1. Model Linear
dan
Aljabar Matriks
Created By:
Taufiq A. Rizqi
Page 1

2. Matriks dan Vektor
• Model pasar dua barang setelah
menghilangkan dua variabel jumlah sebagai
sistem dari dua persamaan linear, seperti
• Di mana parameter dan berada disebelah
kanan tanda sama dengan, dapat juga disusun
dalam bentuk seperti:
Page 2

3. Matriks sebagai Susunan
(Array)
• Bila kita susun ketiga himpunan diatas
dalam bentuk sebagai berikut:
Page 3

4. Vektor sebagai Matriks Khusus
• Jumlah baris dan kolom suatu matriks
secara bersama-sama membentuk suatu
dimensi dalam matriks. Jika matriks berisi
m kolom dan n baris maka dikatakan
mempunyai dimensi m x n. Suatu matriks
mungkin hanya berisi satu kolom, maka
matriks tersebut disebut vector kolom.
Apabila hanya berisi satu baris maka
disebut vector baris. Vektor baris
menggunakan simbol:
Page 4

5. Operasi dengan Matriks
• Penjumlahan dan pengurangan matriks
• Secara umum :
[ aij ] + [ bij ] = [ cij ] dimana cij = aij + bij
[ aij ] - [ bij ] = [ dij ] dimana dij = aij – bij
Page 5

6. • Perkalian Skalar
Mengalikan matriks dengan bilangan
dalam istilah aljabar matriks, dengan suatu
skalar diartikan sebagai mengalikan setiap
elemen matriks dengan skalar yang
diberikan.
Page 6

7. • Perkalian Matriks
Secara umum bila matriks A memiliki
dimensi m x n dan matriks B memiliki
dimensi p x q maka hasil perkalian matriks
AB dapat ditentukan jika dan hanya jika n
= p. Selain itu AB memiliki dimensi m x q
dengan baris seperti dalam matriks lead A.
Jika diketahui :
Hitunglah AB maka :
Page 7

8. • Permasalahan dalam Membagi
Suatu matriks tidak mungkin dibagi
dengan matriks lainnya. Untuk dua
bilangan a dan b jika a/b dapat ditulis
dengan , dimana b-1 merupakan invers dari
b namun keduanya memiliki hasil yang
berbeda.
Page 8

9. • Penyimpangan Cara Penulisan
Penjumlahan yang ditulis secara singkat
dapat menggunakan huruf Yunani
Σ(sigma)
Yang dibaca jumlah x jika j berkisar dari 1
sampai dengan 3.
Page 9

10. Catatan mengenai Operasi Vektor
• Perkalian Vektor
Suatu vector kolom u dengan dimensi m x
1 dan vector baris v’ dengan dimensi 1 x
n, akan menghasilkan hasil kali uv’
dengan dimensi m x n.
Dan
dapat diperoleh:
Page 10

11. Ketidakbebasan Linear
• Suatu himpunan vektor v1, . . . , v2
dikatakan tidak bebas secara linear jika
salah satu diantaranya dapat dinyatakan
sebagai kombinasilinear dari vektor
sisanya.
Page 11

12. Ruang Vektor
• Keseluruhan vector-vektor yang dihasilkan
oleh berbagai kombinasi linear dari 2
vektor bebas u dan v merupakan ruang
vector yang berdimansi dua. Kedua
pasang vector yang bebas secara linear u
dan v dikatakan merentang ruang-ruang
dimensi.
Page 12

13. Hukum Komutatif, Asosiatif, dan
Distributif
• Penjumlahan Matriks
– Hukum Komutatif
– Hukum Asosiatif
Page 13

14. • Perkalian Matriks
– Hukum Komutatif : Perkalian matriks tidak berlaku
komutatif, karena AB belum tentu sama dengan BA.
• AB ≠ BA
– Hukum Asosiatif
Contoh :
Maka
– Hukum Distributif
A(B+C) = AB + AC [ yang mengalikan A]
(B+C)A = BA + CA [ yang dikalikan A]
Dalam setiap kasus juga harus memenuhi
syarat perkalian matriks.
Page 14

15. Matriks Identitas dan Matriks
Nol
• Matriks Identitas
matriks identitas seperti yang di
definisikan ketika awal sebagai matriks
kuadrat dengan 1 pada diagonal
utamanya dan 0 pada posisi lainya.
Matriks ini dinyatakan simbol I atau In. Jadi
Page 15

16. • Matriks Nol
Sama juga seperti matriks identitas yang
berperan sebagai 1 di matriks, maka
matriks nol berperan sebagai angka nol.
Matriks nol adalah matriks yang seluruh
elemennya adalah nol.
Page 16

17. • Keistimewaan Aljabar Matriks
• Keistimewaan ini membuat kita tidak
terlalu yakin pada aljabar skalar.
Misal, dalam aljabar cd = ce, maka secara
tersirat d = e tapi dalam matriks tidak
demikian.
• C=
dapat kita peroleh
Matriks sperti diatas disebut matriks singular.
Page 17

