Programacion declarativa manual basico de teoria

Programación Declarativa
MANUAL BÁSICO DE TEORÍA
Sergio García Mondaray
2008
www.yakiboo.net

ÍNDICE

TEMA 1: Introducción 01
1. Computadores y lenguajes de programación convencionales 01
1.1. Organización de los computadores 01
1.2. Características de los lenguajes convencionales 01
2. Programación declarativa 02
2.1. Programación lógica 03
2.2. Programación funcional 03
3. Comparación y áreas de aplicación 03

TEMA 2: Preliminares y fundamentos 05
1. Sistemas formales 05
2. Lógica de predicados 05
3. Semántica y lenguajes de programación 05
3.1. Necesidad de definición semántica formal 05
3.2. Lenguajes de programación declarativa 07

TEMA 3 – De la demostración automática a la Prog. Lógica 08
1. Razonamiento automático 08
1.1. Aproximaciones a la DAT 08
1.2. Un demostrador automático genérico 08
1.3. Límites de la DAT 09
2. Procedimiento de prueba por refutación 09
3. Formas normales 10
3.1. Formas normales en la lógica proposicional 10
3.2. Formas normales en la lógica de predicados 10
4. La forma clausal 10
4.1. Forma normal de Skolem 11
4.2. Cláusulas 11
4.3. El papel de la forma clausal en los proc. de prueba 11
5. Teorema de Herbrand 12
5.1. Universo de Herbrand y Hinterpretaciones 12
5.2. Modelos de Herbrand 14
5.3. El teorema de Herbrand y sus dificultades 14
6. El principio de resolución de Robinson 15
6.1. El principio de resolución en la lógica de proposic. 15
6.2. Sustituciones 15
6.3. Unificación 16
6.4. El principio de resolución en la lógica de predicad. 18
6.5. Estrategias de resolución 18

Tema 4 – Programación lógica 20
1. Sintaxis 20
1.1. Notación para las cláusulas 20
1.2. Cláusulas de Horn y programas definidos 21
2. Semántica operacional (Resolución SLD) 21
2.1. Procedimiento de prueba y objetivos definidos 21
2.2. Resolución SLD y respuesta computada 22
2.3. Árboles de búsqueda SLD procedim. de prueba 23
3. Semántica declarativa y respuesta correcta 25
4. Corrección y completitud de la resolución SLD 26
5. Significado de los programas 27
5.1. Semántica operacional 27
5.2. Semántica declarativa 27
5.3. Semántica por punto fijo 28
5.4. Equivalencia entre semánticas 30

Anexo 1 – Tablas 31
Tabla 1. Fórmulas equivalentes de la lógica de proposiciones 31
Tabla 2. Fórmulas equivalentes de la lógica de predicados 31
Tabla 3. Hechos notables (Principio de resoluc. Robinson) 32
Tabla 4. Clasificación de las cláusulas y objetivos 32

Anexo 2 – Algoritmos 33
Algoritmo 1. Transformar fbf en forma normal conjuntiva
(o disyuntiva) 33
Algoritmo 2. Transformar fbf en forma normal prenexa 33
Algoritmo 3. Skolemización 34
Algoritmo 4. Términos básicos (Herbrand) 34
Algoritmo 5. Conjunto insatisfacible de cláusulas (Herbrand) 35
Algoritmo 6. Sustitución compuesta 35
Algoritmo 7. Algoritmo de Resolución 35

Programación Declarativa Manual básico de teoría Sergio García Mondaray

TEMA 1 – INTRODUCCIÓN

1. COMPUTADORES Y LENGUAJES DE PROGRAMACIÓN CONVENCIONALES
Los lenguajes de programación convencionales son una abstracción de alto nivel de la
estructura de la máquina para la que se han desarrollado. Muchos de sus defectos provienen de
esta estrecha relación.
1.1. Organización de los computadores:
Los computadores que siguen el modelo de Von Neumann constan de:
• CPU: Unidad Central de Proceso. Está compuesta por los registros, la UC (trata las
instrucciones), la ALU (trata los datos), y un reloj.
• MC: Memoria Central. Conjunto de celdas, que pueden considerarse numeradas,
donde se almacenan datos e instrucciones.
• Bus del sistema: conjunto de conductores paralelos a través de los cuales
transcurren las señales eléctricas que se intercambian los componentes del sistema.
La organización en torno a un único bus es la menos costosa, pero produce un cuello
de botella. Además gran parte del tráfico no es útil para el cómputo (son direcciones
de las instrucciones y los datos).
• Periféricos.
Esta organización conduce a un modelo de cómputo en el que los procesadores
ejecutan las instrucciones secuencialmente, por lo que los lenguajes convencionales son
difíciles de paralelizar. Otra característica de esta organización que repercute en el
diseño de los lenguajes de programación convencionales es el hecho de que se realiza
una completa separación entre instrucciones y datos. Por otro lado, el uso de registros y
la visión de la MC como conjunto de celdas nos lleva al concepto de estado de la
computación.

1.2. Características de los lenguajes convencionales:
Los recursos que los lenguajes convencionales proporcionan pueden verse como
abstracciones de los componentes de la arquitectura, donde las variables equivalen a
registros o celdas de memoria, los arrays equivalen a un conjunto contiguo de celdas, las
instrucciones de control son los saltos del lenguaje máquina, y las asignaciones
corresponden a instrucciones LOAD/STORE. Las instrucciones de asignación resultan
ser representativas del cuello de botella, y nos obliga a pensar en términos de trasiego
de información entre celdas de memoria.
En las tareas de programación podemos distinguir dos aspectos fundamentales:
•
Aspectos lógicos
: Qué debe computarse.
•
Aspectos de control
: En qué orden y qué memoria debe usarse.
Según Kowalski estos dos aspectos deben ser independientes. Atendiendo a esta
independencia, podemos elevar algunas críticas sobre los lenguajes imperativos:

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1. Las instrucciones de control de flujo y gestión de memoria oscurecen el contenido
lógico del programa.
2. La asignación utiliza las variables de un modo matemáticamente impuro (con
expresiones como x=x+1).
3. No es lo más indicado dejar en manos del programador las cuestiones de control
y memoria.
Para entender un programa hecho en un lenguaje imperativo debemos ejecutarlo
mentalmente, siguiendo el modelo de computación de Von Neumann. Además esta
imperatividad causa una rigidez del lenguaje a la hora de definir nuevos tipos de datos,
rigidez que en muchas ocasiones hace que los programas acusen falta de generalidad, es
decir: un programa creado para concatenar listas de caracteres no servirá para
concatenar listas de otros datos.
A pesar de todos estos puntos débiles, los lenguajes imperativos reúnen muchas
ventajas como: eficiencia en la ejecución, modularidad, herramientas para la
compilación separada y depuración de errores, etc. lo que los convierte en los lenguajes
preferidos en amplias áreas de aplicación (computación numérica, gestión y tratamiento
de la información, programación de sistemas...).

2. PROGRAMACIÓN DECLARATIVA
La programación declarativa es un estilo de programación en el que el programador
especifica qué debe computarse y no cómo debe hacerse. Según este principio Kowalski define
un programa como la unión de lógica y control (programa = lógica + control), donde el
componente lógico determina el significado, mientras que el de control sólo su eficiencia. Así la
tarea de programar se centra en la lógica, puesto que se asume el control automático a la
máquina.
La característica fundamental de la programación declarativa es el uso de la lógica
como lenguaje de programación. En este caso un programa es una teoría formal en una cierta
lógica, es decir, un conjunto de fórmulas lógicas que resultan ser la especificación del problema
a resolver. Así la computación se entiende como una forma de inferencia o deducción en dicha
lógica.
Los requisitos que debe cumplir la lógica empleada son:
1) Un lenguaje suficientemente expresivo.
2) Una semántica operacional (mecanismos de cómputo que permiten la ejecución de
programas).
3) Una semántica declarativa que permita dar significado a los programas de forma
independiente a su ejecución.
4) Corrección y completitud, para asegurar que aquello que se computa coincide con lo
considerado verdadero.
No obstante, dependiendo del tipo de lógica existen varios estilos de programación
declarativa: funcional (lógica ecuacional), relacional (lógica clausal), de tipos (lógica
heterogénea), etc.

