Trigonometria y

Trigonometria Page 1 of 15

Trigonometria

Construção de um dispositivo de medição do ângulo

Linha de visão é chamada a linha imaginária que une o olho de um observador com o local observado.
Chamamos o ângulo de elevação que formam a localização horizontal do observador e do observado quando
ele está localizado acima do observador. Quando o observador é maior ângulo irá chamá-lo de depressão.

Razões trigonométricas de um ângulo agudo

Tangente de um ângulo

Marta, que mora na praia, você vê uma depressão pedal quebrado em um ângulo de 10 °. Ela estima que a
altura do apartamento é de 20 m, ea distância a partir do portal para as ondas é de 15 m.

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011


Porque você quer saber o que os seus ocupantes devem nadar até chegar à costa, com a ajuda de um
transferidor, desenhe um triângulo semelhante e então mediram suas pernas. Sendo proporcional ao triângulo
real, Marta consegue descobrir o que os ocupantes devem nadar para chegar à praia.

Faça o seu notebook é feito Marta.

Definição

Considerar tanto um ângulo agudo e desenhar um raio de base perpendicular, obtendo o triângulo ABC, chame
um tan com a relação BC / AC.

Teorema de Thales garante que o lugar que eu chamar a perpendicular é irrelevante para o cálculo de uma
tangente:

Em geral, um triângulo, dizer que a tangente do ângulo é a razão lado oposto / lado adjacente.



Da mesma forma, dizemos que o co-seno do ângulo é a razão hipotenusa adjacentes lado /

e dentro deste é o lado oposto / hipotenusa.

Também utilizado o inverso da tangente, cosseno e seno, respectivamente chamados cotangente, secante e
cossecante:

A tangente, cosseno, seno e suas funções trigonométricas inversas são chamados ângulo "

Estimativas, servindo-se um transferidor e medir os segmentos correspondentes nos desenhos, as razões
trigonométricas de ângulos de 40 ° e 60 °.

Obtenção de índices trigonométricas utilizando uma calculadora

Anteriormente estimamos as relações dos ângulos medindo segmentos. A imprecisão dos resultados da medição
obtida com valores de precisão baixa. Existem técnicas matemáticas que permitem fina o suficiente para saber
o valor da tangente, cosseno e seno de um ângulo, mas não estudados neste curso. No entanto, você pode usar a
sua calculadora para obter uma boa estimativa usando as teclas de TAN, COS e SIN.

Passos para encontrar o valor da tangente do ângulo de 40 º:

TAN 40 = 0,8390996.

Em modelos de outra calculadora fica tão em primeiro lugar e em seguida, digite 40.

Também é possível, chamado a tangente do ângulo, encontrar o ângulo a partir do qual se trata. Suponha que a
tangente de um ângulo vale 2,75:

TAN 2,75 -1 = 70,016893, é de aproximadamente um ângulo de 70 °. Em outras calculadoras é introduzida
após SO 2,75 -1 .

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Se Marta tinha estudado e preparado a tangente de uma calculadora, eu não deveria ter usado o desenho para
calcular a distância entre o pedal para a porta de sua casa:

tan (80 °) = X/20, x = 20. tan (80 °) = 20. 5'6712818 113'42 = m aproximadamente.

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APLICAÇÕES

1) Estimativa da Terra-Lua



Você sabe que o raio lunar de 1738 km pode ser verificado que, se observar a Lua da Terra, vemos o disco em
um ângulo de meio grau.

Se x, que é a distância ao centro da lua, tomamos o raio de 1738 km obter uma estimativa da distância entre a
Terra ea Lua de 396,579 km.

(Sem sair de casa, poderíamos ter uma idéia de quão longe estamos da lua. Sabe-se, através do envio de feixes
de laser, a distância média à superfície lunar é 384,403 km)

2) Estimativa da distância Terra-Sol

Aristarco (s. III a. J.), um famoso astrônomo de Alexandria, tentou calcular quantas vezes foi maior a distância
da Terra em torno do Sol que a Lua. Quando observamos a Lua crescente na linha Terra-Lua e Lua-Sol em um
ângulo de 90 °. Aristarco mediu o ângulo formado pela terra com a lua eo sol estimar o seu valor em 87 º.

Desta maneira:

Aristarco foi a distância da Terra ao Sol era cerca de vinte vezes maior que a Lua. Se substituirmos o valor (TL)
discutido acima, temos uma distância solar de 7344920 km



Voltando ao nosso astrônomo, falta comentar que fez um pequeno erro na medição do ângulo cujo valor real é
bastante próximo a 89 ° 50 '. Esta pequena diferença na medição do ângulo resultou em uma diferença real para
a separação Terra-Sol

Mais precisamente foi estabelecido que o Sol é de aproximadamente 150 milhões quilômetro Como você pode
recordar, este valor é chamado de unidade astronômica (UA).

3) Medidas

Queremos construir uma ponte sobre um rio, medindo 10 m de largura, de modo que seja a uma altura de 2 m
acima da água e rampas de acesso têm uma inclinação de 20E . Qual deve ser o comprimento do trilho?, Que
canal está posicionado longe do início da rampa?

o ferroviário é de cerca de 21 m 70 cm.

A escada começa cerca de cinco metros da pista.

4) Cálculo das alturas

Você quer calcular a altura da torre, isso vai medir os ângulos de elevação do ponto A ao ponto B. Com os
dados na figura temos:

Resolvendo para h e igualar as duas equações são:

(10 + x) · · x 0'839 = 1'96, 8'39 +0'839 · x · x = 1'96, 8'39 = 1'121 · x, x = 7'484 m, aproximadamente .

h = 1'96 = 7'484 14'668 ·. A torre é de cerca de 14 metros de altura.

Encontrar a altura da ponte, sabendo que é de 17 m de comprimento.



PROPRIEDADES

Considere o triângulo retângulo da figura:

1) Em qualquer triângulo retângulo a hipotenusa é maior que as pernas, se considerarmos a definição de seno e
cosseno é claro que:

0 <cos " <1 e 0 pecado < " <1 para qualquer ângulo agudo " .

2)

3) propriedade fundamental:

É comum termos que aparecem na trigonometria (sin " ) 2 e (cos ' ) 2 , por

observou sua escrita, muitas vezes abreviado como pecado 2 " e cos 2 " ..

Assim, o teorema fundamental aparece como

4) mostrou que

:



5) Dizemos que " e $ são complementares se " + $ 90 = E . Isso acontece com ângulos agudos de um triângulo.

Podemos ver na figura acima lado adjacente ao " oposto coincide com o $ ea hipotenusa é comum a ambos os
ângulos, então cos ' = b / c = sin $ . Da mesma forma que temos

Qual é a relação entre as tangentes " e $ ?

Determinada atividade

A partir de um ângulo agudo " sabemos que o coração vale 0,8. Encontrar o cosseno e tangente:
. Substituindo:

; . Tomando raiz

Embora seja desejável a conhecer muito bem o procedimento acima, também é possível para resolver o
problema com a ajuda da calculadora:

0,8 = 53,130120, devolve-nos o ângulo aproximado cujo seno vale 0,8.

Abaixo é apenas encontrar o seu cosseno e tangente à própria máquina.

Um ângulo " Sabemos que sua tangente vai 7'3. Find, usando a propriedade 4, o co-seno e seno do
ângulo.

Cálculo exacto do ângulo RAZÕES de 45 º 30 º e 60 º

A calculadora fornece um valor aproximado das razões para um ângulo com um erro muito pequena. No
entanto, quando operamos com valores aproximados, os erros aumentam após cada operação e, portanto, é
necessário saber o seu valor exato.

Cálculo das relações trigonométricas do ângulo de 45 .-

Uma vez que o triângulo é isósceles, as duas pernas são iguais.

Cálculo das relações trigonométricas de ângulos de 30 º e 60 º .-



Se nós construímos triângulo auxiliar indicado no tracejadas, obtemos um triângulo equilátero de lado c.

Como complementares 60 ° 30 °:

Você pode obter o valor exato de ângulos muito mais utilizando fórmulas trigonométricas que vai estudar este
curso.

Do círculo unitário

É chamado círculo unitário (S 1 ), que é centrada na origem e cujo raio é a unidade.

A figura mostra que o ângulo " determina um ponto P (x, y) no círculo.

sen " lado oposto .= / hipotenusa = y / 1 = y

cos ' .= lado adjacente / hipotenusa = x / 1 = x

tg " lado .= oposto / lado adjacente = y / x.

Determinação geométrica da tangente



A tangente coincide com o comprimento do segmento determinado pelo ângulo t no raio do desenho. O que
acontece quando o ângulo se aproxima de 90 graus? Verifique com a sua calculadora.

Razões trigonométricas de qualquer ângulo

Para ângulos agudos verifica-se que o co-seno e
seno são determinados pelo ponto definido no S
1 , isso vai permitir-nos definir em qualquer
ângulo, não necessariamente afiada, o co-seno
como a primeira coordenada (abscissa) do
ponto de associados e da mama como a
segunda coordenada (y) da mesma.

Exemplo: estimativa de relações
trigonométricas do ângulo de 120 º.

Seu peito é de cerca de 0,87 e cosseno de '5 -0. A calculadora confirma o valor do cosseno e seno dá um valor
de igual 0'86602 ...

Tg 120 º = sen 120 º / 120 º = cos -1 '732 ...

Estimado, utilizando o modelo no final do capítulo, as razões trigonométricas de ângulos de 220 ° e 295
°.

Sinal das razões de acordo com os quadrantes : o sinal das coordenadas do ponto determinado pelo ângulo.



Olhe para os pontos no círculo unitário determinar os ângulos de 0 º, 90 º, 180 º e 270 º, e calcula o valor
de seus senos e cossenos.

Desenhar dois ângulos cujo seno vale 0,4.

No círculo unitário, desenhe:

dois ângulos cujo seno é -0 '7.

dois ângulos cujo cosseno é 0,5.

dois ângulos cuja tangente vale 3.

Comentários sobre as propriedades

1) O seno e cosseno de qualquer ângulo não pode ser maior que 1 ou menor que -1.

2) Se a propriedade fundamental apuradas dentro, temos de

quadrante, dependendo do sinal do ângulo a que pertence. O mesmo vai acontecer com

.

O mesmo cuidado ser tomado quando se trabalha com a igualdade .

Isso ainda permite calcular as proporções trigonométricas de um ângulo, um conhecido eo quadrante que
ocupa.



Em um ângulo de segundo quadrante, sabemos que seu coração está no valor de 1 / 5. Encontrar o seu
cosseno e tangente.

No quarto quadrante dos ângulos da tangente sei que '8 -2. Calcule seu peito e co-seno.

Redução ao primeiro quadrante

Vamos ver o suficiente para saber as razões trigonométricas de ângulos do primeiro quadrante para determinar
os outros ângulos.

O segundo quadrante ângulos

Figura você pode ver que se o ângulo de " nós adicionamos o $ completou um setor de 180 º:

" + $ = 180 °, ou dito de outra forma, $ = 180 - " . Quando dois ângulos adicionar até um nível, podemos dizer
que são complementares.

O desenho é possível deduzir que as relações se verifiquem as seguintes:

cos ' = - cos (180 ° - ' ) sin ' = sin (180 ° - " )

De acordo com o acima exposto, conclui-se que tg ' = - tan (180 ° - " ).

Calculado com precisão, relacionadas com os seus rácios de complementar trigonométricas de ângulos de
120 º, 135 º e 150 º.

Ângulos do terceiro quadrante

Se um ângulo " do terceiro quadrante subtrair um apartamento, ter um outro ângulo $ no primeiro quadrante: $



= " -180 °.

Desenho leva a as seguintes relações:

cos ' = - cos ( ' - 180 °) sin ' = - sin ( " - 180 º)

De acordo com isso, você precisará tan " = - tan ( " -180 °).

Com base no exposto, calcular as razões exatas para os ângulos de 210 º, 225 º e 240 º.

Olhe para a foto abaixo e descubra as relações entre as razões trigonométricas de um ângulo "quarto
quadrante" eo ângulo $ = 360 º - " . Determina, então os ângulos de 300 º, 315 º e 330 º.

Ângulos positivos e negativos

Até agora temos apenas ângulos considerados "unoriented". Se estiver interessado em rever o significado de um
sinal será fornecido com o ângulo de viragem.

São consideradas ângulos positivos cujo sentido de rotação é anti-horário.



Trabalhando com a calculadora

Se soubermos o valor aproximado do ângulo cujo seno vale '6 -0, procedemos
da maneira que você já sabe: NÃO -0,6 -1 = -36 º '8698: a calculadora
responderá que é um ângulo de -37 °, aproximadamente.

Para encontrar um ângulo positivo é subtraído dentro do 37 º mesmo a 360 º e
obter o ângulo de 323 º. Então você só tem que determinar a outra mama com
ângulo positivo igual como descrito acima.

Estimar o ângulo de terceiro quadrante cujo seno vale 0'56.

Estimar o ângulo cuja tangente é -1 '5. Desenhá-los.

Estimar o ângulo cujo cosseno vale a pena terceiro quadrante -0 '156.

Outras atividades:

Verifique se as igualdades cos ' = - cos (180 ° - ' ) sin ' = sin (180 ° - " )

Sabendo que " é positivo, resolver as equações:

sen " = sen 35 ° cos ' = cos (-115 °)

cos ' = cos 20 º tg ' = tan 36 °

sen " = sin 310 ° tg " = - tan 25 °

cos ' = cos 145 º. pecado ' o pecado = (-25 °)

Medida de um ângulo em radianos

Qualquer ângulo inscrito em um círculo, determina um arco sobre
ela.

É possível mostrar que verifica-se que , isto é, a relação

entre o arco determinado eo raio do círculo é sempre o mesmo.
Dizemos que este valor é a medida do ângulo em radianos.

Um ângulo de 360 ° determina um arco igual ao perímetro do círculo, se substituirmos na expressão acima,
temos que a sua medida é radianos.

Considere um ângulo arbitrário para medir graus g:



Em particular, se substituirmos r por 1 e resolver para g, vemos que1 raio igual a cerca de 57'3 °.

Encontrar o valor em radianos do ângulo de 30 º, 45 º, 60 º, 90 º, 180 º e 270 º.

Um ângulo, um círculo de raio 10 cm, um arco de 29 cm. Calcular o valor em graus.

Encontrar o comprimento do arco de um ângulo de 110 graus em um círculo de raio de 20 m.

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