1. I. ĐỘ ĐO VỀ VỊ TRÍ TRUNG TÂM: .............................................................................. 2
1.1. Trung vị (Median): ................................................................................... 2
1.2. Yếu vị (Mode): ......................................................................................... 2
1.3. Trung bình cộng (Arithmetic Mean):........................................................ 2
1.2. Trung bình nhân (Geometric Mean): ........................................................ 3
1.3. Trung bình điều hoà (harmonic mean): .................................................... 4
II. ĐỘ ĐO VỀ PHÂN TÁN/TÍNH BIẾN THIÊN (SO VỚI TRUNG BÌNH CỘNG ............. 4
2.1. Phương Sai (Variance): ........................................................................... 4
Cho dãy ............................................................................................................. 4
2.2. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation): ....................................................... 6
2.3. Độ sai/Sai số chuẩn (Standard Error) ...................................................... 6
2.4. Hệ số biến sai (Coefficient of Variation): .................................................. 7
2.5. Phần trăm hay bách phân (Percentiles): .................................................. 7
III. ĐỘ ĐO VỀ HÌNH DẠNG ......................................................................................... 8
Độ nghiêng (Skewness): .................................................................................... 8
IV. CÁC ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ MÔ TẢ ........................................................... 8
4.1. QUAN HỆ THỰC NGHIỆM GIỮA TRUNG BÌNH, TRUNG VỊ VÀ YẾU VỊ.. 8
4.2. ĐINH LÍ CHEBYSHEV VÀ ƯỚC TÍNH MIỀN GIÁ TRỊ VÀ KHOẢNG TIN
CẬY. 9
4.3. PHÉP BIẾN ĐỔI .................................................................................... 10
4.4. TRÌNH BÀY THỐNG KÊ MÔ TẢ ............................................................ 11
BÀI TẬP..................................................................................................................... 12
nguyên bản tiếng Anh: Nguyễn Văn Tuấn
Lượng thông tin thống kê phổ biến đến công chúng và thật ra cả trong y văn, vì một
lí do này hay khác đôi khi vượt quá tầm hiểu biết, và trong số đó phần nào là thống
kê "tốt" và phần nào là thống kê “tồi" là tuỳ vào sự đồ đoán của mỗi người. Chắc
chắn, chúng ta không thể chấp nhận tất cả thông tin đó một cách không phê phán.
Nhiều kết luận sai lầm hoàn toàn đôi khi do dựa trên các dữ liệu thiếu vững chắc.
Trên thực tế, việc sử dụng số liệu thống kê đã bị lạm dụng hay sử dụng bừa. Nhiều
sách báo và bài viết dựa trên việc vận dụng không đúng thống kê. Alvan Feinstein
mới đây nhận xét: "một số trong những tác giả như thế rất được nhiều người biết
đến vì họ không ngại đưa ra các lời giải cho các vấn đề chưa được giải quyết." Tất
nhiên chúng ta không muốn đi theo con đường đó. Chúng ta cần phải sử dụng
thống kê một cách khôn ngoan.
1

2. Trong chủ đề này chúng ta sẽ bàn về việc sử dụng một vài chỉ số thống kê cơ bản
thường gọi là thống kê mô tả. Cụ thể, chúng ta sẽ quan tâm đến việc tổng kết các
dữ liệu liên tục. Khi thu thập số liệu, ta thường quan tâm tới sự phân bố của chúng:
tập trung ở các giá trị nào, mức độ phân tán ra sao so với giá trị tập trung đó, phân
bố có dáng dấp thế nào và ứng dụng của chúng. Tương ứng chúng ta sẽ thảo luận
bốn đề mục chính:
Độ đo về vị trí (khuynh hướng) trung tâm
Độ đo về sự khác biệt (độ phân tán)
Độ đo về hình dạng của phân bố
Ứng dụng của thống kê mô tả
I. ĐỘ ĐO VỀ VỊ TRÍ TRUNG TÂM:
1.1. Trung vị (Median):
Trung vị của một dãy số là giá trị ở vị trí chính giữa khi dãy số đó được sắp xếp
theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. (hay ngược lại), kí hiệu là Md
������ +1
- Nếu số phần tử n của dãy số là lẻ thì số trung vị là số ở vị trí thứ .
2
n
- Trường hợp n là chẵn thì số trung vị sẽ là trung bình của 2 số ở vị trí ở thứ
2
n
và + 1.
2
Như vậy, trung vị là trung tâm của dãy số liệu về mặt vị trí.
Ví dụ, đối với dãy số (14, 17, -13, 41, 12) ta có thể tìm số trung vị như sau:
- Sắp xếp lại các số theo thứ tự từ bé tới lớn: -13 12 14 17 41
- Có tất cả 5 số nên trung vị là 14 (ở vị trí thứ 3 = (5+1)/2)
1.2. Yếu vị (Mode):
Yếu vị của một dãy số là giá trị có tần số xuất hiện thường xuyên nhất (nhiều
lần nhất), kí hiệu là m
Yếu vị có thể không duy nhất. Trường chỉ có duy nhất một yếu vị được gọi là đơn
yếu vị (unimodal), ngược lại là đa yếu vị (multimodal).
Do đó, trong trường hợp đơn yếu vị, yếu vị là trung tâm của dãy số xét về mức
độ tập trung số liệu.
Ví dụ, đối với một dãy dữ liệu (4, 5, 3, 2, 4, 1, 7, 4, 2, 4) thì yếu vị sẽ là 4 vì nó
lxuất hiện thường xuyên nhất (3 lần).
1.3. Trung bình cộng (Arithmetic Mean):
Trung bình cộng của dãy số x1, x2, … , xn được định nghĩa là
������
1
������ = ������������
������
������=1
Khi dữ liệu được cho theo dạng tần số (hoặc có trọng số), giả sử x1, x2, …, xk.
lần lượt có tần số (số lần lập lại) là w1, w2, w3, … , wk, theo đó tập dữ liệu có
cỡ là N = w1 + w2 + w3 + … + wk thì trung bình cộng được tính bởi:
2

3. ������
1
������ = ������������ ������������
������
������=1
Khi dữ liệu thu thập được có phân thành từng loại, ta có thể tính trung bình dữ
liệu tổng thể từ trung bình của dữ liệu từng loại. số lượng các quan sát cho mỗi
thể. Giả sử chúng ta có k loại, với n1, n2,.. , nk số quan sát cho mỗi loại (cỡ của
mẫu tổng hợp là N = n1 + n2+… + nk .) và các trung bình tương ứng là ������ 1,������ 2, …,
������k. thì trung bình tổng thể được cho bởi:
������
1
������ = ������������ ������������
������
������=1
Như vậy, trung bình cộng là trung tâm của dãy số xét về mặt giá trị.
Trong thống kê người ta thường kí hiệu trung bình quần thể là μ.
Ví dụ 1: Số lượng chủ thể và trung bình cộng của mật độ khoáng trong xuơng
(BMD) cột sống ở thắt lưng của họ cho ba kiểu gen như sau:
Kiểu gen n TB
TT 40 1,25 g / cm²
Tt 45 1,10 g / cm²
tt 15 1,00 g / cm²
BMD trung bình của 100 đối tuợng này sẽ được tính bằng:
������ = (40 × 1,25 + 45 × 1,10 + 15 × 1,00)/100 = 1,145g/cm²
1.2. Trung bình nhân (Geometric Mean):
Trung bình nhân của dãy số x1, x2, … , xn được định nghĩa là
G = (x1.x2. … xn)1/n
Từ định nghĩa ta có
������������������������1 + ������������������������2 + ⋯ + ������������������������������
������������������������ =
������
Hay nói khác đi:
G là trung bình nhân của dãy số x1, x2, … , xn khi và chỉ khi logG là trung
bình cộng của logx1, logx2, …, logxn.
Trung bình nhân là một số đo hữu ích về vị trí cho các dữ liệu liên quan đến tỉ
lệ. Như có thể thấy từ công thức trên, trung bình nhân không xác định cho
một tập các giá trị có chứa số 0 hay số âm.
Ví dụ 2: số phần trăm gia tăng osteocalcin trong một nhóm 10 bệnh nhân giữa
các lần khámnhư sau:
Giữa lần khám 2 và 1: 5,4%
Giữa lần khám 3 và 2: 8,9%
Giữa lần khám 4 và 3: 9,6%
Giữa lần khám 5 và 4: 6,4%
Để tính số phần trăm gia tăng trung bình của 5 lần khám, ta cần
3

4. - chuyển các số phần trăm thành tỉ số,
- áp dụng công thức trung bình nhân.
4 số phần trăm có thể viết dưới dạng tỉ số như sau: 1,054: 1,089: 1,096: 1.,64
Theo đó, tỉ lệ gia tăng trung bình là (1,054×1,089×1,096×1,064)1/4 = 1.076 hay
7.6%
1.3. Trung bình điều hoà (harmonic mean):
Trung bình điều hoà H của dãy số x1, x2, … , xn là nghịch đảo của trung bình
cộng các nghịch đảo của x1, x2, … , xn, tức là
1 1 1
1 ������1 + ������2 + … + ������������
=
������ ������
Hay
������
������ =
������ 1
������=1 ������
������
Khi một tập số liệu chứa các giá trị biểu thị cho tỉ suất thay đổi (rate of change),
trung bình điều hòa là một số đo hữu dụng cho vị trí trung tâm.
