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Universidade Federal do Rio Grande do Sul — Instituto de Matem´tica
                                                              a
                                   ´
   DEPARTAMENTO DE MATEMATICA PURA E APLICADA
        MAT 01353 C´lculo e Geometria Anal´
                          a                         ıtica IA




           GEOMETRIA ANAL´
                         ITICA
                         ˆ
                        CONICAS




                            Janice Nery
                         Liana Costi N´cul
                                      a
                     Luisa Rodr´ıguez Doering
                  Maria Fernanda Recena Menezes

                      PORTO ALEGRE, 2001/2
Conte´do
                                                  u


1.   Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
            ca                                                                                                          1

2.   Defini¸˜o das Cˆnicas como Lugar Geom´trico . . . . . . . . . . . . . . .
          ca       o                     e                                                                               2

3.   Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
         ca     o          o                                                                                            3

4.   Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas com Centro Gen´rico (h, k) . . .
         ca     o          o                    e                                                                        5

5.   Identifica¸˜o das Cˆnicas e de seus Elementos . . . . . . . . . . . . . . . .
              ca       o                                                                                                5

6.   Exerc´
          ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .               6

7.   Par´bola × Ensino M´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
        a               e

8.   Exerc´
          ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   11

9.   Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

     Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    17
Se¸˜es Cˆnicas
                            co    o
                                    1. Introdu¸˜o
                                              ca
   Uma se¸˜o cˆnica ou, simplesmente, uma cˆnica ´ a curva obtida cortando-se qualquer
          ca o                              o     e
cone de duas folhas por um plano que n˜o passa pelo v´rtice; este plano ´ o plano secante.
                                      a              e                  e




   • Se o plano secante ´ paralelo a uma geratriz do
                        e
   cone, a cˆnica ´ uma par´bola.
            o     e        a




                                       • Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma geratriz
                                                             a e
                                       e corta s´ uma das duas folhas do cone, a cˆnica ´
                                                o                                 o     e
                                       uma elipse.




   • Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma gera-
                           a e
   triz e corta ambas folhas do cone, a cˆnica ´ uma
                                         o     e
   hip´rbole.
       e




    No caso de um plano que passa pelo v´rtice do cone obtemos, como ´ f´cil visualizar,
                                          e                            e a
um ponto, uma reta ou um par de retas concorrentes: estas s˜o chamadas cˆnicas degen-
                                                              a            o
eradas, que n˜o ser˜o estudadas.
              a     a
    Na p´gina http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/calculo1.html do C´lculo I A, h´
         a                                                                 a          a
um link chamado Um Estudo de C^nicas, onde pode ser encontrada esta apostila, bem
                                   o
como defini¸˜es, exemplos, constru¸˜es e anima¸˜es que ajudam o aluno a ter uma melhor
            co                    co           co
compreens˜o e visualiza¸˜o sobre este assunto. Sempre que um assunto aqui abordado
           a            ca
tiver algo relacionado naquela p´gina, isto ser´ explicitado. Por exemplo, para ter uma
                                a              a
id´ia dos planos secantes cortando o cone em angulos variados, veja Introdu¸ao.
  e                                           ˆ                              c~
2                                                                                             C´lculo IA
                                                                                               a


                    2. Defini¸˜o das Cˆnicas como Lugar Geom´trico
                            ca       o                     e
   Estudaremos as se¸˜es cˆnicas como curvas planas. Para isso, utilizaremos defini¸˜es
                      co    o                                                     co
equivalentes as anteriores — mas que se referem somente ao plano no qual est´ a curva
             `                                                               a
— e que dependem de pontos especiais desse plano, chamados focos da curva.
   • Elipse: conjunto de todos os pontos P do plano tais que ´ constante a soma d1 + d2
                                                             e
das distˆncias d1 e d2 respectivamente de P a dois pontos fixos F1 e F2 , chamados focos
        a
da elipse.

                                                   P


                                d1                     d2



                       F1                                   F2

                                                                           d1 + d2 = constante



    • Hip´rbole: conjunto de todos os pontos P do plano tais que ´ constante a diferen¸a
           e                                                         e                   c
|d1 −d2 | das distˆncias d1 e d2 respectivamente de P a dois pontos fixos F1 e F2 , chamados
                  a
focos da hip´rbole.
             e



                                                                       P
                                                                 d1           d2
                                                                       o             o
                                                                  F1
                                                                                         F2


                  |d1 − d2 | = constante



   • Par´bola: conjunto de todos os pontos P do plano tais que a distˆncia d1 de P a
        a                                                             a
um ponto fixo F, chamado foco da par´bola, ´ igual a distˆncia d2 de P a uma reta fixa
                                   a      e       `     a
D, chamada diretriz da par´bola.
                          a
                            D         d2       P



                                               d1


                                           F



                                                                           d1 = d2




c   Instituto de Matem´tica – UFRGS
                      a
ˆ
CONICAS                                                                                                3

    Note que as duas primeiras cˆnicas s˜o sim´tricas em rela¸˜o a reta que passa pelos
                                 o       a      e              ca `
focos e a par´bola ´ sim´trica em rela¸˜o a reta pelo foco que ´ perpendicular ` diretriz.
             a     e    e             ca `                     e               a
   Em Anima¸oes/Constru¸oes podem ser encontradas constru¸˜es animadas das cˆnicas.
           c~          c~                                co                 o

                         3. Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas
                                ca     o          o
    A fim de determinar mais facilmente as equa¸˜es das cˆnicas, escolhemos um sistema
                                                 co        o
de coordenadas tal que os focos estejam no eixo 0x e equidistantes da origem, para a elipse
e a hip´rbole; para a par´bola escolhemos um sistema tal que o foco esteja no eixo 0x e a
        e                a
origem equidistante do foco e da diretriz. Assim obtemos as equa¸˜es a seguir, chamadas
                                                                  co
equa¸˜es canˆnicas ou reduzidas das cˆnicas.
     co      o                        o

     a) Elipse E: determinada por seus focos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), onde c ≥ 0 e pela
                                                     x2 y 2
        constante 2a > 2c, tem a equa¸˜o reduzida
                                     ca                  + 2 = 1, com a2 = b2 + c2 .
                                                     a2     b
                                                                               y
                          Elementos:
                                                                                   B2

            Centro: C = (0, 0)
            V´rtices: A1 = (−a, 0) e A2 = (a, 0)
              e
                      B1 = (0, −b) e B2 = (0, b)                                         x
            Focos: F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0)         A1 F  1
                                                                               F A2
                                                                                2
            Eixo maior: A1 A2
            Eixo menor: B1 B2
                                  c
            Excentricidade: e =                                        B1
                                  a
        Observe que 0 < e < 1. Note tamb´m que se e ´ aproximadamente 0, ent˜o c ´
                                              e          e                        a    e
        muito menor do que a e portanto b2 ´ aproximadamente igual a a2 ; isto significa
                                               e
        que, neste caso, a elipse E ´ mais redonda. (Se e = 0, ´ um c´
                                    e                          e     ırculo!)
            Analogamente, se e ´ aproximadamente 1, ent˜o a ´ aproximadamente igual
                                 e                         a    e
        a c e portanto b2 ´ aproximadamente 0; isto significa que, neste caso, a elipse E
                          e
        ´ mais alongada.
        e
            Passamos a deduzir a equa¸˜o reduzida. S˜o equivalentes:
                                       ca             a
                                       P = (x, y) ∈ E
                             d((x, y), F1 ) + d((x, y), F2 ) = 2a
                          d((x, y), (−c, 0)) + d((x, y), (c, 0)) = 2a
                            (x + c)2 + y 2 +       (x − c)2 + y 2 = 2a
                            (x + c)2 + y 2 = 2a −          (x − c)2 + y 2
           x2 + 2cx + c2 + y 2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + x2 − 2cx + c2 + y 2
                              4cx − 4a2 = 4a (x − c)2 + y 2
                               cx − a2 = a (x − c)2 + y 2
                      c2 x2 − 2a2 cx + a4 = a2 (x2 − 2cx + c2 + y 2 )
                     (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 c2 − a4 = a2 (c2 − a2 )
                            (a2 − c2 )x2 − a2 y 2 = a2 (a2 − c2 )
        como a2 − c2 > 0, tomamos b2 = a2 − c2 e obtemos
                                     b 2 x 2 − a2 y 2 = a 2 b 2
                                                                      c   Instituto de Matem´tica – UFRGS
                                                                                            a
4                                                                                                   C´lculo IA
                                                                                                     a


                                             x2 y 2
                                                + 2 =1
                                             a2  b


           Em dois dos passos acima, ´ importante ter o radicando positivo, para ter o
                                      e
           mesmo conjunto-solu¸˜o da equa¸˜o e de seu quadrado.
                              ca         ca


       b) Par´bola P: determinada por seu foco F = (p, 0) e por sua diretriz D : x = −p,
             a
          tem a equa¸˜o reduzida y 2 = 4px.
                    ca
                                 y
                            D




                                                                                      Elementos:

                                                         x                     Diretriz: D : x = −p
                                      F                                        V´rtice: V = (0, 0)
                                                                                e
                                                                               Foco: F = (p, 0)




               A dedu¸˜o da equa¸˜o reduzida ´ semelhante ` do item a).
                     ca         ca           e            a


       c) Hip´rbole H: determinada por seus focos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), e pela
             e
                                                    x2 y 2
          constante 2a < 2c, tem a equa¸˜o reduzida
                                       ca              − 2 = 1, com b2 = c2 − a2 .
                                                    a2  b
                                                                                  y


                                Elementos:
                                                                                       a
               Centro: C = (0, 0)
                                                                                           b
               V´rtices: V1 = (−a, 0) e V2 = (a, 0)
                e                                                                      c
                                                                                                             x
               Focos: F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0)             F
                                                                  o   o
                                                                          V                V
                                                                                                o   o
                                                                                                        F2
                                                              1            1                2
                                  b         b
                  ıntotas: y = − x e y = x
               Ass´
                                 a          a
                                    c
               Excentricidade: e =
                                    a



           Observe que e > 1. Note tamb´m que se e ´ aproximadamente 1, ent˜o c ´
                                             e            e                          a    e
                                             2
           aproximadamente a e portanto b ´ aproximadamente igual a 0; isto significa
                                               e
           que, neste caso, a hip´rbole H ´ muito mais fechada.
                                 e        e
               Analogamente, se e ´ muito maior do que 1, ent˜o c ´ muito maior do que a
                                   e                          a    e
           e portanto b2 ´ muito maior do que 0; isto significa que, neste caso, a hip´rbole
                         e                                                           e
           H ´ muito mais aberta.
              e
c   Instituto de Matem´tica – UFRGS
                      a
ˆ
CONICAS                                                                                         5

