1. O documento apresenta definições e propriedades de logaritmos, incluindo a definição formal de logaritmo, propriedades como a mudança de base e a propriedade da soma e diferença. 2. É explicado que logaritmos simplificam cálculos matemáticos e são fundamentais para entender exponenciais. 3. Demonstrações formais são fornecidas para várias propriedades, como a propriedade da soma que afirma que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos.

1. GUIDG.COM – PG. 1
29/6/2011 – MAT – Matemática básica
Logaritmos: Definições e Propriedades
1 – Esse estudo requer um entendimento de vários conceitos de Matemática básica, exceto logaritmos.
2 – A teoria de logaritmos surge (e se fundamenta) a partir do estudo de Potenciação, Radiciação e Equações Exponenciais,
portanto é necessário o conhecimentos e domínio das téncicas vistas nesses assuntos.
3 – Se houver dúvidas quanto aos significados dos símbolos consulte o arquivo Notação Matemática no site.
4 – Este arquivo é apenas um guia de propriedades com demonstrações, não serve como material didático completo.
# Definição, Propriedades, demonstração e exemplos se possível.
Surge no inicio do século 17 a teoria de Logaritmos, visto que seu objetivo é a simplificação de cálculos matemáticos.
Antes de trabalhar com logaritmos, é importante entender a leitura e o significado dos símbolos.
log b a = c
log – é o símbolo de Logaritmo, indica a operação.
A0 a – logaritmando ou anti-logaritmo.
b – base.
c – é o Logaritmo, o seu valor numérico.
Lê-se: O logaritmo de a na base b é igual a c.
Ou ainda: O logaritmo de a na base b é c.
* Importante: entenda que o logaritmo é um número, independente da forma que esta apresentado.
* Logaritmo do grego “logos” razão e “aritmos” números, significando razão entre números.
Particularidades e aplicações no cálculo:
ln a = loge a
ln – é o logaritmo de base e = 2,718281... , também chamado logaritmo neperiano ou logaritmo natural.
e – é o número de Euler, é conhecido por outros nomes também.
log a = log10 a
A1 Logaritmo decimal: Como o uso dos logaritmos de bases decimais tornou-se frequente no cálculo, os matemáticos
optaram por omitir a base, aliviando a notação (ou seja para não ficar repetindo a escrita). Portanto quando o logaritmo
não apresentar base, sua base será 10.
Vejamos agora o significado do cologaritmo, sua demonstração e definição.
colog b A = @ log b A
Demonstração:
f g
1f
ff
ff
f
colog b A = @ log b A = log b A = log b
@1
A

2. GUIDG.COM – PG. 2
f g
1f
ff
ff
f
log b = log b 1 @ log b A
A
= 0 @ log b A
Portanto a definição:
“O cologaritmo é o oposto do logaritmo, ou o cologaritmo é o inverso do logaritmando”.
*Importante: o cologaritmo não é o inverso do logaritmo, ou seja:
b c@ 1
colog b A ≠ log b A
b c@ 1 1 1 log Aff
ff b
log b A = fffff= logfff= 1 A fffff= log A b
fffff fffff
fffff ffff
ffff f fff
f fffff
fffff
fffAf
log b A ffffff
ff ff
f fff
fA f f
ff log A A
logA b
Logaritmos, definição, Equivalência fundamental e condição de existência:
X` a
1 log a = c ^ b c = a
b
8 a>0 , b>0 , b ≠1
` a
Z 2
(1) O logaritmo de a na base b é igual à c, se e somente se, b elevado à c for igual à a.
B0
(2) Para todo a maior que zero, b maior que zero e b diferente de um.
É importante entender que a, b e c pertencem ao conjunto dos números Reais, mas:
a e b devem ser maiores que zero, e não iguais a zero.
b tem que ser diferente de um.
Caso contrario chega-se a absurdos.
log b a é o mesmo que escrever b = a .
c
* Quanto a equivalência fundamental, dizemos que escrever
Consequências da definição. Abaixo resumimos as consequências imediatas da definição seguido de suas breves
demonstraçõe em C1, C2, C3...
C1) log b 1 = 0
.
C2) log b b = 1
C0 .
b c
C3) loga a b = b
.
C4) a loga b = b
.
C5) loga b = log a c ^ b = c
Vamos as propriedades dos logaritmos: A definição e a condição de existência são sempre aplicadas.
* Para os teoremas admita as letras maiúsculas e minusculas como números Reais.
P0 * As demonstrações são apresentadas a seguir em P1, P2, P3...
P1) log c AA B = log c A + log c B
` a

3. GUIDG.COM – PG. 3
f g
Af
ff
ff
f
P2) logc = log c A@ log c B
B
b c
= n A log b A
n
P3) log b A
logfff
fffAf
fffff
fffff
fC f
P4) logB A = ^ C>0 , C ≠1
log C B
1
P5) log b A = fffff
ffff
ffff
ffff
log A b
P6) log b AA log A c = log b c
1f
P7) log b x A = flog b A
ff
.
x
1ª Consequência da definição:
log b 1 = c ^ c = 0
A pergunta que se faz aqui, é porque c = 0 ?
Aplicando a equivalência fundamental temos:
b =1
c
C1
Mas pelas propriedades de potenciação temos que x 0 = 1 para x ≠ 0 . Então b = 1
0
Ou seja qualquer número elevado à zero é um, desde que este número seja diferente de zero, caso contrario chega-se a
uma forma indeterminada (neste momento não trataremos de indeterminações). Então:
b =1=b
c 0
c=0
Aqui aplica-se a propriedade do cancelamento das bases. Ou seja quando numa equação as bases forem iguais podemos
igualar os expoentes.
2ª Consequência da definição:
log b b = c ^ c = 1
b =b
c
C2
c=1
Portanto quando o logaritmando for igual a base, o logaritmo será 1.

4. GUIDG.COM – PG. 4
3ª Consequência da definição:
b c
C3
loga a b = c ^ c = b
ac = a b
c=b
4ª Consequência da definição:
* Esta consequência e muito importante, veja a demonstração:
a log a b = c ^ c = b
(1) Definindo loga b = y temos:
ay = c
Por decorrência da definição, a equação acima pode ser reescrita como:
C4
(2) loga c = y
Igualando (1) à (2), temos:
loga b = loga c
5ª Consequência da definição:
* Esta consequência já foi aplicada na 4ª consequência, mas para esclarecimento veja a demonstração:
loga b = loga c ^ b = c
(1) Definindo loga c = y , temos:
loga b = y
C5
ay = b
Mas y = loga c , então:
Logo, com a 4ª consequência temos:
c=b
A primeira propridade chamase Prostaférese,que significa a tranformação de um produto numa soma, veja:
logc A A B = logc A + logc B
` a
P1
“O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos”
Demonstração partindo do lado direito da igualdade. Admita x como um número Real, e que possamos escrever x como:

5. GUIDG.COM – PG. 5
x = log c A + log c B
c x = c logc A + logc B
c x = c logc A A c logc B
Aplicando a quarta consequência (C4) no lado direito da igualdade:
c x = AA B
Agora aplicando a equivalência fundamental (B0):
log c AA B = x
` a
logc AA B = x = logc A + logc B
` a
Portanto
* Segundo método de demonstração, partindo do lado esquerdo da igualdade. Apenas para esta primeira
propriedade, e como forma de exemplo, demonstraremos uma outra maneira ficando a cargo do estudante escolher qual
achar melhor. Este método pode também ser aplicado as demais propriedades como princípio de demonstração.
logc A A B = logc A + logc B
` a
Admita x como um número Real e que x possa ser escrito como o logaritmo do produto de dois outros números:
α: logc A A B = x
` a
Então aplicando B0:
β: c x = A A B
Mas:
X
log A = y [ c y = A
P1*
γ: Z c
logc B = z [ c z = B
Então comparando β com γ, temos:
c x = AA B
c x = c y Ac z
cx =cy +z
x=y+ z
Agora aplica-se em α os resultados obtidos em γ, e encerra-se a demonstração:
logc AA B = x = y + z
` a
logc AA B = logc A + logc B
` a
P2 A segunda propriedade consiste da trasformação de uma diferença num quociente:

6. GUIDG.COM – PG. 6
f g
Af
ff
ff
f
logc = logc A @ logc B
B
“O logaritmo do quociente é igual a diferença dos logaritmos”
*Importante: jamais altere a ordem “logaritmo do númerador menos o logaritmo do denominador”.
Demonstração. Admita x como um número Real e que possamos escrever x como:
x = log c A@ log c B
c x = c logc A @ logc B
c x = c logc A A c@ logc B
b c 1
c = c
x logc A
A ffff
ffff
fff
fff
logc B
c
Af
c x = ff
fff
B
Aplicando a equivalência fundamental temos:
f g
Af
ff
ff
f
log c =x
B
f g
Af
ff
ff
f
Portanto logc = x = logc A @ logc B
B
Esta propriedade decorre imediatamente da primeira propriedade (P1).
b c
= nA log b A
n
log b A
Demonstração:
A = AA A A A … (n vezes A)
n
Então, aplicando P1:
log b AA AA A … = log b A + log b A + log b A + … (u seja, a soma enésima do log b A )
` a
b c
log b AA AA A … = n log b A = nA log b A = n log b A
P3 ` a
Portanto,
Exemplo numérico:
b c
log3 3 = log3 3 A 3 A 3 A 3 = log3 3 + log3 3 + log3 3 + log3 3 = 4 log3 3
4 ` a
log3 3 = ?
3 =3
x
x=1
4 log3 3 = 4.1 = 4
4
Veja que não foi necessário saber o valor de 3 para descobrirmos o valor do logaritmo. Essa é a importância da