Qua các ví dụ trên, các số trung bình cộng, nhân và điều hoà, trung vị, yếu vị cùng
phản ánh vị trí trung tâm của tập số tuỳ theo trường hợp. Như ta sẽ thấy ở phần 4.2,
trung bình cộng là điểm tập trung của phần lớn dữ liệu [có ít nhất 68% dữ liệu nằm
trong khoảng ������ – s và ������ + s (với s là độ lệch chuẩn)].
Để đơn giản và tiện cho việc trình bày, từ nay về sau ta quy ước dùng trung bình
thay cho trung bình cộng.
II. ĐỘ ĐO VỀ PHÂN TÁN/TÍNH BIẾN THIÊN (SO VỚI TRUNG
1
BÌNH CỘNG):
2.1. Phương Sai (Variance):
Cho dãy số x1, x2, … , xn, với trung bình μ, phương sai của tập số này (kí
hiệu σ²), là trung bình cộng của bình phương các độ lệch của các số xi so với
trung bình μ, i=1, 2, 3, …, n, tức là:
������
1
������² = ������������ − μ 2
������
������ =1
Tương đương với
������
1
������² = ������������ ² − μ2
������
������ =1
1 Để có một ý niệm về độ phân tán của tập số x1, x2, … , xn (so với trung bình cộngx ta có thể dùng độ lệch
trung bình, tức là trung bình cộng của các số |xi - ������|, i =1,2,3,….,n độ lêch của mỗi xi so với ������), nhưng độ đo
này ít thông dụng chỉ dùng trong tính tỉ Geary dùng để kiểm nghiệm tính bình thường các phân bố).
4

5. Trường hợp có trọng số:
������ ������
1 1
������² = ������������ ������������ − μ 2
= ������������ ������������2 − μ2
������ ������
������ =1 ������=1
������
trong đó ������ = ������=1 ������������
Trường hợp các số x1, x2, … , xn chỉ là tập dữ liệu thu thập được từ một mẫu
của một quần thể mẹ lớn hơn thì phương sai của mẫu được kí hiệu là s² là
số có được sau khi điều chỉnh2 phương sai theo định nghĩa trên bởi hệ số
n / (n – 1), tức là:
������
1 2
������² = ������������ − ������
������ − 1
������=1
Tương đương với
������
1 ������
������ 2 = ������������ ² − ������ 2
������ − 1 ������ − 1
������=1
Đối với dữ liệu có trọng số:
������ ������ ������ 2
2
1 2
1 1
������ = ������������ ������������ − ������ = ������������ ������������ ² − ������������ ������������
������ − 1 ������ − 1 ������
������=1 ������=1 ������=1
������
trong đó ������ = ������=1 ������������
Trong thực hành ta thường phải tính toán phương sai s² của mẫu hơn là phương
sai σ² của quần thể nên các công thức sau được sử dụng thường hơn.
Từ định nghĩa trên, dễ thấy rằng nếu các số xi, i=1, 2, 3, … , n, càng phân tán xa
trung bình thì phương sai càng lớn. Còn nếu không có sự phân tán nào tức là x1
= x2 = x3 = … = xn = ������ thì phương sai bằng 0 và ngược lại (xem bài tập 2).
Ví dụ 4: xem mẫu số liệu 5, 17, 12 và10, trung bình cộng của nó là ������ = 11,
phương sai được tính như sau:
������
1 2 1
s² = (������������ − ������) = 5 − 11 ² + 17 − 11 ² + (12 − 11)² + (10 − 11)²
������ − 1 4−1
������=1
−6 ² + 6² + 1² + (−1)²
=
3
= 24,67
2 Trong toán hoc, người ta chứng minh được rằng nhờ điều chỉnh này mà phương sai của mẫu là một ước
lượng gần với phương sai thật (phương sai của cả quần thể đang xét hơn khi cỡ mẫu đủ lớn.
5

6. Ví dụ 1 (tiếp theo): Đối với các dữ liệu trong ví dụ 1, chúng ta có thể coi số đối
tượng trong mỗi kiểu gen như trọng số. Việc tính toán phương sai có thể được
minh họa bằng bảng sau:
Kiểu gen n(wi) Mean (������������ ) wixi² wixi
TT 40 1,25 62,50 50,0
Tt 45 1,10 54,45 49,5
Tt 15 1.00 15,00 15,0
Tổng cộng 100 131,95 114,5
������ ������ 2
2
1 1
������ = ������������ ������������ ² − ������������ ������������
������ − 1 ������
������=1 ������=1
1 (114,5)²
= 131,95 − = 0,00856 g² /cm².
