FUERZA MAGNETICA Y CAMPO MAGNETICO

Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C.

CAPITULO VIII
Campo magnético y fuerza
magnética

344


8.1 Polos magnéticos y líneas de campo

La ciencia del magnetismo nació de la observación de que ciertas piedras (Magnetita Fe3O4) atraían pedazos de
hierro. A estas piedras se les denominaron imanes naturales (véase la figura 8.1a). Uno de los imanes naturales más
importante es la tierra (véase la figura 8.1b), cuya acción orientadora sobre la brújula ha permitido diferenciar el
polo norte verdadero del norte geográfico y determinar los denominados polos magnéticos de un imán.

(a) (b)

Figura 8.1. (a) Imán natural en forma de barra, (b) Imán terrestre con sus polos norte y sur

A partir de una experimentación cualitativa se puede establecer que:

 Una barra imanada presenta dos polos. Estas son regiones cercanas a los extremos del imán donde
aparentemente se concentra la actividad magnética.
 Entre dos polos magnéticos existe siempre o una atracción o una repulsión
 Sólo existen dos clases de polos magnéticos denominados polo norte(N) y polo sur(S).
 En ausencia de otros imanes en su vecindad, una brújula se orienta por sí misma en la dirección norte - sur. El
polo que apunta hacia el norte geográfico se le denomina polo norte y el que apunta hacia el sur geográfico se le
denomina polo sur del imán.
 La fuerza de interacción entre dos polos magnéticos presenta la dependencia del inverso al cuadrado de la
distancia que los separa.
 Dos polos de diferente nominación experimentan una interacción atractiva como se muestra en las figuras 8.2a
y 8.2b y dos polos de la misma nominación experimentan una interacción repulsiva como se muestra en la
figura 8.2c y 8.2d.

Figura 8.2. (a) y (b) Interacción atractiva entre dos polos de diferente nominación; (c) y (d) interacción repulsiva entre
polos de igual nominación

Debe señalarse que cuando una brújula se coloca en una región cerca de un alambre que no transporta corriente
eléctrica, la brújula no experimenta una orientación respecto al alambre (figura 8.3a). Sin embargo, si por alambre
circula una corriente hacia arriba (figura 8.3b) o hacia abajo (figura 8.3c), la brújula experimenta una orientación.
Esta situación indica que el origen del campo magnético son las corrientes eléctricas.

345


(a) (b) (c)

Figura 8.3. (a) la brújula en la cercanía a un conductor por el que no fluye corriente no experimenta orientación, (b) la
brújula en la cercanía de un conductor que transporta corriente hacia arriba experimenta una orientación,
(c) si la corriente fluye hacia abajo la brújula se orienta en dirección opuesta

En la práctica resulta imposible aislar a un sólo polo magnético, es decir si se divide a un imán en dos partes iguales
como se muestra en la figura 8.4, lejos de obtener un sólo polo se obtiene dos imanes con sus propios polos
magnéticos norte y sur y si nuevamente dividimos a estos imanes en dos partes se obtiene cuatro imanes. Por lo
tanto, se dice que el campo magnético es de origen dipolar.

Figura 8.4. El campo magnético es de origen dipolar es decir si se divide a un imán en n partes se obtiene n imanes.

Para trazar un campo magnético se utilizan las brújulas, siendo la dirección del campo magnético la que apunta la
aguja de este instrumento cuando se coloca cerca de un imán (véase la figura 8.5a. El vector campo magnético (B)
conocido también con el nombre de Inducción Magnética, se le puede representar por líneas de campo como se
muestra en la figura 8.5b.

(a) (b)

Figura 8.5. Trazado de las líneas de campo magnético para un imán en forma de barra usando una brújula, (b) el
campo magnético siempre es tangente a una línea de campo magnético

El ampo magnético se encuentra relacionado con las líneas de fuerza de la siguiente manera:

a) El campo magnético siempre es tangente a una línea de campo magnético.

346


b) Las líneas de campo magnético se dibujan de tal manera que el número de líneas por unidad de área de sección
transversal sea proporcional a la magnitud del campo magnético.
c) Las líneas de campo magnético son cerradas y terminan en el interior del imán.
d) Las líneas de inducción se dibujan saliendo del polo norte y entrando en el polo sur.

En la Figura 8.6a, 8.6b y 8.6c, se muestran la forma como se dibujan las líneas de campo magnético.

Figura 8.6. (a) Líneas de fuerza para un imán en forma de barra, (b) líneas de campo magnético para una bobina que
transporta una corriente I, y (c) un imán en forma de herradura produce un campo magnético uniforme

Experimentalmente se demuestra que cuando una partícula cargada q, se mueve con una velocidad ⃗ , en el espacio
𝑣
8.2. Fuerza magnética y campo magnético.

en donde existe un campo magnético 𝐵 �⃗, experimenta una fuerza de origen magnético ⃗ 𝑚 como se muestra en la
𝐹

a) La fuerza magnética sobre una partícula cargada es siempre perpendicular tanto al vector campo magnético �⃗,
figura 8.7a. La fuerza magnética tiene las siguientes características.

𝐵
así como al vector velocidad ⃗ , de la partícula.
𝑣
b) La magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional a la magnitud de �⃗, a la magnitud de la
𝐵
velocidad de la partícula ⃗ y a la carga q que lleva la partícula.
𝑣

⃗ de la carga y al vector campo magnético �⃗.
𝑣 𝐵
c) La magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional al seno del ángulo entre el vector velocidad

d) La fuerza magnética depende del signo de la carga puntual móvil.

Todas estas características se resumen en la ecuación matemática
  
FB = λ (qvxB ) (8.1)

Donde λ es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades elegidas. En el sistema
internacional de unidades λ es igual a la unidad. Por lo tanto la ecuación anterior se escribe:
  
FB = qvxB (8.2)

La magnitud de la fuerza magnética se expresa

FB = qvBsenθ (8.3)

La dirección se determina usando la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 8.7c.

experimenta una fuerza magnética y en la figura 8.7b se observa que si q se mueve con una velocidad ⃗ que está
𝑣
�⃗, la fuerza magnética ⃗ 𝐵 siempre es perpendicular al plano
En la figura 8.7a, se observa que si la carga q se mueve dentro de un campo magnético producido por un imán

𝐵 𝐹
formado por ⃗ y �⃗, entonces dicha fuerza siempre será todo el tiempo una fuerza lateral.
𝑣 𝐵
formando un ángulo θ con el camp o magn ético

347


(a) (b) (c)

Figura 8.7. (a) Gráfica que ilustra el trazo de la fuerza magnética, (b) Aplicación de la regla de la mano derecha para
determinar la dirección de la fuerza magnética

Por otro lado la ecuación (3) también indica que:

 La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es cero.
 La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es paralela al campo magnético
(figura 8.8a)
 La fuerza magnética sobre la partícula cargada tiene su valor máximo cuando la velocidad y el campo
magnético son perpendiculares esto es θ = 90º como se muestra en la figura 8.8c. Este valor está dado por:

Fmax = qvB (8.4)

La unidad del campo magnético en el sistema internacional de unidades es

B: 1Tesla = N.s/C.m = N/A.m = 1 Weber/m2

Las unidades del campo magnético en el sistema c.g.s. el denominado Gauss.