            A dedu¸˜o da equa¸˜o reduzida ´ semelhante ` do item a).
                  ca         ca           e            a

    Em Anima¸oes/Varia¸oes/Par^metros podem ser encontradas anima¸˜es refletindo
              c~         c~       a                              co
varia¸˜es dos parˆmetros das cˆnicas.
     co          a            o




         4. Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas com Centro Gen´rico (h, k)
                ca     o          o                    e
    As equa¸˜es canˆnicas das cˆnicas descritas anteriormente tˆm todas focos no eixo Ox
            co       o          o                              e
e centro em (0, 0); analisamos ainda o caso em que o centro ´ um ponto (h, k) qualquer do
                                                            e
plano e os focos est˜o na reta paralela ao eixo Ox, y = k ou paralela ao eixo Oy, x = h.
                     a
    As equa¸˜es com um centro gen´rico em (h, k) e focos na reta y = k s˜o:
            co                      e                                     a

                            (x − h)2 (y − k)2
           Elipse:                  +         =1         com         a2 = b2 + c 2 ;
                               a2       b2

           Par´bola:
              a             (y − k)2 = 4p (x − h);

                            (x − h)2 (y − k)2
           Hip´rbole:
              e                     −         =1         com         b 2 = c 2 − a2 .
                               a2       b2

   As equa¸˜es respectivas com centro gen´rico em (h, k) mas focos na reta x = h, s˜o
            co                            e                                        a
obtidas trocando x − h por y − k nas equa¸˜es acima.
                                         co

   Em Anima¸oes/Varia¸oes/Transla¸oes podem ser encontradas anima¸˜es apresen-
             c~          c~      c~                              co
tando transla¸˜es das cˆnicas.
             co        o




                5. Identifica¸˜o das Cˆnicas e de seus Elementos
                            ca       o
   A equa¸˜o geral do segundo grau em duas vari´veis ´ da forma
         ca                                    a     e

                         Ax2 + By 2 + Cx + Dy + Exy + F = 0                                  (♦)

e representa uma cˆnica, uma cˆnica degenerada ou o conjunto vazio. Quando (♦) repre-
                   o           o
senta uma cˆnica e o coeficiente do termo em xy ´ n˜o-nulo (E = 0), esta tem os focos em
            o                                   e a
uma reta n˜o-paralela aos eixos coordenados; este caso n˜o ser´ estudado nesta disciplina,
           a                                             a    a
                ´
mas sim na de Algebra Linear. Se vocˆ deseja ter uma id´ia do que acontece neste caso
                                       e                   e
E = 0, consulte Anima¸oes/Varia¸oes/Rota¸oes.
                       c~          c~        c~
    Quando E = 0, os focos est˜o sobre uma reta paralela a um dos eixos Ox ou Oy;
                                 a
que ´ o caso aqui estudado. Para identificarmos essa cˆnica, completamos quadrados e
     e                                                   o
reescrevemos (♦) como uma das equa¸˜es da Se¸˜o 4.
                                      co        ca
    O an´logo de (♦) no caso tridimensional (a equa¸˜o geral do segundo grau em trˆs
         a                                            ca                                e
vari´veis) pode ser encontrado no link Qu´dricas da p´gina de C´lculo IIA.
    a                                    a              a          a



                                                               c   Instituto de Matem´tica – UFRGS
                                                                                     a
6                                                                                                 C´lculo IA
                                                                                                   a


                                      6. Exerc´
                                              ıcios Resolvidos
Exerc´ıcio 1. Identifique a cˆnica de equa¸˜o 4x2 + 9y 2 − 16x + 18y − 11 = 0, seus
                             o             ca
elementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico.
              c          c          a
Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o 4x2 + 9y 2 − 16x + 18y − 11 = 0, primeiro agrupamos os termos
    ca                ca
em x e os termos em y :
                                  4(x2 − 4x) + 9(y 2 + 2y) − 11 = 0,
completamos o quadrado:
                            4 (x − 2)2 − 4 + 9 (y + 1)2 − 1 − 11 = 0,
e reescrevemos:
       4(x − 2)2 − 16 + 9(y + 1)2 − 9 − 11 = 0            ∴        4(x − 2)2 + 9(y + 1)2 − 36 = 0;
finalizamos colocando no formato canˆnico:
                                      o
                                (x − 2)2 (y + 1)2
                                        +         = 1.
                                   32        22
Vemos, portanto (observe o sinal +), que se trata de uma elipse com a = 3, b = 2 e
    √
c = 5 , pois c2 = 9 − 4 = 5. Al´m disto, temos:
                               e

                                                                   y

                   Elementos:                                                   B2
                                                                   1            o




    Centro: C = (2, −1)                              –1                              2              5        x
    V´rtices:
     e
          A1 = (−1, −1), A2 = (5, −1)
          B1 = (2, −3), B2 = (2, 1)
                     √
                                                   A1 o        o
                                                              F1   –1
                                                                                o
                                                                                    C
                                                                                             o
                                                                                             F2
                                                                                                    o   A2

    Focos: F1 = (2 − √5, −1)
         e F2 = (2 + 5, −1)
                        √
                          5
    Excentricidade: e =
                         3                                         –3           o
                                                                                B1




Exerc´ıcio 2. Identifique a cˆnica de equa¸˜o 25x2 − 36y 2 − 100x − 72y − 836 = 0, seus
                            o             ca
elementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico.
              c         c           a
Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o 25x2 − 36y 2 − 100x − 72y − 836 = 0, primeiro agrupamos os
    ca                ca
termos em x e os termos em y :
                                25(x2 − 4x) − 36(y 2 + 2y) − 836 = 0,
completamos o quadrado:
                           25[(x − 2)2 − 4] − 36[(y + 1)2 − 1] − 836 = 0,
e reescrevemos:
25(x − 2)2 − 100 − 36(y + 1)2 + 36 − 836 = 0              ∴            25(x − 2)2 − 36(y + 1)2 − 900 = 0,
finalizamos colocando no formato canˆnico:
                                    o
                              (x − 2)2 (y + 1)2
                                      −         = 1.
                                 62       52
c   Instituto de Matem´tica – UFRGS
                      a
ˆ
CONICAS                                                                                                                    7

Vemos, portanto (observe o sinal −), que se trata de uma hip´rbole com a = 6, b = 5 e
   √                                                        e
               2
c = 61 , pois c = 36 + 25 = 61. Al´m disto, temos:
                                   e
                                                                                   y
              Elementos:

   Centro: C = (2, −1)
   V´rtices:
     e
         V1 = (−4, −1) e V2 = (8, −1)
                    √                                                                  2                               x
   Focos: F1 = (2 − √61, −1)                                              –1
                                                  F1o        o
                                                                 V1                     o             o   o
                                                                                                              F2
         e F2 = (2 + 61, −1)                                                           C         V2

   Ass´ıntotas:
        5                   5
   y = (x − 2) − 1 e y = − (x − 2) − 1
        6                   6
                       √
                         61
   Excentricidade: e =
                         6


Exerc´ıcio 3. Identifique a cˆnica de equa¸˜o y 2 − 4y − 12x − 8 = 0, seus elementos e
                            o             ca
fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico.
  c         c           a
Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o y 2 − 4y − 12x − 8 = 0, primeiro agrupamos os termos em x e
     ca               ca
os termos em y :
                                 y 2 − 4y = 12x + 8,
completamos o quadrado:
            (y − 2)2 − 4 = 12x + 8   ∴    (y − 2)2 = 12x + 12 = 12(x + 1),
finalizamos colocando no formato canˆnico:
                                   o
                                (y − 2)2 = 4 · 3(x + 1).
Vemos, portanto (observe que s´ h´ um quadrado), que se trata de uma par´bola com
                              o a                                       a
p = 3. Al´m disto, temos:
         e

                                                                           y
                                                    D




              Elementos:

   Diretriz: D : x = −4                                           V                F
                                                                      o        o
                                                                                                                   x
   V´rtice: V = (−1, 2)
    e                                                   –4        –1           2



   Foco: F = (−1 + 3, 2) = (2, 2)




Exerc´ıcio 4. Identifique a cˆnica de equa¸˜o 9x2 + 4y 2 − 72x + 36y − 164 = 0, seus
                            o             ca
elementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico.
              c         c           a
                                                                               c       Instituto de Matem´tica – UFRGS
                                                                                                         a
8                                                                                      C´lculo IA
                                                                                        a


Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o 9x2 + 4y 2 − 72x + 36y − 164 = 0, primeiro agrupamos os termos
    ca               ca
em x e os termos em y :
                                 9(x2 − 8x) + 4(y 2 + 6y) − 164 = 0,
completamos o quadrado:
                           9 (x − 4)2 − 16 + 4 (y + 1)2 − 9 − 164 = 0,
e reescrevemos:
   9(x − 4)2 − 151 + 4(y + 3)2 − 36 − 164 = 0          ∴   9(x − 4)2 + 4(y + 3)2 − 351 = 0;
finalizamos colocando no formato
canˆnico:
   o                                                                    y
                                                                             A2
         (x − 4)2 (y + 3)2                                         6         o
                 +         = 1.
            62       92
                                                                             o    F2
Vemos, portanto (observe o sinal +),
que se trata de uma elipse com a = 9,
              √        √                                    –2                   4      10       x
b = 6 e c = 45 = 3 5 , pois c2 =
81 − 36 = 45. Al´m disto, temos:
                 e
                                                                                  C
                                                           B1 o              o          o   B2
                Elementos:                                              –3


      Centro: C = (4, −3)
      V´rtices:
       e
        A1 = (4, −12), A2 = (4, 6)
        B1 = (−2, −3), B2 = (10, −3)
                                                                             o    F1
                            √
      Focos: F1 = (4, −3 − 3√5 )
                                                                  –12        o
           e F2 = (4, −3 +√ 5 )
                           3                                                 A1
                            45     √
      Excentricidade: e =       = 35
                            6


Exerc´ıcio 5. Identifique a cˆnica de equa¸˜o −16x2 + 9y 2 − 160x − 54y − 885 = 0, seus
                            o            ca
elementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico.
              c          c           a
Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o −16x2 + 9y 2 − 160x − 54y − 885 = 0, primeiro agrupamos os
    ca                ca
termos em x e os termos em y :
                               −16(x2 + 10x) + 9(y 2 − 6y) − 885 = 0,
completamos o quadrado:
                          −16[(x + 5)2 − 25] + 9[(y − 3)2 − 9] − 885 = 0,
e reescrevemos:
−16(x + 5)2 + 390 + 9(y − 3)2 − 81 − 885 = 0           ∴   −16(x + 5)2 + 9(y − 3)2 − 576 = 0,
finalizamos colocando no formato canˆnico:
                                     o
                               (y − 3)2 (x + 5)2
                                        −           = 1.
                                  82          62
Vemos, portanto (observe o sinal −), que se trata de uma hip´rbole com a = 8, b = 6 e
                                                            e
              2
c = 10, pois c = 64 + 36 = 100. Al´m disto, temos:
                                  e
c   Instituto de Matem´tica – UFRGS
                      a
ˆ
CONICAS                                                                                          9