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2.1. Programación lógica:
La programación lógica se basa en fragmentos de la lógica de predicados: lógica
de cláusulas de Horn. En ésta no hay ninguna referencia explícita a la representación
en memoria. Un lenguaje declarativo conlleva la gestión automática de la memoria.
Se utiliza un mecanismo que permite una búsqueda indeterminista (builtin
search) de soluciones, por tanto:
1. El programa puede responder a diferentes objetivos sin efectuar cambios.
2. Se permite el cómputo de datos parcialmente definidos.
3. La relación de entrada/salida no está fijada de antemano.

2.2. Programación funcional:
Los lenguajes funcionales se basan en el concepto de función matemática y su
definición mediante ecuaciones (generalmente recursivas) que constituyen el programa.
Con estos lenguajes existe la necesidad de fijar el perfil de la función => tipo de datos.
Las características de estos lenguajes son:
1. Transparencia referencial: la salida depende exclusivamente de la entrada.
2. Capacidad de composición: de cualquier otro tipo de funciones, además la
composción refuerza la modularidad.
3. Orden superior: tratar las funciones como unidades simples.

3. COMPARACIÓN CON LOS LENGUAJES CONVENCIONALES Y ÁREAS DE
APLICACIÓN
Realizaremos la comparación entre los lenguajes declarativos y los convencionales
estudiando una serie de atributos útiles para medir la calidad de los lenguajes de
programación:
1) Diseño del lenguaje y escritura de los programas: sintaxis sencilla,
modularidad y compilación separada, reutilización del software, facilidades de análisis,
y entornos de programación.
Los lenguajes declarativos son lenguajes de especificación, por lo que son muy
adecuados en las fases de análisis y rápido prototipado. Sin embargo, estos lenguajes
tienen uno de sus puntos débiles en los entornos de programación.
Por otro lado, los lenguajes convencionales requieren pseudocódigo y una técnica de
diseño que después será traducido al lenguaje elegido, por tanto necesita herramientas
de ayuda al diseño. Estas utilidades les colocan por encima de los lenguajes declarativos
en la depuración, edición, etc.

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2) Verificación de programas: verificación de la corrección (si la semántica es la
esperada), terminación (un programa siempre debe terminar), y depuración de
programas.
En este criterio los dos tipos de lenguajes andan igualados (salvo en la tarea de
depurar), puesto que se trata de realizar baterías de prueba que no aseguran el buen
funcionamiento a no ser que sean muy grandes, lo que supondría un gasto elevado de
tiempo.

3) Mantenimiento: facilidad de uso y lectura (del código fuente), modularidad y
compilación separada.
Tanto los lenguajes convencionales como los declarativos satisfacen este criterio,
exceptuando la compilación separada, de la cual no gozan los lenguajes declarativos.

4) Coste y eficiencia: coste de ejecución y coste de desarrollo.
En los lenguajes declarativos el coste de ejecución es otro punto débil, dada su
ineficiencia. La causa es la dificultad de implementar las operaciones de unificación,
emparejamiento y los mecanismos de búsqueda de soluciones en las arquitecturas
actuales. Sin embargo los costes de desarrollo son muy bajos, por ejemplo la relación de
líneas de código entre C y PROLOG es de 10 a 1.

De estos puntos se desprende la idea de que no existe un lenguaje óptimo para todos los
casos, sino que cada lenguaje tiene su dominio de aplicación. Así el ámbito de los lenguajes
declarativos es muy variado y, aunque generalmente se ha aplicado a los campos de la
computación simbólica (de ahí que se les llame también lenguajes de computación simbólica),
algunas otras aplicaciones son:
• Representación del conocimiento, resolución de problemas, desarrollo de sistemas de
producción, sistemas expertos y procesamiento del lenguaje natural.
• Metaprogramación.
• Prototipado de aplicaciones, bases de datos educativas, servidores y buceadores de
información inteligentes.
• Química y biología molecular.
• Diseño de sistemas VLSI.

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TEMA 2 – PELIMINARES Y FUNDAMENTOS

1. SISTEMAS FORMALES
Según Carnap, el estudio de un sistema abarca la sintaxis, la semántica y las relaciones
entre ambas, luego un sistema formal sería algo más que un lenguaje formal y un cálculo
deductivo.
Definición Sistema formal es un modelo de razonamiento matemático formado por dos
componentes:
1) Sintaxis: constituida por un lenguaje formal (conjunto de símbolos y fórmulas
sintácticamente correctas, compuesto por un alfabeto y unas reglas) y un cálculo
deductivo (conjunto de reglas que permiten obtener fórmulas nuevas atendiendo sólo a
la sintaxis).
2) Semántica: estudia el significado de los símbolos, por lo que se introduce el concepto
de interpretación (conjunto de reglas precisas que permiten asignar objetos de un
dominio a ciertas expresiones de un lenguaje formal).
Los sistemas formales tienen una serie de propiedades: consistencia (no se puede dar A y
¬A), corrección (todo lo demostrable es cierto), completitud (todo lo cierto es demostrable) y
decidibilidad (se puede decir si A es verdadero o falso).

2. LÓGICA DE PREDICADOS
La lógica de predicados es susceptible de caracterizarse como un sistema formal con las
siguientes propiedades: consistente, correcta, completa y semidecidible.

3. SEMÁNTICA Y LENGUAJES DE PROGRAMACIÓN
Un lenguaje de programación puede considerarse que es un sistema formal. Según esto
la definición consta de dos partes: definición sintáctica (que se encarga de las reglas que
describen las estructuras correctas de los programas) y definición semántica (que asigna un
significado a cada una de esas construcciones sintácticas).
3.1. Necesidad de una definición semántica formal
La definición sintáctica de un lenguaje de programación mediante una gramática
formal facilita su análisis sintáctico, pero no es suficiente para la comprensión de sus
estructuras sintácticas.
A) Semántica informal: se define la sintaxis de una construcción y después se pasa a
dar el significado indicando sus características de funcionamiento mediante un lenguaje
natural. (Propio de manuales de programación).
B) Semántica por traducción: consiste en definir el significado de un lenguaje por medio
de la traducción de sus construcciones sintácticas a un lenguaje más conocido. (Por
ejemplo, un compilador transforma programas de lenguaje fuente al lenguaje de una
máquina cuyo funcionamiento conocemos previamente).

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La semántica por traducción presenta una serie de problemas:
1. Un grado de complejidad que no está presente en el propio lenguaje, lo que le
conduce a una falta de abstracción en la descripción semántica, por lo que un
programador puede verse sometido a un nivel de detalle innecesario.
2. Falta de portabilidad, puesto que la definición semántica depende de la máquina
escogida.
3. Una de las aplicaciones de las definiciones semánticas es servir de ayuda a la
construcción de traductores de lenguajes, con lo que se destruye uno de sus
objetivos.
C) Semántica formal: el objetivo es asegurar que las definiciones del lenguaje sean
claras y evitar ambigüedades en su interpretación.
Las semánticas formales se definen mediante: 1) una especificación (formal) de la clase
de objetos que pueden ser manipulados por los programas del lenguaje (es el universo
de discurso) y 2) unas reglas que describen las formas en que las expresiones del
lenguaje pueden adquirir significado y combinarse para dar la salida.
Algunas semánticas formales de los lenguajes de programación son:
•
Semántica operacional : proporciona una definición del lenguaje en términos de
una máquina abstracta (de estados). La semántica se define indicando cuál es el
efecto de las construcciones sintácticas del lenguaje sobre el estado actual de la
máquina.
•
Semántica axiomática es el enfoque típico de los trabajos sobre verificación
:
formal de programas imperativos. Con lo que el significado de un programa es la
relación entre las propiedades de entrada (precondiciones) y las de salida
(postcondiciones). Estas condiciones son fórmulas que especifican el significado
del programa.
Como se ha dicho, la semántica axiomática se emplea principalmente en la
verificación de programas, y se suele utilizar la notación {A}I{B}, que significa “si
el enunciado A es verdadero antes de la ejecución de la instrucción I, entonces B
es verdadero después de su ejecución”.
•
Semántica declarativa : el significado de cada construcción sintáctica se define en
términos de los elementos y estructuras de un dominio matemático conocido.
La semántica por teoría de modelos está basada en la teoría de modelos
de la lógica. Esta teoría se formaliza mediante la noción de modelo, que es
una entidad junto con las propiedades comunes a los elementos de esa
entidad.
La semántica algebraica está basada en la teoría de álgebras libres (F
Álgebras). Con esta idea se ha definido la semántica de lenguajes
ecuacionales de primer orden (un tipo de lenguajes funcionales) y de
lenguajes de especificación de TADs (tipos abstractos de datos).
La semántica del punto fijo está basada en la teoría de funciones
recursivas, y se utiliza como enlace para demostrar la equivalencia entre

