Bai tap nguyen ham tich phan

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x2
– 3x + x
1
ĐS. F(x) = Cx
xx
++− ln
2
3
3
23
2. f(x) = 2
4
32
x
x +
ĐS. F(x) = C
x
x
+−
3
3
2 3
. f(x) = 2
1
x
x −
ĐS. F(x) = lnx + x
1
+ C
4. f(x) = 2
22
)1(
x
x −
ĐS. F(x) = C
x
x
x
++−
1
2
3
3
5. f(x) = 43
xxx ++ ĐS. F(x) = C
xxx
+++
5
4
4
3
3
2 4
5
3
4
2
3
6. f(x) = 3
21
xx
− ĐS. F(x) = Cxx +− 3 2
32
7. f(x) =
x
x 2
)1( −
ĐS. F(x) = Cxxx ++− ln4
8. f(x) = 3
1
x
x −
ĐS. F(x) = Cxx +− 3
2
3
5
9. f(x) = 2
sin2 2 x
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan2
x ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos2
x ĐS. F(x) = Cxx ++ 2sin
4
1
2
1
12. f(x) = (tanx – cotx)2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
xx 22
cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = Cx +− 3cos
3
1
16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = Cxx +−− cos5cos
5
1
17. f(x) = ex
(ex
– 1) ĐS. F(x) = Cee xx
+−2
2
1
18. f(x) = ex
(2 + )
cos2
x
e x−
ĐS. F(x) = 2ex
+ tanx + C
19. f(x) = 2ax
+ 3x
ĐS. F(x) = C
a
a xx
++
3ln
3
ln
2
20. f(x) = e3x+1
ĐS. F(x) = Ce x
++13
3
1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2
+ x + 3
2. f’(x) = 2 – x2
và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 1
3
2
3
+−
x
x
3. f’(x) = 4 xx − và f(4) = 0 ĐS. f(x) =
3
40
23
8 2
−−
xxx

4. f’(x) = x - 2
1
2
+
x
và f(1) = 2 ĐS. f(x) =
2
3
2
1
2
2
−++ x
x
x
5. f’(x) = 4x3
– 3x2
+ 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4
– x3
+ 2x + 3
6. f’(x) = ax + 2)1(,4)1(,0)1(',2
=−== fff
x
b
ĐS. f(x) =
2
51
2
2
++
x
x
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = ∫ dxxuxuf )(')].([ bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x) dxxudt )('=⇒
 I = ∫ ∫= dttfdxxuxuf )()(')].([
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. ∫ − dxx )15( 2. ∫ − 5
)23( x
dx
3. dxx∫ −25 4. ∫ −12x
dx
5. ∫ + xdxx 72
)12( 6. ∫ + dxxx 243
)5( 7. xdxx .12
∫ + 8. ∫ +
dx
x
x
52
9. ∫ +
dx
x
x
3
2
25
3
10. ∫ + 2
)1( xx
dx
11. dx
x
x
∫
3
ln
12. ∫
+
dxex x 12
.
13. ∫ xdxx cossin 4
14. ∫ dx
x
x
5
cos
sin
15. ∫ gxdxcot 16. ∫ x
tgxdx
2
cos
17. ∫ x
dx
sin
18. ∫ x
dx
cos
19. ∫tgxdx 20. ∫ dx
x
e x
21. ∫ −3x
x
e
dxe
22. ∫ dx
x
etgx
2
cos
23. ∫ − dxx .1 2
24. ∫ − 2
4 x
dx
25. ∫ − dxxx .1 22
26. ∫ + 2
1 x
dx
27. ∫ − 2
2
1 x
dxx
28. ∫ ++ 12
xx
dx
29. ∫ xdxx 23
sincos 30. dxxx .1∫ − 31. ∫ +1x
e
dx
32. dxxx .123
∫ +
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ ∫−= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay
∫ ∫−= vduuvudv ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. ∫ xdxx sin. 2. ∫ xdxx cos 3. ∫ + xdxx sin)5( 2
4∫ ++ xdxxx cos)32( 2
5. ∫ xdxx 2sin 6. ∫ xdxx 2cos 7. ∫ dxex x
. 8. ∫ xdxln
9. ∫ xdxx ln 10. dxx∫
2
ln 11. ∫ x
xdxln
12. ∫ dxe x
13. ∫ dx
x
x
2
cos
14. ∫ xdxxtg 2
15. ∫ dxxsin 16. ∫ + dxx )1ln( 2
17. ∫ xdxe x
cos. 18. ∫ dxex x2
3
19. ∫ + dxxx )1ln( 2
20. ∫ xdxx
2
21. ∫ xdxx lg 22. ∫ + dxxx )1ln(2 23. ∫
+
dx
x
x
2
)1ln(
24. ∫ xdxx 2cos2

TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
( 1)x x dx+ +∫ 2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
+ + +∫
2.
3
1
2x dx−∫ 3.
2
1
1x dx+∫
4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
π
π
+ +∫ 5.
1
0
( )x
e x dx+∫
6.
1
3
0
( )x x x dx+∫ 7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx+ − +∫
8.
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x
π
π
+ +∫ 9.
1
2
0
( 1)x
e x dx+ +∫
10.
2
2 3
1
( )x x x x dx+ +∫ 11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx− + +∫
12.
3
3
1
x 1 dx( ).
−
+∫ 13.
2
2
2
-1
x.dx
x +∫
14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x
− −
∫ 15.
x 2
5
2
dx
x 2+ + −
∫
16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln
+
+∫ 17.
2 3
3
6
x dx
x
cos .
sin
π
π
∫
18.
4
2
0
tgx dx
x
.
cos
π
∫ 19.
1 x x
x x
0
e e
e e
dx
−
−
−
+∫
20.
1 x
x x
0
e dx
e e
.
−
+
∫ 21.
2
2
1
dx
4x 8x+
∫
22.
3
x x
0
dx
e e
ln
.
−
+∫ 22.
2
0
dx
1 xsin
π
+∫
24. ∫−
++
1
1
2
)12( dxxx 25. ∫ −−
2
0
3
)
3
2
2( dxxx
26. ∫−
−
2
2
)3( dxxx 27. ∫−
−
4
3
2
)4( dxx
28. dx
xx∫ 





+
2
1
32
11
29. ∫
−
2
1
3
2
2
dx
x
xx

30. ∫
e
e
x
dx
1
1
31. ∫
16
1
.dxx
32. dx
x
xx
e
∫
−+
2
1
752
33. dx
x
x∫ 







−
8
1
3 2
3
1
4
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫ 2.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
3.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+∫ 3.
4
0
tgxdx
π
∫
4.
4
6
cot gxdx
π
π
∫ 5.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+∫
6.
1
2
0
1x x dx+∫ 7.
1
2
0
1x x dx−∫
8.
1
3 2
0
1x x dx+∫ 9.
1 2
3
0 1
x
dx
x +
∫
10.
1
3 2
0
1x x dx−∫ 11.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
12.
1
2
0
1
1
dx
x+∫ 13.
1
2
1
1
2 2
dx
x x−
+ +∫
14.
1
2
0
1
1
dx
x +
∫ 15.
1
2 2
0
1
(1 3 )
dx
x+∫
16.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫ 17.
2
4
sincosx
e xdx
π
π
∫
18.
2
1
2
0
x
e xdx+
∫ 19.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
20.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫ 21.
2
4
sincosx
e xdx
π
π
∫
22.
2
1
2
0
x
e xdx+
∫ 23.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
24.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫ 25.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+∫

26.
4
0
tgxdx
π
∫ 27.
4
6
cot gxdx
π
π
∫
28.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+∫ 29.
1
2
0
1x x dx+∫
30.
1
2
0
1x x dx−∫ 31.
1
3 2
0
1x x dx+∫
32.
1 2
3
0 1
x
dx
x +
∫ 33.
1
3 2
0
1x x dx−∫
34.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫ 35.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x∫ 37.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
38.
2ln 1
1
e x
e
dx
x
+
∫ 39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫
40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+∫ 41.
2
1 1 1
x
dx
x+ −
∫
42.
1
0 2 1
x
dx
x +
∫ 43.
1
0
1x x dx+∫
44.
1
0
1
1
dx
x x+ +
∫ 45.
1
0
1
1
dx
x x+ −
∫
46.
3
1
1x
dx
x
+
∫ 46.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x∫ 48.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
49.
2ln 1
1
e x
e
dx
x
+
∫ 50.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫
51.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+∫ 52.
1
2 3
0
5+
∫x x dx
53. ( )
2
4
0
sin 1 cos+
∫ x xdx
π
54.
4
2
0
4 x dx−
∫
55.
4
2
0
4 x dx−
∫ 56.
1
2
0
1
dx
x+∫
57. dxe x
∫−
+
0
1
32
58. ∫
−
1
0
dxe x

