William J. Bennett - O livro das virtudes para Crianças.pdf
0000662 b
1. UNIVERSIDADE COMUNIT´ARIA DA REGI˜AO DE CHAPEC´O
- UNOCHAPEC´O
´AREA DE CIˆENCIAS EXATAS E AMBIENTAS
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEM´ATICA
C´ALCULO INTEGRAL: SUA HIST´ORIA E SUAS
APLICAC¸ ˜OES NAS DIVERSAS ´AREAS DO CONHECIMENTO
JULIANA CRISTINA SCHNEIDER
Chapec´o - SC, 2010
2. JULIANA CRISTINA SCHNEIDER
C´ALCULO INTEGRAL: SUA HIST´ORIA E SUAS
APLICAC¸ ˜OES NAS DIVERSAS ´AREAS DO CONHECIMENTO
Relat´orio de pesquisa apresentado `a UNOCHAPEC´O
como parte dos requisitos para aprova¸c˜ao na disci-plina
de Pesquisa II, sob orienta¸c˜ao da Professora Lucia
Menoncini.
Chapec´o - SC, Jul. 2010
3. Resumo
Nossa pesquisa baseia-se em descrever parte da hist´oria do C´alculo Integral, identificando seus
precursores, sua evolu¸c˜ao e rela¸c˜ao com o avan¸co tecnol´ogico, bem como mostrar as aplica¸c˜oes
do C´alculo Integral nas diversas ´areas do conhecimento. Destacamos a importˆancia de conhecer
a aplicabilidade do C´alculo Integral para entender os seus conceitos e assim poder contribuir
para despertar a motiva¸c˜ao por parte dos acadˆemicos para o estudo desta tem´atica. O C´alculo
Integral ´e ensinado nos cursos de gradua¸c˜ao de diversas ´areas, como na Matem´atica, na F´ısica,
nas Engenharias, entre outras. S˜ao tantas defini¸c˜oes, teoremas, e diversas maneiras de re-solver
esses c´alculos, que dependendo da forma metodol´ogica como eles s˜ao abordados, podem
gerar questionamentos quanto a sua aplicabilidade. Assim, o objetivo deste trabalho ´e identi-ficar
algumas destas aplica¸c˜oes nas diferentes ´areas do conhecimento, seguido da resolu¸c˜ao das
mesmas.
Palavras-chaves: Integrais, c´alculo, aplica¸c˜oes.
5. Introdu¸c˜ao
Desde o in´ıcio das civiliza¸c˜oes, a matem´atica vem evoluindo com a humanidade. Esta
evolu¸c˜ao a passos largos deixou para tr´as uma sociedade de subsistˆencia e deu origem a uma
era capitalista. A matem´atica que at´e ent˜ao era usada para resolver situa¸c˜oes reais espec´ıficas
do homem passou a ser uma ferramenta capaz de contribuir para a resolu¸c˜ao de problemas em
diferentes ´areas do conhecimento. Foi ent˜ao que surgiu a necessidade de sistematizar, organizar
e resolver tais problemas, os quais possibilitaram o surgimento e o desenvolvimento de ramos
importantes da matem´atica como o C´alculo Integral.
O C´alculo Integral, atrav´es de seus conceitos e resultados, consegue resolver diversas
situa¸c˜oes-problema do dia a dia, e em diferentes ´areas como na matem´atica, na ecologia, na
cibern´etica, na administra¸c˜ao, na economia, na f´ısica e na medicina.
Talvez por este vasto campo de aplica¸c˜oes se justifique a introdu¸c˜ao e estudo do C´alculo
Integral em muitos cursos de gradua¸c˜ao.
Enquanto componente curricular, o C´alculo Integral em determinados momentos ´e abor-dado
de forma te´orica e abstrata, descontextualizado e desprovido de significados, como afirma
a Sociedade Brasileira de Matem´atica, SBEM (2002, p. 6). Tratado desta maneira, ele pode
contribuir para que os acadˆemicos n˜ao compreendam os conte´udos e passem a questionar a
aplicabilidade de seus conceitos e f´ormulas, n˜ao conseguindo assim, conquistar compreender a
importˆancia de tais conte´udos.
