Chapitre 1               SYSTÈMES DES ÉQUATIONS                     LINÉAIRES Nous supposerons que toutes les équations de...
est vérifiée. Cet ensemble de valeurs  satisfait alors l’équation. S’il n’y a aucune ambiguïté sur la position des inconnu...
A chaque valeur de  y  et   z  correspondra une valeur de  x , et ces  trois  valeurs  constitueront  une  solution  de  l...
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1                 a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2                                  ...
Théorème  1 :  Soit  u  une  solution  particulière  du  système  non homogène  (SELNH)  et  soit  W  la  solution  généra...
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b                                                  1                          a2 j2 x...
 2 L1 : 4 x  8 y  2 z  4v  4 w  2                          L3 : 4 x  8 y  z  5v  w  3                    2 L...
soit  un  système  impossible  soit  un  système  réduit  à  la  forme     équivalente suivante         a11 x1  a12 x2  ...
(2)  r  n ;  il  y  a  moins  d’équations  que  d’inconnues.  Nous attribuerions  alors  arbitrairement  des  valeurs  au...
x  2 y  3z  4           x  2 y  3z                             4 x  3 y  z  11                y  4z            ...
Le  système  est  possible,  et  puisqu’il  y  a  plus  d’inconnues  que d’équation  dans  forme  réduite  échelonnée,  le...
Exemple  9 :  Réduisons  le  système  suivant  à  sa  forme               échelonnée :     x       y 0    z   x   y  ...
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Systèmes d'equations lineaires

  1. 1. Chapitre 1  SYSTÈMES DES ÉQUATIONS  LINÉAIRES Nous supposerons que toutes les équations de ce chapitre sont données  sur  le  corps   .  Les  résultats  et  les  méthodes employées resteront valables sur le corps complexe   .   1.1  EQUATION LINERAIRE  L’équation linéaire, sur le corps   , est de la forme  a1 x1  a2 x2    an xn  b      1  où les  ai ,  b    et les  xi  sont les indéterminées (ou inconnues ou variables). Les scalaires  ai  sont appelés les  coefficients des  xi , et  b  est le terme constant,  ou simplement la constante de l’équation.   Un  ensemble de valeurs des inconnues, par exemple  x1  k1 , x2  k2 , , xn  kn  est  une  solution  de  1   si  l’égalité  obtenue  en  remplaçant  xi  par  ki ,   a1 x1  a2 x2    an xn  b   1  
  2. 2. est vérifiée. Cet ensemble de valeurs  satisfait alors l’équation. S’il n’y a aucune ambiguïté sur la position des inconnues dans l’équation, cette solution pourra alors s’écrire sous forme de n‐tuple  u   k1 , k2 ,..., kn  .  Exemple 1 : Considérons l’équation  x  2 y  4 z  w  3 .  Le 4‐tuple  u   3, 2,1,0   est une solution de l’équation puisque 3  2  2  4 1 0  3   ou  3  3   est  une  égalité  vraie.  Cependant  le 4‐tuple  v  1, 2, 4,5    n’est  par  une  solution  de  l’équation puisque 1 2  2  4  4  5  3  ou  6  3  n’est pas vérifié. Les  solutions  de  l’équation  1   peuvent  être  aisément obtenues. Il  y   a  3  cas : Cas  1 :  Un  des  coefficients  de  1   n’est  par  nul,  par  exemple  a1  0 . Alors nous pouvons écrire l’équation sous la forme   x1  a11b  a11a2 x2    a11an xn .   En  donnant  arbitrairement  des  valeurs  déterminées  aux inconnues  x2 , , xn ,  nous  obtenons  une  valeur  pour  x1 ;  ces valeurs  forment  une  solution  de  l’équation.  De  plus,  toute solution de l’équation peut être obtenue de cette manière.  Exemple 2 : Considérons l’équation :  2 x  4 y  z  8 .  Écrivons l’équation sous la forme   x  4  2 y  1 z .  2 2  
  3. 3. A chaque valeur de  y  et   z  correspondra une valeur de  x , et ces  trois  valeurs  constitueront  une  solution  de  l’équation.  Par exemple, soient  y  3  et  z  2  d’où  x  4  2 3  1  2  9 .  2On peut donc dire que  les 3‐tuple  u   9,3, 2   est une solution de l’équation.   Cas 2 : Tous les coefficients de l’équation  1  sont nuls, mais le terme constant est différent de zéro. L’équation est alors de la forme   0 x1  0 x2    0 xn  b  avec  b  0 . L’équation n’a alors pas de solution.  Cas  3 :  Tous  les  coefficients  de  l’équation  1   sont  nuls,  et  le terme constant est nul également. L’équation est de la forme  0 x1  0 x2    0 xn  0 . Quel  que  soit  le  n‐tuple  constitué  de  scalaires  de   ,  il  s’agira d’une solution de l’équation.  1.2  SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES   Considérons  maintenant  un  système  de  m  équation linéaires à  n  inconnues x1 , x2 ,  , xn  :  3  
