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Graphes, noyaux et cartes de Kohonen

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Journée FREMIT, Université Toulouse III, Toulouse, France
16 octobre 2007

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Graphes, noyaux et cartes de Kohonen

  1. 1. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Journée FREMIT Nathalie Villa-Vialaneix Projet I(M+RI)T en collaboration avec T. Dkaki, J.M. Inglebert & S. Gadat Institut de Mathématiques de Toulouse, France - nathalie.villa@math.univ-toulouse.fr 16 octobre 2007 Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  2. 2. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Sommaire 1 Les graphes 2 Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM 3 Perspectives Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  3. 3. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Sommaire 1 Les graphes 2 Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM 3 Perspectives Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  4. 4. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Graphes et réseaux sociaux (ANRT Graphes-Comp) Graphe construit à partir d’un corpus d’archives médiévales À partir de 1000 contrats agraires (1250-1350), on construit un graphe pondéré : sommets : les paysans trouvés dans les contrats ; poids : nombre de contrats où deux paysans sont cités simultanément. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  5. 5. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Graphes et réseaux sociaux (ANRT Graphes-Comp) Graphe construit à partir d’un corpus d’archives médiévales À partir de 1000 contrats agraires (1250-1350), on construit un graphe pondéré : sommets : les paysans trouvés dans les contrats ; poids : nombre de contrats où deux paysans sont cités simultanément. Grand graphe : Nombre de sommets : 615 Nombre d’arêtes : 4193 Somme des poids : 40 329 Diamètre : 10 Densité : 2,2% Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  6. 6. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Autres domaines d’application Web : Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  7. 7. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Autres domaines d’application Graphes de protéines : Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  8. 8. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Problématique Deux objectifs : 1 Trouver des sous-groupes homogènes (classification) ; 2 Représenter le graphe dans sa globalité, de manière lisible (visualisation). Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  9. 9. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Sommaire 1 Les graphes 2 Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM 3 Perspectives Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  10. 10. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Laplacien d’un graphe Pour un graphe de sommets V = {x1, . . . , xn} pondérés par (wi,j)i,j=1,...,n (positifs) tels que, pour tout i, j = 1, . . . , n, wi,j = wj,i et di = n j=1 wi,j on résume le graphe par son Laplacian, L = (Li,j)i,j=1,...,n : Li,j = −wi,j if i j di if i = j ; Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  11. 11. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Propriétés du Laplacien I [von Luxburg, 2007] Composantes connexes Le noyau de la matrice L est engendré par les indicatrices IA1 , . . . , IAk des sommets des k composantes connexes du graphe. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  12. 12. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Propriétés du Laplacien II [Villa et al., 2007] Communauté parfaite : Sous-graphe complet (clique) dont tous les sommets ont les mêmes voisins à l’extérieur de la clique. Détermination de communautés parfaites Les communautés parfaites d’un graphe non pondéré correspondent à des groupes de m sommets pour lesquels il existe m vecteurs propres ayant les mêmes coordonnées nulles. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  13. 13. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Propriétés du Laplacien III [von Luxburg, 2007] Problème de la coupe optimale Supposons maintenant que notre graphe soit connexe. Le problème (optimisation discrète) de trouver une partition du graphe en k groupes de sommets, A1, . . . , Ak qui minimise 1 2 k i=1 j∈Ai,j Ai wj,j est approché par le problème d’optimisation continue suivant min H∈Rn×k Tr HT LH subject to HT H = I Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  14. 14. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Spectral clustering Méthode 1 Déterminer les k derniers vecteurs propres, u1, . . . , uk de L et poser U = [u1, . . . , uk ] ; 2 Utiliser un algorithme de classification (typiquement k-means) pour classer les lignes de U en k groupes. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  15. 15. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Spectral clustering Méthode 1 Déterminer les k derniers vecteurs propres, u1, . . . , uk de L et poser U = [u1, . . . , uk ] ; 2 Utiliser un algorithme de classification (typiquement k-means) pour classer les lignes de U en k groupes. Limites du spectral clustering N’utilise pas la totalité du spectre de L Ne tient pas compte du poids des vecteurs propres. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  16. 16. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Une version régularisée de L Régularisation : la matrice de diffusion : pour β > 0, Kβ = e−βL = +∞ k=1 (−βL)k k! . ⇒ kβ : V × V → R (xi, xj) → K β i,j noyau de diffusion (ou noyau de la chaleur). Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  17. 17. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Interprétation intuitive kβ(i, j) peut être interprétée comme l’énergie accumulée en i lorsque l’énergie a été injectée en j au temps 0 et que l’énergie circule de manière continue dans les arêtes du graphe selon une fraction qui dépend de β. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  18. 18. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Noyau de la chaleur et RKHS Principe Graphe → Espace de Hilbert de grande dimension (H, ., . ) Dans (H, ., . ), pratiquer un algorithme de classification ou carte de Kohonen (SOM). Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  19. 19. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Resultats pour une grille 7 × 7 Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  20. 20. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Resultats pour une grille 7 × 7 Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  21. 21. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Comparaison avec le « Spectral Clustering » Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  22. 22. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Sommaire 1 Les graphes 2 Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM 3 Perspectives Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  23. 23. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Quelques pistes 1 Visualisation globale du graphe sur la carte Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  24. 24. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Quelques pistes 1 Visualisation globale du graphe sur la carte Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  25. 25. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Quelques pistes 1 Visualisation globale du graphe sur la carte 2 Généralisation de la méthode pour les graphes orientés, la comparaison de graphes. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  26. 26. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Quelques pistes 1 Visualisation globale du graphe sur la carte 2 Généralisation de la méthode pour les graphes orientés, la comparaison de graphes. 3 Travail sur les très grands graphes. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  27. 27. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Quelques pistes 1 Visualisation globale du graphe sur la carte 2 Généralisation de la méthode pour les graphes orientés, la comparaison de graphes. 3 Travail sur les très grands graphes. 4 Application en recherche d’informations, en confrontation de connaissances. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07
  28. 28. Les graphes Classification de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References References Villa, N., Boulet, R., Rossi, F. & Jouve, B. (2007). Batch kernel SOM and related Laplacian methods for graph mining. Application to a medieval social network. Neurocomputing. To appear. von Luxburg, U. (2007). A tutorial on spectral clustering. Technical Report TR-149, Max Planck Institut für biologische Kybernetik. Avaliable at http://www.kyb.mpg.de/publications/ attachments/luxburg06_TR_v2_4139%5B1%5D.pdf. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07

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