1. Relações trigonométricas nos triângulos
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Sumário Página
Razões trigonométricas no triângulo retângulo .............................................................. 1
Seno .......................................................................................................................... 1
Cosseno .................................................................................................................... 2
Tangente ................................................................................................................... 2
Tabela trigonométrica ..................................................................................................... 4
Tabelas importantes.................................................................................................. 6
Resolvendo problemas no triângulo retângulo ............................................................... 6
Relações entre seno, cosseno e tangente......................................................................... 9
Relações trigonométricas em um triângulo qualquer ................................................... 10
Lei dos senos .......................................................................................................... 11
Lei dos cossenos ..................................................................................................... 12
Referências bibliográficas............................................................................................. 16
2. 1
Relações trigonométricas nos triângulos
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Um triângulo é uma figura geométrica plana, constituída por três lados e três
ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade
de medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0o e 180o, de
modo que, em qualquer triângulo, a soma dessas medidas é 180o.
Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que são
relações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar a
medida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos.
Um triângulo é dito retângulo quando um de seus ângulos é reto, isto é, tem
medida igual a 90o. Os outros dois ângulos, evidentemente, são agudos.
No triângulo retângulo ABC, consideremos, por exemplo, o ângulo que tem
vértice em B, cuja medida α, em graus, é um número real que está no intervalo
]0,90[. Entre os lados do triângulo podemos estabelecer as seguintes razões:
Seno
Seno de α é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo B e o
ˆ
comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o seno de α por sen α,
AC
temos: sen α = .
BC
Dado um segmento AB , indicamos o comprimento de AB por AB, onde
AB = med( AB ).
3. 2
Cosseno
Cosseno de α é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo B e
ˆ
o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o cosseno de α por cos α,
AB
temos: cos α = .
BC
Tangente
Tangente de α é a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto
AC
adjacente ao ângulo B . Indicando a tangente de x por tg α, temos: tg α =
ˆ .
AB
sen α
Observação: De acordo com a definição, é fácil verificar que tg α = , para
cos α
todo α variando no intervalo ]0,90[.
Exemplo:
► No triângulo retângulo ABC, determine o valor do seno, cosseno e tangente
ˆ
do ângulo C .
Resolução:
Representando a medida da hipotenusa por x, calculamos esse valor aplicando o
teorema de Pitágoras no ∆ABC.
x 2 = 5 2 + 12 2 sen β =
CO
cos β =
CA
tg β =
CO
x 2 = 25 + 144 H H CA
5 12 5
x 2 = 169 sen β = cos β = tg β =
13 13 12
x = 169
x = 13
4. 3
EXERCÍCIOS A
(1) Considerando que 5 = 2,23 , determine o valor do seno, do cosseno e da
ˆ
tangente do ângulo B no triângulo retângulo ABC da figura abaixo.
(2) A figura seguinte é um triângulo eqüilátero ABC, onde cada ângulo interno
vale 60º. Traçando-se a altura AH , teremos um triângulo retângulo AHC.
l 3
Sabendo que h = (você já conhece essa fórmula), considere o triângulo
2
retângulo AHC e determine o valor de sen 60º, cos 60º e tg 60º, deixando esses
valores na forma de radical.
5. 4
(3) Usando a mesma figura e o mesmo triângulo retângulo AHC (do exercício
anterior), determine o valor de sen 30º, cos 30º e tg 30º, pois a altura AH
ˆ
coincide com a bissetriz do ângulo interno A , no triângulo eqüilátero (deixar a
resposta na forma de radical).
(4) No triângulo retângulo, determine o valor do seno, do cosseno e da tangente
do ângulo de 45º (deixar a resposta na forma de radical).
Tabela trigonométrica
Em muitos casos, para resolver problemas com triângulos retângulos é
necessário conhecer as razões trigonométricas dos ângulos agudos do triângulo.
Como a cada ângulo agudo está associado um único valor para o seno, para o
cosseno e para a tangente, podemos elaborar uma tabela que nos forneça esses
valores, evitando assim a necessidade de calculá-los a toda hora.
A tabela a seguir foi construída há séculos, e nos dá os valores do seno, do
cosseno e da tangente de ângulos de 1º até 89º, com aproximação até milésimos.
A maioria das calculadoras, hoje em dia, nos fornecem esses valores.
7. 6
Tabelas importantes
Na resolução de alguns problemas é mais conveniente usar os valores da
seguinte tabela:
Ângulo sen cos tg
1 3 3
30º
2 2 3
2 2
45º 1
2 2
3 1
60º 3
2 2
Por extensão da definição, consideramos:
Ângulo sen cos tg
0º 0 1 0
não
90º 1 0
existe
Resolvendo problemas no triângulo retângulo
Usando os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo agudo de um
triângulo retângulo, podemos resolver problemas como veremos nos exemplos a
seguir.
Exemplos:
8. 7
a) No triângulo retângulo da figura, determinar as medidas x e y dos catetos.
x y
sen 32 o = cos 32 o =
123 20 123 20
0 ,53 0 ,848
x y
0,53 = 0,848 =
20 20
x = 20 ⋅ 0,53 y = 20 ⋅ 0,848
x = 10,60 cm y = 16,96 cm
b) Em um triângulo isósceles, cada ângulo da base mede 71º. Sabendo-se que a
base desse retângulo mede 8 cm, determinar a medida h da altura relativa à base.
h
tg 71o =
13 4
2
2 , 904
h
2,904 =
4
h = 4 ⋅ 2,904
h = 11,616 cm
EXERCÍCIOS B
(1) No triângulo retângulo determine as medidas x e y indicadas. (Use:
sen 65 o = 0,91; cos 65 o = 0,42 ; tg 65 o = 2,14 )
9. 8
(2) Considerando o triângulo retângulo ABC, determine as medidas a e b
indicadas.
