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Statistik - Teil 2
1. Statistik
Teil 2 - Empirische Kenngrößen
Ulrich Schrader
http://info.ulrich-schrader.de
2. Empirische Kenngrößen
dienen der zusammenfassendenBeschreibung
der Ergebnisse einer Stichprobe.
x1 , x 2 , , x n
seien n Beobachtungen eines quantitativen
Merkmals X.
Üblich: n für Anzahl der Beobachtungen
3. Lagemaße – Lokalisationsmaße (1)
• Minimum – kleinster beobachteter Wert
x min
• Maximum – größter beobachteter Wert
x max
• Modalwert - häufigst auftretende Werte
x mod
(bei mehreren häufigsten Werten kann es auch mehrere
Modalwerte geben.)
4. Summenzeichen
Endwert
Regel für die Bildung der Summanden
Startwert
5
2
i 1 4 9 16 25
i1
5 Summe der ersten
xi x1 x2 x3 x4 x5 fünf beobachteten
Werte
i1
5. Lagemaße – Lokalisationsmaße (2)
• Arithmetisches Mittel (Mittelwert, Durchschnitt)
n
1
x xi
n i1
Beobachtet: 1, 3, 2, 5, 5, 2
1 18
x 1 3 2 5 5 2 3
6 6
Problem: Ausreißer, einzelne sehr große Werte
verschieben das Mittel
6. Lagemaße – Lokalisationsmaße (3)
• (Empirischer) Median
x(2)
Seien x ( 1 ) x(n)
der Größe nach angeordnete Beobachtungen
x1 , x 2 , , x n
1
(x x ) falls n gerade
~ (n (n
) 1)
x 2 2 2
x( n falls n ungerade
1 )
2
7. Median - Beispiel
• Ungerade Anzahl von Beobachtungen
1,1,2,4,5 6 6,7,8,8,9
• Gerade Anzahl von Beobachtungen
1,1,2,4,6 7,7,8,8,9
6,5
8. Streuungs- oder Dispersionsmaße (1)
• Spannweite oder Variationsbreite
x max x min x(n) x (1 )
(Breite des Intervalls, in das alle beobachteten
Werte passen)
9. Streuungs- oder Dispersionsmaße (2)
• Empirische Varianz 2
n n n
1 1 1
2
2 2
s ( xi x) xi xi
n 1 n 1 n
i1 i1 i1
• Empirische Standardabweichung
2
s s