Diante desse fato surge a seguinte quest˜ao de pesquisa: Qual a aplicabilidade do C´alculo
Integral nas diversas ´areas do conhecimento?
6. 3
Com intuito de responder ao questionamento acima, foram elencadas as seguintes quest˜oes
de pesquisa:
1. Como surgiu e evoluiu o C´alculo Integral?
2. Quais os principais precursores do C´alculo Integral?
3. De que forma o conhecimento da aplicabilidade do C´alculo Integral pode melhorar o
desempenho acadˆemico?
4. Que ´areas utilizam o C´alculo Integral para provar suas teorias?
O objetivo geral deste trabalho consiste em estudar a hist´oria e o surgimento do C´alculo
Integral, e explorar as suas aplica¸c˜oes em diferentes ´areas do conhecimento. Quanto aos obje-tivos
espec´ıficos, temos:
1. Compreender como o C´alculo Integral surgiu e evoluiu no decorrer dos tempos;
2. Conhecer os principais precursores do C´alculo Integral;
3. Entender como a aplicabilidade do C´alculo Integral pode melhorar o desempenho acadˆemico
em n´ıvel de gradua¸c˜ao;
4. Identificar ´areas do conhecimento que utilizam o C´alculo Integral para provasr suas teo-rias.
O C´aculo Integral ´e um tema que pode ser bastante explorado na tentativa de res-ponder
a questionamentos da nossa realidade. No entanto, se tratado de forma mecˆanica,
apenas com a aplica¸c˜ao do algoritimo, pode ocasionar a falta de vis˜ao das aplica¸c˜oes, gerando
uma desmotiva¸c˜ao ao ensino, por parte dos acadˆemicos.
Muitas pesquisas tem sido realizadas no sentido de melhorar esses aspectos. Existem
pesquisadores e educadores buscando novas alternativas para c´alculo com intuito de qualificar
o ensino e o desempenho dos acadˆemicos.
7. 4
Para refor¸car nossa ideia, a Sociedade Brasileira de Educa¸c˜ao Matem´atica - SBEM,
destaca a importˆancia do conhecimento hist´orico e da aplicabilidade dos conte´udos matem´a-ticos,
particularmente para o acadˆemico que pretende ser um educador em Matem´atica:
Esse corpo de conhecimentos matem´aticos - conceitos espec´ıficos, defini¸c˜oes,
conven¸c˜oes, procedimentos, paradigmas de investiga¸c˜ao dessa ´area de conheci-mento
- devem ser selecionados e abordados de forma a possibilitar ao professor
em forma¸c˜ao, conhecimento amplo, consistente e articulado da Matem´atica,
colocando em destaque aspectos de sua constru¸c˜ao hist´orica, suas aplica¸c˜oes
em outras ´areas, os principais m´etodos utilizados por matem´aticos ao longo
dos tempos, os desafios atuais dessa ´area de conhecimento e as pesquisas
matem´aticas em desenvolvimento (SBEM 2002, p. 14).
De modo geral, o C´alculo Integral ´e um componente curricular que merece aten¸c˜ao tanto
por parte do professor que planeja suas aulas como pelos acadˆemicos, pois segundo Junior
(2006, p. 87), ”os conhecimentos do C´alculo Integral podem contribuir para que o aluno tenha
ferramentas para resolver problemas de diferentes ´areas do conhecimento”.
Entendendo que o C´alculo Integral ´e uma importante ferramenta que dispomos e que em
alguns momentos n˜ao sabemos ou n˜ao compreendemos sua aplica¸c˜ao, e defendendo a necessi-dade
de conhecer as constru¸c˜oes do conhecimento ao longo dos tempos como aporte te´orico,
inicialmente buscamos informa¸c˜oes acerca do surgimento e evolu¸c˜ao do C´alculo Integral, co-nhecendo
a vida e o trabalho dos seus principais precursores. Tais informa¸c˜oes est˜ao contidas
no Cap´ıtulo 1 deste trabalho.