18. Transpos dan Invers
• Sifat-sifat Transpose
1. (A’)’ = A
2. (A + B) = A’ + B’
3. (AB)’ = B’A”
Page 18

19. • Sifat-sifat Invers
1. Invers matriks A yang ditunjukan dengan
simbol A-1 hanya dapat ditentukan bila A
adalah matriks bujursangkar AA-1 = A-1A = I
2. Tidak semua matriks bujursangkar memiliki
invers.
3. merupakan invers satu sama
lain.
4. Bila A merupakan n x n, maka juga harus n
x n.
5. Bila suatu matriks mempunyai invers, maka
matriks tersebut bersifat unik.
Page 19

20. Rantai Markov Terbatas
• Proses markov digunakan untuk
mengukur atau mengestimasi pergerakan
yang terjadi setiap saat. Proses ini
melibatkan penggunaan matriks transisi
markov, dimana setiap nilai dalam matriks
transisi adalah probabilitas pergerakan
dari satu keadaan ( lokasi, pekerjaan, dan
sebagainya ) ke keadaan lainnya. Dengan
mengulang perkalian vector dengan
matriks transisi, kita dapat mengestimasi
perubahan keadaan setiap saat. Page 20

21. Model Linear
dan
Aljabar Matriks
(Lanjutan)
Created By:
Taufiq A. Rizqi
Page 21

22. Syarat-syarat untuk Nonsingular
Matriks
• Syarat Cukup vs Syarat Perlu
• Syarat untuk Nonsingularitas
Page 22

23. • Syarat Cukup vs Syarat Perlu
Syarat perlu adalah bentuk prasayarat; Misalkan bahwa
pernyataan p benar hanya jika pernyataan q benar; jadi q
merupakan syarat perlu oleh p. Pernyataan ini ditulis dalam
symbol sebagai berikut : p → q (dibaca : “p hanya jika q”)
Namun, p dapat dikatakan benar meskipun q tidak benar.
Dalam hal ini, q dikatakan sebagai syarat cukup untuk
terjadinya p. kebenaran q mencukupi untuk pembentukan
kebenaran p , tetapi bukan merupakan kondisi atau syarat
yang diperlukan p. Hal ini dinyatakan dengan symbol : p ← q
(dibaca : “p jika q” atau dapat juga dibaca “Jika q, maka
p”)
Tetapi bisa juga q adalah kedua-duanya, baik syarat perlu
maupun syarat cukup untuk terjadinya p. dalam keadaan
seperti ini dapat kita tulis dalam symbol : p ↔ q (dibaca: “p
jika dan hanya jika q”)
Page 23

24. • Syarat untuk Nonsingularitas
Bila kondisi kuadrat telah dipenuhi (syarat
perlu), syarat cukup untuk terjadinya
nonsingular matriks adalah bahwa baris
matriks atau kolom matriks tersebut harus
bebas secara linear. Jika kedua syarat
tersebut, yakni bentuk kuadrat dan bebas
secara linear diambil bersama-sama, hal
itu merupakan syarat yang diperlukan dan
cukup untuk terjadinya non singular
(nonsingular ↔ bentuk kuadrat dan
bebas secara linier) Page 24

25. • Rank (Peringkat) Matriks
Berikut tiga jenis operasi baris dasar pada
sebuah matriks ;
1. Pertukaran dari dua baris di dalam matriks
2. Perkalian (atau pembagian) dari sebuah
baris dengan skalar apa pun k 0
3. Penambahan dari ‘k dikali dengan baris
manapun” kepada baris yang lain
Page 25

26. Pengujian Nonsingularitas dengan
Menggunakan Determinan
1. Determinan dan Nonsingularitas
• Determinan matriks kuadarat A ditulis sebagai |A|,
adalah bilangan skalar/konstan yang didefinisikan
secara tunggal berkaitan dengan matriks tersebut.
Determinan didefinisikan hanya untuk matriks kuadrat.
Rumus : |A|= = ad-bc
• Berdasarkan dimensi matriks A, determinan |A| seperti
diatas disebut determinan orde-kedua (second-order
determinant).
Page 26

27. 2. Evaluasi determinan Orde Ketiga
• Suatu determinan orde 3 diasosiasikan
dengan matriks 3 x 3. Rumus
determinannya :
|A| = =ɑ -b +c
= aei - afh + bfg - bdi + cdh - ceg
Page 27

28. 3. Menghitung determinan Orde-n dengan
Ekspansi Laplace
• Nilai determinan |A| dari orde-n dapat dicari
dengan ekspansi Laplace untuk baris atau
kolom manapun sebagai berikut :
• |A| = ij|Cij| [ekspansi dengan baris ke-i]
• = ij|Cij| [ekspansi dengan kolom ke-j]
Page 28