  4. 4. a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2   (SELNH)       am1 x1  am 2 x2    am n xn  bmoù les  aij , bi  appartiennent au corps des réels   .   On dit que le système est homogène si les constantes  b1 ,..., bm  sont nulles. Un  n‐tuple  u   k1 , k2 ,..., kn   de nombres réels est une solution (ou une solution particulière) s’il satisfait chacune des  équations.  L’ensemble  des  solutions  est  souvent  appelé solution générale du système.   Le système d’équations linéaires  a11 x1  a12 x2    a1n xn  0 a21 x1  a22 x2    a2 n xn  0      (SELH)       am1 x1  am 2 x2    am n xn  0est  appelé  système  homogène  associé  (SELNH).  Le  système précédent  a  toujours  une  solution,  qui  est  le  n‐tuple  nul 0   0,0,...,0  ,  appelé  solution  triviale  ou  nulle.  N’importe quelle  autre  solution,  si  elle  existe,  est  appelée  solution  non triviale ou  non nulle.   Il  existe  la  relation  fondamentale  suivante  entre  les système (SELNH) et (SELH).   4  
  5. 5. Théorème  1 :  Soit  u  une  solution  particulière  du  système  non homogène  (SELNH)  et  soit  W  la  solution  générale  du  système homogène associé (SELH). Alors  u W  u  w : wW   et la solution générale du système non homogène (SELNH).  1.3  SOLUTIONS D’UN SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES   Considérons  le  système  (SELNH)  d’équations  linéaires. Réduisons‐le à un système plus simple de la manière suivante.  Premièrement.  Échanger  les  équations  de  telle  sorte  que  la première  inconnue  x1   ait  un  coefficient  non  nul  dans  la première équation, ainsi  a11  0 . Deuxièmement. Pour chaque   i  1, appliquer   Li   ai1L1  a11Li  cest‐à‐dire  remplacer  la  i  ème  équation  linéaire  Li   par l’équation obtenue en multipliant la première équation  L1  par  ai1 , et en ajoutant la i ème équation  Li  multipliée par  a11 . Nous  obtenons  alors  le  système  suivant  qui  est  équivalent  à (SELNH),  c’est‐à‐dire  a  le  même  ensemble  de  solutions  que (SELNH) :  5  
  6. 6. a11 x1  a12 x2    a1n xn  b   1  a2 j2 x j2    a2 n xn  b2             amj2 x j2    am n xn  bmoù  a11  0 .  Ici  x j2   représente  la  première  inconnue  dont  le coefficient  est  non  nul  dans  une  équation  autre  que  la première;  d’après  le  deuxièmement  x j2  x1 .  Ce  procédé consistant  à  éliminer  une  inconnue  à  partir  des  diverses équations  successives  est  appelé  procédé  d’élimination  ou  de Gauss. Exemple 3 : Soit le système suivant d’équations linéaires :  2 x  4 y  z  2v  2w  1.................( L1) 3x  6 y  z  v  4w  7..............(L 2 ) .  4 x  8 y  z  5v  w  3.................( L 3 )Éliminons l’inconnue  x à partir de la seconde et de la troisième équation en appliquant les combinaisons suivantes :  L2  3L1  2 L2 et  L3  2 L1  L3    3L1 :  6 x  12 y  3 z  6v  6 w  3Calculons   2 L2 : 6 x  12 y  2 z  2v  8w  14   3L1  2 L2 : 5 z  8v  2 w  17et   6  
  7. 7.  2 L1 : 4 x  8 y  2 z  4v  4 w  2      L3 : 4 x  8 y  z  5v  w  3   2 L1  L3 : 3 z  v  5w  1Ainsi le système initial a été réduit au système équation :  2 x  4 y  z  2v  2w 1      5z  8v  2w  17   3z  v  5w  1Remarquons que  y  a aussi été éliminé à partir de la seconde et de  la  troisième  équation.  Ici  l’inconnue  z   joue  le  rôle  de l’inconnue précédente  x j2 . Les  équations  précédents,  sauf  la  première,  forment  un système partiel qui  a moins d’équations et moins d’inconnues que le système initial. De plus  (1) s’il se présente une équation de la forme  0 x1    0 xn  b  avec   b  0   le système est alors impossible et n’a pas de solution;  (2) s’il se présente une équation de la forme   0 x1    0 xn  0 ,  cette  équation  peut  être  supprimée  et  ceci  sans  affecter la solution.  En  continuant  le  procédé  précédent  de  Gauss,  avec  chaque nouveau sous‐système, nous obtenons par récurrence  7  