                                                                                 y


              Elementos:
                                                                        F
   Centro: C = (−5, 3)                                                  o
                                                                         2
                                                                        o
   V´rtices:
     e
         V1 = (−5, −5) e V2 = (−5, 11)
   Focos: F1 = (−5, −7)                                            Co        3           x
                                                                        –5
         e F2 = (−5, 13)
                                                                        o
   Ass´ıntotas:                                                         o
                                                                        F1
        4                   4
   y = (x + 5) + 3 e y = − (x + 5) + 3
        3                   3
                        8
   Excentricidade: e = = 4   3
                        6



Exerc´ıcio 6. Identifique a cˆnica de equa¸˜o x2 − 6x + 4y − 11 = 0, seus elementos e
                            o            ca
fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico.
  c         c           a
Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o x2 − 6x + 4y − 11 = 0, primeiro agrupamos os termos em x e
     ca               ca
os termos em y :
                                x2 − 6x = −4y + 11,
completamos o quadrado:

          (x − 3)2 − 9 = −4y + 11    ∴   (x − 3)2 = −4y + 20 = −4 · (y − 5),

finalizamos colocando no formato
canˆnico:
   o
                                                            y

      (x − 3)2 = −4 · (y − 5).
                                                        6                            D
                                                                         V
Vemos, portanto (observe que s´ h´
                              o a                       5           o

                                                        4           o
um quadrado), que se trata de uma                                  F
par´bola com p = −1. Al´m disto,
   a                     e
temos:                                                                                       x
                                                                   3
           Elementos:

    Diretriz: D : y = 6

    V´rtice: V = (3, 5)
     e

    Foco: F = (3, 5 − 1) = (3, 4)




                                                            c   Instituto de Matem´tica – UFRGS
                                                                                  a
10                                                                             C´lculo IA
                                                                                a


                                   7. Par´bola × Ensino M´dio
                                         a               e
   A par´bola ´, certamente, a cˆnica mais trabalhada no Ensino M´dio e, muitas vezes,
         a    e                 o                                   e
tamb´m a unica. Ocorre que, nesse n´
      e    ´                           ıvel, a maioria dos livros did´ticos apresenta a
                                                                      a
equa¸˜o y = ax2 + bx + c do 2o grau em x e simplesmente afirma que o gr´fico da mesma
     ca                                                                    a
´ uma curva denominada par´bola e n˜o a caracteriza como lugar geom´trico.
e                           a        a                                   e
   Faremos isto agora, ou seja, partindo da equa¸˜o y = ax2 + bx + c, vamos obter
                                                  ca
sua forma canˆnica e assim caracteriz´-la como par´bola; tamb´m reconheceremos seus
             o                       a             a            e
elementos, bem como suas eventuais intersec¸˜o com o eixo 0x (ra´
                                             ca                   ızes).
                                                               2
   Completando o quadrado no lado direito da equa¸˜o y = ax + bx + c, obtemos
                                                    ca
                                             b    b2     b2
                                   y = a x2 + x + 2 + c − ,
                                             a   4a      4a
que ´ equivalente ` equa¸˜o
    e             a     ca
                                    4ac − b2           b 2
                                       y−    =a x+         ,                           (†)
                                       4a             2a
e esta, por sua vez, reconhecemos como sendo a equa¸˜o canˆnica de uma par´bola, com
                                                      ca      o                a
                     b 4ac − b2         b −∆
v´rtice no ponto
 e                     ,           =      ,     onde ∆ = b2 − 4ac ´ o discriminante de
                                                                     e
                    2a     4a          2a 4a
                               1
y = ax2 + bx + c e com p = .
                              4a
    Agora, ´ f´cil obter as ra´ da equa¸˜o y = ax2 + bx + c, ou seja, deduzir a f´rmula
            e a               ızes        ca                                       o
de Bhaskara: queremos encontrar todos os poss´ ıveis valores de x para os quais y = 0. Por
(†), as equa¸˜es a seguir s˜o equivalentes:
             co            a
                                                   y = 0,
                                            ax2 + bx + c = 0,   e
                                4ac − b           2
                                                   b 2
                                       −  =a x+        .
                                   4a             2a
Dividindo esta ultima equa¸˜o por a e arrumando o sinal do termo da esquerda, obtemos:
               ´          ca
                                 b2 − 4ac           b 2
                                          = x+          .                        (††)
                                    4a2            2a
Na ultima equa¸˜o o lado direito da igualdade ´ sempre positivo ou nulo, portanto o
    ´           ca                                e
mesmo deve ocorrer com o lado esquerdo; como 4a2 > 0, estabelecemos que y = 0 se,
e somente se, b2 − 4ac ≥ 0. Assim, se b2 − 4ac ≥ 0, nossa equa¸˜o tem solu¸˜o e, para
                                                              ca          ca
obtˆ-la, extra´
   e          ımos a raiz quadrada dos dois lados de (††):
                                             b2 − 4ac       b
                                                   2
                                                      = x+    ,
                                                4a         2a
e portanto,
                                                    √
                                  b b2 − 4ac   − b + b2 − 4ac
                             x=−    +        =
                                 2a    4a2           2a
ou                                                  √
                              b     b2 − 4ac   − b − b2 − 4ac
                      x=−       −            =                ,
                             2a        4a2           2a
que ´ a conhecida f´rmula de Bhaskara.
    e              o




c    Instituto de Matem´tica – UFRGS
                       a
ˆ
CONICAS                                                                                    11

                                    8. Exerc´
                                            ıcios


Exerc´
     ıcio 1. Estabele¸a a equa¸˜o de cada uma das par´bolas a seguir, sabendo que:
                     c        ca                     a
     a) ´ sim´trica em rela¸˜o ao eixo Oy, tem v´rtice em V = (0, 0) e cont´m o ponto
        e    e             ca                    e                         e
        P = (2, −3);
     b) tem v´rtice em V = (−2, 3) e foco em F = (−2, 1);
              e
                                               1
     c) tem foco em F = (3, −1) e diretriz x = .
                                               2
Exerc´ıcio 2. Determine o v´rtice, o foco, a equa¸˜o da diretriz e esboce o gr´fico de
                             e                   ca                           a
cada uma das par´bolas a seguir:
                a
     a) y 2 − x = 0;
     b) x2 − 2x − 20y − 39 = 0;
     c) 8x = 10 − 6y + y 2 .

Exerc´ıcio 3. Determine os centros, os v´rtices, os focos e a excentricidade e esboce o
                                         e
gr´fico de cada uma das elipses a seguir:
  a
     a) 9x2 + 5y 2 − 45 = 0;
     b) 25x2 + 16y 2 + 50x + 64y − 311 = 0;
     c) 4x2 + 9y 2 − 24x + 18y + 9 = 0.

Exerc´
     ıcio 4. Estabele¸a a equa¸˜o de cada uma das elipses a seguir, sabendo que:
                     c        ca
     a) seu eixo maior mede 10um e os focos s˜o F1 = (−4, 0) e F2 = (4, 0);
                                             a
                                                                            3
     b) tem centro em C = (2, 4), um foco em F = (5, 4) e excentricidade e = .
                                                                            4
Exerc´
     ıcio 5. Estabele¸a a equa¸˜o de cada uma das hip´rboles a seguir, sabendo que:
                     c        ca                     e
     a) tem ass´ıntotas de equa¸˜es y = 2x e y = −2x e v´rtices em V1 = (−3, 0) e
                               co                             e
        V2 = (3, 0);
     b) tem focos em F1 = (3, −2) e F2 = (3, 4) e excentricidade e = 2.

Exerc´ıcio 6. Determine os centros, os v´rtices, os focos e a excentricidade e esboce o
                                         e
gr´fico de cada uma das hip´rboles a seguir:
  a                       e
     a) 3x2 − y 2 + 3 = 0;
     b) 9x2 − 4y 2 − 54x + 8y + 113 = 0;
     c) 16x2 − 9y 2 − 64x − 18y + 199 = 0.

Exerc´ıcio 7. Classifique, dˆ todos os elementos e esboce o gr´fico de cada uma das
                             e                               a
curvas com equa¸˜es dadas a seguir:
               co
     a) 16x2 + 9y 2 − 96x + 72y + 144 = 0;
     b) y 2 − 16x2 + 2y + 49 = 0;
     c) 4x2 − y 2 − 32x + 4y + 24 = 0.

Exerc´ ıcio 8. A ´gua que esguicha de um bocal, mantido horizontalmente a 4 m acima
                  a
do solo, descreve uma curva parab´lica com v´rtice no bocal e, medida na vertical, desce
                                 o          e
1 m nos primeiros 10 m de movimento horizontal. Calcule a distˆncia horizontal do bocal
                                                               a
em que a ´gua atinge o solo.
           a
                                                            c   Instituto de Matem´tica – UFRGS
                                                                                  a
12                                                                                C´lculo IA
                                                                                   a