No Cap´ıtulo 2, direcionamos nossa aten¸c˜ao para entender um pouco sobre o ensino e a
aprendizagem dos conte´udos, uma vez que a aplica¸c˜ao do C´alculo Integral vem ao encontro de
justificar o porquˆe de estudar tal assunto.
Na sequˆencia, formamos o Cap´ıtulo 3, composto pelas aplica¸c˜oes do C´alculo Integral.
Aqui, buscamos enunciar alguns conceitos e resultados do C´alculo Integral e identificar algumas
´areas que utilizam-se destes para resolu¸c˜ao de quest˜oes espec´ıficicas, bem como selecionamos e
resolvemos tais situa¸c˜oes.
8. 1. Hist´oria do C´alculo
Vamos iniciar esse trabalho fazendo um resgate hist´orico do C´alculo Diferencial e Integral.
Para tanto contamos com a contribui¸c˜ao de alguns autores. Entre eles destacamos Boyer (1974),
o qual aponta que calcular, no passado, significava fazer contas por meio de seixos. Segundo ele
a palavra calcular tem sua origem do latim, do diminutivo de calx, que significa pedra. J´a na
idade m´edia, no s´eculo XVII, surgem os conceitos mais formais para o c´alculo, os quais definem
conceitos que surgiram a mais de dezessete anos antes na nossa era.
O s´eculo XVII foi extremamente produtivo para o c´alculo, comenta Eves (2004), pois foi
um per´ıodo onde se fizeram grandes e vastas pesquisas em diversas ´areas. O autor afirma ainda
que para se falar da hist´oria do c´alculo, precisamos voltar at´e o s´eculo V a.C, na Gr´ecia antiga,
mesmo que a maior parte da hist´oria se situe no s´eculo XVI.
Em seu livro, Eves (2004), come¸ca falando sobre os Paradoxos de Zen˜ao. Para o autor foi o
fil´osofo Zen˜ao de El´eia (450 a.C) que chamou a aten¸c˜ao para que se observassem as dificuldades
l´ogicas ocultas em paradoxos que tiveram forte influˆencia na matem´atica. Os dois paradoxos
do qual cita o autor s˜ao: Dicotomia e a Flecha. O primeiro trata que se um segmento de reta
pode ser subdividido indefinidamente, ent˜ao o movimento ´e imposs´ıvel, pois, para percorrˆe-lo, ´e
preciso antes alcan¸car seu ponto m´edio, antes ainda alcan¸car o ponto que estabelece a marca de
um quarto do seu segmento e assim por diante, ad infinitum. Segue-se, ent˜ao, que o movimento
jamais come¸car´a. O segundo paradoxo, a flecha, afirma que se o tempo ´e formado de instantes
atˆomicos indivis´ıveis, ent˜ao uma flecha em movimento est´a sempre parada, posto que em cada
instante ela esteja numa posi¸c˜ao fixa. Sendo isso verdadeiro em cada instante, segue-se que a
9. 6
flecha jamais se move.
Os primeiros problemas que apareceram na hist´oria do c´alculo se referiam a problemas
de quadratura, com os processos de medi¸c˜ao de terras e ´areas. Uma das contribui¸c˜oes mais
antigas, segundo Eves (2004) se refere ao problema da quadratura do c´ırculo que foi dada por
Ant´ıfon, que era contemporˆaneo de S´ocrates. Ant´ıfon acreditava que por sucessivas duplica¸c˜oes
do n´umero de lados de um pol´ıgono regular inscrito num c´ırculo, a diferen¸ca entre o c´ırculo e o
pol´ıgono por fim exaurir-se-ia. Ant´ıfon, continha aqui o m´etodo da exaust˜ao grego. O m´etodo
da exaust˜ao ´e creditado a Eudoxo (c. 370 a.C), ainda:
O m´etodo admite que uma grandeza possa ser subdividida indefinidamente e
sua base ´e a proposi¸c˜ao: Se uma grandeza qualquer subtrai-se uma parte n˜ao
menor que a sua metade, do restante subtrai-se uma parte n˜ao menor que a
sua metade, e assim por diante, se chegar´a por fim a uma grandeza menor que
qualquer outra predeterminada da mesma esp´ecie. (EVES 2004, p. 419).
