง
ในกรณีของฟงกชัน a ใดๆ ที่เปนลําดับ เรานิยมเขียนบอกคา a(n) ดวยสัญลักษณ na
ดังนั้นลําดับ a ใดๆ จะเขียนไดเปน
a = {(1, 1a ), (2, 2a ), (3, 3a ), ... , (n, na ), ...}
เนื่องจากเปนที่เขาใจอยูแลววา na ตองคูกับ n ในคูอันดับ (n, na )
ดังนั้น เราจะเขียนบอกถึงลําดับ a ดวยสัญลักษณ { 1a , 2a , 3a , ... , na , ...}
หรือ 1a , 2a , 3a , ... , na , ...
หรือ { na }
เชน ถาเราเขียน { 2n
n
+
} จะหมายถึง
ลําดับ {(1, 3
1 ), (2, 2
1 ), (3, 5
3 ), ... , (n, 2n
n
+
), ...}
สําหรับลําดับ { na } ใดๆ เราเรียก na วา พจนที่ n ของลําดับ ในเรื่องของลําดับนี้
ปญหาที่เราสนใจคือ เมื่อ n มีคามากๆ พจนที่ n ของลําดับมีคาเขาใกล หรือเทากับจํานวนจริง
คาใดคาหนึ่งหรือไม ถามีจํานวนจริงดังกลาว เราจะเรียกจํานวนจริงนี้วา ลิมิตของลําดับ ซึ่งเรา
จะใหบทนิยามของลิมิตของลําดับดังตอไปนี้
บทนิยาม 1.2.2 ให { na } เปนลําดับของจํานวนจริง และ L ∈ R เราจะกลาววา L เปน ลิมิต
ของลําดับ { na } ก็ตอเมื่อ สําหรับจํานวนจริงบวก ε ใดๆ เราสามารถหา 0n ∈ R ที่ทําให
| na – L | < ε ทุกจํานวนนับ n > 0n
และจะเขียนแทนดวยสัญลักษณ
∞→n
lim na = L
หมายเหตุ บทนิยามของ
∞→n
lim na = L มีลักษณะเชนเดียวกับบทนิยามของ
∞→x
lim f(x) = L
ทฤษฎีบท 1.2.1 ให t, r ∈ R เปนคาคงตัวใดๆ จะไดวา
1.
∞→n
lim
t
n
1 = 0 เมื่อ t > 0
2.
∞→n
lim n
r = 0 เมื่อ | r | < 1
8. แคลคูลัส 28
บทพิสูจน 1. ให ε > 0
เลือก 0n = ( ε
1 ) t
1
ให n เปนจํานวนนับใดๆ สมมติวา n > 0n ดังนั้น n > ( ε
1 ) t
1
t
n >
ε
1
ε > t
n
1
แสดงวา | t
n
1 – 0 | = t
n
1 < ε
ดังนั้น
∞→n
lim
t
n
1 = 0
ตัวอยาง 1.2.1 1.
∞→n
lim
n
1 = 0 2.
∞→n
lim 1
n n
=
∞→n
lim
3
2
1
n
= 0
3.
∞→n
lim ( 3
2 )n
= 0 4.
∞→n
lim (– 4
3 )n
= 0
นอกจากจะกลาวถึง
∞→n
lim na = L เมื่อ L ∈ R เราอาจจะกลาวถึง
∞→n
lim na = ∞
และ
∞→n
lim na = –∞ ในลักษณะเชนเดียวกับ
∞→x
lim f(x) = ∞ และ
∞→x
lim f(x) = –∞
ตามลําดับ ดังตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยาง 1.2.2 จงแสดงวา
∞→n
lim 2
n = ∞
วิธีทํา ให na = 2
n จะเห็นวา
∞→n
lim
na
1 =
∞→n
lim
2
n
1 = 0
และ na = 2
n > 0 ทุก n ∈ N
ดังนั้น
∞→n
lim na = ∞
นั่นคือ
∞→n
lim 2
n = ∞
ขอสังเกต จากทฤษฎีบท 1.2.1 จะไดวา
1.
∞→n
lim t
n = ∞ เมื่อ t > 0
2.
∞→n
lim n
r = ∞ เมื่อ r > 1
หมายเหตุ ในกรณีที่
∞→n
lim na = ∞ หรือ –∞ เราถือวา { na } ไมมีลิมิต
9. บทที่ 1 ลําดับและอนุกรมของจํานวน 9
ทฤษฎีบท 1.2.2 ให { na }, { nb }, { nc } เปนลําดับของจํานวนจริง และ L, M, k ∈ R
โดยที่
∞→n
lim na = L และ
∞→n
lim nb = M จะไดวา
1.
∞→n
lim k = k เมื่อ k เปนคาคงตัว
2.
∞→n
lim k na = k
∞→n
lim na = kL เมื่อ k เปนคาคงตัว
3.
∞→n
lim ( na + nb ) =
∞→n
lim na +
∞→n
lim nb = L + M
4.
∞→n
lim ( na – nb ) =
∞→n
lim na –
∞→n
lim nb = L – M
5.
∞→n
lim ( na nb ) = (
∞→n
lim na )(
∞→n
lim nb ) = LM
6.
∞→n
lim (
n
n
b
a
) =
n
n
n
n
blim
alim
∞→
∞→ = M
L เมื่อ M ≠ 0
7.
∞→n
lim m
na = m n
n
lim a
→∞
= m L เมื่อ m L ∈ R, m ∈ N – {1}
8. ถามี 0n ∈ N ซึ่ง na ≤ nc ≤ nb ทุก n ≥ 0n และ L = M
แลวจะไดวา
∞→n
lim nc = L
บทพิสูจน 3. ให ε > 0
เนื่องจาก
∞→n
lim na = L และ
∞→n
lim nb = M ดังนั้น จะมี 1n , 2n ∈ R ซึ่ง
| na – L | <
2
ε ทุกจํานวนนับ n > 1n และ | nb – M | <
2
ε ทุกจํานวนนับ n > 2n
เลือก 0n = | 1n | + | 2n |
ให n เปนจํานวนนับใดๆ ซึ่ง n > 0n
ดังนั้น n > 1n และ n > 2n ซึ่งจะไดวา | na – L | <
2
ε และ | nb – M | <
2
ε
แสดงวา | ( na + nb ) – (L + M) | = | ( na – L) + ( nb – M) |
≤ | na – L | + | nb – M |
<
2
ε + 2
ε = ε
ดังนั้น
∞→n
lim ( na + nb ) = L + M
ทฤษฎีบท 1.2.3 ให { na } เปนลําดับของจํานวนจริง
จะไดวา
∞→n
lim na = 0 ก็ตอเมื่อ
∞→n
lim | na | = 0
10. แคลคูลัส 210
ตัวอยาง 1.2.3 จงหาคาลิมิตตอไปนี้
1.
∞→n
lim
3 3
2
1nn
1n9
++
+ 2.
∞→n
lim (n – n )
3.
∞→n
lim
nn
ncos 4.
∞→n
lim
n
( 1)
n
−
วิธีทํา 1.
∞→n
lim
3 3
2
1nn
1n9
++
+ =
∞→n
lim
2
3
3
1n( 9 )
n
1n(1 1 )
n
+
+ +
=
∞→n
lim
2
3
3
19
n
11 1
n
+
+ +
= 3 011
09
++
+
= 2
3
2. เพราะวา
∞→n
lim
nn
1
−
=
∞→n
lim
n
11
n
1
−
= 01
0
−
= 0
และ n – n = n ( n – 1) > 0 ทุกจํานวนนับ n > 1
เพราะฉะนั้น
∞→n
lim (n – n ) = ∞
3. เนื่องจาก –1 ≤ cosn ≤ 1 ทุก n ∈ N
ดังนั้น
nn
1− ≤
nn
ncos ≤
nn
1 ทุก n ∈ N
และ
∞→n
lim (
nn
1− ) = 0 =
∞→n
lim
nn
1
เราจึงสรุปไดวา
∞→n
lim
nn
ncos = 0
4. เพราะวา
∞→n
lim |
n
( 1)
n
−
| =
∞→n
lim 1
n
= 0 เพราะฉะนั้น
∞→n
lim
n
( 1)
n
−
= 0
บทนิยาม 1.2.3 ให { na } เปนลําดับของจํานวนจริง เราจะกลาววา { na } เปน ลําดับลูเขา
ก็ตอเมื่อ มีจํานวนจริง L ซึ่ง
∞→n
lim na = L
และจะกลาววา { na } เปน ลําดับลูออก ก็ตอเมื่อ { na } ไมเปนลําดับลูเขา
31. บทที่ 1 ลําดับและอนุกรมของจํานวน 31
ทฤษฎีบท 1.4.7 (การทดสอบแบบอินทิกรัล)
ให ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมของจํานวนจริง ซึ่ง na ≥ 0 และ f เปนฟงกชันคาจริง ซึ่งมีสมบัติดังนี้
1. f(n) = na ทุก n ∈ N
2. มี 0n ∈ N ซึ่ง f เปนฟงกชันไมเพิ่ม และมีความตอเนื่องบนชวง [ 0n , ∞)
3. nt = ∫
n
0n
f(x)dx , n ≥ 0n
จะไดวา ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมลูเขา ถา { nt } เปนลําดับลูเขา
และ ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมลูออก ถา { nt } เปนลําดับลูออก
ตัวอยาง 1.4.4 จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. ∑
∞
=1n 5n
n
2
+
2. ∑
∞
=1n
(
n
en
1 + n2( )
π
)
วิธีทํา 1. ให f(x) =
5x
x
2
+
เมื่อ x ≥ 1
จะได f′(x) = 22
2
)5x(
)x2(x)5x(
+
−+
= 22
2
)5x(
x5
+
− < 0 ทุก x ≥ 3
ดังนั้น f เปนฟงกชันลด และมีความตอเนื่องบนชวง [3, ∞)
ให nt = ∫
n
3
f(x)dx , n ≥ 3
= ∫
n
3
5x
x
2
+
dx
= [ 2
1 n( 2
x + 5) ] 3x
nx
=
=
= 2
1 n( 2
n + 5) – 2
1 n14
จะเห็นวา
∞→n
lim nt = ∞
เพราะฉะนั้น { nt } เปนลําดับลูออก
ดังนั้น ∑
∞
=1n 5n
n
2
+
เปนอนุกรมลูออก
32. แคลคูลัส 232
2. ให f(x) =
x
ex
1 เมื่อ x ≥ 1
จะได f′(x) =
2x
)ex(
1− [ x x
e
x2
1 + x
e
x2
1 ] < 0 ทุก x ≥ 1
ดังนั้น f เปนฟงกชันลด และมีความตอเนื่องบนชวง [1, ∞)
ให nt = ∫
n
1
f(x)dx, n > 1
= ∫
n
1
x
ex
1 dx
= [
x
e
2− ] 1x
nx
=
=
=
n
e
2− + e
2
จะเห็นวา
∞→n
lim nt = e
2
เพราะฉะนั้น { nt } เปนลําดับลูเขา
ดังนั้น ∑
∞
=1n
n
en
1 เปนอนุกรมลูเขา
เนื่องจาก ∑
∞
=1n
n2( )
π
เปนอนุกรมเรขาคณิต โดยมี r = 2
π
ซึ่ง | r | < 1
ดังนั้น ∑
∞
=1n
n2( )
π
เปนอนุกรมลูเขา
เราจึงสรุปไดวา ∑
∞
=1n
(
n
en
1 + n2( )
π
) เปนอนุกรมลูเขา
34. แคลคูลัส 234
บทนิยาม 1.4.4 อนุกรมพี คือ อนุกรมที่เขียนไดในรูป ∑
∞
=1n
p
n
1 เมื่อ p ∈ R เปนคาคงตัว
ทฤษฎีบท 1.4.8 อนุกรมพีจะเปนอนุกรมลูเขา เมื่อ p > 1
และจะเปนอนุกรมลูออก เมื่อ p ≤ 1
บทพิสูจน ถา p < 0 แลวจะไดวา
∞→n
lim
p
n
1 = ∞
ถา p = 0 แลวจะไดวา
∞→n
lim
p
n
1 = 1
ดังนั้น ในกรณีที่ p ≤ 0 จะไดวา ∑
∞
=1n
p
n
1 เปนอนุกรมลูออก
พิจารณากรณีที่ p > 0
ให f(x) = p
x
1 ทุก x ≥ 1
จะได f′(x) = 1p
x
p
+
−
< 0 ทุก x ≥ 1
ดังนั้น f เปนฟงกชันลด และมีความตอเนื่องบนชวง [1, ∞)
ให nt = ∫
n
1
f(x)dx = ∫
n
1
p
x
1 dx, n ≥ 1
=
p 1 x nx
[ ] p 1x 1p 1
x n[ n x] p 1
x 1
− +⎧ =
≠⎪ =⎪ − +⎨
=⎪ =
=⎪⎩
เมื่อ
เมื่อ
= p 1
1 1
( 1) p 1
1 p n
n n p 1
−
⎧ − ≠⎪
−⎨
⎪ =⎩
เมื่อ
เมื่อ
จะไดวา
∞→n
lim nt =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
−
−
≤∞
1p
p1
1
1p
เมื่อ
เมื่อ
ดังนั้น ในกรณีที่ 0 < p ≤ 1 จะไดวา ∑
∞
=1n
p
n
1 เปนอนุกรมลูออก
และ ในกรณีที่ p > 1 จะไดวา ∑
∞
=1n
p
n
1 เปนอนุกรมลูเขา
เราจึงสรุปไดวา ∑
∞
=1n
p
n
1 เปนอนุกรมลูเขา เมื่อ p > 1
และ ∑
∞
=1n
p
n
1 เปนอนุกรมลูออก เมื่อ p ≤ 1
35. บทที่ 1 ลําดับและอนุกรมของจํานวน 35
ตัวอยาง 1.4.5 1. ∑
∞
=1n
3 n
1 เปนอนุกรมลูออก เพราะเปนอนุกรมพี ซึ่ง p = 3
1 < 1
2. ∑
∞
=1n
2
n
1 เปนอนุกรมลูเขา เพราะเปนอนุกรมพี ซึ่ง p = 2 > 1
ทฤษฎีบท 1.4.9 (การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบ)
ให ∑
∞
=1n
na , ∑
∞
=1n
nb และ ∑
∞
=1n
nc เปนอนุกรมของจํานวนจริง
1. ถามี 0n ∈ N ซึ่ง 0 ≤ na ≤ nb ทุก n ≥ 0n และ ∑
∞
=1n
nb เปนอนุกรมลูเขา
แลวจะไดวา ∑
∞
=1n
na จะเปนอนุกรมลูเขาดวย
2. ถามี 0n ∈ N ซึ่ง 0 ≤ nc ≤ na ทุก n ≥ 0n และ ∑
∞
=1n
nc เปนอนุกรมลูออก
แลวจะไดวา ∑
∞
=1n
na จะเปนอนุกรมลูออกดวย
ตัวอยาง 1.4.6 จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. ∑
∞
=1n
n
2n
1 2. ∑
∞
=1n n
nn
วิธีทํา 1. เนื่องจาก 0 ≤ n
2n
1 ≤ n
2
1 ทุก n ∈ N
และ ∑
∞
=1n
n
2
1 เปนอนุกรมลูเขา (อนุกรมเรขาคณิต ซึ่ง r = 2
1 )
ดังนั้น ∑
∞
=1n
n
2n
1 เปนอนุกรมลูเขา
2. เนื่องจาก 1 ≤ nn ทุก n ≥ 3
ดังนั้น 0 ≤
n
1 ≤
n
nn ทุก n ≥ 3
เพราะวา ∑
∞
=1n n
1 เปนอนุกรมลูออก (อนุกรมพี ซึ่ง p = 2
1 )
เพราะฉะนั้น ∑
∞
=1n n
nn เปนอนุกรมลูออก
36. แคลคูลัส 236
