1. Inequações do Primeiro Grau
Quando comparamos dois números reais a e b , somente uma das três afirmações é verdadeira: a < b ou a =
b ou a > b
Se os números a e b forem distintos, então a < b ou a > b e dizemos que a e b são desiguais, isto é, existe
entre eles uma desigualdade.
Vejamos alguns exemplos de desigualdades, todas verdadeiras:
4 é menor que 7 4<7
32 é maior que 11 32 > 11
- 12 é menor que 0 - 12 < 0
7/2 é maior que 2/3 7/2 > 2/3
Vejamos agora algumas sentenças abertas representadas por desigualdades:
O dobro de um número é maior que 8 2x > 8
O consecutivo do triplo de um número é menor que menos 14 3x + 1 < - 14
A metade do triplo de um número não é maior que 5
Se o número não é maior que cinco, ele pode ser menor ou igual a cinco
O quádruplo de um número adicionado a sua metade não é menor que 0
Se a expressão não é menor que zero, ela pode ser maior ou igual a zero
A essas sentenças abertas denominamos
Inequação é uma sentença aberta expressa por uma desigualdade entre duas expressões
algébricas.
A letra x em cada uma das desigualdades é denominada incógnita ou variável e cada expressão algébrica são
os membros da
inequação. O membro à direita é o 1º membro e a expressão situada à esquerda é o 2º membro da inequação.
Todas as quatro
inequações apresentadas são Inequações do primeiro grau, já que o grau da variável x é 1.
Solução de uma Inequação
Consideremos, como exemplo, a inequação
Se a expressão 3x + 7 precisa ser maior que 16 3x precisa ser maior que 9. E dessa forma, x precisa ser
maior que 3.
Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos naturais ou o conjunto dos números inteiros, x
poderá ser qualquer inteiro
maior que 3. { 4; 5; 6; 7; ... }
2. Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos números racionais, x poderá ser qualquer
racional maior que 3.
{ 3,01; ... 3,012;..., 3,333...;.... 4;... 4, 3; .... }
Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos números reais, x poderá ser qualquer real maior
que 3.
{ 3,01; ... 3,011 ;... 4;... ; ...7, 81; ... }
Sentido de uma Inequação
As inequações: 5x + 7 > 3 e 2 + 5x > 0 têm o mesmo sentido, pois possuem o mesmo sinal de
desigualdade.
As inequações: 2x - 7 < - 2 e 4x < 7 têm o mesmo sentido, pois possuem o mesmo sinal de desigualdade.
As inequações: x + 11 > 1 e 1 - 7x < 1 têm sentidos contrários, pois possuem sinais diferentes de
desigualdade.
As inequações: 8 - x < - 3x e 6x > 11 têm sentidos contrários, pois possuem sinais diferentes de
desigualdade.
Propriedades das Desigualdades
Propriedade I - Uma desigualdade não se altera que quando adicionamos ou subtraímos um mesmo
número a
ambos de seus membros.
Consideremos a desigualdade 7 > 4.
Se adicionarmos 3 unidades a cada membro, teremos : 7 + 3 > 4 + 3 10 > 7
Se diminuirmos 4 unidades de cada membro, teremos : 7 - 4 > 4 - 4 3>0
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.
Consideremos a desigualdade - 5 < 2.
Se adicionarmos 1 unidade a cada membro, teremos : - 5 + 1 < 2 + 1 -4<3
Se diminuirmos 2 unidades de cada membro, teremos : - 5 - 2 < 2 - 2 -7<0
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.
Propriedade II - Uma desigualdade não se altera que quando multiplicamos ou dividimos ambos de
seus membros
por um mesmo número positivo.
Consideremos a desigualdade 6 > 4.
Se multiplicarmos cada membro por 8, teremos : 6 x 8 > 4 x 8 48 > 32
Se dividirmos cada membro por 2, teremos : 6 : 2 > 4 : 2 3>2
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.
Consideremos a desigualdade - 8 < 10.
Se multiplicarmos cada membro por 3, teremos : - 8 x 3 < 10 x 3 - 24 < 30
Se dividirmos cada membro por 4, teremos : - 8 : 4 < 10 : 4 - 2 < 2,5
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.
3. Propriedade III - Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos ambos de
seus membros
por um mesmo número negativo.
Consideremos a desigualdade 12 > 5.
Se multiplicarmos cada membro por - 7 , teremos : 12 x (- 7) > 5 x (- 7) - 84 < - 35
Se dividirmos cada membro por - 2, teremos : 12 : (- 2) > 5 : (- 2) - 6 < - 2,5
Em ambos os casos as desigualdades mudaram de sentido.
Consideremos a desigualdade - 4 < 12.
Se multiplicarmos cada membro por - 2, teremos : - 4 x ( - 2 ) < 12 x ( - 2 ) 8 > - 24
Se dividirmos cada membro por - 1 , teremos : - 4 : ( - 1 ) < 10 : ( - 1 ) 4 > - 10
Em ambos os casos as desigualdades mudaram de sentido.
Resolução de uma Inequação do Primeiro Grau.
Sistemas de Inequações do Primeiro Grau
6. Respostas dos Exercícios Propostos
Inequações do Primeiro Grau
Inequações Fracionárias do Primeiro Grau
Uma inequação do primeiro grau é fracionária quando possuir incógnita em denominador. Sua resolução será
feita de forma bastante
diferenciada de uma equação fracionária do primeiro grau. Para resolvê-la precisamos analisar os sinais da
fração algébrica
resultante.
1º Caso : O numerador é um número real qualquer e o denominador é uma expressão ou ( função ) do
primeiro grau :
9. Montando o Quadro de Sinais
Na primeira linha analisaremos a variação de sinais da função numerador, na segunda linha analisaremos a
variação de sinais da
função denominador e na terceira linha apresentaremos a variação de sinais do quociente resultante. No
alto do quadro teremos
as raízes da expressão algébrica numerador ( função numerador ) e da expressão algébrica denominador (
função denominador ),
escritas como numa reta de números reais.
E montando o quadro, teremos:
