Este documento discute os sólidos platônicos. Explica que existem apenas cinco sólidos regulares chamados de platônicos e descreve cada um deles. Também resume a teoria de Platão de que cada sólido representava um elemento da natureza.

1. Sólidos Platónicos
Djanyck Loureno Damião Van-Dyck
N. 5, Turma B
Trabalho de Estudo de Matemática
Escola Secundária Inês de Castro
Junho 2013

2. Introdução
Este trabalho tem 4 objectivos que são:
 Estudar os sólidos geométricos chamados sólidos platónicos;
 Perceber as características geométricas destes sólidos;
 Compreender porque são apenas cinco e porque foram estudados por Platão
que lhes deu o nome de platónicos;
 Importância da figura de Platão para a matemática e outras ciências.
 Este trabalho teve como fonte de pesquisa a internet e realizei várias
considerações matemáticas sobre o que Platão disse, relativamente à sua
forma de pensar sobre o significado dos cinco sólidos platónicos. Outros
matemáticos também estudaram estes sólidos.
 Para melhor compreensão dos sólidos platónicos, ilustrei algumas imagens
que encontrei.

3.  Platão foi um filósofo (homem que estuda os problemas
da existência humana) e matemático do período clássico
da Grécia Antiga (cerca 350 a.C.), fundador da primeira
Academia de ensino superior do mundo ocidental.
Pensa-se que o seu nome verdadeiro tenha sido
Arístocles (http://pt.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%A3o -
cite_note-alexander.diogenes.laertius.3.5-14). Platão era
um nome que, provavelmente, fazia referência às suas
características físicas, como o porte atlético ou os
ombros largos, ou ainda a sua excelente capacidade
intelectual para tratar diferentes temas.
Quem foi Platão?

4. Quem foi Platão?
• Platão nasceu em Atenas, provavelmente em 427 a.C., e morreu
em 347 a.C.. Quando tinha cerca de 20 anos, conheceu o filósofo
Sócrates e tornou-se seu aluno até ele morrer. A sua vida foi
dedicada a estudar e a pensar questões filosóficas e tornou se
também ele um mestre o que o levou a fundar uma Academia em
Atenas. Escreveu textos (diálogos) que eram usados como
ferramenta de ensino nas mais diversas disciplinas, como a
filosofia, a lógica, a retórica (arte de usar a linguagem para
comunicar) e a matemática, entre outras. De entre estes textos,
destaca-se Timeu, obra escrita por volta do ano de 350 a.C., na
qual Platão demonstra a existência dos chamados sólidos
platónicos.

5. Sólidos Platónicos
 Há um número infinito de diferentes tipos de poliedros (sólidos com faces
planas), mas existem apenas cinco que são regulares e que são chamados
sólidos platónicos. A sua designação foi atribuída por Platão, que os
descobriu cerca de 400 a.C.. Os sólidos platónicos são poliedros – sólidos
cujas faces têm a forma de polígonos regulares – todas as faces são
polígonos geometricamente iguais (chamam-se congruentes) – e todos os
seus ângulos são também congruentes. Assim, um poliedro regular tem
todas as suas faces congruentes, todas as suas arestas idênticas e todos
os seus ângulos iguais. A existência destes sólidos já era conhecida
anteriormente pelos pitagóricos (da escola de Pitágoras de Samos que foi
um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos, entre cerca de 570
a.C. e 571 a.C.) e os egípcios utilizaram alguns deles na arquitectura e
noutros objectos que construíram, mas foi Platão quem observou melhor
esta característica. Por isso se chamam platónicos. Platão estudou estes
sólidos e demonstrou que eram os únicos sólidos com as faces todas
iguais.

6. • Os sólidos platónicos são apenas cinco: o
tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o
icosaedro.
Sólidos Platónicos

7. História
 Estes sólidos foram adquirindo ao longo do tempo significados
místicos. Por exemplo, Kepler sentia uma grande admiração e
reverência por eles (Porquê apenas cinco?) e chegou mesmo a
explicar os movimentos planetários a partir deles. Além
disso, interpretou, no Harmonices Mundi, as associações de Platão
da seguinte forma:
 Cubo
 Terra
• Tetraedro
• Fogo
• Octaedro
• Ar
• Icosaedro
• Água
• Dodecaedro
• O Universo

8. Modelo de Kepler
• O modelo de Kepler parte de uma esfera exterior, que representa a órbita de
Saturno dentro da qual vai inscrevendo sucessivamente: um cubo, a esfera de
Júpiter, um tetraedro, a esfera de Marte, um dodecaedro, a esfera da
Terra, um octaedro e finalmente a esfera de Mercúrio.
• Também foi Johannes Kepler que procurou extrardinárias justificações para a
associação de Platão entre poliedros e os Elementos. Por exemplo, justifica a
associação da terra com o cubo porque, assente sobre qualquer uma das suas
bases, é o sólido de maior estabilidade. Atribui a associação entre o Universo e o
Dodecaedro porque este tem 12 faces tal como Zodíaco tem doze signos!!!.
•
• Os cinco elementos
• TETRAEDRO (Modelo do Fogo):
• Sólido formado por 4 faces, triângulos equiláteros, e em cada vértice concorre 3
faces. O prefixo tetra deriva do grego e significa quatro (quatro faces). Este sólido
representa o fogo, porque segundo Platão (séc. IV aC) o átomo do fogo teria a forma
de um poliedro com 4 lados (tetraedro).
•
• Cubo (Modelo da Terra):
• O cubo o único poliedro regular com faces quadrangulares. O cubo tem 6 faces, pelo
que também se pode chamar de hexaedro (hesa significa seis em grego).Este sólido
representa a terra, porque Platão acreditava e afirmava que os átomos de terra
seriam cubos, os quais permitiam ser colocados perfeitamente lado a
lado, conferindo-lhes solidez.
•