Exerc´ ıcio 9. Uma ponte suspensa de 400              11
                                                      00              11
                                                                      00
m de comprimento ´ sustentada por um cabo
                   e                                  11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                      11
                                                      00
                                                      11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                                      11
                                                                      00
principal parab´lico (veja a figura). O cabo
                o                                     11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                      11
                                                      00
                                                      11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                                      11
                                                                      00
principal est´ 100 m acima da ponte nos ex-
              a                                       11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                      11
                                                      00
                                                      11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                                      11
                                                                      00
tremos e 4 m acima da ponte em seu centro.            11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                      11
                                                      00
                                                      11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                                      11
                                                                      00
Calcule o comprimento dos cabos de suten-             11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                      11
                                                      00              11
                                                                      00
ta¸˜o que s˜o colocados a intervalos de 50 m
  ca        a                                         11
                                                      00
                                                      11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                                      11
                                                                      00
                                                      11
                                                      00              11
                                                                      00
ao longo da ponte. (Sugest˜o: Utilize o sis-
                            a                         11
                                                      00
                                                      11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                                      11
                                                                      00
                                                      11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                       1111111111111111
                                                       0000000000000000
tema de coordenadas retangulares em que a             11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                       1111111111111111
                                                       0000000000000000
                                                      11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                      11
                                                      00              11
                                                                      00
ponte ´ o eixo 0x e a origem est´ no meio da
      e                         a                     11
                                                      00
                                                      11
                                                      00              11
                                                                      00
                                                                      11
                                                                      00
ponte.)
Exerc´ ıcio 10. O segmento de reta que passa pelo foco de uma par´bola, ´ paralelo
                                                                      a     e
` diretriz da par´bola e tem suas extremidades na pr´pria par´bola ´ chamado o lactus
a                 a                                 o        a     e
rectum da par´bola. Mostre que a medida do lactus rectum ´ o dobro da distˆncia entre
               a                                          e               a
o foco e a diretriz.
Exerc´ıcio 11. Qual ´ o comprimento de um fio usado para delimitar um jardim el´
                     e                                                        ıptico
com 20 m de largura e 60 m de comprimento? qual ´ a area deste jardim?
                                                e ´
Exerc´ ıcio 12. Exceto por pequenas perturba¸˜es, um sat´lite em ´rbita ao redor da
                                                 co           e        o
Terra se move numa elipse, com um dos focos no centro da Terra. Suponha que no perigeu
(o ponto da orbita mais pr´ximo do centro da Terra) o sat´lite est´ a 400 km da superf´
             ´              o                             e       a                   ıcie
da Terra e que no apogeu (o ponto da orbita mais afastado do centro da Terra) o sat´lite
                                        ´                                            e
est´ a 600 km da superf´ da Terra. Calcule o eixo maior e o eixo menor da orbita
    a                      ıcie                                                    ´
el´
  ıptica deste sat´lite, supondo que a Terra ´ um esfera de 6371 km de raio.
                  e                          e
Exerc´ıcio 13.     Dados os pontos A = (−2, −2) e B = (6, 6) do plano cartesiano,
determine o lugar geom´trico de um ponto P que se move pelo plano de tal modo que o
                       e
coeficiente angular da reta por A e P, acrescido de duas unidades, ´ igual ao coeficiente
                                                                  e
angular da reta por B e P.
Exerc´ ıcio 14. Determine o lugar geom´trico de um ponto P que se move no plano
                                         e
cartesiano de tal modo que o quadrado de sua distˆncia a origem ´ igual ao dobro de sua
                                                 a     `        e
distˆncia ao eixo das ordenadas.
    a
Exerc´ıcio 15. Represente graficamente o lugar geom´trico dos pontos (x, y) que satis-
                                                  e
fazem as condi¸˜es:
               co
                                                                    √
                                         x−1     1                    36 − 4x2
     a) y 2 + 4y + 16x − 44 = 0;      b)       = ;           c) y =             .
                                         x+1     2                        3

     ıcio 16. Escreva a integral que calcula a area da figura de equa¸˜o geral x2 +
Exerc´                                         ´                    ca
4y − 2x − 3 = 0.
  2


Exerc´ ıcio 17. Indique a integral que calcula o volume do s´lido obtido pela rota¸˜o da
                                                            o                     ca
regi˜o formada pelas curvas:
    a
        a) x2 − y 2 = 1 e x = 3 ao redor da reta x = −2;
        b) y = −x2 + 1, y = x + 1 e o eixo 0x ao redor do eixo 0x.

Exerc´
     ıcio 18. Escreva a integral que fonece:
        a) a area do primeiro quadrante no interior da circunferˆncia x2 + y 2 = a2 ;
             ´                                                    e
                                                                2
                                                              x     y2
        b) a area do primeiro quadrante no interior da elipse 2 + 2 = 1.
             ´
                                                              a     b
c    Instituto de Matem´tica – UFRGS
                       a
ˆ
CONICAS                                                                                      13

     c) Mostre que a integral do item b) ´ igual a b/a vezes a integral do item a) e, dessa
                                         e
        forma, obtenha a area da elipse a partir da conhecida area do c´
                         ´                                      ´         ırculo.

Exerc´ ıcio 19. Calcule o volume do elips´ide que ´ o s´lido de revolu¸˜o obtido girando
                                          o       e o                 ca
         x2 y 2
a elipse    +     = 1 em torno do eixo 0x.
         25    9
Exerc´ ıcio 20. Determine as equa¸˜es da reta tangente e da reta normal a cada elipse
                                    co
a seguir no ponto indicado.
      a) x2 + 9y 2 = 255 em (9, 4);             b) x2 + 4y 2 − 2x + 8y = 35 em (3, 2).

Exerc´ ıcio 21. Um ponto se move sobre a elipse x2 + 4y 2 = 25 de tal modo que sua
abscissa crese numa raz˜o constante de 8 unidades por segundo. Com que rapidez varia
                       a
a ordenada no instante em que ela ´ igual a −2 unidades e a abscissa ´ positiva?
                                  e                                  e
Exerc´ıcio 22. Determine as equa¸˜es da reta tangente e da reta normal a cada hip´rbole
                                 co                                              e
a seguir no ponto indicado.
     a) x2 − y 2 = 9 em (−5, 4);                b) x2 − 4x − y 2 − 2y = 0 em (0, 0).

Exerc´ ıcio 23. Um ponto se move sobre a hip´rbole 4x2 − 9y 2 = 27 de tal modo que sua
                                             e
abscissa crese numa raz˜o constante de 8 unidades por segundo. Com que rapidez varia
                       a
a ordenada no ponto (3, 1)?
Exerc´ ıcio 24.       Determine a menor (m´
                                          ınima) distˆncia do ponto (3, 0) a hip´rbole
                                                     a                     `    e
y 2 − x2 = 18.
                                      y

         y
             1                            4       Exerc´ ıcio 25. Calcule a area da re-
                                                                               ´
                                                  gi˜o sombreada delimitada pela reta
                                                    a
                          x                   x         a) x = 1 e a elipse x2 + 4y 2 = 4;
−2                1   2                                 b) y = 4 e a elipse 9x2 + y 2 = 25.
                                                  (Sugest˜o: Utilize substitui¸˜o trigono-
                                                          a                   ca
             −1                                   m´trica.)
                                                    e


     ıcio 26. Seja R a regi˜o plana delimitada pelas curvas y 2 − x2 = 16 e y = 5.
Exerc´                      a
    a) Esboce a regi˜o R;
                    a
    b) Apresente uma integral que expressa esta area;
                                                ´
    c) Qual ´ a t´cnica de integra¸˜o que vocˆ usaria para resolver esta integral?
            e    e                ca         e




                                      9. Respostas


Exerc´
     ıcio 1.
              3
     a) y = − x2 ou, equivalentemente, 4y + 3x2 = 0.
              4
                (x + 2)2
     b) y = 3 −          ou, equivalentemente, x2 + 4x + 8y − 20 = 0.
                   8
                                                              c   Instituto de Matem´tica – UFRGS
                                                                                    a
14                                                                            C´lculo IA
                                                                               a


        c) (y + 1)2 = 5(x − 7 ).
                            4

Exerc´
     ıcio 2.
    a) V = (0, 0), F = ( 1 , 0), x = − 1 .
                         4             4
        b) V = (1, −2), F = (1, 3), y = −7.
        c) V = ( 1 , 3), F = ( 17 , 3), x = − 15 .
                 8              8              8

Exerc´
     ıcio 3.
    a) C = (0, 0), V1 = (0, −3), V2 = (0, 3), F1 = (0, −2), F2 = (0, 2), e = 2 .
                                                                             3
        b) C = (−1, −2), V1 = (−1, −7), V2 = (−1, 3), F1 = (−1, 1), F2 = (−1, −5), e =
           3
           5
             .
                                                                  √
        c) C = (3, −1), √ 1 = (0, −1), V2 = (6, −1), F1 = (3 + 5, −1), F2 = (3 −
                           V
           √
               5, −1), e = 35 .

Exerc´
     ıcio 4.
    a) 9x2 + 25y 2 = 225.
    b) 7x2 + 16y 2 − 28x − 128y + 172 = 0.

Exerc´
     ıcio 5.
       x2 y 2
    a)    −     = 1.
        9    36
    b) 12y 2 − 4x2 + 24x − 24y − 51 = 0.

Exerc´
     ıcio 6.
                             √            √                                          √
    a) C = (0, 0), V1 = (0, − 3), V2 = (0, 3), F1 = (0, −2), F2 = (0, 2), e =       2 3
                                                                                     3
                                                                                        .
                                                             √                √
        b) C = (3, 1), V1 = (3, 4), V2 = (3, −2), F1 = (3, 1− 13), F2 = (3, 1+ 13), e =
           √
             13
            3
                .
        c) C = (2, −1), V1 = (2, −5), V2 = (2, 3), F1 = (2, −6), F2 = (2, 4), e = 5 .
                                                                                  4

Exerc´
     ıcio 7.
                                                                    √
    a) Elipse: C = (3, −4), V1 = (3, −8), V2 = (3, 0), F1 = (3, −4 − 7), F2 =
                √        √
       (3, −4 + 7), e = 47 .
        b) Par´bola: V = (3, −1), F = (7, −1), x = −1.
              a
                                                                       √
        c) Hip´rbole: C = (4, 2), V1 = (1, 2), V2 = (7, 2), F1 = (4 − 3 5, 2), F2 =
               e √          √
           (4 + 3 5, 2), e = 5.

Exerc´
     ıcio 8. Distˆncia horizontal = 160 m.
                 a                                      11
                                                        00                     11
                                                                               00
                                                        11
                                                        00                     11
                                                                               00
                                                        11
                                                        00
                                                        11
                                                        00                     11
                                                                               00
                                                                               11
                                                                               00
                                                     10000
                                                        11                     11
                                                                               00
                                                                                100
                                                        11
                                                        00                     11
                                                                               00
                                                        11
                                                        00
                                                        11
                                                        00                     11
                                                                               00
                                                                               11
                                                                               00
                                                        11
                                                        00
                                                        11
                                                        00 58                  11
                                                                               00
Exerc´
     ıcio 9. Fun¸˜o altura:
                ca                                      11
                                                        00                  58 00
                                                                               11
                                                                               11
                                                                               00
                                                        11
                                                        00                     11
                                                                               00
                                                        11
                                                        00
                                                        11
                                                        00                     11
                                                                               00
                                                                               11
                                                                               00
                          3 2                           11
                                                        00                     11
                                                                               00
                                                        11
                                                        00
                                                        11
                                                        00    28         28    11
                                                                               00
                                                                               11
                                                                               00
                   y=         x + 4.                    11
                                                        00                     11
                                                                               00
                         1250                           11
                                                        00
                                                        11
                                                        00       10   10       11
                                                                               00
                                                                               11
                                                                               00
                                                        11
                                                        00          4          11
                                                                               00
                                                        11
                                                        00
                                                         1111111111111111
                                                         0000000000000000
                                                        11
                                                        00                     11
                                                                               00
                                                                               11
                                                                               00
                                                         0000000000000000
                                                         1111111111111111
                                                        11
                                                        00                     11
                                                                               00
                                                        11
                                                        00
                                                        11
                                                        00                     11
                                                                               00
                                                                               11
                                                                               00
                                                        11
                                                        00                     11
                                                                               00
Exerc´
     ıcio 10. Aula.
c    Instituto de Matem´tica – UFRGS
                       a
ˆ
CONICAS                                                                                                      15

                                     √
Exerc´
     ıcio 11. Comprimento do fio = 40π 5 e a area do jardim = 1200π.
                                            ´
Exerc´ıcio 12. Eixo menor da orbita el´
                             ´        ıptica do sat´lite = 13.740,54 km e eixo maior =
                                                   e
13.742,00 km.
                                                                  x2
     ıcio 13. O lugar geom´trico ´ a par´bola de equa¸˜o y = −
Exerc´                    e      e      a            ca              .
                                                                   2
Exerc´ ıcio 14. O lugar geom´trico ´ a circunferˆncia de centro C = (0, 0) e raio 1 dada
                            e      e            e
por x + y − 2x = 0.
     2     2


Exerc´
     ıcio 15.