59.
1
3
0
x
dx
(2x 1)+∫ 60.
1
0
x
dx
2x 1+
∫
61.
1
0
x 1 xdx−∫ 62.
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +∫
63.
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +∫ 64.
3 3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +∫
65.
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+∫ 66.
32
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+∫
67.
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫ 68.
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
69.
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx
π
π
+ +
+∫ 70.
1
x
0
1
dx
e 1+∫ .
71. dxxx )sin(cos
4
0
44
∫ −
π
72. ∫
+
4
0 2sin21
2cos
π
dx
x
x
73. ∫
+
2
0 13cos2
3sin
π
dx
x
x 74. ∫
−
2
0 sin25
cos
π
dx
x
x
75. ∫− −+
+
0
2
2
32
22
dx
xx
x
76. ∫
++−
1
1
2
52xx
dx
77.
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫ 78.
2
5
0
cos xdx
π
∫
79.
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x
π
+∫ 80.
1
3 2
0
x 1 x dx−∫
81.
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+∫ 82.
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫
83.
e
1
1 lnx
dx
x
+
∫ 84.
4
0
1
dx
cosx
π
∫
85.
e 2
1
1 ln x
dx
x
+
∫ 86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−∫
87.
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
π
− +∫ 88.
3 4
0
tg x
dx
cos2x∫
89.
4
0
cos sin
3 sin2
x x
dx
x
π
+
+
∫ 90. ∫
+
2
0 22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x

91. ∫
−+ −
5ln
3ln 32 xx
ee
dx
92. ∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x
93. ∫
3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx
94. ∫ −
4
0
8
)1(
π
dxxtg
95. ∫
+
−2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx
96. ∫
+
+2
0 cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
97. ∫
+
2
0 cos1
cos2sin
π
dx
x
xx 98. ∫ +
2
0
sin
cos)cos(
π
xdxxe x
99. ∫
−+
2
1 11
dx
x
x
100. ∫
+e
dx
x
xx
1
lnln31
101. ∫
+
−4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x 102.
1
2
0
1 x dx−∫
103.
1
2
0
1
dx
1 x+∫ 104.
1
2
0
1
dx
4 x−
∫
105.
1
2
0
1
dx
x x 1− +∫ 106.
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +∫
107.
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +∫ 108.
2
22
2
0
x
dx
1 x−
∫
109.
2
2 2
1
x 4 x dx−∫ 110.
2
3
2
2
1
dx
x x 1−
∫
101.
3 2
2
1
9 3x
dx
x
+
∫ 112.
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
113.
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫ 114.
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x
π
+
∫
115.
1 4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+∫ 116. 2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
117. ∫
++−
0
1
2
22xx
dx
118. ∫
++
1
0 311 x
dx
119. ∫
−
−2
1 5
1
dx
x
xx
120.
8
2
3
1
1
dx
x x +
∫
121.
7 3
3 2
0 1
x
dx
x+
∫ 122.
3
5 2
0
1x x dx+∫

123.
ln2
x
0
1
dx
e 2+
∫ 124.
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫
125.
2
2 3
0
1x x dx+∫ 126. ∫
+
32
5
2
4xx
dx
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx= −∫ ∫
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin
( )
ax
ax
f x cosax dx
e
β
α
 
 
 
 
 
∫
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= = 
 
    
⇒    
= =    
    
    
∫
@ Dạng 2: ( )ln( )f x ax dx
β
α
∫
Đặt
ln( )
( )
( )
dx
duu ax
x
dv f x dx
v f x dx

== 
⇒ 
=  =
 ∫
@ Dạng 3:
sin
.
 
 
 
∫
ax ax
e dx
cosax
β
α
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1 2
2
0
( 1)
x
x e
dx
x +∫ đặt
2
2
( 1)
x
u x e
dx
dv
x
 =


= +
b/
3 8
4 3
2
( 1)
x dx
x −∫ đặt
5
3
4 3
( 1)
u x
x dx
dv
x
 =


= −
c/
1 1 1 12 2 2
1 22 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
+ −
= = − = −
+ + + +∫ ∫ ∫ ∫
Tính I1
1
2
0
1
dx
x
=
+∫ bằng phương pháp đổi biến số
Tính I2 =
1 2
2 2
0
(1 )
x dx
x+∫ bằng phương pháp từng phần : đặt
2 2
(1 )
u x
x
dv dx
x
=