9. • OCTAEDRO (Modelo do Ar):
• As faces deste poliedro os também triângulos equiláteros, mas em cada
vértice reúnem-se quatro triângulos. É formado por 8 faces, pelo que o
poliedro se chama octaedro (octa significa oito em grego). Este sólido
representa o ar, porque o modelo de Platão para um átomo de ar era um
poliedro com 8 faces (octaedro).
•
• DODECAEDRO (Modelo do Cosmos):
• O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces são pentágonos
regulares. É formado por 12 faces, pentágonos regulares, e em cada
vértice concorrem 3 faces. O prefixo dodeca significa doze em grego. Este
sólido representa o Universo, porque para Platão o cosmos seria
constituído por átomos com a forma de dodecaedros.
• ICOSAEDRO (Modelo da Água):
• Neste poliedro os cinco os triângulos equiláteros que se encontram em
cada vértice, perfazendo vinte faces. Por isso, o poliedro se chama
icosaedro (icosa significa 20 em grego).Este sólido representa a
água, porque Platão defendia que a água seria constituída por icosaedros.
Modelo de Kepler

10. • Uma curiosidade é que os sólidos
platónicos têm a seguinte coincidência
quando os agrupamos: o cubo tem seis
faces e oito vértices e o octaedro tem oito
faces e seis vértices; o dodecaedro tem
doze faces e vinte vértices e o icosaedro
tem vinte faces e doze vértices; o
tetraedro fica sozinho mas tem o mesmo
número de faces e de vértices (quatro).
História

11. Historia
• Platão tentou encontrar um significado para esta curiosidade e por isso desenvolveu
uma teoria segundo a qual os quatro "elementos" - o fogo, o ar, a água e a terra -
eram todos sólidos minúsculos. Platão defendia que, uma vez que o mundo só
poderia ter sido feito a partir de corpos perfeitos, estes elementos deveriam ter a
forma de sólidos regulares:
o fogo era o mais leve e o mais violento dos elementos, por isso deveria ser um
tetraedro;
a terra era o elemento mais estável, deveria ser o cubo;
a água, o elemento mais inconstante e fluído, era um icosaedro, o sólido regular
capaz de rolar mais facilmente;
quanto ao ar, Platão observou que "o ar é para a água o que a água é para o ar," e
concluiu, de forma um pouco misteriosa, que o ar deve ser um octaedro;
por último e para incluir o quinto sólido regular, atribuiu ao dodecaedro a
representação da forma de todo o universo.

12. Historia
• Segundo Platão, à semelhança do que acontece na
ordem universal, em que o mundo inteligível comanda e
é por sua vez comandado pela Ideia Suprema de
Bem, enquanto tal não se der no mundo, a anarquia
estará implantada no centro de cada homem e de cada
sociedade. Considerado o melhor prosador
grego, Platão como pensador é um dos grandes génios
da humanidade. O platonismo exerceu profunda
influência em Platino e nos neoplatónicos, e através
deles nos Poderes gregos e em Stº Agostinho, sendo
uma das constantes não só da Teologia cristã mas
também da filosofia europeia.

13. Conclusão
Neste trabalho estudei os sólidos platónicos e descobri como são
geometricamente iguais. Estes sólidos, que são apenas cinco, têm
todas as suas faces congruentes, todas as suas arestas idênticas e
todos os seus ângulos iguais. Platão, que foi um importante filósofo
grego, descobriu estes sólidos e demonstrou que eram apenas
cinco os que tinham estas características. Por isso, Platão tentou
explicar uma teoria através dos elementos da Natureza. Fiquei
também a conhecer outros importantes matemáticos e como
estudaram os sólidos platónicos, encontrando regras matemáticas e
fórmulas para explicar a sua forma.
Gostei de encontrar a explicação da existência entre a Natureza e
estes sólidos e de ficar a saber um pouco da história de
Platão, como por exemplo, a Academia que ele fundou e que foi a
primeira escola de ensino superior e que tinha escrito na entrada:
“não entre ninguém que não saiba geometria”.

14. Bibliografia
Dicionário da Língua Portuguesa, 8ª edição, Porto Editora, 1999.
Conceição, Alexandra, Almeida, Matilde, Conceição, Cristina e
Costa, Rita, Matemática sob Investigação – 5º ano, parte 1, Areal Editores.
Pappas, Theoni, Fascínios da Matemática, A descoberta da matemática que nos
rodeia, Editora Replicação, 1995.
Pereira, Maria Helena da Rocha, Estudos de História da Cultura Clássica, 5ª
edição, Fundação Calouste Gulbenkian, 1980.
Wells, David, Dicionário de Geometria Curiosa, Gradiva, 1991.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
http://http://pt.wikipedia.org/wiki/Platão
Imagens
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