7. GUIDG.COM – PG. 7
propriedade.
Chamamos esta propriedade de “Mudança de base” pois é justamente o que se faz, quando for útil trocarmos a base do
logaritmo para a simplificação do cálculo.
logfff
fffAf
fffff
ffff
fC ff
logB A = ^ C>0 , C ≠1
logC B
O logaritmo de A na base B é igual ao quociente do logaritmo de A na base C pelo logaritmo de B na base C.
Ou seja escolhemos uma base qualquer (que seja útil) desde que seja maior que zero e diferente de um.
Demonstração:
Admita que possamos escrever um número x como a razão de dois logaritmos, isto é:
logffff
ffC A
ffffff
fffff
x=
P4 log C B
Então utilizando as propriedades vistas anteriormente, chegamos à:
x log C B = log C A
C x logC B = C logC A
C logC B = C logC A
x
B =A
x
Aplicando a equivalência fundamental:
log B A = x
logffff
ffC A
ffffff
fffff
Portanto, log B A = x =
log C B
* Consequência de P4, Mudança de base.
Esta propriedade nos diz que ao invertermos o logaritmo a base troca de lugar com o logaritmando.
f1 ff
ffff
ffff
ffff
f
log b A =
log A b
Demonstração:
log b A = x
P5 logffff
ffA A
ffffff
fffff
=x
log A b
1
ffffff
fffff
fffff
=x
log A b
f1 ff
ffff
ffff
ffff
f
Portanto, log b A = x =
log A b

8. GUIDG.COM – PG. 8
* Consequência de P4, Mudança de base.
Esta propriedade nos diz que dado um produto de dois logaritmos onde a base de um for igual ao logaritmando do outro,
então podemos transformar este produto num único logaritmo.
log b A A log A c = log b c
Demonstração:
log b A A log A c = x
P6 logffff
ffb c
ffffff
fffff
Mas log c =
A log b A
Então substituindo:
log fcff
fffff
ffbf f
ff f
ff
log b A A =x
log b A
# x = log b c
* Consequência de P4 Mudança de base. Esta propriedade é demonstrada com o mesmo principio das provas anteriores
junto com a aplicação de P4.
1f
ff
f
log bx A = log b A
x
P7
Demonstração:
logffff fffffff 1f fffff 1f logffff 1f
ffA ff ff ff f ff fff f f fffA f ff
fffA f f ff f f ff ff f ff ff f
ff f
f ff f1 ff
f 1ff f fbf
ff f
log bx A = x = = A log b = A = log b A
log A b x log A b x fffff x log b b x
fffff
fffff
fffff
b
log b A
Exercício de fixação:
fffff ffffff ffffff fffffff 15f
1 1 1 1
fffff ffffff ffffff ffffff ff
fffff ffffff ffffff ffffff ff
f
Se + + + = , determine log 3 x e o valor de x :
log x 3 logpw 3
w
w
w
ww
w
x
logpw 3
4w
w
w
ww
w
x
logpw 3
8w
w
w
ww
w
x
8
Solução:
Aplicando (P5) na equação dada:
w
w
w
w
ww w
w
w
w
ww
w w
w
w
w
ww 15f
ff
ff
f
log 3 x + log 3 px + log 3 px + log 3 p x =
4 8
E1 8
Re-escrevendo as raízes como potência fracionária:
1f 1f 1f
f
ff f
ff f
ff 15f
ff
ff
f
log 3 x + log 3 x 2 + log 3 x 4 + log 3 x 8 =
8
Aplicando (P1):
d 1f 1f
e
1f
f
ff f
ff f
ff 15f
ff
ff
f
log 3 x A x A x A x
2 4 8 =
8

9. GUIDG.COM – PG. 9
Somando os expoentes:
d e
15f
ff
ff
ff 15f
ff
ff
f
log 3 x 8 =
8
Aplicando (P3):
15f
ff
ff
f 15f
ff
ff
f
log 3 x =
8 8
Dividindo a equação por 15/8 :
log 3 x = 1
Aplicando a (B) equivalência fundamental:
31 = x , assim x=3 .
*Importante: O uso das cores nos quadros à esquerda é devido a quebra de página, a cor indica a continuação da explicação
do o assunto tratado que é indicado pelas abreviações: A0, B0, C0, P0...