1 Tesla = 104 Gauss.

Si la partícula se mueve en una región en donde existe un campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza
resultante sobre la partícula cargada se expresa en la forma
   
FR qE + qvxB
= (8.5)

A la ecuación anterior se le denomina como Fuerza de Lorentz.

(a) (b) (c)

Figura 8.8 (a) la fuerza magnética es nula cuando la carga se mueve paralelamente al campo magnético, (b) la fuerza
magnética es perpendicular al plano de la velocidad y el campo magnético y (c) la fuerza magnética es
máxima cuando la velocidad y el campo magnético son perpendiculares.

Debe observarse además que la fuerza magnética al ser perpendicular a la velocidad de la partícula cargada y al
campo magnético, no produce cambio alguno en la velocidad y como tal la energía cinética se mantiene constantes.

348


En otras palabras, la fuerza magnética no puede mover hacia arriba o hacia abajo a la carga. Consecuentemente, la
fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula.
       
= Fm .ds q (vxB).(vdt ) q (vxv ).Bdt 0
dW = = = (8.6)

Sin embargo, la dirección de la velocidad de la partícula puede ser alterada por la fuerza magnética, como veremos
posteriormente

8.3 Flujo magnético

magnético �⃗ perpendicular a la superficie, sobre el área dada.
𝐵
Se define al flujo magnéticoΦ B a través de una superficie dada S como la integral de la componente del campo

dividámoslo a ella en elementos dA. Por lo general el campo magnético �⃗ no es constante ni en magnitud ni en
𝐵
Para determinar el valor de ΦB consideremos una superficie arbitraria S tal como se muestra en la figura 8.9, y

dirección sobre la superficie, sino que el campo magnético �⃗ determina el valor local del campo magnético en el
𝐵
punto P.

La componente de �⃗ normal a dA en ese punto, es simplemente la componente del campo magnético en la
Figura 8.9. Flujo magnético a través de una superficie.

𝐵
dirección del vector unitario normal �⃗ a la superficie, esto es
𝑛

= B cos φ B.n
Bn = (8.7)

El elemento de flujo dΦB a través del área dA será

d Φ B BB dA B.ndA
= = (8.8)

Para calcular el flujo total ΦB que atraviesa toda la superficie S se procede a integrar la ecuación (8),
  
=
ΦB ∫ .dA
B= ∫ B.ndA (8.9)

Si el campo magnético ��⃗ es constante en magnitud y dirección en todos los puntos de la superficie y si ésta es
𝑩
S S


plana, la cantidad B.n también será la misma para todos los elementos dA. Por lo tanto, la ecuación (8) se escribe

= B.n ∫ dA BA cos φ
ΦB = (8.10)
S
Donde A es el área total de la superficie. Si además el campo magnético es perpendicular al superficie0º, la
θ=
expresión anterior se reduce a
ΦB = BA (8.11)
Las unidades del flujo magnético en el sistema internacional de unidades es Weber.

8.4 La ley de Gauss para el magnetismo.

349


Si se tiene un imán en forma de barra de longitud muy grande, la fuerza magnética entre los polos obedece a la ley
de Coulomb, en el sentido de que son inversamente proporcionales al inverso al cuadrado de la distancia entre los
mismos. Como las “cargas magnéticas” se pueden considerar como la fuente de los campos magnéticos los
mismos que decrecen con la inversa del cuadrado de la distancia, se puede demostrar temporalmente la ley de Gauss
para el magnetismo, imaginando que B se origina en una “carga magnética” aislada. En forma análoga a lo que se
hizo con la ley de Gauss para el campo eléctrico


∫ B.ndA = 4πKq
S
m (8.12)

La integral se evalúa sobre toda la superficie y la carga magnética qm es la carga magnética total encerrada dentro de
la superficie gaussiana. La constante K relaciona a B con la supuesta “carga magnética” qm y la distancia, es decir

  q 
B = K  m e r
 2  (8.13)
r 

Puesto que la única causa que origina a los campos magnéticos es las corrientes eléctrica y además los campos
magnéticos son de origen dipolar, la “carga magnética” realmente no existe, es decir equivale a un valor cero para
qm. Entonces la ley de Gauss para el magnetismo se escribe


∫ B.ndA = 0
S
(8.14)

Geométricamente se puede entender observando que las líneas de campo magnético comienzan en el polo norte (N)
y terminan en el polo sur (S) es decir forman líneas cerradas, entonces la ecuación (8.14) se satisface en la medida
de que todas las líneas de campo que entran en la superficie S también salen de la superficie, es decir ninguna línea
puede comenzar o terminar dentro de la superficie.

8.5. Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica.

lateral, si sobre ella actúa un campo magnético �⃗ como se muestra en la Figura 8.10. Dicha fuerza es proporcional a
𝐵
Debido a que la corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento, ellas estarán sometidas a una fuerza

la intensidad de corriente I, a la inducción magnética B y es perpendicular a ambas cantidades. La dirección de la
fuerza magnética se determina mediante la regla de la mano derecha aplicada como se muestra en la figura 8.10b.
En la figura 8.10c, se muestra un experimento que muestra el efecto del campo magnético sobre un corriente

(a) (b) (c)

Figura 8.10. (a). Cuando un alambre que transporta una corriente I se encuentra en un campo magnético, experimenta
una fuerza magnética, (b) regla de la mano derecha para determinar la dirección de la fuerza magnética y
(c) experimento en el laboratorio que muestra la fuerza magnética sobre corrientes

Consideremos un alambre recto suspendido en la región entre dos polos magnéticos de un imán como se muestra en
la figura 8.11a. El campo magnético se encuentra ingresando al plano de la página y se representa mediante aspas

350


(x). Podemos demostrar rápidamente que cuando no pasa corriente a través del alambre (figura 8.11b) el alambre se
mantiene recto. Sin embargo, si a través del alambre fluye una corriente de abajo hacia arriba (figura 8.11c) el
alambre sufre una deflexión hacia la izquierda, mientras que si por el alambre fluye una corriente de arriba hacia
abajo el alambre experimenta una deflexión hacia la derechas como se muestra en la figura 8.11d.

(a) (b) (c) (d)

Para determinar una expresión matemática que relacione el campo magnético �⃗, la intensidad de corriente I y la
Figura 8.11.

𝐵
Deflexión experimentada por un alambre que transporta corriente

fuerza magnética 𝐹 ⃗ 𝐵 , consideremos un conductor recto de sección transversal A y longitud l que transporta una
corriente eléctrica constante I, tal como se muestra en la Figura 8.12a. El campo magnético se encuentra entrando a
la página.