(3) Na figura temos que PA = 18 cm. Nessas condições, calcule:
a) o comprimento r do raio da circunferência;
b) a distância x do ponto P ao centro O.
(4) A determinação feita por radares da altura de uma nuvem em relação ao solo
é importante para previsões meteorológicas e na orientação de aviões para que
evitem turbulências. Nessas condições, determine a altura das nuvens detectadas
pelos radares conforme o desenho seguinte.
(Use: sen 28 o = 0,47 ; cos 28 o = 0,88 ; tg 28 o = 0,53 )
10. 9
Relações entre seno, cosseno e tangente
As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente se relacionam de várias
formas, como veremos a seguir:
1ª) sen 2 θ + cos 2 θ = 1 ( 0 o < θ < 90 o )
sen θ
2ª) tg θ = ( 0 o < θ < 90 o )
cos θ
Exemplo:
► Sabendo que sen α = 0,6 , determine o cos α e a tg α .
sen 2 α + cos 2 α = 1 tg α =
sen α
(0,6) 2 + cos 2 α = 1 cos α
0,6
0,36 + cos 2 α = 1 tg α =
0,8
cos 2 α = 1 − 0,36 tg α = 0,75
cos 2 α = 0,64
cos α = 0,64
64
cos α =
100
8
cos α =
10
cos α = 0,8
Então, cos α = 0,8 e tg α = 0,75 .
11. 10
EXERCÍCIOS C
2 2 17
(1) Sabendo que sen α = e cos α = , calcule o valor de tg α .
5 5
12
(2) No triângulo retângulo da figura, temos cos α = . Calcule:
13
a) o sen α e a tg α ;
b) a medida x da hipotenusa.
Relações trigonométricas em um triângulo qualquer
As relações trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas em triângulos
retângulos. Vamos conhecer outras relações que valem para quaisquer
triângulos.
12. 11
Lei dos senos
Em todo triângulo, as medidas de seus lados são proporcionais aos senos dos
ângulos opostos.
a b C
= =
ˆ ˆ ˆ
sen A sen B sen C
Exemplo:
► Um agrimensor quer medir a distância entre duas árvores, A e B, que se
encontram em margens opostas de um rio, como mostra a figura. A partir de um
ˆ
ponto C, ele tomou as seguintes medidas: AC = 14 m, med( C ) = 80º e
ˆ
med( A ) = 72º. Com esses dados ele determinou a distância de A até B. Qual é
essa distância?
Resolução:
Utilizando os dados do problema, temos:
med( B ) = 180 o − (80 o + 72 o ) = 28º
ˆ
Aplicando a lei dos senos no ∆ABC:
BC AC AB
= =
ˆ ˆ
sen A sen B sen C ˆ
BC AC AB
o
= o
=
sen 72 sen 28 sen 80 o
BC 14 AB
= =
sen 72 o sen 28 o sen 80 o
14 AB
o
=
sen 28 sen 80 o
13. 12
Na tabela trigonométrica encontramos os valores de sen 28o e sen 80 o .
14 AB
=
0,469 0,985
0,469 AB = 14 ⋅ 0,985
13,79
AB =
0,469
AB = 29,4
Portanto, a distância entre as duas árvores é aproximadamente de 29,4 m.
Lei dos cossenos
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos
quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das
medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
ˆ
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B
ˆ
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C
ˆ
Exemplo:
14. 13
► No triângulo ABC, as medidas de dois lados são 10 cm e 6 cm e o ângulo
formado por esses lados mede 50º. Qual é a medida do terceiro lado?
Resolução:
Como são dadas as medidas de dois lados e o
ângulo formado por eles, podemos aplicar a lei dos
cossenos.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
ˆ
a 2 = 6 2 + 10 2 − 2 ⋅ 6 ⋅10 ⋅ cos 50 o
Na tabela trigonométrica temos cos 50 o = 0,643
a 2 = 6 2 + 10 2 − 2 ⋅ 6 ⋅10 ⋅ cos 50 o
a 2 = 36 + 100 − 120 ⋅ 0,643
a 2 = 136 − 77,16
a 2 = 58,84
5884
a=
100
2 1471
a=
10
1471
a=
5
1471
Portanto, o terceiro lado mede cm.
5
15. 14
EXERCÍCIOS D
ˆ ˆ
(1) No triângulo ABC, o ângulo B mede 60º, o ângulo C mede 45º e o lado AB
mede 3 2 cm. Calcule a medida do lado AC.
(2) No triângulo RMP, determine o valor de x sabendo que: MP = 18 cm,
ˆ ˆ
med( M ) = 45º e med( P ) = 75º.
16. 15
(3) O ∆CNT possui dois lados que medem 4 cm e 3 3 cm. O ângulo formado
por esses lados mede 30º. Qual é a medida do lado oposto a esse ângulo?
ˆ
(4) Observe as medidas marcadas na figura e calcule a medida do ângulo A .
17. 16
Referências bibliográficas
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GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
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GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
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