99 100
2.2. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation):
Độ lệch chuẩn đượcđịnh nghĩa là căn bậc 2 của phương sai σ² (hay s²) và
được kí hiệu là σ (hay tương ứng là s).
Phương sai có đơn vị bằng bình phương đơn vị của các số liệu đang xét, còn độ
lệch chuẩn do là căn bậchai của phương nên có cùng đơn vị với các số liệu này.
Trong ví dụ 4, độ lệch chuẩn là s = 24.67 = 4.97 g/cm²
Nếu tập dữ liệu bao gồm một số lượng lớn các quan sát và tương đối đối xứng,
thì độ lệch chuẩn có thể được tính xấp xỉ bằng cách sử dụng giá trị lớn nhất
(max) và giá trị nhỏ nhất (min) như sau:
s = (max – min) / ������với n < 12
s = (max – min) / 4 với 20 < n < 40
s = (max – min) / 5 với n gần với 100
s = (max – min) / 6 với n > 400
2.3. Độ sai/Sai số chuẩn (Standard Error)
Sai số chuẩn là độ lệch chuẩn của các trung bình các mẫu cùng cỡ rút ra từ
một quẩn thể mẹ, được kí hiệu là SE.
Nếu n là cỡ của các mẫu, N và σ lần lượt là cỡ và độ lệch chuẩncủa quần thể mẹ
thì sai số chuẩn có thể ước lượng bằng công thức:
������ ������ − ������
������������ =
������ ������ − 1
Vì thế, với một quần thể mẹ lớn hay với việc lấy mẫu có thay thế thì ta có thể
dùng công thức sau:
������
������������ ≈
������
6

7. Tuy nhiên, trong một mẫu dữ liệu, SE được ước tính bằng:
������
������������ ≈
������
SE là một thước đo về sự khác biệt giữa trung bình mẫu và trung bình quần thể
mẹ và được đùng để kiểm tra xem một mẫu cụ thể có thể đã rút ra từ một quần
thể mẹ đã cho hay không. Nó được sử dụng để tính toán giới hạn tin cậy.
SE cho các dữ liệu trong ví dụ 4 là: SE = s / ������ = = 24,67/ 4 = 12,3 g/cm².
2.4. Hệ số biến sai (Coefficient of Variation):
Độ lệch chuẩn là thước đo của sự biến thiên tuyệt đối trong một bộ quan sát.
Tuy nhiên, đối với một số bài toán, sự biến thiên tương đối là một số đo có ý
nghĩa hơn. Số đo về sự thay đổi tương đối được dùng phổ biến nhất là hệ
số biến sai (biến thiên):
������
������������ = 100 (%)
������
CV được sử dụng khi tất cả các giá trị của một biến đều dương. Khi các giá tri
có cả dương lẫn âm thì CV hầu như vô nghĩa.
CV cho các dữ liệu thiết lập trong ví dụ 4 được là ước tính bởi:
CV = 100 × 4 97 /11 = 45.2 %
2.5. Phần trăm hay bách phân (Percentiles):
Phần trăm thứ p của một dãy các quan sát (dữ liệu) đã được sắp xếp theo
thứ tự độ lớn là giá trị sao cho có nhiều nhất là p% số đo phía dưới nó và
nhiều nhất là (100 - p)% ở trên nó.
Hình dưới đây minh họa phần trăm thứ 25, 50 và 75 thường được gọi tương ứng
là tứ phân dưới, tứ phân giữa (trung vị) và tứ phân trên…
Ví dụ 5: Xét tập dữ liệu sau đây với 10 quan sát:
-15 -9 1 3 5 9 13 17 23 92,
trong đó trung vị là: (5 +9) / 2 = 7. Do đó, phần trăm thứ 50 là 7. Tương tự, phần
trăm thứ 25 phần trăm là 1 và phần trăm thứ 75 là 17. và cứ thế tiếp tục.
7

8. III. ĐỘ ĐO VỀ HÌNH DẠNG
Độ nghiêng (Skewness):
Một cách để nghiên cứu độ nghiêng của một phân bố tần số là so sánh các giá trị
của yếu vị (m), trung vị (Md) và trung bình (������ ). Ta biết rằng yếu vị là vị trí có sự tập
trung lớn nhất của các quan sát, trung vị là giá trị mà một nửa số các quan sát nằm
bên dưới và ở trên, và trung bình là có xu hướng bị kéo về hướng các giá trị cực
đoan. Do đó, với một phân bố đơn yếu vị và đối xứng, tất cả các giá trị trung bình,
trung vị và yếu vị phải giống hệt nhau, nếu trái lại, thì phân bố không đối xứng hay
không đơn yếu vị. Độ nghiêng (S) được định nghĩa bởi:
S = 3(������ – Md) / s hoặc S = (������ – m) / s
trong đó s là độ lệch chuẩn của mẫu.