(a) (b)

Figura 8.12. (a) Fuerza magnética sobre un conductor recto; (b) fuerza magnética sobre un elemento diferencial de

La carga se mueve con una velocidad de deriva promedio ⃗ 𝑑 . Debido a que la cantidad de carga total en este
𝑣
corriente

segmento es 𝑄 𝑡 = 𝑞(𝑛𝐴𝑙), donde n es el número de cargas por unidad de volumen, la fuerza magnética total sobre
el segmento es
      
= Qtot vd xB q (nAl )(vd xB ) nqAvd lxB
Fm = =
  
Fm = I (lxB ) (8.15)

Donde: 𝐼 = 𝑛𝑞𝐴𝑣 𝑑 y ⃗ es un vector dirigido a lo largo de la dirección de la corriente eléctrica
𝑙

⃗
diferenciales de longitud 𝑑𝑙, sección transversal A que transporta una corriente tal como se muestra en la figura
Para determinar la fuerza magnética sobre un alambre de forma arbitraria, se divide al conductor en elementos

351


8.12b, y se evalúa la fuerza sobre dicho elemento La carga dentro del conductor se mueve con una velocidad v y en
el tiempo dt atraviesa un volumen dV dado por

dV = Adl

⃗
(8.16)

El desplazamiento de la carga es 𝑑𝑙 , el cual apunta en la dirección de la corriente en tal punto, con esto la velocidad
se expresa

 dl
v= (8.17)

⃗
dt

El elemento de fuerza 𝑑𝐹, sobre la carga dq será
  
dF = dq (v xB ) (8.18)

Remplazando la ecuación (8.17), en la ecuación (8.18), se tiene

  dl  
dF = dq
 dt xB 
 (8.19)
 

Siendo ρ la densidad de carga por unidad de volumen, la carga dq se escribe en la forma

dq = ρdV = ρAdl (8.20)

Por lo tanto, la fuerza magnética sobre el elemento será

 dl   dl  
 dt xB  = ρA dt (dl xB )

dF = ρAdl   (8.21)
 

Pero (dl/dt) es la magnitud de la velocidad, entonces la ecuación anterior se escribe
 
dF = ρAv(dl xB )

(8.22)

Teniendo en cuenta que la intensidad de corriente se define como

I = JA = ρvA (8.23)

La ecuación (8.20) se escribe
 
dF = I (dl xB )

(8.24)

⃗
La ecuación (8.24), nos permite determinar el elemento de fuerza 𝑑𝐹, que actúa sobre la carga dq dentro de un
segmento de conductor de longitud 𝑑𝑙 ⃗. La fuerza resultante sobre un segmento de conductor de longitud finita, se
obtiene integrando la ecuación (24) sobre todos los elementos del conductor

  
∫ I (dl xB ) = I ∫ (dl xB )

F= (8.25)

En donde se ha sacado la intensidad de corriente I, fuera de la integral ya que se trata de una corriente eléctrica
continua. Para un circuito cerrado la integral se calcula alrededor de la trayectoria formada por el conductor, esto es
  
∫
F = I (dlxB ) (8.26)

a) El campo magnético �⃗ es de magnitud y dirección constante y el alambre es finito, entonces la expresión (8.26),
𝐵
C
Existen en la práctica dos casos que merecen nuestra especial atención:

se escribe (véase figura 8.13a)

352


   
B
 
F =  I dl  xB = I (l AB xB )
∫ (8.27)
 A 
 

b) El campo magnético es de magnitud y dirección constante y la trayectoria es un circuito cerrado, entonces se
tiene (véase figura 8.13b)


[∫ ]
 
F = I dl xB = 0 (8.28)

⃗
En esta ecuación, la integral se anula ya que la suma vectorial de todos los elementos de longitud 𝑑𝑙 , es igual a cero
porque ellos forman un polígono cerrado.

(a) (b)

Figura 8.13. (a) Fuerza magnética sobre un alambre curvo que lleva una intensidad de corriente I y se encuentra dentro
de un campo magnético uniforme, (b) Fuerza magnética sobre un conductor cerrado que lleva una
corriente I y se encuentra en un campo magnético uniforme

Una de las aplicaciones de las fuerza sobre corrientes se da en los altavoces (véase la figura 8.14). El campo
magnético radial creado por el imán permanente ejerce una fuerza sobre la bobina de voz la cual es proporcional a
la intensidad de corriente en la bobina, la dirección de la fuerza puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda
según el sentido de la corriente. La señal proveniente del amplificador hace oscilar la corriente en términos de
sentido y magnitud. La bobina y el altavoz al que está acoplada responden oscilando con una amplitud proporcional
a la amplitud de la corriente en la bobina.

Figura 8.14. Componentes de un altavoz. El campo magnético radial ejerce una fuerza sobre la corriente de la bobina de
voz en la dirección mostrada. Cuando la corriente oscila en la bobina de voz, el cono acoplado a la bobina
oscila a la misma frecuencia.

8.6. Momento o Torque sobre una espira que lleva una corriente eléctrica.

353


uniforme �⃗, se ejercen fuerzas sobre cada trozo de alambre. Si el conductor tiene la forma de una espira cerrada, no
𝐵
Cuando un alambre por el que circula una corriente eléctrica I se sitúa en el interior de un campo magnético

existe ninguna fuerza neta sobre ella debido a que las distintas fuerzas ejercidas sobre la espira se suman

superficie resulte perpendicular a la inducción magnética �⃗ como se muestra en la figura 8.15b.
vectorialmente dando una resultante nula. Sin embargo, en general las fuerzas magnéticas producen un par o

𝐵
momento sobre la espira que tiende a hacer girar a la espira como se muestra en la figura 8.15a, de modo que su

Para mostrar esta situación consideremos una espira rectangular de lados a y b por la que circula una corriente
constante I como se muestra en la Figura 8.15c. La espira se encuentra en una región en donde existe un campo
magnético uniforme paralelo al plano de la espira.

(a) (b) (c)

Figura 8.15. (a) Espira de corriente en el interior de un campo magnético, (b) espira con el área perpendicular al campo
magnético y (c) Fuerza y Momento (torque) magnético sobre una espira de corriente

Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira serán:

Fuerza sobre AB
   
= I (l AB j ) xBj ⇒ F1 0
F1 = (8.29)

Fuerza sobre el alambre BC
    
F2 =lBC k ) xBj ⇒ F2 =
I( − IaBi (8.30)

Fuerza sobre el conductor CD
   
F3 =I (−lCD j ) xBj ⇒ F3 =0 (8.31)

Fuerza sobre el conductor DA
    
F4 =−lDA k ) xBj ⇒ F4 =
I( + IaBi (8.32)

Analizando las ecuaciones (8.29), (8.30), (8.31) y (8.32), se observa que las fuerzas sobre los lados AB y CD son
nulas y que las fuerzas sobre los lados BC y CD son iguales en magnitud pero sentido opuesto formando estas dos
fuerzas una cupla o par de fuerzas. La fuerza neta sobre la espira sigue siendo nula pero el momento respecto a
cualquier punto es diferente de cero.

El momento de la fuerza F2 respecto del punto O, es

    b   
M 2 = r2 xF2 =  j  x(− IaBi ) = 1 IB(ab )k
2
(8.33)
2 

354


El momento de la fuerza F4 respecto del punto O, es
    b   
M 4 = r4 xF4 =  − j  x(IaBi ) = 1 IB(ab )k
2
(8.34)
 2 

El momento total con respecto al punto O debido a todas las fuerzas será
    
MT = M1 + M 2 + M 3 + M 4
  
M T = 0 + 1 IB(ab)k + 0 + 1 IB(ab)k
2 2
(8.35)
 
M T = IB(ab)k

Pero el producto (ab) es igual al área de la espira A, entonces el momento se expresa
 
M T = IBAk (8.36)

El momento resulta igual al producto de la corriente eléctrica I, por el área A de la espira por el campo magnético B.
Este momento tiende a hacer girar a la espira alrededor del eje Z.

normal �⃗ al plano de la espira forme un ángulo el campo magn
𝑛 �⃗, y los lados de la espira son
𝐵
Considere ahora un circuito rectangular que transporta una corriente I colocado de tal forma que el vector unitario
θ con ético
perpendiculares al campo magnético, como se muestra en la figura 8.16.

(a) (b)

Figura 8.16. (a) Fuerzas sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme. La fuerza resultante es cero
pero la magnitud del momento (torque) es diferente de cero, (b) el momento de torsión es máximo cuando la
normal a la espira es perpendicular al campo magnético

Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira son:

Fuerza sobre el conductor AB
   
F1 = I (−l AB i ) x(− Bsenθi + B cos θj )
  (8.37)
F1 = −bIB cos θk

Fuerza sobre el conductor CD
   
F3 = I (l CD i ) x(− Bsenθi + B cos θj )
  (8.38)
F3 = +bIB cos θk
Fuerza sobre el conductor BC

355


   
F2 = I (l BC k ) x(− Bsenθi + B cos θj )
   (8.39)
F2 = −aIB(cos θi + senθj )

Fuerza sobre el conductor DA
   
F4 = I (−l DA k ) x(− Bsenθi + B cos θj )
   (8.40)
F4 = + aIB(cos θi + senθj )

Las ecuaciones (35), (36), (37) y (38), muestran una vez más que la fuerza neta sobre la espira es cero, veamos
ahora que sucede con los momentos respecto al punto O.

Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O
 
M 1 = r1 xF1 = (− 1 ak )x(− bIB cos θk )
  
2

M1 = 0
(8.41)

 
M 3 = r3 xF3 = ( 1 ak )x(− bIB cos θk )
  
2
 (8.42)
M3 = 0

     
M 2 == ) x  − aIB ( cos θ i + senθ j ) 
r2 xF2 ( − 1 bi 
2 
  (8.43)
M 2 = 2 ( ab ) IBsenθ k
1

     
= r4 xF4
M4 = ( bi ) x  aIB ( cos θ i + senθ j ) 
1
2  
 
M 4 = 2 ( ab ) IBsenθ k
1
(8.44)

El momento total respecto al punto O será:
    
M T = M1 + M 2 + M 3 + M 4
  
M T = 0 + 1 IB(ab) senθ k + 0 + 1 IB(ab) senθ k
2 2
 
M T = IBAsenθ k (8.45)

La magnitud del momento será
M T = IBAsenθ (8.46)

Si en lugar de una sola espira se tiene N espiras del mismo tamaño. El momento sobre toda la espira será

M = (NIA)Bsenθ (8.47)

Se define al momento dipolar magnético ⃗ como una cantidad vectorial perpendicular al plano del circuito y está
𝜇
expresado mediante la ecuación
 
µ = NIAn (8.48)
Entonces la ecuación (41) se escribe

356


M = µ Bsenθ (8.49)

Ecuación que en forma vectorial se escribe
  
M = µ xB (8.50)

Esta ecuación es similar a aquella obtenida para el momento producido por un campo eléctrico �⃗ , externo sobre un
𝐸
dipolo eléctrico M = µ E xE . Es necesario señalar que el sentido del momento dipolar magnético ⃗ es el de avance
𝜇
  

del tornillo de rosca derecha que gira en el mismo sentido que el de la corriente eléctrica. Es decir el sentido
también se puede determinar mediante el uso de la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 8.17.
Las unidades del momento dipolar magnético son el amperio por metro2 (A.m2)

Figura 8.17. Regla de la mano derecha para determinar el momento dipolar magnético de una espira circular que
transporta una corriente en sentido antihorario.

Debido a que, cuando una espira que transporta corriente se encuentra dentro de un campo magnético externo, obra
un momento de torsión, deducimos que debe hacerse trabajo positivo o negativo mediante un agente externo para
cambiar la orientación de la espira. Es decir, una espira de corriente o cualquier dipolo magnético tienen una energía
potencial asociada con su orientación en el campo magnético. El trabajo hecho por el agente externo para rotar el
dipolo magnético desde un ángulo θ 0 a un ángulo θ está dado por

θ θ
Wext =U − U 0 =∫ Mdθ =∫ µ Bsenθ dθ =µ B (cos θ 0 − cos θ ) (8.51)
θ0 θ0

Puesto que Wext = - W, donde W es el trabajo hecho por el campo magnético. Se puede determinar la energía para
una rotación cualquiera giro asumiendo que U0 = 0 cuando el momento dipolar magnético y el campo magnético
son perpendiculares. Entonces la energía potencial en cualquier posición será

 
U =θ =
− µ B cos − µ .B (8.52)

La configuración es de equilibrio estable cuando ⃗ 𝑚 se encuentra alineado paralelamente con �⃗, siendo U un
𝑝 𝐵
mínimo con 𝑈 𝑚𝑖𝑛 = −𝜇𝐵. Por otro lado, cuando ⃗ y �⃗ son anti-paralelos la energía potencial es un máximo
𝜇 𝐵
𝑈 𝑚𝑎𝑥 = +𝜇𝐵, en estas condiciones el sistema es inestable.

8.7. Fuerza magnética sobre un dipolo magnético.

En la sección anterior se ha demostrado que, la fuerza que experimenta una espira de corriente (dipolo magnético)
localizada en un campo magnético uniforme es nula. ¿Qué sucedería si el dipolo magnético se encuentra en un
campo magnético no uniforme?. En este caso debemos esperar que la fuerza magnética neta sobre el dipolo sea

Para ilustrar esta situación consideremos un pequeño dipolo cuyo momento dipolar ⃗ 𝑚 = ⃗ es localizado a lo largo
𝑝 𝜇
diferente de cero.

del eje de un imán en forma de barra, como se muestra en la figura 8.18,

357


uniforme. Así, puede aplicarse una fuerza externa para mover el dipolo hacia la derecha. La fuera 𝐹𝑒𝑥 ejercida por
un agente externo para mover al dipolo una distancia ∆𝑥 hacia la derecha está dada por
El dipolo experimenta una fuerza atractiva ejercida por el imán cuando el campo magnético en el espacio no es

Fex (∆x) = ∆U = − µ B( x + ∆x) + µ B( x) = − µ[ B( x + ∆x) − B( x)] (8.53)

Para desplazamientos ∆𝑥 pequeños, la fuerza puede expresarse en la forma
Figura 8.18. Un dipolo magnético en la cercanía de un imán en forma de barra