= +
Bài tập

1.
3
3
1
ln
e
x
dx
x∫ 2.
1
ln
e
x xdx∫
3.
1
2
0
ln( 1)x x dx+∫ 4.
2
1
ln
e
x xdx∫
5.
3
3
1
ln
e
x
dx
x∫ 6.
1
ln
e
x xdx∫
7.
1
2
0
ln( 1)x x dx+∫ 8.
2
1
ln
e
x xdx∫
9.
2
0
( osx)sinxx c dx
π
+∫ 10.
1
1
( )ln
e
x xdx
x
+∫
11.
2
2
1
ln( )x x dx+∫ 12.
3
2
4
tanx xdx
π
π
∫
13.
2
5
1
ln x
dx
x∫ 14.
2
0
cosx xdx
π
∫
15.
1
0
x
xe dx
∫ 16.
2
0
cosx
e xdx
π
∫
Tính các tích phân sau
1) ∫
1
0
3
. dxex x
2) ∫ −
2
0
cos)1(
π
xdxx 3) ∫ −
6
0
3sin)2(
π
xdxx 4)
∫
2
0
2sin.
π
xdxx
5) ∫
e
xdxx
1
ln 6) ∫ −
e
dxxx
1
2
.ln).1( 7) ∫
3
1
.ln.4 dxxx 8)
∫ +
1
0
2
).3ln(. dxxx 9) ∫ +
2
1
2
.).1( dxex x
10) ∫
π
0
.cos. dxxx 11)
∫
2
0
2
.cos.
π
dxxx 12) ∫ +
2
0
2
.sin).2(
π
dxxxx

13)
2
5
1
lnx
dx
x∫ 14)
2
2
0
x cos xdx
π
∫ 15)
1
x
0
e sinxdx∫ 16)
2
0
sin xdx
π
∫
17)
e
2
1
x ln xdx∫ 18)
3
2
0
x sinx
dx
cos x
π
+
∫ 19)
2
0
xsinx cos xdx
π
∫ 20)
4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−∫
21)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫ 22)
1
2 2x
0
(x 1) e dx+∫ 23)
e
2
1
(x lnx) dx∫ 24)
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+∫
25) 2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +∫ 26)
1
2
0
xtg xdx∫ 27) ∫ −
1
0
2
)2( dxex x
28) ∫ +
1
0
2
)1ln( dxxx
29) ∫
e
dx
x
x
1
ln
30) ∫ +
2
0
3
sin)cos(
π
xdxxx 31) ∫ ++
2
0
)1ln()72( dxxx 32)
∫ −
3
2
2
)ln( dxxx
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1. ∫ +−
−
5
3
2
23
12
dx
xx
x
2. ∫ ++
b
a
dx
bxax ))((
1
3. ∫ +
++
1
0
3
1
1
dx
x
xx
4. dx
x
xx
∫ +
++
1
0
2
3
1
1
5. ∫ +
1
0
3
2
)13(
dx
x
x
6. ∫ ++
1
0
22
)3()2(
1
dx
xx
7. ∫ +
−
2
1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
8. ∫− +−
++−
0
1
2
23
23
9962
dx
xx
xxx
9. ∫ −
3
2
22
4
)1(
dx
x
x
10. ∫ +
−1
0
2
32
)1(
dx
x
x
n
n
11. ∫ ++
−
2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
12. ∫ +
2
1
4
)1(
1
dx
xx
13. ∫ +
2
0
2
4
1
dx
x
14. ∫ +
1
0
4
1
dx
x
x
15. dx
xx∫ +−
2
0
2
22
1
16. ∫ +
1
0
32
)1(
dx
x
x
17. ∫ +−
4
2
23
2
1
dx
xxx
18. ∫ +−
++
3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx
19. ∫ +
−
2
1
4
2
1
1
dx
x
x
20. ∫ +
1
0
3
1
1
dx
x
21. ∫ +
+++
1
0
6
456
1
2
dx
x
xxx
22. ∫ +
−
1
0
2
4
1
2
dx
x
x

23.
∫ +
+
1
0
6
4
1
1
dx
x
x 24.
1
2
0
4 11
5 6
x
dx
x x
+
+ +∫
25.
1
2
0
1
dx
x x+ +∫ 26. ∫ −
+
3
2
1
2
dx
x
x
27. dx
x
x
∫ 