Nếu S > 0 (yếu vị < trung bình), phân bố lài phía phải, nếu S < 0 (yếu vị > trung
bình), phân bố lài về phía trái.
IV. CÁC ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ MÔ TẢ
4.1. QUAN HỆ THỰC NGHIỆM GIỮA TRUNG BÌNH, TRUNG VỊ VÀ YẾU VỊ
Chúng ta đã khảo sát ba độ đo chính của xu hướng trung tâm. Thế thì trong 3
độ đo đó, độ đo nào là thích hợp và đáng tin cậy nhất? Câu trả lời cho câu hỏi
này phụ thuộc vào phân bố của các dữ liệu quan sát. Tuy nhiên, có thể nói rằng,
giống như bất kì số đo vật lí nào, không có độ đo thống kê nào trên đây là hoàn
hảo trong việc mô tả một vị trí trung tâm của một phân bố.
Về mặt lí thuyết, có thể nói trung bình là độ đo tốt nhất cho xu hướng trung tâm
của phân bố. Điều này là do nó có thể tính toán được từ các dữ liệu số, sử dụng
hết tất cả các quan sát và là đơn nhất. Hơn nữa, nó là dễ hiểu đối với hầu hết
mọi người. Trung bình chịu ảnh hưởng của các giá trị cực đoan, còn trung vị thì
không bị ảnh hưởng đó. Tuy nhiên, trung vị hầu như không tiêu biểu khi số quan
sát nhỏ vì nó là một trung bình vị trí, nó cũng không đơn nhất. Mặt khác, yếu vị
cũng không có ý nghĩa mấy trừ khi số lượng các quan sát đủ lớn và sự phân bố
dữ liệu cho thấy một hình ảnh rõ ràng về xu hướng trung tâm.
Nếu sự phân bố của một tập hợp dữ liệu là đối xứng như trong hình 1, trung
bình, trung vị và yếu vị là như nhau (hoặc ít nhất là tương tự). Nếu phân bố lài về
phía phải (như trong hình 2), trung bình lớn hơn trung vị. Nếu phân phối lài về
phía trái (hình 3), trung bình nhỏ hơn trung vị.
8

9. Đối với tập dữ liệu đủ lớn gần đối xứng, quan hệ thực nghiệm giữa trung bình,
trung vị và yếu vị như sau:
Trung bình – Yếu vị ≈ 3 (Trung bình – Trung vị)
Từ đó, nếu biết trung bình và trung vị thì yếu vị có thể tính gần đúng bằng công
thức:
Yếu vị ≈ 3 Trung vị – 2 Trung bình
4.2. ĐINH LÍ CHEBYSHEV VÀ ƯỚC TÍNH MIỀN GIÁ TRỊ VÀ KHOẢNG
TIN CẬY.
Điều quan trọng là cần nhấn mạnh ở đây một lần nữa rằng một tập dữ liệu là một
mẫu lấy từ quần thể của tất cả các số đo có thể. Vì vậy, các trung bình mẫu ������ ,
độ lệch chuẩn s, … có thể không bằng với trung bình và độ lệch chuẩn thực sự
… của quần thể (quần thể), thường được biểu hiện lần lượt bằng các kí tự tiếng
Hi Lạp μ và σ… Mục đích của việc ước lượng tham số không phải chỉ để có
được ước lượng của trung bình của quần thể nói chung, mà còn chỉ ra "độ không
chắc chắn" của nó, tức là các ước lượng có thể gần hoặc xa mức độ nào so với
các giá trị thật. Liên quan đến việc ước lương này là khái niệm giới hạn tin cậy và
được giới thiệu ở đây thông qua định lí Chebyshev, một trong những định lí lớn
trong Xác suất đã được đặt tên theo nhà toán học vĩ đại người Nga. Phát biểu
chính xác của định lí này là khá phức tạp về mặt toán học3, tuy nhiên, nó có thể
được hiểu như sau:
(a) khoảng từ ������ - 3s đến ������ +-3s chứa ít nhất 89% (= 8/9) các số đo,
(b) khoảng từ ������ – 2s đển ������ + 2s chứa ít nhất 75% (=3/4) các số đo;
(c) khoảng từ ������ - s đến ������ + s chứa ít nhất 0% các số đo.
3
Định lí này có thể phát biểu dưới dạng đơn giản như sau: với mọi k ≥ 1, tỉ lệ dữ liệu nằm
1
trong khoảng từ ������ – ks đến ������ + ks ít nhất là1 - ������ 2 .
9

10. Thực ra, phát biểu trên là khá dè dặt. Đối với bộ dữ liệu lớn và tương đối đối
xứng, các quy tắc thực nghiệm phát biểu rằng:
(a) 68.3% các số đo có thể nằm giữa ������ -s và ������ +s,
(b) 95.5% các số đo có thể nằm giữa ������ -2s và ������ +2s,
(c) 99.7% của số đo có thể nằm giữa ������ -3s và ������+3s.
SỬ DỤNG ĐỘ LỆCH CHUẨN. Đối với bất kì tập dữ liệu đối xứng với trung bình
������ và độ lệch chuẩn s, chúng ta có thể ước tính tầm giá trị (range) của các số đo
riêng lẻ với một độ chính xác nhất định. Ví dụ, trung bình và độ lệch tiêu chuẩn
của logarit (tự nhiên) osteocalcin của một mẫu của các đối tượng ở Sydney
tương ứng là 2,86 và 0,45 , điều đó có thể suy ra rằng có khoảng 95% của các
đối tượng trong mẫu này có ln(osteocalcin) từ 2,86 - 2×0.45 đến 2,86 + 2×0,45
(hay 1,96 tới 3,76).
SỬ DỤNG ĐỘ SAI CHUẨN. Sai số chuẩn (SE) mà chúng ta thảo luận bên trên
thường được gọi là độ lệch chuẩn của trung bình, vì nó chỉ ra sự khác biệt giữa
trung bình của mẫu và trung bình của quần thể mẹ. Trung bình quần thể thường
không thể biết được.
Tuy nhiên, người ta có thể áp dụng định lí của Chebyshev để ước tính tầm của
các giá trị có thể có của trung bình của quần thể với một độ tin cậy nhất định.
Ví dụ, trung bình và sai số chuẩn của BMD cổ xương đùi trong số 20 vụ gãy
xương ở phụ nữ từ một cộng đồng tại Sydney đã được tìm thấy tương ứng là
0,70 g/cm² và 0,02 g/cm². Ttrung bình thật BMD cổ xương đùi của mọi đối tượng
gãy xương ở Sydney là chưa biết. Tuy nhiên, có thể nói rằng trung bình thật có
thể nằm từ 0,70 - 2×0,02 = 0,66 g/cm² đến 0,70 + 2×0,02 = 0.74g/cm². Phát biểu
này hàm ý là nếu chúng ta tiếp tục lấy mẫu 20 phụ nữ gãy xương từ dân Sydney
nhiều lần (mỗi lần với các đối tượng khác nhau) và mỗi lần đều tính trung bình
của 20 phụ nữ, khi đó chúng ta hi vọng rằng trong 95% các lần, trung bình sẽ
nằm giữa 0,66 g/cm² đển 0,74g/cm².
4.3. PHÉP BIẾN ĐỔI:
Đối với một dãy số x1, x2, … , xn ,..., gọi trung bình là ������ và phương sai là sx², khi
đó với bất kì hằng số a, b nào, chúng ta cũng có có các tính chất sau đây:
4.3.1. Phép biến đổi tuyến tính:
yi = a + bxi.
Trung bình và phương sai của y sẽ được cho bởi:
������ = ������ + ������������
và
������������ = ������2 ������������
2 2
Ví dụ, trung bình và phương sai của một biến X lần lượt là 10 và 8. Nếu một
biến mới Y = 12 + 2X, khiđó trung bình và phương sai của Y là:
TB (Y) = 12 + 2.× TB (X) = 12 + 2×10 = 32
phương sai (Y) = 2² × phương sai (X) = 4 × 8 = 32.
4.3.2. Phép biến đổi-Z:
������������ − ������
������������ =
������������
10

11. Có thể chứng minh trung bình và phương sai của z lần lượt là:
������ = 0 và sz = 1
4.4. TRÌNH BÀY THỐNG KÊ MÔ TẢ
Không có gì là không bình thường khi ngày nay trong các tạp chí y sinh học cách
trình bày kiểu như a ± b ngày càng trở nên phổ biến. Một số nhà nghiên cứu đã
chỉ ra hai giá trị như là trung bình ± SE hay trung bình ± SEM hoặc trung bình ±
SD, một số nhà nghiên cứu khác chẳng quan tâm nêu ra các con số nàythực sự
tượng trưng cho điều gì.