[ B ( x + ∆x) − B ( x)] d B
−µ
Fex = = −µ (8.54)
∆x dx

< 0, es decir el campo magnético disminuye con un aumento de la
𝑑𝐵
𝑑𝑥
La cual es una cantidad positiva ya que
distancia x. esta es precisamente la fuerza necesaria para mover el dipolo en contra de la atracción magnética
ejercida por la barra.- En forma general la fuerza magnética se expresa en la forma

dB d  
= µ
Fm = ( µ .B ) (8.55)
dx dx
Utilizando la definición de gradiente la expresión anterior se escribe

 
Fm = ∇( µ .B) (8.56)

8.8. Movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético.

Una característica importante de la fuerza magnética que actúa sobre una carga en movimiento en el interior de un
campo magnético es que dicha fuerza es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. Por consiguiente la
fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula y la energía cinética de ésta no sufre alteración por acción de
dicha fuerza, lo único que hace la fuerza magnética es modificar la dirección de la velocidad y no su magnitud,

En el caso en el cual la velocidad de la carga sea perpendicular al campo magnético considerado uniforme, como se

Para encontrar una relación entre el campo magnético �⃗, la velocidad ⃗ , el radio del círculo r, se aplica la segunda
muestra en la figura 8.19, la fuerza magnética nos da la fuerza centrípeta responsable del movimiento circular.

𝐵 𝑣
ley de Newton en dirección normal, esto es:
∑ Fn = ma n
mv 2
Fm = qvB =
r
De donde se obtiene el radio de la órbita descrita por la partícula cargada

mv
r= (8.57)
qB

358


De otro lado la velocidad angular con que gira la partícula cargada está dada por

v v q
ω= = ⇒ω = B (8.58)
r (mv / qB ) m

Esta ecuación nos indica que la velocidad angular con que gira la partícula es independiente de la velocidad v y sólo
depende de la carga q, de la masa m y del campo magnético B. La expresión vectorial de la velocidad angular está
dad por

 q
ω = −  B (8.59)
m
El signo menos indica que la velocidad angular tiene un sentido opuesto a la dirección del campo de inducción
magnético.

(a) (b) (c)

Figura 8.19. (a) Movimiento de una partícula cargada dentro de un campo magnético uniforme. (b) Haz de electrones
moviéndose en una trayectoria circular dentro de un campo magnético

Por otro lado, si la dirección de la velocidad inicial no es perpendicular al campo magnético, la componente de la

donde ⃗ es ahora la componente perpendicular al campo �⃗.
velocidad paralela al campo es constante pero no existe ninguna fuerza paralela al campo. En estas condiciones la

𝑣 𝐵
carga se mueve describiendo una hélice (véase la figura 8.20a), cuyo radio de hélice está dado por la ecuación (56),

Figura 8.20. (a) Movimiento de una carga puntual que inicialmente tiene componente perpendicular y paralela al campo
magnético, (b) Movimiento de una partícula cargada en el interior de la botella magnética
El movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético no uniforme es aún más complejo. La
figura 8.20b, muestra el campo producido por dos bobinas separadas cierta distancia. Si una partícula entra en esta
región experimentará fuerzas hacia el centro en las regiones cercanas a las bobinas y si esta tiene energía cinética
suficiente circulará de un lado a otro en el campo producido por las bobinas. Este campo se denomina botella
magnética.

359


En forma análoga el campo magnético terrestre no uniforme atrapa a las partículas cargadas provenientes del sol en
regiones en forma de rosquillas que circundan a la tierra, como se muestra en la figura 8.21. Estas regiones se
denominan cinturones de radiación Van Allen

(a) (b)

Figura 8.21. (a) Cinturones de radiación Van Allen alrededor de la tierra. (b) auroras boreales originadas por el
movimiento de las partículas cargadas dentro del campo magnético.

8.9 El motor de corriente continua.

Un motor eléctrico es aquel dispositivo que trabaja o se alimenta de corriente contínua. Está formado generalmente
por las siguientes partes.

8.9.1. Partes principales

 Un inductor o estator. Es un electroimán formado por un número par de polos. Las bobinas que las
arrollan son las encargadas de producir el campo inductor al circular por ellas la corriente de excitación.
 Inducido o rotor (arrollamiento de inducido). Es una pieza giratoria formada por un núcleo magnético
alrededor del cual va el devanado de inducido sobre el que actúa el campo magnético.
 Colector de delgas: Es un anillo de láminas de cobre llamadas delgas, dispuesto sobre el eje del rotor
que sirve para conectar las bobinas del inducido con el circuito exterior a través de las escobillas.
 Escobillas. Son unas piezas de grafito que se colocan sobre el colector de delgas, permitiendo la unión
eléctrica de las delgas con los bornes de conexión del inducido.

Al girar el rotor, las escobillas van rozando con las delgas, conectando la bobina del inducido
correspondiente a cada par de delgas con el circuito exterior. El motor y su estructura básica se muestra en
la figura 8.22.

8.9.2. Funcionamiento.

El motor de CC basa su funcionamiento en la fuerza ejercida por el campo magnético de un imán sobre un

paralelo al flujo de corriente eléctrica. El par torsor ��⃗ que se origina es ��⃗ = ⃗ 𝑥𝐵. En la figura 8.23, cada
𝜇 �⃗
elemento en forma de espira la cual transporta una corriente. Se obtendrá el valor máximo de fuerza

𝑀 𝑀
cuando el campo magnético sea perpendicular al conductor y tendrá una fuerza nula cuando el campo sea

uno de los segmentos del conmutador hace contacto con uno de los bornes, o escobillas de un circuito
externo que incluye una fuente de fem. Esto hace que entre la corriente por uno de los lados del rotor y
salga por el otro. El rotor al están en el campo magnético producido por el imán, gira en sentido anti
horario debido al par producido por el campo sobre la corriente (véase figura 8.23a).

360


Figura 8.22. Estructura básica de un motor de corriente contínua.

En la figura 8.23b, se observa al rotor girado 90° respecto a su posición inicial. Si la corriente a través del
rotor fuese constante, el rotor estaría en equilibrio. Pero es en estos instantes en que entra en juego el
conmutador, ahora cada escobilla está en contacto con ambos segmentos del conmutador. Por tanto, aquí
no hay diferencia de potencial entre los conmutadores siendo la corriente en el rotor igual a cero y el
momento magnético es cero. El rotor sigue girando en sentido anti horario debido a su inercia y una vez
más fluye corriente a través del rotor como se muestra en la figura 8.23c. Pero ahora la corriente entra por
el lado de color azul y sale por el rojo, esto es una situación opuesta a la figura 8.23a. En tanto que el
sentido de la corriente se ha invertido con respecto al rotor, el cual ha girado 180°. El motor de la figura
8.23 es de una sola espira. En los motores prácticos existen muchas espiras aumentándose de este modo el
momento magnético y como tal aumenta también el momento torsor.