29. Sifat-sifat Dasar Determinan
• Sifat I
pertukaran baris dengan kolom tidak
mempengaruhi nilai determinan. |A| = |A’|
= = ad - bc
Page 29

30. • Sifat II
pertukaran dua baris manapun (atau dua
kolom manapun) akan mengubah
tanda, tetapi nilai bilangan dari
determinan-nya tidak berubah
• Pertukaran kedua baris menghasilkan =
= cb – ad = -(ad – bc)
Page 30

31. • Sifat III
dengan mengalikan satu baris atau satu
kolom dengan skalar k akan mengubah
nilai determinan sebesar k kali,
contoh :
= kad – kbc = k(ad – bc) = k
Page 31

32. • Sifat IV
penambahan (pengurangan) dari suatu
kelipatan baris/kolom manapun ke (dari)
baris/kolom yang lain akan menyebabkan nilai
determinannya tidak berubah.
= a(d + kb) – b(c + ka) =
ad – bc =
Page 32

33. • Sifat V
bila suatu baris/kolom adalah kelipatan
dari baris/kolom lainnya, maka nilai
determinannya menjadi nol. Jika dua
baris/kolom sama, maka determinan akan
menghilang
= 2ab – 2ab = 0
= cd – cd = 0
Page 33

34. Aturan Cramer
• Derivasi aturan Cramer
• Menurut Rumus Invers : x* = A-1d = (adj A)d
• Menurut Aturan Cramer :
x*j =
Page 34

35. Aljabar Matriks vs Penghapusan
Variabel
• Aljabar matriks memberikan kita suatu cara penulisan
yang ringkas untuk setiap system persamaan
linear, dan juga melengkapi kriteria determinan untuk
menguji adanya satu jawaban. Dalam kasus
tertentu, metode matriks juga dapat memberikan
keunggulan dalam perhitungan, seperti disaat kita
diharuskan memecahkan pada waktu yang sama
beberapa system persamaan yang mempunyai
matriks koofisien A yang identik tetapi vector
konstanta yang berbeda. Dalam kasus ini, ,etode
penghapusan variable akan mensyaratkan bahwa
prosedur perhitungan diulangi setiap kali systemPage 35

36. Model Input-Output Leontief
• Matriks Leontief adalah sebagai berikut :
I–A=
1. Susunan Model Input-Output
output
Input I II III … N
Page 36

37. 2. Model terbuka
• Agar permintaan akhir dan input ada, kita harus
memasukkan dalam model suatu sector
terbuka diluar jaringan n industry. Sector
terbuka seperti itu dapat mengakomodasi
aktivitas pelanggan rumah tangga, sector
pemerintah, dan bahkan para Negara asing.
Secara simbolis fakta ini dapat dinyatakan
dengan :
ij < 1 (j = 1, 2 , …, n)
Page 37

38. 3. Pengertian Ekonomi dari Kondisi Hawkins-
Simon
• Kondisi Hawkins-Simon, |B2| > 0, mensyaratkan
bahwa : (1 – a11) > 0 atau a11 < 1
• Secara ekonomis, hal ini mensyaratkan jumlah dari
komoditas pertama yang digunakan dalam produksi
dari komoditas pertama yang bernilai satu dollar
menjadi bernilai kurang dari satu dollar. Bagian lain
dari kondisi |B2|> 0 mensyaratkan bahwa :
(1 – a11)(1 – a22) – a12a21 > 0 atau secara ekuivalen
a11 + a12a21 + (1 – a11)a22 < 1 Page 38

39. 4. Model tertutup
• Dalam model tertutup, tidak ada lagi input
primer, jadi jumlah setiap kolom dalam
matriks koofisien input A sekarang harus
benar-enar sama dengan 1; yaitu
a0j + aij + a2j + a3j = 1, atau :
A0j = 1 – a1j – a2j – a3j
Page 39

40. Keterbatasan Analisis Statis
• Pertama adalah karena proses penyesuaian memerlukan
waktu lama untuk penyelesaiannya maka keadaan ekuilibrium
seperti yang telah ditentukan dalam kerangka analisis statis
tertentu dapat hilang relevansinya, bahkan sebelum keadaan
ekuilbrium tercapai, bila kekuatan eksogen dalam model waktu
itu mengalami perubahan.
• Kedua, meskipun proses penyesuaian memperkenankan
menempuh jalannya sendiri, keadaan ekuilibrium yang
digambarkan dalam analisis statis mungkin seluruhnya tak
dapat dicapai. Sehingga menyebabkan kasus yang disebut
ekuilibirum tak stabil (unstable equilibrium). Masing-masing
secara jelas mengisi perbedsaam yang nyata dalam analisis
statis sehingga penting sekali untuk menyelidiki ke dalam
daerah analisis tersebut.
Page 40