ทฤษฎีบท 1.4.10 (การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบดวยลิมิต)
ให ∑
∞
=1n
na และ ∑
∞
=1n
nb เปนอนุกรมของจํานวนจริง ซึ่ง na ≥ 0 และ nb > 0 ทุก n ∈ N
1. ถา
∞→n
lim
n
n
b
a
= c > 0
แลวจะไดวา อนุกรมทั้งสองจะลูเขาดวยกันหรือไมก็ลูออกดวยกัน
2. ถา
∞→n
lim
n
n
b
a
= 0 และ ∑
∞
=1n
nb เปนอนุกรมลูเขา
แลวจะไดวา ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมลูเขาดวย
3. ถา
∞→n
lim
n
n
b
a
= ∞ และ ∑
∞
=1n
nb เปนอนุกรมลูออก
แลวจะไดวา ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมลูออกดวย
ตัวอยาง 1.4.7 จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. ∑
∞
=1n 1nn3
1n
2
2
++
+ 2. ∑
∞
=1n
nn
n
35
2
−
3. ∑
∞
=1n
n
2
n 4. ∑
∞
=1n
)1n(n
1
+
วิธีทํา 1. ให na =
1nn3
1n
2
2
++
+ และ nb = n
1
จะเห็นวา ∑
∞
=1n
nb = ∑
∞
=1n
n
1 เปนอนุกรมลูออก (อนุกรมพี ซึ่ง p = 1)
และ
∞→n
lim
n
n
b
a
=
∞→n
lim
1nn3
1nn
2
2
++
+
=
∞→n
lim
2
2
n
1
n
13
n
11
++
+
= 3
1 > 0
ดังนั้น ∑
∞
=1n
na = ∑
∞
=1n 1nn3
1n
2
2
++
+ เปนอนุกรมลูออก
37. บทที่ 1 ลําดับและอนุกรมของจํานวน 37
2. ให na = nn
n
35
2
−
และ nb = ( 5
2 )
n
จะเห็นวา ∑
∞
=1n
nb = ∑
∞
=1n
( 5
2 )
n
เปนอนุกรมลูเขา (อนุกรมเรขาคณิต ซึ่ง r = 5
2 )
และ
∞→n
lim
n
n
b
a
=
∞→n
lim ( nn
n
35
2
−
)( 2
5 )
n
=
∞→n
lim
nn
n
35
5
−
=
∞→n
lim
n
)
5
3(1
1
−
= 1 > 0
ดังนั้น ∑
∞
=1n
na = ∑
∞
=1n
nn
n
35
2
−
เปนอนุกรมลูเขา
3. ให na = n
2
n และ nb =
2
3
n
1
จะเห็นวา ∑
∞
=1n
nb = ∑
∞
=1n 2
3
n
1 เปนอนุกรมลูเขา (อนุกรมพี ซึ่ง p = 2
3 )
และ
∞→n
lim
n
n
b
a
=
∞→n
lim
n
2
2
n
= 0 (ตัวอยาง 1.2.5 ขอ 1.)
ดังนั้น ∑
∞
=1n
na = ∑
∞
=1n
n
2
n เปนอนุกรมลูเขา
4. ให na = )1n(n
1
+
และ nb = n
1
จะเห็นวา ∑
∞
=1n
nb = ∑
∞
=1n
n
1 เปนอนุกรมลูออก (อนุกรมพี ซึ่ง p = 1)
และ
∞→n
lim
n
n
b
a
=
∞→n
lim
)1n(n
n
+
ให f(x) = )1x(n
x
+
, x ≥ 1
จะไดวา
∞→x
lim f(x) =
∞→x
lim
)1x(n
x
+
(I.F. ∞
∞ )
=
∞→x
lim
1x
1
1
+
=
∞→x
lim (x + 1) = ∞
เพราะฉะนั้น
∞→n
lim
n
n
b
a
= ∞
ดังนั้น ∑
∞
=1n
na = ∑
∞
=1n
)1n(n
1
+
เปนอนุกรมลูออก
38. แคลคูลัส 238
แบบฝกหัด 1.4.3
จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. ∑
∞
=1n
4
2
)1n2(
1n
−
+ 2. ∑
∞
=1n
( n
ncos )2
3. ∑
∞
=1n )1n(nn
1
+
4. ∑
∞
=1n 43n
3
n
n
+
5. ∑
∞
=1n 1n
1n
3
3 2
+
+ 6. ∑
∞
=1n nn
nn
7. ∑
∞
=1n
n
)1(n
n
−+
8. ∑
∞
=1n )2n(ne
nn
n
+
9. ∑
∞
=1n 23n
n
n
−
10. ∑
∞
=1n
(n + 2)
nn2−
11. ∑
∞
=1n
n
2
nn 12. ∑
∞
=1n
2
n
4
−
39. บทที่ 1 ลําดับและอนุกรมของจํานวน 39
บทนิยาม 1.4.5 ถา na > 0 ทุก n ∈ N เราเรียกอนุกรมที่เขียนไดในรูป
∑
∞
=1n
(–1) 1n+
na = 1a – 2a + 3a – 4a + ... + (–1) 1n+
na + ...
หรือ ∑
∞
=1n
(–1)n
na = – 1a + 2a – 3a + ... + (–1)n
na + ...
วา อนุกรมสลับ
ทฤษฎีบท 1.4.11 อนุกรมสลับ ∑
∞
=1n
(–1)n
na เปนอนุกรมลูเขา ถา
1.