                                                                                         4
                                   12

                                   10

                                   8                                                 y

                                   6y                                                    2

                                   4

                 x                 2

                                                                                         0   2.5 3 3.5 4
                                                                                                 x
a)                                 –2                                        b)
                                   –4

                                   –6                                                –2
                                   –8

                                   –10

                                   –12
                                                                                     –4
                                   –14

                                   –16




                                                           2
                                                         1.8
                                                         1.6
                                                         1.4
                                                       y 1.2
c)                                                         1
                                                         0.8
                                                         0.6
                                                         0.4
            –3                     –2         –1               0     1        2              3
                                                                         x



                                         1
                                                   (x + 1)2
Exerc´
     ıcio 16. A = 2                          1−             dx.
                                        −3            4
Exerc´
     ıcio 17.
                              √
                             2 2
     a) V = 2π                      25 − (2 +       1 + y 2 )2 dy.
                         0
                         0
     b) V = π                 (1 − x2 )2 − (x + 1)2 dx.
                     −1

Exerc´
     ıcio 18.
                     a   √
     a) A =                  a2 − x2 dx.
                 0

                                                                              c   Instituto de Matem´tica – UFRGS
                                                                                                    a
16                                                                                C´lculo IA
                                                                                   a

               b a√ 2
        b) A =         a − x2 dx.
               a 0
           ´
        c) Area da elipse = πab.
Exerc´
     ıcio 19. V = 60π.
Exerc´
     ıcio 20.
    a) reta tangente: 4y + x − 25 = 0,           reta normal: y − 4x + 32 = 0;
    b) reta tangente: 6y + x − 15 = 0,           reta normal: y − 6x + 16 = 0.
Exerc´
     ıcio 21. Varia a 3 unidades por segundo.
Exerc´
     ıcio 22.
    a) reta tangente: 4y + 5x + 9 = 0,           reta normal: 5y − 4x − 40 = 0;
    b) reta tangente: y + 2x = 0,                reta normal: 2y − x = 0.
                       32
Exerc´
     ıcio 23. Varia a      unidades por segundo.
                       3
                                             √
                                            3 10
Exerc´
     ıcio 24. Menor (m´  ınima) distˆncia ´
                                    a     e      .
                                              2
Exerc´
     ıcio 25.√
       2π      3
    a)     −     ;
        3     2
       25          3
    b)    arcsen     − 4.
        3          5
Exerc´
     ıcio 26.
    a) Esboce a regi˜o R;
                    a
               3      √
    b) A = 2     5 − 16 + x2 dx;
                     0
                                         x
        c) Substitui¸˜o trigonom´trica
                    ca          e          = tg θ.
                                         4




c    Instituto de Matem´tica – UFRGS
                       a
ˆ
CONICAS                                                                                   17




                                 Bibliografia


    •   Anton, Howard: C´lculo, um novo horizonte, Bookman, 2000.
                           a
    •   ´
        Avila, Geraldo S.: Clculo, LTC, 1992.
    •   Edwards, B., Hostetler, R. e Larson, R.: C´lculo com Geometria Anal´
                                                   a                            ıtica,
        LTC 1994
    •   Edwards, C.H. e Penney, D.E., C´lculo com Geometria Analtica, Prentice
                                          a
        Hall do Brasil, 1997.
    •   Hugues-Hallett, Deborah e outros: Calculus, John Wiley & Sons, 1994.
    •   Leithold, Louis: O C´lculo com Geometria Anal´
                              a                            ıtica, Harbra, 1976.
    •   Munem, M.A. e Foulis, D.J.: C´lculo, Guanabara, 1982.
                                       a
    •   Shenk, Al: C´lculo e Geometria Anal´
                     a                           ıtica, Campus, 1984.
    •   Simmons, George F.: C´lculo com Geometria Anal´
                                a                            ıtica, McGraw-Hill, 1987.
    •   Strang , Gilbert: Calculus, Wellesley–Cambridge Press, 1991.
    •   Swokowski, Earl W.: C´lculo com Geometria Analtica, McGraw-Hill, 1983.
                                a




                                                           c   Instituto de Matem´tica – UFRGS
                                                                                 a