Dĩ nhiên, theo thói quen sử dụng trong khoa học, số b trong biểu thức a ± b nói
đến độ chính xác của phép đo. Do đó, nếu một ai đó báo rằng một mẫu vật nặng
27 ± 2 mg, ý họ muốn nói là trọng lượng của nó có thể là bất cứ giá trị nào giữa
25mg và 29mg. Trong thống kê, việc sử dụng ± có cùng ý nghĩa này nếu nó dùng
để chỉ một khoảng tin cậy xung quanh một trung bình. Một phát biểu như
"khoảng tin cậy 95% là 250 ± 10" có nghĩa là trong hàng loạt các mẫu ngẫu nhiên
được lấy từ cùng một quần thể, 95% các số đo sẽ nằm giữa 240 và 260. Nhưng
giá trị của dấu ± sẽ là gì khi nó đề cập đến độ lệch chuẩn hay sai số chuẩn. Một
độc giả muốn sử dụng thông tin này không thể sử dụng trực tiếp được. Có lẽ một
biểu thức "trung bình (SD)" sẽ hữu ích hơn.
11

12. BÀI TẬP
1. Hãy viết một chuổi 5 chữ số đáp ứng cả hai tiêu chuẩn sau đây:
(a) trung vị < trung bình (b) yếu vị < trung vị.
2. Chứng tỏ rằng tổng của các độ lệch của một tập hợp các số đo, ������������ , so với
trung bình ������ của chúng bằng 0, tức là ������ (������������ − ������ )= 0.
������=1
3. Chi phí nằm viện do gãy xương (tính bằng $ AUS) cho 29 bệnh nhân ở
Dubbo như sau:
5373, 15984, 7478, 3446, 11004, 9116, 3213, 5418, 16386
2857, 3656, 61876, 2972, 3057, 14449, 9400, 27518, 23278
23548, 3016, 12921, 4640, 4644, 23098, 2654, 7975, 10245
4045, 5018.
Lập biểu đồ phân bố của chi phí (có thể sử dụng khoảng-5000 như 5000-
1000, 10001-15000, 15001-20000, vv…) Tính trung bình, độ lệch chuẩn,
trung vị, hệ số nghiêng… và bình luận về phân bố của các dữ liệu này.
4. Có thể nói gì về một tập hợp các số đo có độ lệch chuẩn bằng 0?
5. Một tập hợp 10 số với trung bình là 13 và độ lệch chuẩn là 2. Sau đó, người
ta phát hiện rằng số 12 trong tập đó thật ra là số 21. Tìm trung bình và độ
lệch chuẩn đúng của tập số đó.
6. Khi săn bắt côn trùng, dơi phát ra âm thanh tần số cao và sau đó lắng nghe
tiếng dội lại. Một vấn đề đáng quan tâm là khoảng cách (tính bằng cm) giữa
dơi và con mồi dự kiến của nó khi hệ thống vị trí - tiếng dội của dơi đầu tiên
phát hiện ra con mồi.
Các dữ liệu sau đây bao gồm các khoảng cách phát hiện từ dơi tới con mồi
trong 11 lần bắt mồi:
62 52 68 23 34 45 27 42 83 56 40
(a) Tìm trung bình của dữ liệu.
(b) Tính độ lệch chuẩn của các dữ liệu, sử dụng:
(i) trung bình chính xác (đến 2 chữ số thập phân)
(ii) trung bình làm tròn.
(c) Tìm khoảng tin cậy 95% (KTC) cho các phép đo và 95% KTC cho trung
bình. Bình luận về sự khác biệt giữa các kết quả.
7. Osteocalcin của 5 chủ thể như sau: 4, 3, 7, 11 và 10.
(a) Tính trung bình (������ ), phương sai (s²), độ lệch chuẩn và sai số chuẩn (SE)
bằng tay. Nêu đầy đủ các bước tính toán.
(b) Biến đổi các số liệu quan sát ban đầu bằng cách trừ đi giá trị trung bình từ
mỗi quan sát (tức là (������������ - ������ )). Chứng tỏ trung bình của các số liệu mới (������������ - ������ )
bằng 0.
������ ������ − ������
(c) Cho ������������ = ������
. Chứng tỏ rằng trung bình và phương sai của z tương ứng
là 0 và 1.
8. Một tập hợp 340 điểm thể hiện một phân bố tần số tương đối hình chuông có
trung bình ������ = 72 và độ lệch chuẩn s = 8. Bạn mong đợi sẽ có bao nhiêu
điểm rơi vào khoảng 64 tới 80? 56 tới 88?