  8. 8. soit  un  système  impossible  soit  un  système  réduit  à  la  forme  équivalente suivante  a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1n xn  b1 a2 j2 x j2  a2, j2 1 x j2 1   a2 n xn  b2    (*)  ..................................................... arjr x jr  ar , jr 1 x jr 1    ar n xn  broù  1  j2    jr  et où les coefficient restants sont non  nuls : a11  0, a2 j2  0,  , arjr  0 . (Nous utiliserons pour des commodités de notations les mêmes symboles  aij ,  bk   dans  le  système  (*)  que  ceux  utilisés  dans  le système (SELNH) mais ils désigneront des scalaires différents).  Définition : Le système (*) est sous une forme dite échelonnée; les  inconnue  xi   qui  n’apparaissent  pas  au  commencement  de chaque  équation   i 1, j2 ,..., jr    sont  appelées  des  inconnues libres ou variables libres.  Théorème 2 : Dans un système réduit à une forme échelonnée, on peut distinguer deux cas :  (1)  r  n ;  il  y  a  autant  d’équations  que  d’inconnues.  Le système admet alors une solution unique.  8  
  9. 9. (2)  r  n ;  il  y  a  moins  d’équations  que  d’inconnues.  Nous attribuerions  alors  arbitrairement  des  valeurs  aux  n  r  inconnues libres et nous obtiendrons une solution du système.   Le  théorème  précédent  implique  évidemment  que  le  système (*)  et  n’importe  quels  systèmes  équivalents  sont  possibles. Ainsi si le système (SELNH) est possible et ramené au précédent cas  (2),  nous  pourrons  alors  donner  différentes  valeurs  aux inconnues libres et obtenir ainsi plusieurs solution du système, comme le schéma suivant le montre.     Système d’équations linéaires      Impossible  Possible    Aucune solution   Solution  Plus d’une  unique solution   Exemple  5 :  Réduisons  le  système  suivant  en  appliquant  les combinaisons  L2   L1  L2 , L3  2 L1  L3   et  L4  2 L1  L4  ainsi que les combinaisons L3  L2  L3  et  L4  2 L3  L4  :  9  
  10. 10. x  2 y  3z  4 x  2 y  3z  4 x  3 y  z  11 y  4z  7         2 x  5 y  4 z  13 y  2z  52 x  6 y  2 z  22 2 y  8z  14  x  2 y  3z  4 x  2 y  3z  4 y  4z  7             y  4z  7   2z  2 2z  2 0  0Exemple 6 : Réduisons le système suivant à l’aide des L2  2 L1  L2 ,  L3  5 L1  L3  et  L3  2 L2  L3  :  x  2y  2z  3w  2 2 x  4 y  3z  4w  5   5x  10 y  8z  11w  12 x  2 y  2 z  3w  2 z  2w  1   2 z  4w  2 x  2 y  2 z  3w  2 z  2w  1   0  0 x  2 y  2 z  3w  2   z  2w  1 10  
  11. 11. Le  système  est  possible,  et  puisqu’il  y  a  plus  d’inconnues  que d’équation  dans  forme  réduite  échelonnée,  le  système  a  un nombre infini de solutions. En fait il y a deux inconnues libres  y  et  w ,  et  donc  une  solution  particulière  peut  être  obtenue  en donnant  des  valeurs  à  y   et  w .  Par  exemple  prenons  w  1   et y  2 .  Remplaçons  w   par  1  dans  la  seconde  équation,  on obtient  z  3 . Remplaçons  w  par 1,  z  par  3  et  y  par  2  dans la première équation, on  trouve  x  9 . Ainsi  x  9 ,  y  2 ,  z  3  et  w  1, ou le 4‐tuple   9,  2,3,1   est une solution particulière du système.  La solution générale est de forme  x  2 y  w  4  et  z  2w  1 où  y  et  w  sont des réels arbitraires.  Théorème  3 :  Un  système  d’équations  linéaires  homogène  avec plus d’inconnues que d’inconnues que d’équations admet un solution non nulle.   Exemple 8 : Le système homogène  x  2 y  3z  w  0 x  3 y  z  2w  0   2 x  y  3z  5w  0a  une  solution  non  nulle  puisqu’il  y  a  quatre  inconnues  et seulement trois équations.  11  
  12. 12. Exemple  9 :  Réduisons  le  système  suivant  à  sa  forme  échelonnée :  x  y 0 z x  y  z  02 x  3 y  z  0         5 y  3z  0   x  4 y  2z  0 5 y  3z  0 x  y  z  0   5 y  3z  0Le  système  a  une  solution  non  nulle,  puisque  nous  obtenons seulement  deux  équations  à  trois  inconnues  dans  la  forme échelonnée.  Par  exemple,  soit  z5 ;  alors  y3   et  x  2 .  En d’autres termes le triplet   2,3,5   est une solution particulière non nulle du système.  Exemple 10 : Réduisons le système suivant à sa forme échelonnée :  x  y  z  0 x  y  z  02 x  4 y  z  0           2y  z  0  3x  2 y  2 z  0  y  5z  0 x  y  z  0 2y  z  0  11z  0Dans la forme réduite échelonnée, il y a trois équations à trois inconnues,  le  système  admet  seulement  la  solution  nulle  0,0,0  .  12  

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