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diferentes caracterizaciones semánticas de un mismo lenguaje. En ella se
asocia al programa un operador (generalmente continuo) que opera sobre
el dominio de interpretación, de manera que el significado del programa
se define como el (menor) punto fijo de dicho operador.
La semántica denotacional está basada en la teoría de dominios de Scott.
La idea es interpretar las construcciones sintácticas de un lenguaje como
valores de un determinado dominio matemático. Se centra en lo esencial
de la computación: el resultado final obtenido, sin reparar en estados
intermedios, por lo que implica mayor abstracción.
Técnicamente, la semántica denotacional es la más compleja, además de
muy rica, ya que permite dar cuenta de computaciones que no terminan y
de orden superior. Para la definición de esta semántica se requiere i) por
cada una de las construcciones sintácticas (identificadores, constantes,
operadores, expresiones, instrucciones y programas) un dominio
sintáctico; ii) un dominio semántico para cada dominio sintáctico
identificado; iii) las funciones de evaluación semántica, de los dominios
sintácticos a los semánticos (y definidas por inducción), que asocian a
cada construcción sintáctica su valor semántico; iv) un conjunto de
ecuaciones semánticas.
Con esta estructura se ha definido la semántica declarativa de la mayoría
de los lenguajes funcionales.

3.2. Lenguajes de programación declarativa
Los lenguajes de programación declarativa son los que mejor se adaptan al
concepto de sistema formal. Es posible definir un lenguaje de programación declarativa
como un sistema constituido por tres componentes:
1.
Sintaxis : las construcciones del lenguaje son fbf's (fórmulas bien formadas) de
algún sistema lógico, con reglas que describen cómo combinar los símbolos para
formar nuevas fbfs del lenguaje; y los programas son teorías (conjuntos de fbf's)
en esa lógica.
2.
Semántica operacional : una forma de deducción en esa lógica. Se corresponde con
el cálculo deductivo de los sistemas formales tradicionales, por lo que tiene un
carácter sintáctico.
3.
Semántica declarativa
: definida en términos de un modelo lo más simple posible
del programa.
Deben existir resultados de corrección y completitud que pongan en correspondencia la
semántica operacional y la declarativa, de forma que las definiciones semánticas del
lenguaje coincidan, es decir, se asigne a un programa un significado único.

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TEMA 3 – DE LA DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA A LA PROGRAM.LÓGICA
1. RAZONAMIENTO AUTOMÁTICO
El razonamiento automático es un campo de la Inteligencia Artificial. Estudia la
implementación de programas que verifiquen un razonamiento mediante una serie de pasos de
inferencia. También denominada deducción automática, puesto que se hace énfasis en el
razonamiento como proceso deductivo. Cuando el trabajo se centra en la obtención de
algoritmos que permitan encontrar pruebas de teoremas matemáticos, recibe el nombre de
demostración automática de teoremas (DAT).

1.1. Aproximaciones a la demostración automática de teoremas
Existen diversas aproximaciones, que pueden clasificarse atendiendo a 2
características esenciales:
1) La forma en la que se simula el razonamiento: Históricamente una primera
orientación consistió en la simulación de la forma de razonamiento del ser humano
(llegando a utilizar de manera excesiva la regla de inferencia de instanciación, muy
usada por las personas), pero estas técnicas fueron abandonadas debido a su fracaso al
afrontar problemas complejos (poco poder de deducción, conduce a la aparición de la
explosión combinatoria).
Por los problemas mencionados, la orientación dominante en la actualidad ha sido la de
desarrollar técnicas que se adapten a su automatización en un computador. Aquí entra
el principio de resolución de Robinson, que permite la obtención de conclusiones
generales a partir de premisas generales (aplicando lo menos posible la regla de
instanciación).
2) La cantidad de información intermedia retenida: encontramos tres alternativas:
• Almacenar toda la información derivada intermedia, con el consiguiente
crecimiento del espacio de búsqueda.
• No almacenar ninguna información intermedia, con la consiguiente pérdida de
potencia deductiva.
• Almacenar sólo información que cumpla ciertos requisitos. Ejemplos de esta
alternativa son la estrategia de resolución semántica y los métodos para el
tratamiento de la información intermedia (Wos).
1.2. Un demostrador automático genérico
Un demostrador automático de teoremas puede verse como un programa que
imita a los matemáticos en la forma de abordar un problema. Y al igual que los
matemáticos, el demostrador tiene que llegar a resultados intermedios (lemas). Así
pues, es imprescindible retener cierta información intermedia.
Los D.A.T. (demostradores automáticos de teoremas) hacen uso de una
representación especial de las fórmulas: la forma clausal. En la deducción se emplean
reglas de inferencia alejadas del razonamiento humano, como resolución y
paramodulación. Por último, destacar que en la mayoría de los casos, los demostradores
automáticos de teoremas realizan pruebas por contradicción (o refutación).

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Las acciones típicas que lleva a cabo un demostrador de teoremas, son:
1. Aplicación de las reglas de inferencia para obtener conclusiones.
2. Cuando se obtiene una conclusión, el programa la reescribe a una forma
canónica para ver si es un corolario trivial de información que el programa ya
posee y, por consiguiente, debe desecharse.
3. Si la conclusión obtenida entra en contradicción con alguna de las informaciones
mantenidas por el demostrador, entonces la prueba concluye con éxito
(recordemos que hablamos de pruebas por refutación), en caso contrario se
vuelve a repetir el proceso.

1.3. Límites de la demostración automática de teoremas
a) Límites teóricos:
• La lógica de predicados es indecidible: no existe un procedimiento general que
permita determinar si una fórmula A es o no un teorema (lógicamente válida en
el lenguaje de primer orden L ). Sin embargo existen métodos de semidecisión,
donde lo introducido es falso si el procedimiento no acaba.
• Otro límite viene impuesto por la complejidad computacional de los problemas
objeto de estudio y los algoritmos utilizados en su solución.
b) Límites prácticos:
• Crecimiento exponencial del espacio de búsqueda (conocido como explosión
combinatoria). Este problema obliga a una necesidad creciente de memoria para
el almacenamiento de estructuras intermedias utilizadas en los cómputos, que
sobrepasa las posibilidades de las máquinas actuales.
• Ineficiencia: alto coste temporal de los algoritmos utilizados en el proceso de la
demostración.
2. PROCEDIMIENTO DE PRUEBA POR REFUTACIÓN
Este tipo de procedimiento consiste en: i) suponemos la falsedad de la conclusión
(negamos lo que queremos probar); ii) a partir de esa suposición tratamos de obtener una
contradicción; iii) si llegamos a una contradicción, se rechaza el supuesto en vista del
resultado, iv) como consecuencia, se afirma la conclusión deseada.
Justificación:
Se trata de contestar a la pregunta ¿  ∣= A ? . Donde A es una fbf de L y  un
conjunto de fbfs de L .
 ∣= A ⇔ ∪{ A} es insatisfacible.
∪{ A} es inconsistente.
∪{ A} |- □ (se desprende contradicción).
Punto de interés:
La pregunta se puede plantear como: ¿Es insatisfacible  A 1∧ A2 ∧A 3∧... A n∧ A  ?
(Donde A1, A2, A3, ... , A n y  A son fbfs de L , y ={ A1, A 2, A 3, ... , A n } ).

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3. FORMAS NORMALES
Esencialmente, el proceso de obtener una forma normal a partir de una fbf dada,
consiste en sustituir partes de dicha fórmula por fórmulas lógicamente equivalentes.
Definición – Fórmulas lógicamente equivalentes: Dos fbfs cerradas A y B son lógicamente
equivalentes, denotado por A ⇔ B , si y solo si {A } |= B y {B} |= A .

3.1. Formas normales en la lógica de enunciados (proposicional)
La idea detrás de las formas normales en esta lógica es el deseo de representar
cualquier fórmula mediante conjuntos adecuados de conectivas, como puede ser el
conjunto { , ∨ , ∧} . Restringiéndonos a este conjunto, es posible obtener dos clases de
formas normales: la forma normal conjuntiva y la forma normal disyuntiva.

Definición – Forma normal disyuntiva: Una fbf A está en forma normal disyuntiva
si y solo si A≡ A 1∨ A2∨ A 3∨...∨ A n con n≥1 , y cada Ai es una conjunción de literales.
Ejemplo: q∧p ∨r ∧s ∨q .

Definición – Forma normal conjuntiva: Una fbf A está en forma normal conjuntiva
si y solo si A≡ A 1∧ A2∧ A 3∧...∧ A n con n≥1 , y cada Ai es una disyunción de literales.
Ejemplo: q∨p ∧r ∨s ∧q .

Ver Tabla 1 del Anexo 1
Ver Algoritmo 1 del Anexo 2

3.2. Formas normales en la lógica de predicados
En esta lógica, cualquier fbf puede ser transformada en una fórmula equivalente
en lo que se denomina forma normal prenexa. Lo que caracteriza a la forma normal
prenexa es la disposición de los cuantificadores, que se sitúan todos al principio de la
fórmula.
Definición – Forma normal prenexa: Una fbf A está en forma normal prenexa si y
solo si A≡Q 1 X 1 Q 2 X 2 ...Q n X n  M , donde X 1, X 2 ... X n son variables diferentes y
Qi≡∃ o Qi≡∀ , para cada 1 ≤ i ≤n . M es una fórmula que no contiene
cuantificadores. Al componente Q 1 X 1Q2 X 2 ...Q n X n  se le llama prefijo, y a M
matriz de la fórmula A .

Una fórmula cerrada en forma prenexa ∀ X 1 ∀ X 2 ...∀ X 3  M se denomina
fórmula universal. Del mismo modo, ∃ X 1∃ X 2 ...∃ X 3  M se denomina fórmula
existencial.

4. LA FORMA CLAUSAL
La mayoría de procedimientos de prueba operan por refutación. Estas pruebas se
aplican a fórmulas en una forma denominada forma clausal.

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4.1. Forma normal de Skolem
Sea A una fórmula en forma normal prenexa, en la que la matriz se ha
expresado en forma normal conjuntiva. Una forma normal de Skolem es una fórmula
obtenida a partir de A , reemplazando por funciones de Skolem las variables ligadas por
los cuantificadores existenciales y eliminando después los cuantificadores existenciales,
siguiendo las pautas del Algoritmo 3 (Anexo 2). En la forma normal de Skolem, todos los
cuantificadores son universales: ∀ X j1 ∀ X j2 ...∀ X jn  M  X j1 , X j2 , ... X jn  , donde
{X j1 ... X jn }⊆{X 1 ... X n } .

Ver algoritmo 3 del Anexo 2
A partir de ahora usaremos el término “forma normal” o “forma estándar” para
referirnos a la forma normal de Skolem.

4.2. Cláusulas

Definición – Cláusula: Una cláusula es una disyunción finita de cero o más literales.
Cuando la cláusula está compuesta de un solo literal diremos que es una cláusula
unitaria.

Sea A≡∀ X 1 ∀ X 2 ...∀ X n  M una fórmula en forma normal, se puede expresar de
la forma:
∀ X 1 ... ∀ X n  M 11∨M 12∨M 13 ... ∧
∀ X 1 ... ∀ X n  M 21∨M 22∨M 23 ... ∧
...
∀ X 1 ... ∀ X n  M  n−1 1∨M n−1 2∨... ∧
∀ X 1 ... ∀ X n  M n1∨M n2∨M n3 ...
Por ello, A también puede expresarse como un conjunto  de cláusulas, de la
siguiente manera: ={ M 11∨M 12∨... , M 21∨M 22∨... ,... , M n1∨M n2∨...}
Por consiguiente, un conjunto de cláusulas  debe verse como la representación
de una fórmula que es la conjunción de todas esas cláusulas del conjunto, donde cada
variable que aparece en cada cláusula está cuantificada universalmente.
Las variables de las cláusulas pueden renombrarse. En ocasiones conviene
representar una cláusula  L1∨L2∨... como un conjunto de literales {L1 , L2 , ...} para
poder manejarla como si fuese un conjunto, y aplicar operaciones como “” (diferencia de
conjuntos). Una contradicción se representa con el conjunto vacío: □≡ L∧¬L .

4.3. El papel de la forma clausal en los procedimientos de prueba

Teorema: Sea un conjunto de cláusulas  que representa una forma estándar de una
fórmula A. La fórmula A es insatisfacible si y sólo si  es insatisfacible. Es decir: la
eliminación de los cuantificadores existenciales de una fórmula no afecta a su
inconsistencia.

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Por tanto, dado un conjunto de cláusulas  que representa una forma normal
estándar de una fórmula ¬A , la fórmula A será válida si y solo si  es
insatisfacible. Además, la equivalencia entre una fórmula A y su forma normal
representada por un conjunto  , sólo se mantiene cuando A es insatisfacible, debido a
que A no es semánticamente equivalente a  .
El anterior teorema es la razón de que la forma clausal tenga un lugar de
privilegio en las DAT, ya que las pruebas se hacen por refutación y dicho teorema nos
dice que basta comprobar la insatisfacibilidad del conjunto de cláusulas que representan
a A para demostrar la insatisfacibilidad de A .

5. TEOREMA DE HERBRAND
Se ha visto que una fórmula (o el conjunto de cláusulas que de ella puede extraerse) es
insatisfacible si y solo si es falsa para toda interpretación sobre cualquier dominio. Sin
embargo no es posible comprobar todas las interpretaciones sobre todos los posibles dominios,
ya que hay infinitos. Por ello surge el Universo de Herbrand, un dominio de interpretación en el
que explorar la insatisfacibilidad de una fórmula supone probar la falsedad de dicha fórmula
sobre cualquier interpretación.

5.1. Universo de Herbrand e interpretaciones de Herbrand
Un conjunto de fórmulas  genera un lenguaje de primer orden cuyo alfabeto
está constituido por símbolos de constante, variable, función y relación. Supondremos
que nuestro lenguaje de primer orden dispone de al menos una constante, por lo que si
no existe ninguna otra, se añadirá una constante artificial a .

Definición – Universo de Herbrand: Dado un lenguaje de primer orden L , el
universo de Herbrand U L de L es el conjunto de todos los términos básicos de L .
Nota: Para hacer explícito el conjunto de fórmulas  que genera el lenguaje de primer
orden L escribiremos U L   . Recordemos que U L≠∅ ya que suponemos al menos la
existencia de una constante.


Definición – Base de Herbrand: Dado un lenguaje de primer orden L , la base de
Herbrand B L de L es el conjunto de todos los átomos básicos de L (aquellos que se
pueden formar con todos los símbolos de predicado del alfabeto de L y todos los
términos básicos de U L ).
Nota: Si queremos hacer explícito en la base de Herbrand el conjunto de fórmulas  que
genera el lenguaje de primer orden L , escribiremos B L   .

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Definición – Interpretación de Herbrand: Una interpretación de Herbrand de L (o
Hinterpretación) es una interpretación I =D , J  de L , definida en los siguientes
términos:
1. D es el propio universo de Herbrand para L , U L .
2. J es la aplicación que asigna:
A cada símbolo de constante ai de L él mismo. J a=a
A cada functor nario f de L una función J  f = |  : U n U L que
f f L
asocia a cada secuencia de términos básicos t 1 , t 2 , ...t n el término básico
f t 1 , t 2 ...t n  de U L .
Si r es un símbolo de relación nario de L , entonces se le puede asignar
cualquier subconjunto J r = de ntuplas de términos básicos de U n .
r L

Nótese que no existe restricción respecto de las relaciones de U n asignadas a L
cada uno de los símbolos de relación narios de L . Así pues, puede haber varias
interpretaciones de Herbrand para L .
Una Hinterpretación queda determinada unívocamente dando la interpretación
de sus símbolos de relación. Además, hay una correspondencia uno a uno entre las
distintas Hinterpretaciones y los subconjuntos de la base de Herbrand B L , que es la
siguiente:
{r t 1 ,t 2 ... t n  | r es un símbolo de relación nario de L y t 1 , t 2 ...t n ∈  } .
r

Una Hinterpretación puede considerarse como un subconjunto de la base de
Herbrand B L mediante el cual se representa el conjunto de átomos básicos evaluados al
valor de verdad V, por tanto, todos los átomos que no están, se suponen falsos. Podemos
considerar el conjunto de todas las Hinterpretaciones de L como todas las aplicaciones
posibles B L  {V , F} , por tanto, en caso de que B L sea de cardinalidad finita (tenga
un número finito de elementos), el número de estas aplicaciones es 2∣B ∣ . L

El conjunto potencia, o conjunto de las partes de un conjunto, junto con la
operación ⊆ (que impone un orden parcial) es un retículo completo −recordemos que un
conjunto parcialmente ordenado se dice que es un retículo completo si todo subconjunto
suyo tiene un supremo y un ínfimo−. Por como se ha definido, el conjunto de todas las
Hinterpretaciones de un lenguaje de primer orden L coincide con el conjunto de las
partes de B L , es decir: p B L  , que es un retículo completo cuyo máximo es el conjunto
B L y cuyo mínimo es el conjunto vacío.

Teorema: Sea  un conjunto de cláusulas.  es insatisfacible si y solo si  es falsa
bajo todas las Hinterpretaciones de  .

Definición – Instancia básica: Sea  un conjunto de cláusulas de un lenguaje de
primer orden L . Una instancia básica de una cláusula C de  es la cláusula obtenida
sustituyendo cada una de las variables de C por elementos de U L  .

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Proposición: Sea  un conjunto de cláusulas e I una Hinterpretación para  .
1. Sea C ' una instancia básica de una cláusula C de  . Entonces C ' es
verdadera en I si y solo si:
a) O existe un literal positivo L' 1 de C ' | L' 1 ∈I
b) O bien existe uno negativo L' 2 de C ' | ¬L ' 2 ∉I
2. Sea C una cláusula de  , C es verdadera en I si y solo si para toda instancia
básica C ' de C se cumple que C ' es verdadera en I .
3. Sea C una cláusula de  , C es falsa en I si y solo si existe al menos una
instancia básica C ' de C que no existe en I .

5.2. Modelos de Herbrand

Definición – Modelo de Herbrand: Un modelo de Herbrand para un conjunto de
fórmulas  es una Hinterpretación I de  que es modelo de  (es decir, que cada
una de las fórmulas del conjunto  es verdadera en I ).

Sea un conjunto C y S={S1 , S 2 , ... S n }⊆p C . Entonces S 1∩S2 ∩...∩Sn es el
ínfimo del conjunto S , y S 1∪S2 ∪...∪Sn el supremo.

5.3. El teorema de Herbrand y las dificultades de su implementación
El método general para probar la insatisfacibilidad de un conjunto  de
cláusulas se basa en generar todas las posibles Hinterpretaciones y comprobar si
alguna hace falsa alguna instancia básica de una cláusula perteneciente al conjunto.
Pero existe un problema: el número de Hinterpretaciones puede ser infinito. Para
resolverlo podemos generar un conjunto finito de Hinterpretaciones parciales.
Teorema – Teorema de Herbrand: Un conjunto de cláusulas  es insatisfacible si y
solo si existe un conjunto de instancias básicas de  que sea insatisfacible.


Como  ' i puede considerarse una conjunción de cláusulas básicas, se puede
utilizar cualquier método de la lógica proposicional para comprobar su
insatisfacibilidad. El método de la multiplicación consiste en considerar la conjunción de
las cláusulas que formarán  ' i y “multiplicarla” hasta alcanzar una forma normal
disyuntiva. Entonces, cada conjunción que contiene un par de literales complementarios
es eliminada. Si al seguir este proceso  ' i puede transformarse en la cláusula vacía □
entonces,  ' i es insatisfacible.
Debemos añadir, que el método de la multiplicación es altamente ineficiente y
conduce a lo que se denomina explosión combinatoria.

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6. EL PRINCIPIO DE RESOLUCIÓN DE ROBINSON
Para evitar las ineficiencias de las implementaciones directas del teorema de Herbrand
(producida por la generación sistemática de conjuntos de cláusulas básicas y la posterior
comprobación de su insatisfacibilidad) introducimos el principio de resolución de Robinson, que
permite deducir consecuencias universales de enunciados universales, alejándose de los
métodos basados en el teorema de Herbrand, lo que reduce las instanciaciones.
El principio de resolución es una regla de inferencia que se aplica a fórmulas en forma
clausal y que, junto con el procedimiento de unificación, constituye un sistema de inferencia
completo. Es más adecuado para la mecanización que los sistemas de inferencia tradicionales.

6.1. El principio de resolución de la lógica de proposiciones
El principio de resolución de Robinson para la lógica de proposiciones puede
verse como una generalización de la regla de Modus Tollens ¬p∨q∧¬q ⇒¬p :
C 1 ,C 2
si A∈C1 , ¬ A∈C2
C 1 {A }∨C2 {¬ A }
Para todo par de cláusulas C1 y C 2 , si existe un literal L1≡ A en C1 , que es
complementario de otro literal L2≡¬ A en C 2 , entonces se eliminan L1 y L2 de C1 y
C 2 , respectivamente, y se construye la disyunción de las cláusulas restantes. A la
cláusula obtenida se le llama “resolvente de C1 y C 2 ”. Las cláusulas C1 y C 2 se
denominan “cláusulas padres”. A y ¬ A reciben el nombre de “literales resueltos”.


Definición – Deducción: Dado un conjunto de cláusulas  , una deducción (o
resolución) de C a partir de  es una secuencia finita C1 , C2 , ... ,C k de cláusulas tal
que Ci es una cláusula de  o un resolvente de cláusulas que le preceden, y C k =C .
Una deducción de □ a partir de  se denomina “refutación” o “prueba de  ”.

Teorema: Sea  un conjunto de cláusulas.  es insatisfacible si y solo si existe una
deducción de la cláusula vacía, □ , a partir de  .

6.2. Sustituciones
Definición – Sustitución: Una sustitución  es una aplicación que asigna, a cada
variable X del conjunto de variables V de un lenguaje de primer orden L , un término
 X  del conjunto de los términos T de L .
 : V T
X   X 
Es habitual representar las sustituciones como conjuntos finitos de la forma:
{X 1 /t 1 , X 2 / t 2 , ... , X n /t n } donde para cada i, t i es un término diferente de X i . El
conjunto {X 1 , X 2 , ... X n } se denomina dominio de la sustitución Dom  , y
{t 1 ,t 2 ,... t n} se denomina rango de la sustitución Ran   . Los elementos X i /t i
reciben el nombre de enlaces.
La sustitución identidad se representa por el conjunto vacío de elementos {} .

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Definición – Instancia: La aplicación de una sustitución ={X 1 /t 1 , X 2 /t 2 ... X n /t n } a
una expresión E se denota por  E , y se obtiene reemplazando simultáneamente (no
sucesivamente) cada ocurrencia de X i en la expresión E por el correspondiente término
t i . Se dice que  E es una instancia de E .
La relación “ser instancia de” induce un (pre)orden entre las expresiones del
lenguaje de primer orden L .
Definición – (pre)orden de máxima generalidad: Sean E1 y E2 dos expresiones de
L . E1 es más general que E2 , denotado por E1≤E 2 , si y solo si existe una sustitución
 tal que  E 1=E 2 .

Definición – Composición de sustituciones: Dadas dos sustituciones  y  , la
composición de ambas es la aplicación  ° tal que °  E= E .

La composición de sustituciones es asociativa, y la sustitución identidad es el
elemento neutro. Además, cuando dos sustituciones  y  no comparten variables
Var ∩Var =∅ la composición de sustituciones se concreta en una operación de
unión:  °=∪ .
Definición – Sustitución idempotente: Una sustitución  se dice idempotente si y
solo si  °= .
Nota: El principio de resolución de Robinson sólo computa sustituciones idempotentes.

Definición – Renombramiento: Una sustitución  se denomina sustitución de
renombramiento (o símplemente renombramiento) si existe la sustitución inversa
−1 |  °−1 =−1 °=id .
Definición – Variante: Dadas dos expresiones E1 y E2 , decimos que son variantes si
existen dos sustituciones de renombramiento  y  , tales que E1=  E2  y E2= E 1 .

Definición – Orden de máxima generalidad: Dadas dos sustituciones  y  ,
decimos que  es más general que  , denotado por ≤ , si y solo si existe una
sustitución  tal que =° .

Definición – Sustituciones equivalentes: Dadas dos sustituciones  y  , decimos
que  es equivalente a  , denotado ~ , si y solo si ≤ y ≤ .

6.3. Unificación
Informalmente, unificar es el proceso por el cual dos o más expresiones se
convierten en idénticas mediante una sustitución: la sustitución unificadora.

Definición – Unificador: Una sustitución  es un unificador (o sustitución
unificadora) del conjunto de expresiones {E 1 , E2 , ... E k } si y solo si
 E1 =E 2=...=E k  . Se dice que el conjunto E1 , E 2 , ... Ek es unificable si existe un
unificador para él.

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Definición – Unificador más general (u.m.g.): Un unificador  de un conjunto de
expresiones S es un unificador más general (o de máxima generalidad) para S si y solo
si para cualquier unificador  de S se cumple que ≤ .

Algoritmo de unificación de Martelli y Montanari:
La unificación de dos expresiones E1≡F t 1 , t 2 , ... t n  y E2≡F  s1 , s 2 , ... s n  es una
secuencia de transformaciones 〈G, id〉⇒ 〈G1, 1 〉⇒ 〈G2 , 2 〉 ⇒ ...⇒ 〈Gn , n 〉 . 〈G, id〉 es el
estado inicial, donde G={t 1=s 1 ,t 2=s2 , ...t n=s n} es un conjunto de ecuaciones e id es la
sustitución identidad.
Si 〈 Gn, n 〉≡〈∅ , 〉 diremos que las expresiones son unificables con u.m.g.  .
Si 〈 Gn, n 〉≡〈 Fallo , 〉 diremos que las dos expresiones no son unificables.

Definición – Relación de unificación “ ⇒ ”: La relación de unificación “ ⇒ ” es la
mínima relación, definida por el siguiente conjunto de reglas de transición:
1.
Descomposición en términos (Nota: op puede ser un símbolo de función o de

predicado):
〈{op t 1 , t 2 ,... t n=op s1 , s 2 ,... s n }∪E ,〉
〈{t 1=s 1 , ...t n=s n}∪ E ,〉
2.
Eliminación de ecuaciones triviales
:
〈{X =X }∪E , 〉
〈 E ,〉
3.
Ordenación de pares
  (si t no es una variable):
〈{t=X }∪E , 〉
〈{X =t}∪E , 〉
4.
Eliminación de la variable
  (si la variable X no aparece en t ):
〈{X =t }∪E ,〉
〈{X /t } E, {X /t}° 〉
5.   (Nota: op1 y op 2 pueden ser símbolos de función o de predicado):
Regla de fallo
〈{op1 t 1 ,t 2 ,... t n=op2  s1 , s 2 , ... s m }∪E , 〉
si op1 ≠op2
〈 Fallo , 〉
6.
Ocurrencia de variable
  (occur check):
〈{X =t}∪E , 〉
si la variable X aparece en t y no se da X ≡t )
〈Fallo , 〉

Teorema de unificación: Dadas dos expresiones unificables E1 y E2 , la secuencia de
transformaciones a partir del estado inicial 〈 G, id〉⇒ 〈G1, 1 〉⇒ 〈G2 , 2 〉 ⇒ ...⇒ 〈∅ , 〉
termina obteniendo el u.m.g.,  , de las expresiones E1 y E2 , que es único, salvo
renombramientos de variables.

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6.4. El principio de resolución en la lógica de predicados
Una vez definidos los conceptos de unificador y unificador más general, podemos
formular el principio de resolución para la lógica de predicados. Comenzamos definiendo
el concepto de factor de una cláusula.
Definición – Factor de una cláusula: Si dos o más literales (con el mismo signo) de
una cláusula C tienen un unificador de máxima generalidad  , entonces se dice que
C  es un factor de C . Si C  es una cláusula unitaria, entonces se dice que es un
factor unitario de C .

Definición – Resolvente binario: Sean C1 y C 2 dos cláusulas (llamadas cláusulas
padres) sin variables en común. Sean L1 y L2 dos literales de C1 y C 2 ,
respectivamente. Si L1 y ¬L2 tienen un u.m.g.  , entonces la cláusula
 C 1   L1 ∪ C 2  L2  se conoce como resolvente binario de C1 y C 2 . A los
literales L1 y L2 se les llama literales resueltos.

Definición – Resolvente: Un resolvente de las cláusulas (padres) C1 y C 2 es uno de
los siguientes resolventes binarios:
1. Un resolvente binario de C1 y C 2 .
2. Un resolvente binario de C1 y un factor de C 2 .
3. Un resolvente binario de un factor de C1 y C 2 .
4. Un resolvente binario de un factor de C1 y un factor de C 2 .

Teorema: Sea  un conjunto de cláusulas.
1.
Corrección : Si existe una deducción de la cláusula vacía, □ , a partir de  y
utilizando la regla de resolución (es decir,  |−□ ), entonces  es insatisfacible.
2.
Completitud : Si  es insatisfacible, entonces existe  |−□ (una deducción de la
cláusula vacía, □ , a partir de  , utilizando la regla de resolución).

6.5. Estrategias de resolución
El teorema anterior nos dice que si un conjunto de cláusulas es insatisfacible de
él podrá deducirse la cláusula vacía, pero no nos dice cómo encontrarla. El siguiente
algoritmo es un esquema para sistematizar la búsqueda de la cláusula vacía.
Este algoritmo genera nuevas cláusulas a partir de las anteriores sin ninguna
restricción. El único inconveniente es que pueden generarse cláusulas redundantes o
irrelevantes. Posee demasiada libertad.
Una estrategia de resolución es una instancia del Algoritmo 7, donde el objetivo
es lograr eficiencia en el número de resoluciones y cantidad de almacenamiento. Es
importante que una estrategia continúe siendo completa.
Las diferentes estrategias de resolución son las siguientes:

18


1.
Estrategia de resolución por saturación de niveles : es una estrategia de
búsqueda a ciegas. Para encontrar una refutación a partir de un conjunto
inicial de cláusulas  se generan todos los resolventes de pares de
cláusulas del conjunto y se añaden al conjunto. El proceso se repite en
cada iteración, hasta encontrar la cláusula vacía □ . Es una estrategia
completa, pero sumamente ineficiente.
2.
Estrategia de borrado se basa en la estrategia de resolución por
:
saturación de niveles, pero incorpora procedimientos para comprobar si
los resolventes Rij de Ci y C j son una tautología o están subsumidos
por otra cláusula del conjunto CLAUSULAS. Esta estrategia es completa.
Definición – Subsumir: Una cláusula C subsume a otra C ' si y solo si
existe una sustitución  | C ' ⊆C  . Se dice que C ' es la cláusula
subsumida.