Boyer (1974) nos coloca que o m´etodo da exaust˜ao ´e creditado a Eudoxo, mas tamb´em ´e
conhecido como m´etodo de Arquimedes:
[...] Arquimedes atribuiu a Eudoxo a primeira prova satisfat´oria de que o vol-ume
do cone ´e um ter¸co do volume do cilindro de mesma base e mesma altura,
o que parece indicar que o m´etodo da exaust˜ao vem de Eudoxo. (BOYER,
1974, p. 67).
Arquimedes descobriu que a ´area da regi˜ao limitada por uma par´abola cortada por uma
corda qualquer, ´e igual a 4/3 da ´area do triˆangulo que tem a mesma altura e que tem a corda
como base. Ele utilizou o problema da exaust˜ao para determinar a ´area do c´ırculo e descobriu
o n´umero ¼.
Rocha (1986), aponta que foi com a busca de processos exatos ou mesmo aproximado de
calcular a ´area em uma regi˜ao S limitada por uma curva fechada que deu a Arquimedes a gl´oria
de ser considerado um dos mais importantes matem´aticos de todos os tempos. Segundo ele foi
pelo m´etodo da exaust˜ao que Arquimedes conseguiu calcular a ´area de v´arios tipos de curvas.
Nos seus trabalhos sobre ´areas e volumes, Arquimedes utilizou o m´etodo da exaust˜ao,
pelo qual se aproxima a quantidade desejada pelas somas parciais de uma s´erie ou pelos termos
de uma sequˆencia, conforme Boyer (1974).
10. 7
Figura 1: Arquimedes.
Fonte: Wikipedia
Por volta do ano de 1450 os trabalhos de Arquimedes chegaram `a Europa Ocidental
atrav´es de uma tradu¸c˜ao que foi achada em Constantinopla, de uma c´opia feita no s´eculo IX,
de acordo com Eves (2004).
Estas descobertas deram origem ao c´alculo. No entanto, o seu desenvolvimento prosseguiu
gra¸cas as contribui¸c˜oes iniciais de personagens como Cavalieri, Barrow, Kepler, Wallis, Newton
e Leibinz. Vejamos um pouco da contribui¸c˜ao de cada um desses personagens.
1.1 Bonavetura Cavallieri
Bonaventura Cavallieri nasceu em Mil˜ao e aos 15 anos de idade foi aluno de Galileu.
Trabalhou como professor de matem´atica na Universidade de Bolonha de 1629 at´e 1647, quando
faleceu.
Suas obras, de acordo com Eves (2004) abrangeram ´optica e astronomia e foi ele o re-spons
´avel pela introdu¸c˜ao dos logaritmos na Europa. A obra de sua autoria que mais o projetou
foi Geometria Indivisibilibus publicada em 1635.
Os princ´ıpios de Cavalieri representaram para a ´epoca e continuam at´e hoje, poderosas
ferramentas para o c´alculo de volumes e ´areas.
11. 8
Figura 2: Cavalieri.
Fonte: Wipik´edia
1.2 Johann Kepler
Segundo Eves (2004), Johnann Kepler desenvolveu ideias baseadas em trˆes leis que de-screvem
o movimento dos planetas em torno do Sol. Kepler intuitivamente descreveu o princ´ıpio
da continuidade, onde os casos-limite eram cobertos por defini¸c˜oes mais gerais. Ele recorreu `a
integra¸c˜ao para calcular ´areas envolvidas com a segunda lei do movimento planet´ario e tamb´em
conseguiu calcular o volume de diversos s´olidos. Um dos seus trabalhos que foi muito discutido
refere-se `a maneira correta de calcular o volume de barris de vinho.
Figura 3: Johann Kepler.