∞→n
lim na = 0
และ 2. มี 0n ∈ N ซึ่ง 1na + < na ทุก n ≥ 0n
ขอสังเกต ในกรณีที่
∞→n
lim na ≠ 0
เราจะไดวา
∞→n
lim | (–1)n
na | =
∞→n
lim na ≠ 0
ดังนั้น
∞→n
lim (–1)n
na ≠ 0
เพราะฉะนั้น ถา
∞→n
lim na ≠ 0 แลว ∑
∞
=1n
(–1)n
na เปนอนุกรมลูออก
ตัวอยาง 1.4.8 จงพิจารณาวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. ∑
∞
=1n
n
)1( n
−
2. ∑
∞
=1n nn3
)1(
n
n
+
−
3. ∑
∞
=1n
1n
n)1( n
+
−
วิธีทํา 1. ในที่นี้ na = n
1
จะไดวา
∞→n
lim na =
∞→n
lim
n
1 = 0
เพราะวา 1na + = 1n
1
+
และ 1n
1
+
<
n
1 ทุก n ∈ N
เพราะฉะนั้น 1na + < na ทุก n ∈ N
ดังนั้น ∑
∞
=1n
n
)1( n
−
เปนอนุกรมลูเขา
40. แคลคูลัส 240
2. ในที่นี้ na =
nn3
1
n
+
จะไดวา
∞→n
lim na =
∞→n
lim
nn3
1
n
+
= 0
ให f(x) =
xn3
1
x
+
เมื่อ x ≥ 1
ดังนั้น f′(x) = 2x
)xn3(
1
+
− ( x
3 n3 + x
1 ) < 0 ทุก x ≥ 1
แสดงวา f เปนฟงกชันลด
เพราะฉะนั้น f(n + 1) < f(n) ทุก n ∈ N
นั่นคือ 1na + < na ทุก n ∈ N
ดังนั้น ∑
∞
=1n nn3
)1(
n
n
+
−
เปนอนุกรมลูเขา
3. ในที่นี้ na = 1n
n
+
จะไดวา
∞→n
lim na =
∞→n
lim
1n
n
+
=
∞→n
lim
n
11
1
+
= 1 ≠ 0
ดังนั้น ∑
∞
=1n
1n
n)1( n
+
−
เปนอนุกรมลูออก
ทฤษฎีบท 1.4.12 ถา ∑
∞
=1n
| na | เปนอนุกรมลูเขา แลวจะไดวา ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมลูเขา
บทพิสูจน ให nb = 2
a|a| nn +
และ nc = 2
a|a| nn −
เนื่องจาก –| na | ≤ na ≤ | na |
ดังนั้น 0 ≤ nb ≤ | na | และ 0 ≤ nc ≤ | na | ทุก n ∈ N
เพราะวา ∑
∞
=1n
| na | เปนอนุกรมลูเขา
เพราะฉะนั้น ∑
∞
=1n
nb และ ∑
∞
=1n
nc เปนอนุกรมลูเขา (ทฤษฎีบท 1.4.9 ขอ 1.)
ดังนั้น ∑
∞
=1n
( nb – nc ) = ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมลูเขา (ทฤษฎีบท 1.4.5)
41. บทที่ 1 ลําดับและอนุกรมของจํานวน 41
หมายเหตุ
1. บทกลับของทฤษฎีบท 1.4.12 ไมจริง
กลาวคือ ถา ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมลูเขา แลว ∑
∞
=1n
| na | อาจจะเปนอนุกรมลูออกก็ได
ตัวอยางเชน ∑
∞
=1n
n
)1(
n
−
เปนอนุกรมลูเขา แต ∑
∞
=1n
n
1 เปนอนุกรมลูออก
∑
∞
=1n
n
n
2
)1(−
เปนอนุกรมลูเขา และ ∑
∞
=1n
n
2
1 เปนอนุกรมลูเขา
2. ในกรณีที่ ∑
∞
=1n
| na | เปนอนุกรมลูออก
เราไมสามารถสรุปไดวา ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก ตัวอยางเชน
∑
∞
=1n
| n
)1(
n
−
| = ∑
∞
=1n
n
1 เปนอนุกรมลูออก แต ∑
∞
=1n
n
)1(
n
−
เปนอนุกรมลูเขา
∑
∞
=1n
| n
( 1)− 2
n | = ∑
∞
=1n
2
n เปนอนุกรมลูออก และ ∑
∞
=1n
n
( 1)− 2
n เปนอนุกรมลูออก
ตัวอยาง 1.4.9 จงแสดงวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขา
1. ∑
∞
=1n
n4
)3ncos(
2. ∑
∞
=1n
2
n
n
)1(−
วิธีทํา 1. พิจารณา ∑
∞
=1n
|
3
cos(n )
n4
| = ∑
∞
=1n
n4
)3ncos( || ... (1)
เพราะวา 0 ≤ | cos 3
(n ) | ≤ 1 ทุก n ∈ N
0 ≤
3
cos(n )
n4
| | ≤
n4
1 ทุก n ∈ N
และ ∑
∞
=1n
n4
1 เปนอนุกรมลูเขา (อนุกรมเรขาคณิต ซึ่ง r = 4
1 )
โดยทฤษฎีบท 1.4.9 ขอ 1. จะไดวา
∑
∞
=1n
|
3cos(n )
n4
| = ∑
∞
=1n
n4
)3ncos( || เปนอนุกรมลูเขา
ดังนั้น ∑
∞
=1n
n4
)3ncos(
เปนอนุกรมลูเขา
42. แคลคูลัส 242
2. เนื่องจาก ∑
∞
=1n
| 2
n
n
)1(−
| = ∑
∞
=1n
2
n
1 เปนอนุกรมลูเขา (อนุกรมพี ซึ่ง p = 2)
ดังนั้น ∑
∞
=1n
2
n
n
)1(−
เปนอนุกรมลูเขา
บทนิยาม 1.4.6 ∑
∞
=1n
na เปน อนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณ ถา ∑
∞
=1n
| na | เปนอนุกรมลูเขา
∑
∞
=1n
na เปน อนุกรมลูเขาแบบมีเงื่อนไข ถา ∑
∞
=1n
| na | เปนอนุกรมลูออก
แต ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมลูเขา
ตัวอยาง 1.4.10 จงพิจารณาวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณหรือลูเขาแบบมี
เงื่อนไข
1. ∑
∞
=1n
n
3
( 1) n
n 4
−
+
2. ∑
∞
=1n
)1n(n
)1(
n
+
−
3. ∑
∞
=1n
( 1n
1
+
− )
n
วิธีทํา 1. พิจารณา ∑
∞
=1n
|
n
3
( 1) n
n 4
−
+
| ≤ ∑
∞
=1n
3
n
n 4+
เนื่องจาก 3
n ≤ 3
n + 4 ทุก n ∈ N
ดังนั้น 3
1
n 4+
≤ 3
1
n
ทุก n ∈ N
0 ≤ 3
n
n 4+
≤ 3
n
n
≤ 2
1
n
ทุก n ∈ N
เพราะวา ∑
∞
=1n
2
1
n
เปนอนุกรมลูเขา (อนุกรมพี ซึ่ง p = 2)
เพราะฉะนั้น ∑
∞
=1n
3
n
n 4+
เปนอนุกรมลูเขา (ทฤษฎีบท 1.4.9 ขอ 1.)