Debido a que un motor convierte energía eléctrica en mecánica, requiere entonces de una alimentación de
energía eléctrica. Si la diferencia de potencial entre sus bornes de Vab y la corriente es I, entonces la
potencia de alimentación será P =VabI. Aun cuando la resistencia del devanado es aproximadamente nula,
debe existir siempre una diferencia de potencial para que la potencia P sea diferente de cero. Veremos más
adelante la aparición de una fem inducida la que provoca una fuerza contra electromotriz.

Figura 8.23 Diagrama esquemático de un motor simple de CC. El rotor es una espira de alambre que gira en
torno a un eje. Los extremos del rotor están acoplados al conmutador. Los segmentos del
conmutador están aislados unos de otros.

8.10 El efecto Hall.

E. C Hall descubrió que cuando una placa metálica por la que pasa una corriente I se coloca en un campo magnético
perpendicular a ella, aparece una diferencia de potencial entre puntos opuestos en los bordes de la placa. Este efecto
se denomina efecto Hall.

361


Para mostrar dicho fenómeno consideremos una placa metálica que transporta una corriente I, como se muestra en la
figura 8.24. Supongamos además que los portadores de carga eléctrica son los electrones cuya carga es q = - e.
Cuando se aplica un campo magnético B, perpendicular a la placa, en el sentido del eje +y, los electrones se
encuentran sometidos a la fuerza magnética expresada por
  
(
Fm = ( −e ) ve xB )
  
Fm =−e ) ( −ve ixBj )
(
  (8.60)
Fm = e ve Bk

(a) (b)

Figura 8.24. (a) Conductor de ancho t instalado en circuito y sometido a un campo magnético, (b) los electrones
experimentan una fuerza magnética FB de tal manera que son desplazados hacia el lado superior de la placa

La ecuación (8.60) indica que los electrones resultan sometidos a una fuerza en la dirección + z, es decir los

campo eléctrico �⃗ 𝐻 paralelo al eje +z. La fuerza debido a este campo eléctrico será Fe = −eE dirigida hacia abajo,
electrones son desviados al lado superior de la placa, el cual resulta cargado negativamente. Por lo tanto, el lado

𝐸
inferior resulta cargado positivamente al tener una deficiencia de electrones, como resultado de esto aparece un
 

llegando en algún instante a contrarrestar a la fuerza magnética debida al campo magnético, produciéndose el
equilibrio (véase la figura 8.25a). Esto a su vez da lugar a una diferencia de potencial vertical entre los bornes
opuestos del conductor, siendo el lado superior el que está a un potencial menor que el inferior; dicha diferencia de
potencial es proporcional al campo magnético. Para mostrarlo, observe que las dos fuerzas que actúan sobre los
electrones se encuentran en equilibrio, esto es
 
F = Fe + Fm
   
F = −eE + (− e )v xB = 0

De donde se obtiene
  
E H = −ve xB (8.61)

La magnitud del campo eléctrico será

= v= ve B
EH e B sen90º (8.62)

Teniendo en cuenta que la diferencia de potencial está dada por

∆V H = E H d (8.63)

Remplazando la ecuación (50) en la ec. (51), resulta

362


∆VH =
ve Bd (8.64)

A partir de las medidas de la diferencia de potencial para una cinta de tamaño determinado por la que circula una
corriente I en el interior de un campo magnético B se puede determinar el número de portadores de carga por unidad
de volumen. Teniendo en cuenta que la densidad de corriente J está dada por

J = nev d

La velocidad de los portadores es

J
ve = (8.65)
ne
Al sustituir la ecuación (53) en la ecuación (52), da como resultado

 J 
∆V H =   Bd (8.66)
 n.e 
Recordando que (J = I/A), la expresión anterior se escribe

IBd
∆V H = (8.67)
n.e. A
De donde se obtiene que el número de portadores por unidad de volumen está dado por

IBd
n= (8.68)*
eA∆V
Un análisis idéntico pero esta vez usando portadores de carga positivo permite obtener la misma ecuación (56)* con
la única diferencia es que los portadores de carga positivos se acumularían en la parte superior dejando un exceso de
portadores negativos en la parte inferior (véase la figura 8.25b)

(a) (b)

Figura 8.25. (a) Si los portadores son negativos el borde superior se carga negativamente, dicho lado se encuentra a un
potencial menor al del lado inferior, (b) Si los portadores son positivos el borde superior se carga
positivamente, dicho lado se encuentra a un potencial mayor al del lado inferior

8.11. Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en el interior de campos magnéticos.

En esta sección se describe algunas aplicaciones de los principios formulados en el capítulo. Se sugiere al lector
leerlo detenidamente y ampliar sus fundamentos con la lectura del mimo tema proporcionado por otros autores.

8.11.1 Selector de velocidades.

363


Cuando se produce un haz de partículas cargadas en un filamento caliente (cátodo), no todas las
partículas tienen la misma velocidad. Una forma cómo seleccionar un conjunto de partículas que tengan la misma
rapidez es usar el dispositivo mostrado en la figura 8.26a, en donde se observa la presencia de un campo eléctrico
y un campo magnético mutuamente perpendiculares a este se llama selector de velocidades. En la figura se
observa una partícula con carga +q, masa m, que ha sido liberada en la fuente de iones con una velocidad v y

experimenta una fuerza eléctrica ⃗ 𝐸 = 𝑞𝐸 , hacia abajo y una fuerza magnética ⃗ 𝐵 = 𝑞𝑣 𝑥𝐵, hacia arriba. Si se
�⃗ ⃗ �⃗
atraviesa una ranura entrando en el espacio donde el campo eléctrico y magnético son perpendiculares. El campo

𝐹 𝐹
eléctrico está dirigido hacia abajo y el campo magnético ingresando al plano del dibujo. Por tanto, la partícula +q

escogen las magnitudes de los campos de tal manera que las fuerza se equilibren, la fuerza neta sobre +q será nula.
Entoces aplicando la segunda ley de Newton al diagrama de cuerpo libre (figura 8.26b), se tiene

∑F y = qvB =
0⇒ qE
E (8.69)
v=
B
Es decir solamente aquellas partículas que tengan la misma velocidad v pasará a través de la ranura de S2 sin
desviarse.

Figura 21. (a) selector de velocidades de partículas cargadas, (d) DCL de una partícula positiva dentro de los campos
cruzados.

8.11.2 Experimento de Thomson

J. J. Thomson (1856 – 1940) utilizó el aparato mostrado en la figura 22 para medir la relación de carga
a masa del electrón. El aparato consiste de un tubo de vidrio en cuyo interior se ha hecho alto vacío y en el cual se
aceleran electrones provenientes del cátodo caliente y se reúnen en un haza mediante una diferencia de potencial
∆V entre los dos ánodos. La velocidad de los electrones es determinada por el potencial acelerador ∆V. Utilizando
la conservación de la energía se tiene

1 2 2e(∆V )
mv = e[∆V ] ⇒ v = (8.70)
2 m
Los electrones pasan entre las placas e inciden en la pantalla del extremo del tubo, la cual está recubierta de un
material fluorescente que emite luz en el punto de impacto. Los electrones pasan en línea recta entre las placas
cuando se cumple la ecuación (8.69), al remplazar esta ecuación en la ecuación (8.70) se riene

E 2e(∆V ) e E2
= =
⇒ (8.71)
B m m 2 B 2 ∆V
En esta ecuación todas las cantidades del segundo miembro se pueden medir por tanto se puede determinar la
relación e/m.