−
+
−
1
0
3
1
22
28. ∫−






+−
−
−
0
1
12
12
2
dxx
x
x
29. dxx
x
x
∫ 





−−
+
−
2
0
1
2
13
30. dx
x
xx
∫ +
++
1
0
2
3
32
31. dxx
x
xx
∫−






+−
−
++
0
1
2
12
1
1
32. dxx
x
xx
∫ 





+−
+
−+
1
0
2
1
1
22
33. ∫ ++
1
0
2
34xx
dx
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1. xdxx 4
2
0
2
cossin∫
π
2.
∫
2
0
32
cossin
π
xdxx
3. dxxx∫
2
0
54
cossin
π
4.
∫ +
2
0
33
)cos(sin
π
dxx
5.
∫ +
2
0
44
)cos(sin2cos
π
dxxxx 6.
∫ −−
2
0
22
)coscossinsin2(
π
dxxxxx
7. ∫
2
3
sin
1
π
π
dx
x
8.
∫ −+
2
0
441010
)sincoscos(sin
π
dxxxxx
9.
∫ −
2
0
cos2
π
x
dx 10.
∫ +
2
0
sin2
1
π
dx
x
11.
∫ +
2
0
2
3
cos1
sin
π
dx
x
x 12. ∫
3
6
4
cos.sin
π
π xx
dx
13.
∫ −+
4
0
22
coscossin2sin
π
xxxx
dx 14.
∫ +
2
0
cos1
cos
π
dx
x
x
15.
∫ −
2
0
cos2
cos
π
dx
x
x 16.
∫ +
2
0
sin2
sin
π
dx
x
x
17.
∫ +
2
0
3
cos1
cos
π
dx
x
x 18.
∫ ++
2
0
1cossin
1
π
dx
xx

19. ∫ −
2
3
2
)cos1(
cos
π
π x
xdx
20. ∫
−
++
+−2
2
3cos2sin
1cossin
π
π
dx
xx
xx
21.
∫
4
0
3
π
xdxtg 22. dxxg∫
4
6
3
cot
π
π
23. ∫
3
4
4
π
π
xdxtg 24.
∫ +
4
0
1
1
π
dx
tgx
25. ∫
+
4
0 )
4
cos(cos
π
π
xx
dx
26.
∫ ++
++2
0
5cos5sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
27. ∫ +
π2
0
sin1 dxx 28.
∫ ++
4
0 13cos3sin2
π
xx
dx
29.
∫ +
4
0
4
3
cos1
sin4
π
dx
x
x 30.
∫ +
++2
0
cossin
2sin2cos1
π
dx
xx
xx
31.
∫ +
2
0
cos1
3sin
π
dx
x
x 32. ∫ −
2
4
sin2sin
π
π xx
dx
33.
∫
4
0
2
3
cos
sin
π
dx
x
x 34.
∫ +
2
0
32
)sin1(2sin
π
dxxx
35. ∫
π
0
sincos dxxx 36. ∫
−3
4
3
3 3
sin
sinsin
π
π
dx
xtgx
xx
37.
∫ ++
2
0
cossin1
π
xx
dx 38.
∫ +
2
0
1sin2
π
x
dx
39. ∫
2
4
53
sincos
π
π
xdxx 40.
∫ +
4
0
2
cos1
4sin
π
x
xdx
41.
∫ +
2
0
3sin5
π
x
dx 2. ∫
6
6
4
cossin
π
π xx
dx
43. ∫
+
3
6
)
6
sin(sin
π
π
π
xx
dx
4. ∫
+
3
4
)
4
cos(sin
π
π
π
xx
dx

45. ∫
3
4
6
2
cos
sin
π
π x
xdx
46. dxxtgxtg )
6
(
3
6
π
π
π
∫ +
47.
∫ +
3
0
3
)cos(sin
sin4
π
xx
xdx 48. ∫
−
+
0
2
2
)sin2(
2sin
π x
x
49.
∫
2
0
3
sin
π
dxx 50.
∫
2
0
2
cos
π
xdxx
51.
∫
+
2
0
12
.2sin
π
dxex x 52. dxe
x
x x
∫ +
+2
0
cos1
sin1
π
53. ∫ +
4
6
2cot
4sin3sin
π
π
dx
xgtgx
xx
54.
∫ +−
2
0
2
6sin5sin
2sin
π
xx
xdx
55. ∫
2
1
)cos(ln dxx 56. ∫
3
6
2
cos
)ln(sin
π
π
dx
x
x
57. dxxx∫ −
2
0
2
cos)12(
π
58. ∫
π
0
2
cossin xdxxx
59.
∫
4
0
2
π
xdxxtg 60. ∫
π
0
22
sin xdxe x
61.
∫
2
0
3sin
cossin
2
π
xdxxe x 62.
∫ +
4
0
)1ln(
π
dxtgx
63.
∫ +
4
0
2
)cos2(sin
π
xx
dx 64.
∫ −+
−2
0
2
)cos2)(sin1(
cos)sin1(
π
dx
xx
xx
65.
2
2
sin 2 sin 7
−
∫ x xdx
π
π
66.
2
4 4
0
cos (sin cos )+
∫ x x x dx
π
67.
2
3
0
4sin
1 cos+∫
x
dx
x
π
68. ∫
−
2
2
3cos.5cos
π
π
xdxx
69. ∫
−
2
2
2sin.7sin
π
π
xdxx 70. ∫
4
0
cos
2
sin
π
xdx
x
71. ∫
4
0
2
sin
π
xdx