นั่นคือ ∑
∞
=1n
|
n
3
( 1) n
n 4
−
+
| เปนอนุกรมลูเขา
ดังนั้น ∑
∞
=1n
n
3
( 1) n
n 4
−
+
เปนอนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณ
43. บทที่ 1 ลําดับและอนุกรมของจํานวน 43
2. พิจารณา ∑
∞
=1n
| )1n(n
)1(
n
+
−
| = ∑
∞
=1n
)1n(n
1
+
จากตัวอยาง 1.4.7 ขอ 4. จะไดวา ∑
∞
=1n
)1n(n
1
+
เปนอนุกรมลูออก
ดังนั้น ∑
∞
=1n
| )1n(n
)1(
n
+
−
| เปนอนุกรมลูออก
ให na = )1n(n
1
+
จะไดวา
∞→n
lim na =
∞→n
lim
)1n(n
1
+
= 0
และ 1na + = )2n(n
1
+
เนื่องจาก n เปนฟงกชันเพิ่ม ดังนั้น 0 < n(n + 1) < n(n + 2) ทุก n ∈ N
)2n(n
1
+
<
)1n(n
1
+
ทุก n ∈ N
นั่นคือ 1na + < na ทุก n ∈ N
ดังนั้น ∑
∞
=1n
)1n(n
)1(
n
+
−
เปนอนุกรมลูเขา (ทฤษฎีบท 1.4.11)
แสดงวา ∑
∞
=1n
)1n(n
)1(
n
+
−
เปนอนุกรมลูเขาแบบมีเงื่อนไข
3. พิจารณา ∑
∞
=1n
| ( 1n
1
+
− )
n
| = ∑
∞
=1n
n
)1n(
1
+
เนื่องจาก 0 ≤
1n
1
+
≤
2
1 ทุก n ∈ N
ดังนั้น 0 ≤ n
)1n(
1
+
≤ n
2
1 ทุก n ∈ N
เพราะวา ∑
∞
=1n
n
2
1 เปนอนุกรมลูเขา (อนุกรมเรขาคณิต ซึ่ง r = 2
1 )
เพราะฉะนั้น ∑
∞
=1n
n
)1n(
1
+
เปนอนุกรมลูเขา (ทฤษฎีบท 1.4.9 ขอ 1.)
นั่นคือ ∑
∞
=1n
| ( 1n
1
+
− )
n
| เปนอนุกรมลูเขา
ดังนั้น ∑
∞
=1n
( 1n
1
+
− )
n
เปนอนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณ
44. แคลคูลัส 244
แบบฝกหัด 1.4.4
จงพิจารณาวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาเปนอนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณ
หรือลูเขาแบบมีเงื่อนไข
1. ∑
∞
=1n n
)1( n
−
2. ∑
∞
=1n
)2n(n
n
+
3. ∑
∞
=1n
nn
n
2
)1(−
4. ∑
∞
=1n 1nn
n)1(
4
2n
+−
−
5. ∑
∞
=1n 1n
)1(
2
n
+
−
6. ∑
∞
=1n
nn
n2n
34
2)1(
+
−
7. ∑
∞
=1n 1n4
narctan
3
−
8. ∑
∞
=1n )1e(n
)1(
n
n
+
−
45. บทที่ 1 ลําดับและอนุกรมของจํานวน 45
ทฤษฎีบท 1.4.13 (การทดสอบโดยใชอัตราสวน)
ให ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมของจํานวนจริง ซึ่ง na ≠ 0 และ
∞→n
lim |
n
1n
a
a + | = ∞
หรือ
∞→n
lim |
n
1n
a
a + | = L เมื่อ L ∈ R
จะไดวา
1. ถา L < 1 แลวจะไดวา ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณ
2. ถา L > 1 หรือ
∞→n
lim |
n
1n
a
a + | = ∞ แลวจะไดวา ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมลูออก
3. ถา L = 1 แลวจะสรุปผลไมได
ตัวอยาง 1.4.11 จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. ∑
∞
=1n
!n
2n
2. ∑
∞
=1n
n
3n
2
n)1(−
3. ∑
∞
=1n
nn
n
3
e
วิธีทํา 1. ให na = !n
2n
เพราะฉะนั้น 1na + = )!1n(
2 1n
+
+
จะเห็นวา
∞→n
lim |
n
1n
a
a + | =
∞→n
lim | )!1n(
2 1n
+
+
n
2
!n |
=
∞→n
lim
1n
2
+
= 0
< 1
ดังนั้น ∑
∞
=1n
!n
2n
เปนอนุกรมลูเขา
2. ให na = n
3n
2
n)1(−
เพราะฉะนั้น 1na + = 1n
31n
2
)1n()1(
+
+
+−
จะเห็นวา
∞→n