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Conic Sections Equations

  • 1. Universidade Federal do Rio Grande do Sul — Instituto de Matem´tica a ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA PURA E APLICADA MAT 01353 C´lculo e Geometria Anal´ a ıtica IA GEOMETRIA ANAL´ ITICA ˆ CONICAS Janice Nery Liana Costi N´cul a Luisa Rodr´ıguez Doering Maria Fernanda Recena Menezes PORTO ALEGRE, 2001/2
  • 2. Conte´do u 1. Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1 2. Defini¸˜o das Cˆnicas como Lugar Geom´trico . . . . . . . . . . . . . . . ca o e 2 3. Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca o o 3 4. Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas com Centro Gen´rico (h, k) . . . ca o o e 5 5. Identifica¸˜o das Cˆnicas e de seus Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . ca o 5 6. Exerc´ ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7. Par´bola × Ensino M´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 a e 8. Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 9. Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
  • 3. Se¸˜es Cˆnicas co o 1. Introdu¸˜o ca Uma se¸˜o cˆnica ou, simplesmente, uma cˆnica ´ a curva obtida cortando-se qualquer ca o o e cone de duas folhas por um plano que n˜o passa pelo v´rtice; este plano ´ o plano secante. a e e • Se o plano secante ´ paralelo a uma geratriz do e cone, a cˆnica ´ uma par´bola. o e a • Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma geratriz a e e corta s´ uma das duas folhas do cone, a cˆnica ´ o o e uma elipse. • Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma gera- a e triz e corta ambas folhas do cone, a cˆnica ´ uma o e hip´rbole. e No caso de um plano que passa pelo v´rtice do cone obtemos, como ´ f´cil visualizar, e e a um ponto, uma reta ou um par de retas concorrentes: estas s˜o chamadas cˆnicas degen- a o eradas, que n˜o ser˜o estudadas. a a Na p´gina http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/calculo1.html do C´lculo I A, h´ a a a um link chamado Um Estudo de C^nicas, onde pode ser encontrada esta apostila, bem o como defini¸˜es, exemplos, constru¸˜es e anima¸˜es que ajudam o aluno a ter uma melhor co co co compreens˜o e visualiza¸˜o sobre este assunto. Sempre que um assunto aqui abordado a ca tiver algo relacionado naquela p´gina, isto ser´ explicitado. Por exemplo, para ter uma a a id´ia dos planos secantes cortando o cone em angulos variados, veja Introdu¸ao. e ˆ c~
  • 4. 2 C´lculo IA a 2. Defini¸˜o das Cˆnicas como Lugar Geom´trico ca o e Estudaremos as se¸˜es cˆnicas como curvas planas. Para isso, utilizaremos defini¸˜es co o co equivalentes as anteriores — mas que se referem somente ao plano no qual est´ a curva ` a — e que dependem de pontos especiais desse plano, chamados focos da curva. • Elipse: conjunto de todos os pontos P do plano tais que ´ constante a soma d1 + d2 e das distˆncias d1 e d2 respectivamente de P a dois pontos fixos F1 e F2 , chamados focos a da elipse. P d1 d2 F1 F2 d1 + d2 = constante • Hip´rbole: conjunto de todos os pontos P do plano tais que ´ constante a diferen¸a e e c |d1 −d2 | das distˆncias d1 e d2 respectivamente de P a dois pontos fixos F1 e F2 , chamados a focos da hip´rbole. e P d1 d2 o o F1 F2 |d1 − d2 | = constante • Par´bola: conjunto de todos os pontos P do plano tais que a distˆncia d1 de P a a a um ponto fixo F, chamado foco da par´bola, ´ igual a distˆncia d2 de P a uma reta fixa a e ` a D, chamada diretriz da par´bola. a D d2 P d1 F d1 = d2 c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 5. ˆ CONICAS 3 Note que as duas primeiras cˆnicas s˜o sim´tricas em rela¸˜o a reta que passa pelos o a e ca ` focos e a par´bola ´ sim´trica em rela¸˜o a reta pelo foco que ´ perpendicular ` diretriz. a e e ca ` e a Em Anima¸oes/Constru¸oes podem ser encontradas constru¸˜es animadas das cˆnicas. c~ c~ co o 3. Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas ca o o A fim de determinar mais facilmente as equa¸˜es das cˆnicas, escolhemos um sistema co o de coordenadas tal que os focos estejam no eixo 0x e equidistantes da origem, para a elipse e a hip´rbole; para a par´bola escolhemos um sistema tal que o foco esteja no eixo 0x e a e a origem equidistante do foco e da diretriz. Assim obtemos as equa¸˜es a seguir, chamadas co equa¸˜es canˆnicas ou reduzidas das cˆnicas. co o o a) Elipse E: determinada por seus focos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), onde c ≥ 0 e pela x2 y 2 constante 2a > 2c, tem a equa¸˜o reduzida ca + 2 = 1, com a2 = b2 + c2 . a2 b y Elementos: B2 Centro: C = (0, 0) V´rtices: A1 = (−a, 0) e A2 = (a, 0) e B1 = (0, −b) e B2 = (0, b) x Focos: F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) A1 F 1 F A2 2 Eixo maior: A1 A2 Eixo menor: B1 B2 c Excentricidade: e = B1 a Observe que 0 < e < 1. Note tamb´m que se e ´ aproximadamente 0, ent˜o c ´ e e a e muito menor do que a e portanto b2 ´ aproximadamente igual a a2 ; isto significa e que, neste caso, a elipse E ´ mais redonda. (Se e = 0, ´ um c´ e e ırculo!) Analogamente, se e ´ aproximadamente 1, ent˜o a ´ aproximadamente igual e a e a c e portanto b2 ´ aproximadamente 0; isto significa que, neste caso, a elipse E e ´ mais alongada. e Passamos a deduzir a equa¸˜o reduzida. S˜o equivalentes: ca a P = (x, y) ∈ E d((x, y), F1 ) + d((x, y), F2 ) = 2a d((x, y), (−c, 0)) + d((x, y), (c, 0)) = 2a (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a (x + c)2 + y 2 = 2a − (x − c)2 + y 2 x2 + 2cx + c2 + y 2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + x2 − 2cx + c2 + y 2 4cx − 4a2 = 4a (x − c)2 + y 2 cx − a2 = a (x − c)2 + y 2 c2 x2 − 2a2 cx + a4 = a2 (x2 − 2cx + c2 + y 2 ) (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 c2 − a4 = a2 (c2 − a2 ) (a2 − c2 )x2 − a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ) como a2 − c2 > 0, tomamos b2 = a2 − c2 e obtemos b 2 x 2 − a2 y 2 = a 2 b 2 c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 6. 4 C´lculo IA a x2 y 2 + 2 =1 a2 b Em dois dos passos acima, ´ importante ter o radicando positivo, para ter o e mesmo conjunto-solu¸˜o da equa¸˜o e de seu quadrado. ca ca b) Par´bola P: determinada por seu foco F = (p, 0) e por sua diretriz D : x = −p, a tem a equa¸˜o reduzida y 2 = 4px. ca y D Elementos: x Diretriz: D : x = −p F V´rtice: V = (0, 0) e Foco: F = (p, 0) A dedu¸˜o da equa¸˜o reduzida ´ semelhante ` do item a). ca ca e a c) Hip´rbole H: determinada por seus focos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), e pela e x2 y 2 constante 2a < 2c, tem a equa¸˜o reduzida ca − 2 = 1, com b2 = c2 − a2 . a2 b y Elementos: a Centro: C = (0, 0) b V´rtices: V1 = (−a, 0) e V2 = (a, 0) e c x Focos: F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) F o o V V o o F2 1 1 2 b b ıntotas: y = − x e y = x Ass´ a a c Excentricidade: e = a Observe que e > 1. Note tamb´m que se e ´ aproximadamente 1, ent˜o c ´ e e a e 2 aproximadamente a e portanto b ´ aproximadamente igual a 0; isto significa e que, neste caso, a hip´rbole H ´ muito mais fechada. e e Analogamente, se e ´ muito maior do que 1, ent˜o c ´ muito maior do que a e a e e portanto b2 ´ muito maior do que 0; isto significa que, neste caso, a hip´rbole e e H ´ muito mais aberta. e c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 7. ˆ CONICAS 5 A dedu¸˜o da equa¸˜o reduzida ´ semelhante ` do item a). ca ca e a Em Anima¸oes/Varia¸oes/Par^metros podem ser encontradas anima¸˜es refletindo c~ c~ a co varia¸˜es dos parˆmetros das cˆnicas. co a o 4. Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas com Centro Gen´rico (h, k) ca o o e As equa¸˜es canˆnicas das cˆnicas descritas anteriormente tˆm todas focos no eixo Ox co o o e e centro em (0, 0); analisamos ainda o caso em que o centro ´ um ponto (h, k) qualquer do e plano e os focos est˜o na reta paralela ao eixo Ox, y = k ou paralela ao eixo Oy, x = h. a As equa¸˜es com um centro gen´rico em (h, k) e focos na reta y = k s˜o: co e a (x − h)2 (y − k)2 Elipse: + =1 com a2 = b2 + c 2 ; a2 b2 Par´bola: a (y − k)2 = 4p (x − h); (x − h)2 (y − k)2 Hip´rbole: e − =1 com b 2 = c 2 − a2 . a2 b2 As equa¸˜es respectivas com centro gen´rico em (h, k) mas focos na reta x = h, s˜o co e a obtidas trocando x − h por y − k nas equa¸˜es acima. co Em Anima¸oes/Varia¸oes/Transla¸oes podem ser encontradas anima¸˜es apresen- c~ c~ c~ co tando transla¸˜es das cˆnicas. co o 5. Identifica¸˜o das Cˆnicas e de seus Elementos ca o A equa¸˜o geral do segundo grau em duas vari´veis ´ da forma ca a e Ax2 + By 2 + Cx + Dy + Exy + F = 0 (♦) e representa uma cˆnica, uma cˆnica degenerada ou o conjunto vazio. Quando (♦) repre- o o senta uma cˆnica e o coeficiente do termo em xy ´ n˜o-nulo (E = 0), esta tem os focos em o e a uma reta n˜o-paralela aos eixos coordenados; este caso n˜o ser´ estudado nesta disciplina, a a a ´ mas sim na de Algebra Linear. Se vocˆ deseja ter uma id´ia do que acontece neste caso e e E = 0, consulte Anima¸oes/Varia¸oes/Rota¸oes. c~ c~ c~ Quando E = 0, os focos est˜o sobre uma reta paralela a um dos eixos Ox ou Oy; a que ´ o caso aqui estudado. Para identificarmos essa cˆnica, completamos quadrados e e o reescrevemos (♦) como uma das equa¸˜es da Se¸˜o 4. co ca O an´logo de (♦) no caso tridimensional (a equa¸˜o geral do segundo grau em trˆs a ca e vari´veis) pode ser encontrado no link Qu´dricas da p´gina de C´lculo IIA. a a a a c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 8. 