V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
∫
b
a
dxxfxR ))(,( Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
+) R(x,
xa
xa
+
−
) §Æt x = a cos2t, t ]
2
;0[
π
∈
+) R(x, 22
xa − ) §Æt x = ta sin hoÆc x = ta cos
+) R(x, n
dcx
bax
+
+
) §Æt t = n
dcx
bax
+
+
+) R(x, f(x)) = γβα +++ xxbax 2
)(
1
Víi ( γβα ++ xx2
)’ = k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t = γβα ++ xx2
, hoÆc ®Æt t = bax +
1
+) R(x, 22
xa + ) §Æt x = tgta , t ]
2
;
2
[
ππ
−∈
+) R(x, 22
ax − ) §Æt x =
x
a
cos
, t }
2
{];0[
π
π∈
+) R( )1 2 in n n
x x x; ;...; Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni)
§Æt x = tk
1. ∫ +
32
5
2
4xx
dx
2. ∫ −
2
3
2
2
1xx
dx
3. ∫
−
+++
2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx
4. ∫ +
2
1
3
1xx
dx
5. ∫ +
2
1
2
2008dxx 6. ∫ +
2
1
2
2008x
dx
7. ∫ +
1
0
22
1 dxxx 8. ∫ −
1
0
32
)1( dxx
9. ∫ +
+
3
1
22
2
1
1
dx
xx
x
10. ∫ −
+2
2
0
1
1
dx
x
x
11. ∫ +
1
0
32
)1( x
dx
12. ∫ −
2
2
0
32
)1( x
dx
13. ∫ +
1
0
2
1 dxx 14. ∫ −
2
2
0
2
2
1 x
dxx
15. ∫ +
2
0 2cos7
cos
π
x
xdx 16. ∫ −
2
0
2
coscossin
π
dxxxx

17. ∫ +
2
0
2
cos2
cos
π
x
xdx 18. ∫ +
+2
0 cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
19. ∫ +
7
0
3 2
3
1 x
dxx
20. ∫ −
3
0
23
10 dxxx
21. ∫ +
1
0 12x
xdx
22. ∫ ++
1
0
2
3
1xx
dxx
23. ∫ ++
7
2 112x
dx
24. dxxx∫ +
1
0
815
31
25.
∫ −
2
0
56 3
cossincos1
π
xdxxx
26.
∫ +
3ln
0 1x
e
dx
27. ∫− +++
1
1
2
11 xx
dx
28. ∫ +
2ln
0
2
1x
x
e
dxe
29. ∫ −−
1
4
5
2
8412 dxxx
30. ∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31
31. ∫ +
+
3
0
2
35
1
dx
x
xx
32. dxxxx∫ +−
4
0
23
2
33. ∫−
++
0
1
32
)1( dxxex x
34. ∫ +
3ln
2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x
35.
∫
+3
0
2
2
cos
32
cos
2cosπ
dx
x
tgx
x
x
36. ∫ +
2ln
0
3
)1( x
x
e
dxe
37. ∫ +
3
0 2cos2
cos
π
x
xdx 38. ∫ +
2
0
2
cos1
cos
π
x
xdx
39. dx
x
x
∫ +
+
7
0
3
3
2
40. ∫ +
a
dxax
2
0
22
VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã:
∫∫ −+=
−
aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(
VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [- 2
3
;
2
3 ππ
] tháa m·n f(x) + f(-x) =
x2cos22 − ,
TÝnh: ∫
−
2
3
2
3
)(
π
π
dxxf
+) TÝnh ∫− +
+
1
1
2
4
1
sin
dx
x
xx

Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã: ∫−
a
a
dxxf )( = 0.
VÝ dô: TÝnh: ∫−
++
1
1
2
)1ln( dxxx ∫
−
++
2
2
2
)1ln(cos
π
π
dxxxx
Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: ∫−
a
a
dxxf )( = 2
∫
a
dxxf
0
)(
VÝ dô: TÝnh ∫− +−
1
1
24
1xx
dxx
2
2
2
cos
4 sin
−
+
−∫
x x
dx
x
π
π
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:
∫∫ =
+−
aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(
(1≠ b>0, ∀a)
VÝ dô: TÝnh: ∫− +
+
3
3
2
21
1
dx
x
x ∫
−
+
2
2
1
5cos3sinsin
π
π
dx
e
xxx
x
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; 2
π
], th× ∫∫ =
2
0
2
0
)(cos)(sin
ππ
dxxfxf
VÝ dô: TÝnh ∫ +
2
0
20092009
2009
cossin
sin
π
dx
xx
x
∫ +
2
0 cossin
sin
π
dx
xx
x
Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã: ∫∫ =
ππ
π
00
)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf
π
0
sin1
dx
x
x
∫ +
π
0
cos2
sin
dx
x
xx
Bµi to¸n 6: ∫∫ =−+
b
a
b
a
dxxfdxxbaf )()( ⇒ ∫∫ =−
bb
dxxfdxxbf
00
)()(
π
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
∫ +
4
0
)1ln(4sin
π
dxtgxx
Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×:
∫∫ =
+ TTa
a
dxxfdxxf
0
)()( ⇒
∫∫ =
TnT
dxxfndxxf
00
)()(
VÝ dô: TÝnh ∫ −
π2008
0
2cos1 dxx

C¸c bµi tËp ¸p dông:
1. ∫− +
−
1
1
2
21
1
dx
x
x 2. ∫
−
+−+−4
4
4
357
cos
1
π
π
dx
x
xxxx
3. ∫− ++
1
1
2
)1)(1( xe
dx
x 4. ∫
−
−
+2
2
2
sin4
cos
π
π
dx
x
xx
5. ∫
−
+
−2
1
2
1
)
1
1
ln(2cos dx
x
x
x 6. dxnx)xsin(sin
2
0
∫ +
π
7. ∫
− +
2
2
5
cos1
sin
π
π
dx
x
x
8. 1
)1(1
cot
1
2
1
2
=
+
+
+ ∫∫
ga
e
tga
e
xx
dx
x
xdx
(tga>0)
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1. ∫−
−
3
3
2
1dxx 2. ∫ +−
2
0
2
34 dxxx
3. ∫ −
1
0
dxmxx 4. ∫
−
2
2
sin
π
π
dxx
5. ∫−
−
π
π
dxxsin1 6. ∫ −+
3
6
22
2cot
π
π
dxxgxtg
7. ∫
4
3
4
2sin
π
π
dxx 8. ∫ +
π2
0
cos1 dxx
9. ∫−
−−+
5
2
)22( dxxx 10. ∫ −
3
0
42 dxx
11. ∫
−
−
3
2
3
coscoscos
π
π
dxxxx 12. 2)
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +∫
13.
5
3
( x 2 x 2)dx
−
+ − −∫ 14.
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
+ −∫
15.
3
x
0
2 4dx−∫ 16.
0
1 cos2xdx
π
+∫
17.
2
0
1 sinxdx
π
+∫ 18. dxxx∫ −
2
0
2
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1
, trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex
+1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3
- 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1
, trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex
+1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3
- 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π
Bµi 1: Cho (p) : y = x2
+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ó diÖn
tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt
Bµi 2: Cho y = x4
- 4x2
+m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã
diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x b»ng nhau
Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi





=
≤≤
−
=
0
1
3
y
xo
xx
y
Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau
Bµi 4: (p): y2
=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2
+y2
= 8 thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn
tÝch mçi phÇn
Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi






+
−
=
+
++
=
4
2
4
22
1
1
32
a
axa
y
a
aaxx
y
T×m
a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt
Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:
1) (H1):
2
2
x
y 4
4
x
y
4 2

= −


 =

2) (H2) :
2
y x 4x 3
y x 3
 = − +

= +
3) (H3):
3x 1
y
x 1
y 0
x 0
− −
= −

=
 =


4) (H4):
2
2
y x
x y
 =

= −
5) (H5): 2
y x
y 2 x
 =

= −
6) (H6):
2
y x 5 0
x y 3 0
 + − =

+ − =

7) (H7):
lnx
y
2 x
y 0
x e
x 1

=

=
 =

=
8) (H8) :
2
2
y x 2x
y x 4x
 = −

= − +
9) (H9):
2 3 3
y x x
2 2
y x

= + −

 =
10) (H10):
2
y 2y x 0
x y 0
 − + =

+ =
11)





−=
=
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
12)





=∆
=
=
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC x
13)



−=
+=
1
122
xy
xy
14)




=+
−−=
03
4
2
2
yx
xy
15)





=
=−+
=
0
02
y
yx
xy
16






+
=
=
2
2
1
1
2
x
y
x
y
17



===
=
3,0,
22
yyxy
xy
18)




==
==
ex
e
x
yxy
,
1
0,ln
19.