lim |
n
1n
a
a + | =
∞→n
lim | 1n
31n
2
)1n()1(
+
+
+−
3n
n
n)1(
2
−
|
46. แคลคูลัส 246
=
∞→n
lim | 3
3
n2
)1n( +−
|
=
∞→n
lim
3
3
n2
)1n( +
=
∞→n
lim
2
)
n
11( 3
+
= 2
1
< 1
ดังนั้น ∑
∞
=1n
n
3n
2
n)1(−
เปนอนุกรมลูเขา
3. ให na = nn
n
3
e
เพราะฉะนั้น 1na + = )1n(n
1n
3
e
+
+
จะเห็นวา
∞→n
lim |
n
1n
a
a + | =
∞→n
lim | )1n(n
1n
3
e
+
+
n
nn
e
3 |
=
∞→n
lim | nn)1n(n
3
e
−+
|
=
∞→n
lim
)
n
11(n
3
e
+
= e
> 1
ดังนั้น ∑
∞
=1n
nn
n
3
e เปนอนุกรมลูออก
47. บทที่ 1 ลําดับและอนุกรมของจํานวน 47
ทฤษฎีบท 1.4.14 (การทดสอบโดยใชการถอดกรณฑ)
ให ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมของจํานวนจริง และ
∞→n
lim n
n| a | = ∞
หรือ
∞→n
lim n
n| a | = L เมื่อ L ∈ R จะไดวา
1. ถา L < 1 แลวจะไดวา ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณ
2. ถา L > 1 หรือ
∞→n
lim n
n| a | = ∞ แลวจะไดวา ∑
∞
=1n
na เปนอนุกรมลูออก
3. ถา L = 1 แลวจะสรุปผลไมได
ตัวอยาง 1.4.12 จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. ∑
∞
=1n
( 3
2 )
2n
2. ∑
∞
=1n
(
)12(n
n
n
+
)
n
3. ∑
∞
=1n
(
n 1 n
n
e 2
3e 5
+
+
+
)
n
วิธีทํา 1. ให na = ( 3
2 )
2n
จะเห็นวา
∞→n
lim n
n| a | =
∞→n
lim
n 2
n
)
3
2(
=
∞→n
lim ( 3
2 )n
= 0
< 1
ดังนั้น ∑
∞
=1n
( 3
2 )
2n
เปนอนุกรมลูเขา
2. ให na = (
)12(n
n
n
+
)
n
จะเห็นวา
∞→n
lim n
n| a | =
∞→n
lim n n
n
)
)12(n
n(
+
=
∞→n
lim
)12(n
n
n
+
ให f(x) =
)12(n
x
x
+
เมื่อ x ≥ 1
48. แคลคูลัส 248
จะไดวา
∞→x
lim f(x) =
∞→x
lim
)12(n
x
x
+
(I.F. ∞
∞ )
=
∞→x
lim
)2n2(
12
1
1
x
x
+
=
∞→x
lim
2n2
12
x
x
+
=
∞→x
lim
2n
2
11
x
+
= 2n
1
แสดงวา
∞→n
lim n
n| a | = 2n
1
เพราะวา 1 = ne > n2 > 0 เพราะฉะนั้น 2n
1 > 1
เพราะฉะนั้น
∞→n
lim n
n| a | > 1
ดังนั้น ∑
∞
=1n
(
)12(n
n
n
+
)
n
เปนอนุกรมลูออก
3. ให na = (
n 1 n
n
e 2
3e 5
+
+
+
)
n
จะเห็นวา
∞→n
lim n
n| a | =
∞→n
lim
n 1 n nn
n
e 2( )
3e 5
+
+
+
=
∞→n
lim
n 1 n
n
e 2
3e 5
+
+
+
=
∞→n
lim
n
n
2e ( )
e
53
e
+
+
= e 0
3 0
+
+
= e
3
< 1
ดังนั้น ∑
∞
=1n
(
n 1 n
n
e 2
3e 5
+
+
+
)
n
เปนอนุกรมลูเขา
49. บทที่ 1 ลําดับและอนุกรมของจํานวน 49
แบบฝกหัด 1.4.5
จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. ∑
∞
=1n
n
e
)1n(n +
2. ∑
∞
=1n
(1 – n
1 )
2
n
3. ∑
∞
=1n
!n
)1( n
−
4. ∑
∞
=1n 1nn
2
4
n
++
5. ∑
∞
=1n
n
n
ncos 6. ∑
∞
=1n
n
5n
1
7. ∑
∞
=1n
2
)!n(
)!n2(
8. ∑
∞
=1n
( )1n(n
n
+
)
n
9. ∑
∞
=1n
n
3
)1n(nn +
10. ∑
∞
=1n
)1n(n
n
2
+
11. ∑
∞
=1n
( 1n
n
+
)
3
n
12. ∑
∞
=1n
n
n
!n
50. แคลคูลัส 250
แบบฝกหัดระคน
จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. ∑
∞
=1n
2
2
)1n2(
1n
−