El aspecto más importante del experimento de Thomson es que encontrón un solo valor para e/m. Es decir esta
magnitud no depende ni del material del cátodo ni del gas residual presente en el tubo ni de ningún otro aspecto
del experimento. Esta independencia permitió descubrir la primera partícula subatómica que ahora llamamos

364


electrón. Así mismo Thomson demostró que la rapidez de los electrones eran casi un décimo de la velocidad de la
luz. El valor más preciso de e/m es

e
= 1, 758820174.1011 C / kg (8.72)
m
Años posteriores al descubrimiento de Thomson, Robert Millikan pudo medir la carga del electrón con una alta
precisión permitiendo de esta manera encontrar la masa del electrón obteniéndose:

me = 9,10938188.10−31 kg (8.73)

Figura 22. Aparato de Thomson para medir la relación e/m del electrón

8.11.3 Espectrómetro de masas.

Un espectrómetro de masas es un dispositivo que se emplea para separar iones dentro de una
muestra que poseen distinta relación carga/masa. La mezcla puede estar constituida por distintos isótopos de
una misma sustancia o bien por distintos elementos químicos.

Existen distintos modelos de espectrómetros. En la figura anterior se ha representado un esquema de su principio
de funcionamiento.

Todos los elementos del espectrómetro deben estar en el interior de una cámara de vacío. La muestra gaseosa
(situada a la izquierda de la figura) se ioniza mediante un haz de electrones. Los iones positivos son acelerados
por un campo eléctrico. Entre las placas aceleradoras existe un campo eléctrico, por lo que los iones
experimentarán una fuerza dada por:
 
Fe = qE

Donde q es la carga de los iones positivos.

A continuación el haz de iones pasa por una zona del espacio donde existe un campo magnético B. La fuerza que
el campo magnético hace sobre una carga es
  
Fm = q[vxB ]
Fuerza que es perpendicular al campo magnético y al vector velocidad de la carga (en este caso, de los iones
positivos).

365


Figura 22. Espectrómetro de masas el cual utiliza un selector de velocidad para obtener partículas con velocidad
constante posteriormente las partículas se mueven en trayectorias curvilíneas (semicircunferencias para
después impactar sobre una pantalla fluorescente

Como la fuerza (representada en verde en la figura) es perpendicular a la trayectoria de los iones, éstos tendrán
aceleración normal y se desviarán describiendo una trayectoria curva.
Utilizando la la segunda ley de Newton, se tiene

mv 2
∑ Fn = man ⇒ qvB =
R
mv
R=
q B

Para un valor fijo de la velocidad y del módulo del campo magnético, cuanto menor sea el cociente m/q menor
será el radio de curvatura R, de la trayectoria descrita por los iones, y por tanto su trayectoria se deflectará más.
Si la muestra está constituida por isótopos del mismo elemento, todos tendrán la misma carga, pero los que sean
más pesados se deflectarán menos.
Por tanto, haces de iones de distinta relación carga/masa llegarán a puntos diferentes de un detector, y, en función
de la intensidad de las señales que dejan, se determina la abundancia relativa de cada tipo.
El primer espectrómetro de masas fue desarrollado en la década de 1920 por el físico inglés Francis William
Aston, y recibió en 1922 el Premio Nobel de Química por su desarrollo.

366


8.12 PROBLEMAS RESUELTOS. W = ∆Ek (2)

magnético dado por �⃗ = (1,4𝚤 + 2,1𝚥
𝐵 ⃗ ⃗) T.
1. Un electrón es lanzado dentro de un campo
Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene

una velocidad ⃗ = (3,7. 105 ⃗) m/s.
𝑣 𝚥
Determine la expresión vectorial de la fuerza
1 2
magnética sobre dicho electrón si se mueve con mv qα (∆V ) (3)
=
2

Solución La velocidad de la partícula será
     
i j k i j k
   2qα (∆V )
= qvxB v x
F = v y = 0 3,7.105 0
vz v=
m
Bx By Bz 1,4 2,1 0 Debido a que la partícula describe un movimiento
  circular, la fuerza magnética siempre se dirige al
F = −1, 6.10−19 [−1, 4(3, 7.105 )]k centro de la trayectoria. Entonces se tiene
 
F = (8,3.10−14 k ) N Rta v2
∑ Fn = man ⇒ qvB = m
⃗ = (6. 106 ⃗) m/s en una región del espacio en
𝑣 𝚥
r
2. Un protón se está moviendo con una velocidad
mv m 2qα (∆V )

�⃗
= =
ecuación �⃗ = (3,0𝚤 − 1,5, ⃗ + 2𝑘) T. ¿Cuál es la
𝐵 ⃗ 𝚥
r
donde el campo magnético viene expresado por la qα B qα B m
magnitud de la aceleración en este instante?. 1 2mqα (∆V )
r=
B qα
Solución
   
= =
FB ma q p vxB
   1 2(3,3,10−27 kg )(1000V )
r=
i j k 0, 2T 2(1, 6.10−19 C )
 qp   1, 6.10−19
= =
a (vxB ) 6.106 0 0 r = 2, 27.10−2 m R ta
m 1, 67.10−27
3 -1,5 2
   4. Una varilla conductora de 72 cm de longitud tiene
= 0,958.108 (12.106 i − 9.106 k )
a una masa de 15 g. La varilla se encuentra
   suspendida en un plano vertical por un par de
a = (11.496i − 8, 622k ).1014 m / s 2 alambres flexibles dentro de un campo magnético
 B = 0,54 T cuya dirección es saliendo de la página
a = 14,37.1014 m / s 2

Una partícula alfa (m = 3,3.10-27 kg, 𝑞 = 2| 𝑒|) es
tal como se muestra en la figura. ¿Qué corriente
debe fluir a través de la varilla para que la tensión
3. en los alambres soportantes sea igual a cero?
acelerada desde el reposo a través de una diferencia

𝐵 = 0,2 𝑇, perpendicular a la dirección de su
de potencial de 1 kV. Entonces la partícula ingresa
en una región donde existe un campo magnético

movimiento. ¿Cuál es el radio de la trayectoria que
describe la partícula alfa?.