==
==
3
;
6
cos
1
;
sin
1
22
ππ
xx
x
y
x
y
20): y = 4x – x2
; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua
M(5/6,6)
21)





−=
+−=
+−=
114
42
542
xy
xy
xxy
22)





−=
−+−=
−+−=
153
34
56
2
2
xy
xxy
xxy
23)








=
=
=
=
ex
y
x
y
xy
0
1
24)



+=
−=
5//
/1/ 2
xy
xy
25)




=
=
xy
xy
2
3
26)



=
+−−=
0
2//3 2
y
xxy
27)



−=
+=
xy
xy
4
22
28)





=
++=
+−=
1
54
22
2
2
y
xxy
xxy
29)




+−=
−=
7
/1/
2
2
xy
xy

30)





=−=
=
=
1;2
0
3
xx
y
xy
31)





==
=
−=
πxx
y
xxy
;0
3
cos2sin
32)




=
++=
0
2
3
y
x
xy
33)



+=
+=
2
22
xy
xxy
34)





==
−+=
−=
4;0
63
22
2
2
xx
xxy
xxy
35)



=
+−=
6
/65/ 2
y
xxy
36)





=
−−=
=
2
12
2
2
2
y
xxy
xy
37)



=
+−=
2
/23/ 2
y
xxy
38)



+=
+−=
1
/65/ 2
xy
xxy
39)




−=
+−=
2
2
/23/
xy
xxy
40)



=
+−=
3
/34/ 2
y
xxy
41)





=
=
=
−
1x
ey
ey
x
Ï
42)





==
−
=
1;0
62
2
xx
xx
x
y
43)



−=
=
π//
/sin/
xy
xy
44)





=
−−=
=
8
44
2
2
2
y
xxy
xy
45)





=
=++
=
0
0122
22
y
yx
xy
46)


 −=
0
)( 2222
a
xaxy
47)



=
+=
yx
xy
πsin
)1( 2
48)



=
−=
2
/1/2
x
xy
49)



=
−=
2
/1/ 2
x
yx
32)





=
=
+=
0
sin
)1( 2
x
xy
yx
33)







=
−=
24
4
4
2
2
x
y
x
y
34)









=
−
=
=
=
0;
1
2
1
;0
4
y
x
x
y
x
x

35)





−==
=
= −
xyx
y
y x
3;0
0
5 2
36)




=+
=
16
6
22
2
yx
xy
37)









=
=
=
x
y
x
y
xy
27
27
2
2
38)




=
−=
xy
xy
4
)4(
2
32
39)







==
=
=
10,
10
1
0
/log/
xx
y
xy
40)




=
=
2
2
xay
yax
(a>0) 41)





≤≤
+=
=
πx
xxy
xy
0
sin2
42)




−=
=
22
2
)1(827
2
xy
xy
43) x2
/25+y2
/9 = 1 vµ hai
tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2
vµ ®iÓm A(2;5) ®êng th¼ng (d) ®i qua A cã hÖ sè gãc
k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt
45)



=
−+−=
0
342 23
y
xxxy
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Công thức:
[ ] dxxfV
b
a
2
)(∫= π [ ] dyyfV
b
a
2
)(∫= π
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2
+ x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0= = − =
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2
y (x 2)= − và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 2
4 ; 2y x y x= − = + .
a b0=y
)(:)( xfyC =
b
ax =
bx =
x
y
O
b
a
x
y
0=x
O
)(:)( yfxC =
by =
ay =

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
2
2
1
;
1 2
x
y y
x
= =
+
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2
và y = 2x + 4
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2
= 4x và y = x
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 22
1
.
x
ex ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x )1ln( 3
x+ ; y = 0 ; x = 1
1)



=
−=
4
)2( 2
y
xy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
2)



=
==
4
4, 22
y
xyxy
3)




===
+
=
1,0,0
1
1
2
xxy
x
y
4)



=
−=
0
2 2
y
xxy
5)





==
=
=
exx
y
xxy
;1
0
ln.
quay quanh trôc a) 0x;
6) (D)





=
+−=
>=
1
103
)0(2
y
xy
xxy
quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2
7)




=
=
xy
xy 2
quay quanh trôc a) 0x;
8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2
+ y2
= 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

9) MiÒn trong (E): 1
49
22
=+
yx
10)





≤≤=
=
=
10;,1
0
xx
y
xey Ï
quay quanh trôc 0x;
11)







==
=
+=
π
π
xx
y
xxy
;
2
0
sincos 44
12)



−=
=
xy
xy
310
2
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
14)







==
−
=
2;0
4
4
xx
x
y quay quanh trôc 0x;
15)





==
=
−=
0;0
2
1
yx
y
xy

Bai tap nguyen ham tich phan

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Bai tap nguyen ham tich phan