6 C´lculo IA a 6. Exerc´ ıcios Resolvidos Exerc´ıcio 1. Identifique a cˆnica de equa¸˜o 4x2 + 9y 2 − 16x + 18y − 11 = 0, seus o ca elementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico. c c a Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o 4x2 + 9y 2 − 16x + 18y − 11 = 0, primeiro agrupamos os termos ca ca em x e os termos em y : 4(x2 − 4x) + 9(y 2 + 2y) − 11 = 0, completamos o quadrado: 4 (x − 2)2 − 4 + 9 (y + 1)2 − 1 − 11 = 0, e reescrevemos: 4(x − 2)2 − 16 + 9(y + 1)2 − 9 − 11 = 0 ∴ 4(x − 2)2 + 9(y + 1)2 − 36 = 0; finalizamos colocando no formato canˆnico: o (x − 2)2 (y + 1)2 + = 1. 32 22 Vemos, portanto (observe o sinal +), que se trata de uma elipse com a = 3, b = 2 e √ c = 5 , pois c2 = 9 − 4 = 5. Al´m disto, temos: e y Elementos: B2 1 o Centro: C = (2, −1) –1 2 5 x V´rtices: e A1 = (−1, −1), A2 = (5, −1) B1 = (2, −3), B2 = (2, 1) √ A1 o o F1 –1 o C o F2 o A2 Focos: F1 = (2 − √5, −1) e F2 = (2 + 5, −1) √ 5 Excentricidade: e = 3 –3 o B1 Exerc´ıcio 2. Identifique a cˆnica de equa¸˜o 25x2 − 36y 2 − 100x − 72y − 836 = 0, seus o ca elementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico. c c a Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o 25x2 − 36y 2 − 100x − 72y − 836 = 0, primeiro agrupamos os ca ca termos em x e os termos em y : 25(x2 − 4x) − 36(y 2 + 2y) − 836 = 0, completamos o quadrado: 25[(x − 2)2 − 4] − 36[(y + 1)2 − 1] − 836 = 0, e reescrevemos: 25(x − 2)2 − 100 − 36(y + 1)2 + 36 − 836 = 0 ∴ 25(x − 2)2 − 36(y + 1)2 − 900 = 0, finalizamos colocando no formato canˆnico: o (x − 2)2 (y + 1)2 − = 1. 62 52 c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 9. ˆ CONICAS 7 Vemos, portanto (observe o sinal −), que se trata de uma hip´rbole com a = 6, b = 5 e √ e 2 c = 61 , pois c = 36 + 25 = 61. Al´m disto, temos: e y Elementos: Centro: C = (2, −1) V´rtices: e V1 = (−4, −1) e V2 = (8, −1) √ 2 x Focos: F1 = (2 − √61, −1) –1 F1o o V1 o o o F2 e F2 = (2 + 61, −1) C V2 Ass´ıntotas: 5 5 y = (x − 2) − 1 e y = − (x − 2) − 1 6 6 √ 61 Excentricidade: e = 6 Exerc´ıcio 3. Identifique a cˆnica de equa¸˜o y 2 − 4y − 12x − 8 = 0, seus elementos e o ca fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico. c c a Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o y 2 − 4y − 12x − 8 = 0, primeiro agrupamos os termos em x e ca ca os termos em y : y 2 − 4y = 12x + 8, completamos o quadrado: (y − 2)2 − 4 = 12x + 8 ∴ (y − 2)2 = 12x + 12 = 12(x + 1), finalizamos colocando no formato canˆnico: o (y − 2)2 = 4 · 3(x + 1). Vemos, portanto (observe que s´ h´ um quadrado), que se trata de uma par´bola com o a a p = 3. Al´m disto, temos: e y D Elementos: Diretriz: D : x = −4 V F o o x V´rtice: V = (−1, 2) e –4 –1 2 Foco: F = (−1 + 3, 2) = (2, 2) Exerc´ıcio 4. Identifique a cˆnica de equa¸˜o 9x2 + 4y 2 − 72x + 36y − 164 = 0, seus o ca elementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico. c c a c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 10. 8 C´lculo IA a Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o 9x2 + 4y 2 − 72x + 36y − 164 = 0, primeiro agrupamos os termos ca ca em x e os termos em y : 9(x2 − 8x) + 4(y 2 + 6y) − 164 = 0, completamos o quadrado: 9 (x − 4)2 − 16 + 4 (y + 1)2 − 9 − 164 = 0, e reescrevemos: 9(x − 4)2 − 151 + 4(y + 3)2 − 36 − 164 = 0 ∴ 9(x − 4)2 + 4(y + 3)2 − 351 = 0; finalizamos colocando no formato canˆnico: o y A2 (x − 4)2 (y + 3)2 6 o + = 1. 62 92 o F2 Vemos, portanto (observe o sinal +), que se trata de uma elipse com a = 9, √ √ –2 4 10 x b = 6 e c = 45 = 3 5 , pois c2 = 81 − 36 = 45. Al´m disto, temos: e C B1 o o o B2 Elementos: –3 Centro: C = (4, −3) V´rtices: e A1 = (4, −12), A2 = (4, 6) B1 = (−2, −3), B2 = (10, −3) o F1 √ Focos: F1 = (4, −3 − 3√5 ) –12 o e F2 = (4, −3 +√ 5 ) 3 A1 45 √ Excentricidade: e = = 35 6 Exerc´ıcio 5. Identifique a cˆnica de equa¸˜o −16x2 + 9y 2 − 160x − 54y − 885 = 0, seus o ca elementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico. c c a Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o −16x2 + 9y 2 − 160x − 54y − 885 = 0, primeiro agrupamos os ca ca termos em x e os termos em y : −16(x2 + 10x) + 9(y 2 − 6y) − 885 = 0, completamos o quadrado: −16[(x + 5)2 − 25] + 9[(y − 3)2 − 9] − 885 = 0, e reescrevemos: −16(x + 5)2 + 390 + 9(y − 3)2 − 81 − 885 = 0 ∴ −16(x + 5)2 + 9(y − 3)2 − 576 = 0, finalizamos colocando no formato canˆnico: o (y − 3)2 (x + 5)2 − = 1. 82 62 Vemos, portanto (observe o sinal −), que se trata de uma hip´rbole com a = 8, b = 6 e e 2 c = 10, pois c = 64 + 36 = 100. Al´m disto, temos: e c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 11. ˆ CONICAS 9 y Elementos: F Centro: C = (−5, 3) o 2 o V´rtices: e V1 = (−5, −5) e V2 = (−5, 11) Focos: F1 = (−5, −7) Co 3 x –5 e F2 = (−5, 13) o Ass´ıntotas: o F1 4 4 y = (x + 5) + 3 e y = − (x + 5) + 3 3 3 8 Excentricidade: e = = 4 3 6 Exerc´ıcio 6. Identifique a cˆnica de equa¸˜o x2 − 6x + 4y − 11 = 0, seus elementos e o ca fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico. c c a Solu¸˜o: Dada a equa¸˜o x2 − 6x + 4y − 11 = 0, primeiro agrupamos os termos em x e ca ca os termos em y : x2 − 6x = −4y + 11, completamos o quadrado: (x − 3)2 − 9 = −4y + 11 ∴ (x − 3)2 = −4y + 20 = −4 · (y − 5), finalizamos colocando no formato canˆnico: o y (x − 3)2 = −4 · (y − 5). 6 D V Vemos, portanto (observe que s´ h´ o a 5 o 4 o um quadrado), que se trata de uma F par´bola com p = −1. Al´m disto, a e temos: x 3 Elementos: Diretriz: D : y = 6 V´rtice: V = (3, 5) e Foco: F = (3, 5 − 1) = (3, 4) c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 12. 10 C´lculo IA a 7. Par´bola × Ensino M´dio a e A par´bola ´, certamente, a cˆnica mais trabalhada no Ensino M´dio e, muitas vezes, a e o e tamb´m a unica. Ocorre que, nesse n´ e ´ ıvel, a maioria dos livros did´ticos apresenta a a equa¸˜o y = ax2 + bx + c do 2o grau em x e simplesmente afirma que o gr´fico da mesma ca a ´ uma curva denominada par´bola e n˜o a caracteriza como lugar geom´trico. e a a e Faremos isto agora, ou seja, partindo da equa¸˜o y = ax2 + bx + c, vamos obter ca sua forma canˆnica e assim caracteriz´-la como par´bola; tamb´m reconheceremos seus o a a e elementos, bem como suas eventuais intersec¸˜o com o eixo 0x (ra´ ca ızes). 2 Completando o quadrado no lado direito da equa¸˜o y = ax + bx + c, obtemos ca b b2 b2 y = a x2 + x + 2 + c − , a 4a 4a que ´ equivalente ` equa¸˜o e a ca 4ac − b2 b 2 y− =a x+ , (†) 4a 2a e esta, por sua vez, reconhecemos como sendo a equa¸˜o canˆnica de uma par´bola, com ca o a b 4ac − b2 b −∆ v´rtice no ponto e , = , onde ∆ = b2 − 4ac ´ o discriminante de e 2a 4a 2a 4a 1 y = ax2 + bx + c e com p = . 4a Agora, ´ f´cil obter as ra´ da equa¸˜o y = ax2 + bx + c, ou seja, deduzir a f´rmula e a ızes ca o de Bhaskara: queremos encontrar todos os poss´ ıveis valores de x para os quais y = 0. Por (†), as equa¸˜es a seguir s˜o equivalentes: co a y = 0, ax2 + bx + c = 0, e 4ac − b 2 b 2 − =a x+ . 4a 2a Dividindo esta ultima equa¸˜o por a e arrumando o sinal do termo da esquerda, obtemos: ´ ca b2 − 4ac b 2 = x+ . (††) 4a2 2a Na ultima equa¸˜o o lado direito da igualdade ´ sempre positivo ou nulo, portanto o ´ ca e mesmo deve ocorrer com o lado esquerdo; como 4a2 > 0, estabelecemos que y = 0 se, e somente se, b2 − 4ac ≥ 0. Assim, se b2 − 4ac ≥ 0, nossa equa¸˜o tem solu¸˜o e, para ca ca obtˆ-la, extra´ e ımos a raiz quadrada dos dois lados de (††): b2 − 4ac b 2 = x+ , 4a 2a e portanto, √ b b2 − 4ac − b + b2 − 4ac x=− + = 2a 4a2 2a ou √ b b2 − 4ac − b − b2 − 4ac x=− − = , 2a 4a2 2a que ´ a conhecida f´rmula de Bhaskara. e o c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 13. ˆ CONICAS 11 8. Exerc´ ıcios Exerc´ ıcio 1. Estabele¸a a equa¸˜o de cada uma das par´bolas a seguir, sabendo que: c ca a a) ´ sim´trica em rela¸˜o ao eixo Oy, tem v´rtice em V = (0, 0) e cont´m o ponto e e ca e e P = (2, −3); b) tem v´rtice em V = (−2, 3) e foco em F = (−2, 1); e 1 c) tem foco em F = (3, −1) e diretriz x = . 2 Exerc´ıcio 2. Determine o v´rtice, o foco, a equa¸˜o da diretriz e esboce o gr´fico de e ca a cada uma das par´bolas a seguir: a a) y 2 − x = 0; b) x2 − 2x − 20y − 39 = 0; c) 8x = 10 − 6y + y 2 . Exerc´ıcio 3. Determine os centros, os v´rtices, os focos e a excentricidade e esboce o e gr´fico de cada uma das elipses a seguir: a a) 9x2 + 5y 2 − 45 = 0; b) 25x2 + 16y 2 + 50x + 64y − 311 = 0; c) 4x2 + 9y 2 − 24x + 18y + 9 = 0. Exerc´ ıcio 4. Estabele¸a a equa¸˜o de cada uma das elipses a seguir, sabendo que: c ca a) seu eixo maior mede 10um e os focos s˜o F1 = (−4, 0) e F2 = (4, 0); a 3 b) tem centro em C = (2, 4), um foco em F = (5, 4) e excentricidade e = . 4 Exerc´ ıcio 5. Estabele¸a a equa¸˜o de cada uma das hip´rboles a seguir, sabendo que: c ca e a) tem ass´ıntotas de equa¸˜es y = 2x e y = −2x e v´rtices em V1 = (−3, 0) e co e V2 = (3, 0); b) tem focos em F1 = (3, −2) e F2 = (3, 4) e excentricidade e = 2. Exerc´ıcio 6. Determine os centros, os v´rtices, os focos e a excentricidade e esboce o e gr´fico de cada uma das hip´rboles a seguir: a e a) 3x2 − y 2 + 3 = 0; b) 9x2 − 4y 2 − 54x + 8y + 113 = 0; c) 16x2 − 9y 2 − 64x − 18y + 199 = 0. Exerc´ıcio 7. Classifique, dˆ todos os elementos e esboce o gr´fico de cada uma das e a curvas com equa¸˜es dadas a seguir: co a) 16x2 + 9y 2 − 96x + 72y + 144 = 0; b) y 2 − 16x2 + 2y + 49 = 0; c) 4x2 − y 2 − 32x + 4y + 24 = 0. Exerc´ ıcio 8. A ´gua que esguicha de um bocal, mantido horizontalmente a 4 m acima a do solo, descreve uma curva parab´lica com v´rtice no bocal e, medida na vertical, desce o e 1 m nos primeiros 10 m de movimento horizontal. Calcule a distˆncia horizontal do bocal a em que a ´gua atinge o solo. a c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 14. 