Solución

El trabajo que realiza el campo eléctrico en la
región donde existe una diferencia de potencial Solución
sobre la partícula alfa es
Para que las tensiones en los alambres verticales
W qα (∆V )
= (1) sean nulas entonces la fuerza magnética debo estar
dirigida hacia arriba para que equilibre al peso.
Entonces aplicando la regla de la mano derecha so
Por otro lado el trabajo es igual a la variación de
obtiene que la corriente debiera estar dirigida hacia
energía cinética, es decir
la izquierda es decir de Q a P tal como se muestra
en el DCL de la varilla

367


Usando coordenadas cilíndricas tenemos
   
dF = θ er + B cos θ ez )
I (−dleϕ ) x( Bsen
  
= IBdlsenθ ez − IBdl cos θ er
dF

Debido a la simetria que presenta la figura, las
La fuerza magnética se expresa mediante la componentes radiale se cancelan mutuamente ya
ecuación que existe una componente idéntica en el lado
izaquierdo. Entonces sólo queda la componente z
  
( )
 
= I ∫ dlxB I ∫ −dli x( Bk )
FB =
 
FB = IlQP Bj

FB = IlQP B

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
La fuerza magnética neta que actua sobre el anillo

∑F
será
y = ⇒ FB = =
0 W mg
   
IlQP B = mg =
F ∫=  IBdlsen=
dF ∫
C
θe z ∫
IBsenθ ez dl
C
mg 0, 015 kg (9,8m / s 2 )  
I= = F = 2π IBsenθ ez
lQP B 0, 72 m(0,54T ) 
I = 378 mA Rta F = 2π IBsenθ

5. Un imán en forma de barra con su polo norte arriba La fuerza magnética sobre el anillo es repulsiva ya
es localizado simétricamente en el eje y debajo de que está dirigida hacia arriba en la dirección +z.

potencial ∆𝑉 = 500 𝑘𝑉 atraviesa un campo
un anillo conductor de radio r el cual transporta una
corriente I en sentido horario como se muestra en la 6. Un protón, acelerado por una diferencia de
figura. En la localización del anillo, el campo
magnético forma un ángulo θ con la vertical. ¿Cuál magnético homogéneo transversal cuya inducción
es la magnitud y dirección de la fuerza resultante es B = 0,51 T. El espesor de la zona del campo es d
sobre el anillo? = 10 cm (véase la figura. Determine: (a) el ángulo
α de desviación del protón respecto a la dirección
inicial del movimiento, (b) el desplazamiento
vertical ∆y1 al salir de la región del campo
magnético (c) el momento lineal de la partícula
cuando sale del campo magnético. Considere que
mp = 1,67.10-27kg y qP=1,6.10-19C.

Solución

⃗
Para evaluar la fuerza magnética sobre el anillo se

corriente pequeños 𝐼𝑑𝑙 , como se muestra en la
divide a éste en elementos diferenciales de

figura. La fuerza sobre el elemento será
   Solución
dF = IdlxB
Datos e incógnitas.

368


= 500 = 0,51T d 10.10−2 m
∆V V B = senα
=
d 10
=
= 1, 67.10−27 kgq p 1, 6.10−19 C
mp = R 20
 α 30°
=
α
= ???; ∆= ???; = ???
y1 p
Se procede ahora a determina el desplazamiento
Al ingresar el protón en la región donde existe un vertical
campo magnético, experimentará una fuerza
expresada como ∆y1 = R − R cos α = 20.10−2 m[1 − cos 30°]
   ∆y1 = 679cm
2,
= q= q p (v0i ) x(− Bk )
Fm vxB ˆ ˆ

Fm = q p v0 Bj
ˆ Finalmente el vector momento lineal está dado por

Fm = q p v0 B  
(1) p = = v0 cos 30 i + v0 sen30° ˆ]
mv m p [ ˆ j
 −27
Debido a que el protón en = 1, 67.10 kg (9, 788.10 m / s )[0,8i + 0,5 ˆ ] ˆ 6
el interior del campo p j
describe un movimiento circular, la aplicación de la 
segunda ley de Newton nos da = [14.16.10−21 i + 8,17.10−21 ˆ]kg .m / s
p ˆ j

∑ Fn = n
ma
7. Una barra cilíndrica de masa m radio R es colocada
2 sobre dos rieles paralelos de longitud l separados
v
q p v0 B = m 0
por una distancia d, como se muestra en la figura.la
R

�⃗
varilla lleva una corriente I y rueda sin deslizar a lo

𝐵
mv0 largo de los rieles los cuales están ubicados en un
R= (2)
qp B campo magnético uniforme dirigido
verticalmente hacia abajo. Si la barra está
inicialmente en reposo, ¿Cuál es su velocidad
Ahora se procede a determinar la velocidad con cuando abandona los rieles.
que ingresa el protón al interior del campo
magnético.

Remplazando la ecuación (4) en (3), resulta

1 2
mv0 = q∆V
2
1
[1, 67.10−27 kg ]v0 = 1, 6.10−19 C[5.105V ]
2

2
v0 = 9, 788.106 m / s (3)
Solución
En la figura se muestra la trayectoria descrita por el
Para resolver el ejemplo se utiliza el sistema de
protón en el campo y la orientación del vector
referencia mostrado en la figura
velocidad con que abandona el campo

La fuerza magnética que actúa sobre la barra
cilíndrica será
  
( )

= I= I ∫ dli x(− Bk )
F ∫ dlxB
 
F = IBd ( j )

369


El trabajo total hecho por la fuerza magnética sobre Al ingresar al campo experimenta una fuerza
la barra cilíndrica cuando se mueve a través de la magnética expresada por
región es.
  
f   f   l
= q= qe (v0i ) x(− Bk )
Fm e vxB ˆ ˆ
=
Wi → f ∫= ∫
F .ds
i i
IBd ( j ).dxj IBd ∫ dx
=
0

Fm = − qe v0 Bj
ˆ
Wi → f = IBld
El módulo de la fuerza magnética será
Utilizando el teorema trabajo-energía cinética se
tiene. Fm = qe v0 B (2)

Wi → f =Ek = k ,tras + Ek ,rot ) f − ( Ek ,tras + Ek ,rot )i
∆ (E Debido a que el electrón en el interior del campo
describe un movimiento circular,

𝐼 = 𝑚𝑅2 /2, y cuando la barra rueda sin deslizar se
cumple que 𝑣 = 𝜔𝑅, la ecuación anterior se escribe
Puesto que el momento de inercia de la barra es

en la forma

1 1 3
IBld = mv 2 + mv 2 = mv 2
2 4 4

4I l B d
v=
3m
La aplicación de la segunda ley de Newton nos da

∑ Fn =an
me
8. Un electrón es acelerado desde el reposo a través
2
de una diferencia de potencial de ∆V = 500 V, v0
entonces ingresa dentro de un campo magnético B qe v0 B = me
R
uniforme. Este campo hace que la partícula recorra
mv
media revolución en un tiempo de 2 ns. ¿Cuál es el R= e 0 (3)
radio de su órbita?. qe B

De otro lado la velocidad angular con que gira la
partícula cargada está dada por

v v q
ω= = = e B
r (me v / qe B) me
2π qe
= B
T me
2π me 2π (9,1.10−31 kg )
=B =
qeT 1, 6.10−19 C[4.10−9 s ]
B = 8.93.10−3 Tesla (4)
Solución
Remplazando las ecuaciones (1) y (4) en (3)
En primer lugar se determina la velocidad del resulta
electrón con que ingresa al campo magnético.
me v0 9.1.10-31kg[1,33.107 m / s ]
R= =
2qe ∆V 2(1, 6.10−19 C )(500V ) qe B 1,6.10-19 C[8,93.10−3 T ]
=ve =
me 9,1.10−31 kg
ve = 1,33.107 m / s (1) R = 8, 43 mm Rta

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