3.
Estrategia de resolución semántica esencialmente, esta estrategia
:
intenta limitar el número de resoluciones, dividiendo en dos subconjuntos
disjuntos el conjunto CLAUSULAS, cuya insatisfacibilidad se desea
probar. La idea es que no pueden resolverse entre sí las cláusulas de un
mismo subconjunto. Esta estrategia, también completa, sigue unos pasos:
1. Divide CLAUSULAS en dos, utilizando una interpretación de I :
• 1={C∈CLAUSULAS | I es modelo de C}
• 2={C∈CLAUSULAS | I no es modelo de C}
2. Halla el conjunto de todos los resolventes que pueden formarse a
partir de las cláusulas de 1 y 2 :
 ' ={Rij | R ij es un resolvente de Ci ∈1 y C j ∈2 }
3. CLAUSULAS = CLAUSULAS ∪ ' .
4.
Estrategia de resolución lineal : La idea de resolución lineal se asemeja al
razonamiento encadenado, cuando para demostrar una identidad
aplicamos sucesivas reglas de inferencia al término de la izquierda hasta
obtener el término de la derecha. Esta estrategia comienza con una
cláusula, se resuelve dicha cláusula con otra para producir un resolvente
que, a su vez, se resuelve con otra cláusula, etc. hasta obtener la cláusula
vacía.
Definición – Deducción lineal: Dado un conjunto de cláusulas  y
C0 B0
| una cláusula C 0 de  , una deducción lineal de C n a partir de  con
C1 B1 cláusula inicial C 0 es una deducción de la forma mostrada en la figura,
| . donde:
C2 .
| . 1. Para i=0, 1,2, ... , n−1 se da que C i1 es un resolvente de Ci
… (llamada cláusula central) y B i (llamada cláusula lateral).
Cn1 Bn1
2. Cada B i , o pertenece a  o es una cláusula central C j para
|
Cn algún j , siendo ji .

19


TEMA 4 – PROGRAMACIÓN LÓGICA
Comenzaremos realizando una breve discusión de las similitudes y diferencias que unen
y separan la programación lógica (PL) de la demostración automática de teoremas (DAT), con
el fin de delimitar la frontera entre ambos campos.
Similitudes:
1. El empleo de un lenguaje basado en la forma clausal
2. El empleo de pruebas por refutación
3. El tipo de regla de inferencia empleado: el principio de resolución
4. Comparten ciertos aspectos en el empleo de estrategias.
Diferencias:
1. Ambos campos poseen objetivos diferentes: la DAT persigue la construcción de sistemas
de deducción que permitan atacar problemas para los que no existe un algoritmo
efectivo, la PL se orienta a conseguir la ejecución eficiente de programas lógicos que
resuelvan problemas para los que generalmente hay un algoritmo conocido.
2. Mientras que en la DAT no se impone restricción alguna respecto al tipo de cláusulas a
utilizar en la formalización de un problema, la programación lógica se restringe a un
tipo de cláusulas llamado cláusulas de Horn.
3. En la PL no existe retención de información intermedia, mientras que para la DAT es
esencial.
4. La PL hace un uso muy limitado de las estrategias, en comparación con el amplio uso
que de ellas hace la DAT.
5. La PL destierra el uso del predicado de igualdad, mientras que en la DAT el
tratamiento de la igualdad es uno de los puntos clave.

1. SINTAXIS
1.1. Notación para las cláusulas
Una cláusula no vacía puede escribirse agrupando los literales positivos y
negativos, así: ∀ X 1 ∀ X 2 ...∀ X s  M 1∨M 2∨...∨M m∨¬N 1 ∨¬N 2∨...∨¬N n  , donde
M i (para i=1, 2,... , m ) y N j (para j=1,2, ... , n ) representan átomos.
Es posible transformar la cláusula anterior mediante una sencilla manipulación
(aplicando las equivalencias de la Tabla 1 del Anexo 1) y dejarla de la siguiente manera:
∀ X 1 ∀ X 2 ...∀ X s  N 1 ∧N 2∧...∧N n  M 1∨M 2 ∨...∨M m  . Es habitual el símbolo
condicional recíproco (  ), leído “si”, y mediante el cual la anterior cláusula queda
expresada así: ∀ X 1 ∀ X 2 ...∀ X s  M 1∨M 2∨...∨M m  N 1∧N 2∧...∧N n  .
La última notación se adapta a una visión operacional (procedimental), que es
muy adecuada para utilizar un lenguaje de programación. En tal caso, la expresión se
leería así: «para resolver el problema M 1 o el M 2 , o … o el M m , hay que resolver los
problemas N 1 y N 2 y … y N n ». Aquí N 1 , N 2 , … y N n pueden considerarse como
rutinas de un lenguaje de programación convencional.

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También es posible una visión declarativa, de forma que la última expresión se
leería como: «si se cumplen N 1 y N 2 y … y N n , entonces debe cumplirse M 1 o M 2 , o
… o M m »

Definición – Cláusula general: Una cláusula general es una fórmula de la forma
A1∨ A 2∨...∨ A m  L1∧L2∧...∧Ln , donde A1∨ A 2∨...∨ A m es la cabeza (o conclusión, o
consecuente) de la cláusula general, y L1∧L2∧...∧Ln es el cuerpo (o condición, o
antecedente). Cada Ai (con i=1, 2,... , m ) es un átomo, y cada L j (con j=1,2, ... , n ) es un
literal (átomo positivo o negativo). Todas las variables se suponen cuantificadas
universalmente. Si m=0 la cláusula general se dice que es un objetivo.

1.2. Cláusulas de Horn y programas definidos
La programación lógica deja de lado las cláusulas generales para ocuparse de las
denominadas cláusulas de Horn y de las cláusulas normales.

Definición – Cláusula de Horn: Una cláusula de Horn (o cláusula definida) es una
disyunción de literales de los cuales uno, como mucho, es positivo.

Las cláusulas de Horn tienen el mismo poder de cómputo que la máquina de
Turing o el −cálculo . Permiten, por tanto, programar cualquier función computable.
Muchos de los problemas que pueden expresarse mediante un formalismo de
primer orden pueden transformarse sin mucha dificultad en un conjunto de cláusulas
de Horn.
Definición – Programa definido: Un programa definido es un conjunto o secuencia
de cláusulas definidas  . La definición de un símbolo de predicado p que aparece en
 es el subconjunto de cláusulas de  cuyas cabezas tienen como símbolo de
predicado el predicado p .

2. SEMÁNTICA OPERACIONAL (Resolución SLD)
La semántica operacional se basa en la estrategia de resolución SLD, que es un
refinamiento del procedimiento de refutación por resolución. Las siglas “SLD” hacen mención a
las iniciales inglesas de “resolución lineal con función de selección para programas definidos”
2.1. Procedimientos de prueba y objetivos definidos
La programación lógica intenta comprobar, dado un programa  y una fórmula
B≡∃ B1∧B2∧...∧B n , si se cumple que existe un valor de las variables de B tal que
 |−B . Al igual que en los procedimientos de prueba de la DAT, esta pregunta se
contesta mediante refutación. Así pues, la pregunta es si ∪{¬B} |− □ .
Nótese que ¬B⇔ ¬∃ B1∧B2∧...∧B n⇔  B 1∧B 2∧...∧Bn ⇔∀ ¬B1∨¬B 2∨...∨¬Bn  .
Por tanto, la forma de responder si la fórmula ∃ B1∧B2∧...∧Bn  se sigue del programa
 es añadirle al programa la negación de dicha fórmula en forma de objetivo
G≡ B1∧B2∧...∧B n y buscar una refutación (deduciendo □ a partir de ∪{G} ).

21


2.2. Resolución SLD y respuesta computada
La estrategia de resolución SLD es un caso particular de resolución lineal (dado
un programa  y un objetivo G ) para probar la inconsistencia de ∪{G} partiendo
del objetivo G como cláusula inicial, y resolviendo ésta con alguna cláusula de  . Esto
se hace de tal forma que, en cada paso, siempre obtenemos una cláusula objetivo como
cláusula central. Basta con seleccionar uno de los literales del objetivo que se está
resolviendo en cada momento para mantener la completitud del procedimiento de
refutación.
Definición – Regla de computación: Llamamos regla de computación (o función de
selección)  a una función que, cuando se aplica a un objetivo G , selecciona uno y solo
uno de los átomos de G .

Definición – Paso de resolución SLD: Dado un objetivo G≡ A 1∧...∧A j ∧...∧ An y
una cláusula C≡ A  B1∧B2∧...∧B m , entonces G' es un resolvente de G y C (por
resolución SLD) usando la regla de computación  si se cumple que:
1. A j=G es el átomo de G seleccionado por  .
2. =u.m.g. A , A j  .
3. G'≡  A 1∧...∧ A j−1∧B1∧...∧B m∧ A j1∧...∧ A n .
También diremos que G' se deriva de G y C (en un paso) y lo representaremos, en
símbolos, mediante diferentes notaciones: G⇒ SLD G' , G⇒ G' o G⇒[C , ] G' .
SLD SLD

Definición – Derivación SLD: Sea  un programa definido y G un objetivo
definido. Una derivación SLD para ∪{G} , usando la regla de computación  ,
consiste en una secuencia de pasos de resolución SLD:

Go ⇒[SLD, ] G1 ⇒[C ,  ] G 2 ⇒[C , ] ...
C ,n−1 ]
1 1
SLD
2 2
SLD
3 3
⇒[C
SLD
n−1
Gn−1 ⇒[C ,  ] Gn
SLD
n n

Los pasos quedan representados en la figura siguiente como un árbol de deducción,
donde:
G0 C 1,ϴ1
1. Para i=1, 2,... , n , Gi es un resolvente de G i−1 y Ci
|
(por resolución SLD) usando la regla de computacion 
G1 C2,ϴ2
2. Cada Ci es una variante de una cláusula de  . |
3. Cada i , es el u.m.g. obtenido en el correspondiente G2
paso iésimo de resolución SLD. …
En ocasiones utilizaremos la notación | −SLD para representar G n1
C n,ϴn
una derivación SLD. Nota: si Gn es la última cláusula de la |
secuencia de resolventes, decimos que la derivación tiene Gn
longitud n .

Los nombres de las variables de las cláusula de programa Ci se eligen de forma que no
haya conflicto con ninguna de las variables que hayan aparecido previamente.

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Podemos distinguir los siguientes tipos de derivaciones SLD:
•
Derivación infinita : cuando en cualquier objetivo Gi de la secuencia, el átomo
A j seleccionado por la regla de computación unifica con una cláusula del
programa  (es decir, es una variante suya).
•
Derivación finita : la derivación termina en un número finito de pasos. A su vez,
las derivaciones finitas se diferencian en:
• De fallo: ninguna cláusula de  unifica con el átomo A j seleccionado
por la regla de computación  en el objetivo Gn .
• De éxito: si G n=□ . Esto es, una derivación de éxito es una refutación.

Definición – Refutación SLD: Sea  un programa definido y G un objetivo
definido. Una refutación SLD para ∪{G} es una derivación SLD finita cuyo último
objetivo es la cláusula vacía.

Definición – Respuesta computada: Sea  un programa definido y G un objetivo
definido. Sea G⇒ G 1 ⇒ ... ⇒ □ una refutación para ∪{G} . Una respuesta
1
SLD
2
SLD
n
SLD
computada para ∪{G} es la sustitución  que resulta de la composición, restringida
a las variables de G , de la secuencia de u.m.g.'s 1 ,  2 , ... n . En símbolos,
=n ° n−1 °...  1| Var G  . Si G≡ Q , se dice que Q es una instancia computada de
G.
SLD como un sistema de transición de estados
Resulta interesante resaltar que la semántica operacional de un lenguaje lógico
puede definirse en términos de un sistema de transición de estados.
Definido el término estado E como un par 〈 G, 〉 formado por una cláusula
objetivo G y una sustitución  , definimos resolución SLD (usando la regla de
computación  ) como un sistema de transición cuya relación de transición
⇒SLD ⊆  E×E es la relación más pequeña que satisface:
G≡ Q1∧ A '∧Q2  , G= A ' , C≡ A Q≪ , =u.m.g  A , A ' 

〈G , 〉⇒SLD 〈  Q 1∧Q∧Q2  , ° 〉
donde Q ,Q 1 y Q 2 representan conjunciones de átomos cualesquiera, y el símbolo ≪
expresa que C es una cláusula, o una variante de una cláusula, de  (que se toma
estandarizada).
Así, una derivación SLD es una secuencia 〈 G 0 , id〉 ⇒ SLD 〈G 1 , 1 〉 ⇒SLD ... ⇒SLD 〈 G n , n 〉 , y
una refutación SLD es una derivación de éxito 〈 G 0 , id〉 ⇒ SLD∗〈 □ , 〉 , donde  es la
respuesta computada en la derivación, en "∗" pasos.
2.3. Árboles de búsqueda SLD y procedimiento de prueba
Un proceso de prueba por refutación puede entenderse como un proceso de
búsqueda en un espacio de estados, constituidos por los propios objetivos que se generan
en cada paso de resolución. En el caso concreto de un programa definido  y un
objetivo definido G , el conjunto de todas las posibles derivaciones SLD para ∪{G}
se puede representar como un árbol.

23


Definición – Árbol de búsqueda SLD: Sea un programa definido  y un objetivo
definido G . Un árbol de búsqueda SLD  para ∪{G} (y usando la regla de
computación  ) es un conjunto de nodos que cumplen las siguientes restricciones:
1. El nodo raíz del árbol  es el objetivo inicial G .
2. Si G i≡ A 1∧...∧ A k ∧...∧ A n es un nodo de  , bajo el supuesto de que
Gi = A k 1≤k ≤n , entonces para cada cláusula C j≡ A  B 1∧...∧Bm de 
(con sus variables renombradas si es necesario) tal que su cabeza A unifica con
Ak , con  como unificador más general (es decir, =u.m.g  A , A k  ), el
resolvente G ij ≡ A 1∧...∧ A k−1 ∧B1 ∧...∧Bm∧ A k1∧...∧ A n es un nodo de  .
Se dice que Gi es el nodo padre de G ij y que G ij es un nodo hijo de G i .
• Los nodos hojas son o bien □ o nodos de fallo.
• Cada rama del árbol SLD es una derivación SLD para ∪{G} .
• Cada regla de computación  da lugar a un árbol SLD para ∪{G}
distinto.
• En general, el conjunto de respuestas computadas para distintos árboles
SLD para e mismo programa  y objetivo G es siempre el mismo.

Teorema – Independencia de la Regla de Computación: Sea  un programa
definido y G≡ Q un objetivo definido. Si existe una refutación SLD para ∪{G} con
respuesta computada  , usando una regla de computación  , entonces existirá
también una refutación SLD para ∪{G} con respuesta computada ' , usando
cualquier otra regla de computación ' , y tal que ' Q es una variante de Q .
Este resultado justifica que la selección de un literal en un objetivo se pueda
realizar arbitrariamente sin que afecte al resultado: indeterminismo don't care.
Contrariamente a lo que ocurre con la regla de computación, la selección de la
cláusula del programa que se utiliza en un paso de resolución es determinante a la hora
de alcanzar el éxito en la derivación: indeterminismo don't know.
El orden en el que se eligen las cláusulas de un programa influye en la forma del
árbol SLD. Además, para una misma regla de computación, distintos órdenes de
elección para las cláusulas producen árboles SLD diferentes con sus ramas permutadas.
Definición – Regla de ordenación de cláusulas: Una regla de ordenación es un
criterio por el que se fija el orden en que las cláusulas del programa se intentan resolver
con un nodo del árbol SLD, para generar sus correspondientes nodos hijo.

Definición – Regla de búsqueda: Una regla de búsqueda es una estrategia para
recorrer un árbol SLD en busca de una rama de éxito.

Una vez fijadas unas reglas de computación y de ordenación concretas, en lugar
de generar el árbol de búsqueda SLD explícitamente y luego buscar en él la cláusula
vacía usando una regla de búsqueda, lo que se suele proporcionar es una representación
implícita y solamente se generan explícitamente aquellas partes por las que avanza la
estrategia de búsqueda. Existen dos estrategias de búsqueda principales:

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