12 C´lculo IA a Exerc´ ıcio 9. Uma ponte suspensa de 400 11 00 11 00 m de comprimento ´ sustentada por um cabo e 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 principal parab´lico (veja a figura). O cabo o 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 principal est´ 100 m acima da ponte nos ex- a 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 tremos e 4 m acima da ponte em seu centro. 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 Calcule o comprimento dos cabos de suten- 11 00 11 00 11 00 11 00 ta¸˜o que s˜o colocados a intervalos de 50 m ca a 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 ao longo da ponte. (Sugest˜o: Utilize o sis- a 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 1111111111111111 0000000000000000 tema de coordenadas retangulares em que a 11 00 11 00 1111111111111111 0000000000000000 11 00 11 00 11 00 11 00 ponte ´ o eixo 0x e a origem est´ no meio da e a 11 00 11 00 11 00 11 00 ponte.) Exerc´ ıcio 10. O segmento de reta que passa pelo foco de uma par´bola, ´ paralelo a e ` diretriz da par´bola e tem suas extremidades na pr´pria par´bola ´ chamado o lactus a a o a e rectum da par´bola. Mostre que a medida do lactus rectum ´ o dobro da distˆncia entre a e a o foco e a diretriz. Exerc´ıcio 11. Qual ´ o comprimento de um fio usado para delimitar um jardim el´ e ıptico com 20 m de largura e 60 m de comprimento? qual ´ a area deste jardim? e ´ Exerc´ ıcio 12. Exceto por pequenas perturba¸˜es, um sat´lite em ´rbita ao redor da co e o Terra se move numa elipse, com um dos focos no centro da Terra. Suponha que no perigeu (o ponto da orbita mais pr´ximo do centro da Terra) o sat´lite est´ a 400 km da superf´ ´ o e a ıcie da Terra e que no apogeu (o ponto da orbita mais afastado do centro da Terra) o sat´lite ´ e est´ a 600 km da superf´ da Terra. Calcule o eixo maior e o eixo menor da orbita a ıcie ´ el´ ıptica deste sat´lite, supondo que a Terra ´ um esfera de 6371 km de raio. e e Exerc´ıcio 13. Dados os pontos A = (−2, −2) e B = (6, 6) do plano cartesiano, determine o lugar geom´trico de um ponto P que se move pelo plano de tal modo que o e coeficiente angular da reta por A e P, acrescido de duas unidades, ´ igual ao coeficiente e angular da reta por B e P. Exerc´ ıcio 14. Determine o lugar geom´trico de um ponto P que se move no plano e cartesiano de tal modo que o quadrado de sua distˆncia a origem ´ igual ao dobro de sua a ` e distˆncia ao eixo das ordenadas. a Exerc´ıcio 15. Represente graficamente o lugar geom´trico dos pontos (x, y) que satis- e fazem as condi¸˜es: co √ x−1 1 36 − 4x2 a) y 2 + 4y + 16x − 44 = 0; b) = ; c) y = . x+1 2 3 ıcio 16. Escreva a integral que calcula a area da figura de equa¸˜o geral x2 + Exerc´ ´ ca 4y − 2x − 3 = 0. 2 Exerc´ ıcio 17. Indique a integral que calcula o volume do s´lido obtido pela rota¸˜o da o ca regi˜o formada pelas curvas: a a) x2 − y 2 = 1 e x = 3 ao redor da reta x = −2; b) y = −x2 + 1, y = x + 1 e o eixo 0x ao redor do eixo 0x. Exerc´ ıcio 18. Escreva a integral que fonece: a) a area do primeiro quadrante no interior da circunferˆncia x2 + y 2 = a2 ; ´ e 2 x y2 b) a area do primeiro quadrante no interior da elipse 2 + 2 = 1. ´ a b c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 15. ˆ CONICAS 13 c) Mostre que a integral do item b) ´ igual a b/a vezes a integral do item a) e, dessa e forma, obtenha a area da elipse a partir da conhecida area do c´ ´ ´ ırculo. Exerc´ ıcio 19. Calcule o volume do elips´ide que ´ o s´lido de revolu¸˜o obtido girando o e o ca x2 y 2 a elipse + = 1 em torno do eixo 0x. 25 9 Exerc´ ıcio 20. Determine as equa¸˜es da reta tangente e da reta normal a cada elipse co a seguir no ponto indicado. a) x2 + 9y 2 = 255 em (9, 4); b) x2 + 4y 2 − 2x + 8y = 35 em (3, 2). Exerc´ ıcio 21. Um ponto se move sobre a elipse x2 + 4y 2 = 25 de tal modo que sua abscissa crese numa raz˜o constante de 8 unidades por segundo. Com que rapidez varia a a ordenada no instante em que ela ´ igual a −2 unidades e a abscissa ´ positiva? e e Exerc´ıcio 22. Determine as equa¸˜es da reta tangente e da reta normal a cada hip´rbole co e a seguir no ponto indicado. a) x2 − y 2 = 9 em (−5, 4); b) x2 − 4x − y 2 − 2y = 0 em (0, 0). Exerc´ ıcio 23. Um ponto se move sobre a hip´rbole 4x2 − 9y 2 = 27 de tal modo que sua e abscissa crese numa raz˜o constante de 8 unidades por segundo. Com que rapidez varia a a ordenada no ponto (3, 1)? Exerc´ ıcio 24. Determine a menor (m´ ınima) distˆncia do ponto (3, 0) a hip´rbole a ` e y 2 − x2 = 18. y y 1 4 Exerc´ ıcio 25. Calcule a area da re- ´ gi˜o sombreada delimitada pela reta a x x a) x = 1 e a elipse x2 + 4y 2 = 4; −2 1 2 b) y = 4 e a elipse 9x2 + y 2 = 25. (Sugest˜o: Utilize substitui¸˜o trigono- a ca −1 m´trica.) e ıcio 26. Seja R a regi˜o plana delimitada pelas curvas y 2 − x2 = 16 e y = 5. Exerc´ a a) Esboce a regi˜o R; a b) Apresente uma integral que expressa esta area; ´ c) Qual ´ a t´cnica de integra¸˜o que vocˆ usaria para resolver esta integral? e e ca e 9. Respostas Exerc´ ıcio 1. 3 a) y = − x2 ou, equivalentemente, 4y + 3x2 = 0. 4 (x + 2)2 b) y = 3 − ou, equivalentemente, x2 + 4x + 8y − 20 = 0. 8 c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 16. 14 C´lculo IA a c) (y + 1)2 = 5(x − 7 ). 4 Exerc´ ıcio 2. a) V = (0, 0), F = ( 1 , 0), x = − 1 . 4 4 b) V = (1, −2), F = (1, 3), y = −7. c) V = ( 1 , 3), F = ( 17 , 3), x = − 15 . 8 8 8 Exerc´ ıcio 3. a) C = (0, 0), V1 = (0, −3), V2 = (0, 3), F1 = (0, −2), F2 = (0, 2), e = 2 . 3 b) C = (−1, −2), V1 = (−1, −7), V2 = (−1, 3), F1 = (−1, 1), F2 = (−1, −5), e = 3 5 . √ c) C = (3, −1), √ 1 = (0, −1), V2 = (6, −1), F1 = (3 + 5, −1), F2 = (3 − V √ 5, −1), e = 35 . Exerc´ ıcio 4. a) 9x2 + 25y 2 = 225. b) 7x2 + 16y 2 − 28x − 128y + 172 = 0. Exerc´ ıcio 5. x2 y 2 a) − = 1. 9 36 b) 12y 2 − 4x2 + 24x − 24y − 51 = 0. Exerc´ ıcio 6. √ √ √ a) C = (0, 0), V1 = (0, − 3), V2 = (0, 3), F1 = (0, −2), F2 = (0, 2), e = 2 3 3 . √ √ b) C = (3, 1), V1 = (3, 4), V2 = (3, −2), F1 = (3, 1− 13), F2 = (3, 1+ 13), e = √ 13 3 . c) C = (2, −1), V1 = (2, −5), V2 = (2, 3), F1 = (2, −6), F2 = (2, 4), e = 5 . 4 Exerc´ ıcio 7. √ a) Elipse: C = (3, −4), V1 = (3, −8), V2 = (3, 0), F1 = (3, −4 − 7), F2 = √ √ (3, −4 + 7), e = 47 . b) Par´bola: V = (3, −1), F = (7, −1), x = −1. a √ c) Hip´rbole: C = (4, 2), V1 = (1, 2), V2 = (7, 2), F1 = (4 − 3 5, 2), F2 = e √ √ (4 + 3 5, 2), e = 5. Exerc´ ıcio 8. Distˆncia horizontal = 160 m. a 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 10000 11 11 00 100 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 58 11 00 Exerc´ ıcio 9. Fun¸˜o altura: ca 11 00 58 00 11 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 3 2 11 00 11 00 11 00 11 00 28 28 11 00 11 00 y= x + 4. 11 00 11 00 1250 11 00 11 00 10 10 11 00 11 00 11 00 4 11 00 11 00 1111111111111111 0000000000000000 11 00 11 00 11 00 0000000000000000 1111111111111111 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 Exerc´ ıcio 10. Aula. c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 17. ˆ CONICAS 15 √ Exerc´ ıcio 11. Comprimento do fio = 40π 5 e a area do jardim = 1200π. ´ Exerc´ıcio 12. Eixo menor da orbita el´ ´ ıptica do sat´lite = 13.740,54 km e eixo maior = e 13.742,00 km. x2 ıcio 13. O lugar geom´trico ´ a par´bola de equa¸˜o y = − Exerc´ e e a ca . 2 Exerc´ ıcio 14. O lugar geom´trico ´ a circunferˆncia de centro C = (0, 0) e raio 1 dada e e e por x + y − 2x = 0. 2 2 Exerc´ ıcio 15. 4 12 10 8 y 6y 2 4 x 2 0 2.5 3 3.5 4 x a) –2 b) –4 –6 –2 –8 –10 –12 –4 –14 –16 2 1.8 1.6 1.4 y 1.2 c) 1 0.8 0.6 0.4 –3 –2 –1 0 1 2 3 x 1 (x + 1)2 Exerc´ ıcio 16. A = 2 1− dx. −3 4 Exerc´ ıcio 17. √ 2 2 a) V = 2π 25 − (2 + 1 + y 2 )2 dy. 0 0 b) V = π (1 − x2 )2 − (x + 1)2 dx. −1 Exerc´ ıcio 18. a √ a) A = a2 − x2 dx. 0 c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 18. 16 C´lculo IA a b a√ 2 b) A = a − x2 dx. a 0 ´ c) Area da elipse = πab. Exerc´ ıcio 19. V = 60π. Exerc´ ıcio 20. a) reta tangente: 4y + x − 25 = 0, reta normal: y − 4x + 32 = 0; b) reta tangente: 6y + x − 15 = 0, reta normal: y − 6x + 16 = 0. Exerc´ ıcio 21. Varia a 3 unidades por segundo. Exerc´ ıcio 22. a) reta tangente: 4y + 5x + 9 = 0, reta normal: 5y − 4x − 40 = 0; b) reta tangente: y + 2x = 0, reta normal: 2y − x = 0. 32 Exerc´ ıcio 23. Varia a unidades por segundo. 3 √ 3 10 Exerc´ ıcio 24. Menor (m´ ınima) distˆncia ´ a e . 2 Exerc´ ıcio 25.√ 2π 3 a) − ; 3 2 25 3 b) arcsen − 4. 3 5 Exerc´ ıcio 26. a) Esboce a regi˜o R; a 3 √ b) A = 2 5 − 16 + x2 dx; 0 x c) Substitui¸˜o trigonom´trica ca e = tg θ. 4 c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 19. ˆ CONICAS 17 Bibliografia • Anton, Howard: C´lculo, um novo horizonte, Bookman, 2000. a • ´ Avila, Geraldo S.: Clculo, LTC, 1992. • Edwards, B., Hostetler, R. e Larson, R.: C´lculo com Geometria Anal´ a ıtica, LTC 1994 • Edwards, C.H. e Penney, D.E., C´lculo com Geometria Analtica, Prentice a Hall do Brasil, 1997. • Hugues-Hallett, Deborah e outros: Calculus, John Wiley & Sons, 1994. • Leithold, Louis: O C´lculo com Geometria Anal´ a ıtica, Harbra, 1976. • Munem, M.A. e Foulis, D.J.: C´lculo, Guanabara, 1982. a • Shenk, Al: C´lculo e Geometria Anal´ a ıtica, Campus, 1984. • Simmons, George F.: C´lculo com Geometria Anal´ a ıtica, McGraw-Hill, 1987. • Strang , Gilbert: Calculus, Wellesley–Cambridge Press, 1991. • Swokowski, Earl W.: C´lculo com Geometria Analtica, McGraw-Hill, 1983. a c Instituto de Matem´tica – UFRGS a