9. Các tần số lí thuyết và giá trị kiểu hình của một bộ gen 2 alen (A và a) với tần
số tương ứng là p và q, thường được cho như sau
Kiểu gen Số đối tượng Kiểu hình
AA p² μ+a
Aa 2pq μ+d
aa q² μ-a
Trong đó q = 1 - p. Biễu thị trung bình tổng thể và phương sai của các kiểu
hình theo μ, a, d, p và q.
12

13. 10. Dữ liệu về BMD cột sống thắt lưng từ 123 cặp song sinh ở Sydney phân tầng
theo kiểu gen VDR như sau:
Kiểu gen n BMD cột sống thắt lưng
TT 32 1,25 g / cm²
Tt 61 1,17 g / cm²
tt 30 1,07 g / cm²
n: số lượng cá nhân trong mỗi kiểu gen.
Tìm trị trung bình và phương sai của BMD cột sống thắt lưng cho các cặp
song sinh trên.
11. Cho một tập hợp các quan sát X = {3, 5, 6, 7, 9}.
(a) Tìm trung bình, độ lệch chuẩn và trung vị.
(b) Tìm trung bình và phương sai của y khi:
������ ������ ������ − 5
(i) ������������ = ������������ − 8 (ii) ������������ = 7������������ (iii) ������������ = 12 (iv) ������������ = ������ 7
Bạn có thể suy ra quan hệ nào từ các trường hợp này?
12. Sử dụng kĩ thuật biến đổi (trang 13) để tính trung bình và phương sai (và do
đó SD) của các mẫu sau: 997, 995, 998, 992 và 995, mà không sử dụng máy
tính.
13. Cho X = { 4, 3, 7, 10, 11}. Biến đổi các quan sát này bằng lôgarit tự nhiên
của ������������
Tìm trung bình và phương sai của X và ln(X). Có những thống kê tương tự
giữa hai biến. Trung bình của ln (X) bằng log của trung bình của X không?
Tại sao?
14. Osteocalcin trong một mẫu gồm 100 đối tượng từ Đan Mạch đã có những
đặc điểm sau đây:
Trung bình: 6,9 ng / ml
Độ lệch chuẩn: 5.1 ng / ml
Trung vị: 6,2 ng / ml.
Nhận xét về sự phân bố của dữ liệu.
15. Một số đặc điểm của lượng chất khoáng trong xương (BMC) của người da
đen và da trắng như sau:
Trung bình Trung vị SD
Black: 2872 2812 374
Trắng: 2744 2805 250
Tính toán hệ số nghiêng đối với từng nhóm và nhận xét về các kết quả.
16. Những thay đổi trong mức vitamin D 1,25 của một bệnh nhân trong 4 ngày
liên tục như sau:
Ngày 1: 35; Ngày 2: 36; Ngày 3: 38; Ngày 4: 40
(a) Tỉm tỉ lệ của sự thay đổi trong một ngày nào đó so với ngày trước cho các
ngày 2, 3 và 4.
(b) Tìm trung bình nhân của ba tỉ số đó. Chứng tỏ sự thay đổi trong ngày thứ
4 có thể tính được khi biết sự thay đổi trong ngày 1 và trung bình nhân.
17. Dữ liệu về BMD cột sống thắt lưng từ một mẫu của 10 đối tượng như sau:
0,98, 1,05, 1,01, 0,97, 0,95, 0,87, 0,50, 0,89, 1,05 và 1,08. Chú ý rằng có một
đối tượng có BMD rất thấp. Bạn có loại trừ đối tượng này ra khi tính toán
trung bình hay không?
18. Trong một thí nghiệm được thiết kế để trả lời câu hỏi "môi trường có ảnh
hưởng đến giải phẫu học của bộ não hay không”, chuột từ một chủng biến
đổi di truyền thuần khiết đã được phân bổ ngẫu nhiên thành hai nhóm: một
nhóm điều trị và một nhóm đối chứng. Những con trong nhóm điều trị được
đặt trong lồng lớn với đồ chơi mới mỗi ngày. Những con trong nhóm đối
chứng bị cô lập trong lồng riêng biệt mà không có đồ chơi. Sau một tháng,
người ta cân vỏ não (chất xám của não). Các trọng lượng tính bằng mg như
sau:
Nhóm điều trị : 707 740 745 652 649 676 699 696 712 708 749 690
13

14. Nhóm đối chứng: 669 650 651 627 656 642 698 648 676 657 692 621
(a) Trình bày các dữ liệu dưới hình thức biểu đồ sao cho có thể hình dung dễ
dàng.
(b) Tính toán các thống kê liên quan và bàn luận về giá trị của chúng.
14