+ 2. ∑
∞
=1n
(
1n
n
2
+
+ n
n−
)
3. ∑
∞
=1n
3
4
n
nsec 4. ∑
∞
=1n
3
n n
3−
5. ∑
∞
=1n
( 1n
n
+
)
n
6. ∑
∞
=1n 1n
1n
7
2
+
+
7. ∑
∞
=1n
( 1nn2
++ – n) 8. ∑
∞
=1n
1n3
)1( n
−
−
9. ∑
∞
=1n !n3
n
n
n
10. ∑
∞
=1n
)3n(n)3n(
1
++
11. ∑
∞
=1n
2n
n 4−
⋅ 12. ∑
∞
=1n n5
2
n
n
−
13. ∑
∞
=1n
( n
1 – 1n2
2
+
) 14. ∑
∞
=1n
(n + 3)
nn(e n)− +
15. ∑
∞
=1n
)3n(nn
1
+
16. ∑
∞
=1n
(π – 2arctann)
17. ∑
∞
=1n
)1n(n
n
+
18. ∑
∞
=1n
n
2n
n2
−
19. ∑
∞
=1n
4
n n
n n
20. ∑
∞
=1n )13(n
1
n
+
21. ∑
∞
=1n
(3 + cosn)
n−
22. ∑
∞
=1n
)!n3(
)!n( 3
23. ∑
∞
=1n
n( 3n
20n
+
+ ) 24. ∑
∞
=1n
( 1n4
+ – 2
n )
51. บทที่ 1 ลําดับและอนุกรมของจํานวน 51
25. ∑
∞
=1n 1n
)1(
2
n
+
−
26. ∑
∞
=1n
!n
)1n(n +
27. ∑
∞
=1n
2
n)n2(n
1
+
28. ∑
∞
=1n
nn
9−
29. ∑
∞
=1n n3
nn
n
−
30. ∑
∞
=1n 12n
2
n
n
+
31. ∑
∞
=1n
( n
1 +
14
3
n
n
−
) 32. ∑
∞
=1n
n( 5
4 )n
33. ∑
∞
=1n
(n n 1+ + 1)
n2−
34. ∑
∞
=1n
nn1
)1( n
+
−
35. ∑
∞
=1n
( n
3
!n + n
2
4
ncos ) 36. ∑
∞
=1n
103
9
)2n(n
)1n(
+
+
37. ∑
∞
=1n
sin( n
1 ) 38. ∑
∞
=1n
)3n2(...)9)(7)(5(
!n
+
39. ∑
∞
=1n n
1...
3
1
2
11
1
++++
40. ∑
∞
=1n
(
n
1 –
1n
1
+
)
41. ∑
∞
=1n
nnn
1
+
42. ∑
∞
=1n
n
3
nsin
43. ∑
∞
=1n
nsin( 3
n
1 ) 44. ∑
∞
=1n
)1
n
e(n
3
+−
45. ∑
∞
=1n
cos(n!)
n!
46. ∑
∞
=1n
2
6
1 n 3n
n 2
+ −
+
47. ∑
∞
=1n
n
( 1) n(n 2)
n
− +
48. ∑
∞
=1n
(
2
sin n
n
+ 1
n
)
49. ∑
∞
=1n
[( 2
n 1+ - n)cosn]n
50. ∑
∞
=1n
n
sin n
52. แคลคูลัส 252
1.5 อนุกรมของจํานวนเชิงซอน
เราจะใหความหมายของอนุกรมของจํานวนเชิงซอน ในทํานองเดียวกันกับความหมาย
ของอนุกรมของจํานวนจริง ในบางครั้งเราอาจจะศึกษาอนุกรมของจํานวนเชิงซอนได โดย
อาศัยความรูจากอนุกรมของจํานวนจริง
ทฤษฎีบท 1.5.1 ให nz = nx + i ny โดยที่ nz ∈ C และ nx , ny ∈ R จะไดวา
∑
∞
=1n
nz เปนอนุกรมลูเขา ก็ตอเมื่อ ∑
∞
=1n
nx และ ∑
∞
=1n
ny เปนอนุกรมลูเขา
และในกรณีที่ ∑
∞
=1n
nz เปนอนุกรมลูเขา จะไดวา ∑
∞
=1n
nz = ∑
∞
=1n
nx + i ∑
∞
=1n
ny
ตัวอยาง 1.5.1 จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. ∑
∞
=1n
( 2
n
1 + i( 3
2 )
n
) 2. ∑
∞
=1n
in
i
+
วิธีทํา 1. เนื่องจาก ∑
∞
=1n
2
n
1 เปนอนุกรมลูเขา (อนุกรมพี ซึ่ง p = 2)
และ ∑
∞
=1n
( 3
2 )
n
เปนอนุกรมลูเขา (อนุกรมเรขาคณิต ซึ่ง r = 3
2 )
ดังนั้น ∑
∞
=1n
( 2
n
1 + i( 3
2 )
n
) เปนอนุกรมลูเขา
2. เนื่องจาก in
i
+
= ( in
i
+
)( in
in
−
− )
=
1n
in1
2
+
+
=
1n
1
2
+
+ i
1n
n
2
+
ดังนั้น ∑
∞
=1n
1n
i
+
= ∑
∞
=1n
(
1n
1
2
+
+ i
1n
n
2
+
)
พิจารณาอนุกรม ∑
∞
=1n 1n
n
2
+
ให na =
1n
n
2
+
และ nb = n
1
จะเห็นวา ∑
∞
=1n
nb = ∑
∞
=1n
n
1 เปนอนุกรมลูออก (อนุกรมพี ซึ่ง p = 1)