Fonte: Wipik´edia
1.3 Isaac Baron
Como conta Eves (2004), Isaac Barrow nasceu em Londres em 1630. Barrow terminou seus
estudos em Cambridge em 1648. Formaou-se em F´ısica, Matem´atica, Astronomia e Teologia.
12. 9
Foi professor de Geometria por dois anos no Gresham College de Londres. Tornou-se o primeiro
ocupante da c´atedra lucasiana de Cambridge e em 1699 renunciou para se tornar o capel˜ao de
Carlos II.
Figura 4: Isaac Baron
Fonte: Wipik´edia
Seu trabalho mais importante foi Lectiones Opticae et Gemetricae. Este livro aborda
um processo muito parecido com o processo moderno de diferencia¸c˜ao. Acredita-se que Barrow
foi o primeiro a perceber que a integra¸c˜ao e a diferencia¸c˜ao s˜ao opera¸c˜oes inversas. Barrow
faleceu em Cambridge no ano de 1677.
Os primeiros passos de Barrow para a diferencia¸c˜ao partiram de problemas relativos ao
tra¸cado de tangentes curvas e das determina¸c˜oes de m´aximos e m´ınimos. Para tanto, contou
com as id´eias de Fermat, expostas em 1629. Este n˜ao publicou quase nada em vida, sendo que
sua obra mais importante foi publicada ap´os a sua morte. Ele estudou muito sobre a geometria
anal´ıtica e contribuiu para a determina¸c˜ao de pontos de m´aximos e m´ınimos de fun¸c˜oes.
Entre os precursores que contribu´ıram significativamente para o desenvolvimento e para
a sistematiza¸c˜ao do c´alculo podemos ainda destacar John Wallis, Isaac Newton e Gottifried
Wilhelm Leibiniz.
13. 10
1.4 John Wallis
A hist´oria de John Wallis ´e contada por Eves (2004). Wallis nasceu em 1616 e foi con-siderado
em dos matem´aticos mais capazes e originais de seu tempo. Seus trabalhos no campo
da an´alise contribu´ıram muito nos estudos de Newton. Wallis foi um dos primeiros a discutir
as cˆonicas como sendo curvas do segundo grau. O s´ımbolo 1 (infinito), surgiu ap´os os seus
estudos. Ele obteve resultados para o c´alculo e seus m´etodos eram mais aritm´eticos do que
geom´etricos.
Wallis empenhou-se em determinar ¼ buscando uma express˜ao para ¼ buscando
uma express˜ao para a ´area, ¼
4 ,de um quadrante do c´ırculo x2 + y2 = 1. Isso
equivale a calcular o limite
R 1
0 (1 ¡ x2)( 1
2 )dx o que ele n˜ao tinha condi¸c˜oes de
fazer diretamente, uma vez que desconhecia o teorema geral do binˆomio. [...]
o que ele procurava era o valor interpolado dessa lei para n = 1
2 : (EVES, 2004,
p. 432).
As principais contribui¸c˜oes de Wallis para o c´alculo est˜ao relacionadas `a teoria da in-tegra
¸c˜ao. Foi Wallis quem explicou de maneira satisfat´oria o significado dos expoentes zero,
negativos e fracion´arios.
Figura 5: John Wallis.
Fonte: Wipik´edia
At´e aqui, j´a haviam sido descobertos e desenvolvidos muitos dos conceitos do c´alculo como
a existˆencia do limite e conceitos de continuidade. O avan¸co tecnol´ogico estava acentuado e
havia uma necessidade, segundo Eves (2004), da cria¸c˜ao do simbolismo geral como um conjunto
de regras e procedimentos que tornasse o c´alculo manipul´avel e proveitoso. Essa sistematiza¸c˜ao
14. 11
surgiu com os estudos de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibiniz que contribu´ıram de forma
independente com a inven¸c˜ao do c´alculo. O autor afirma que a matem´atica criativa passou para
um plano superior e a hist´oria da matem´atica elementar essencialmente terminou.
Ap´os Arquimedes, s´o no s´eculo XVII, por volta de1670, ´e que surgiu o processo
definitivo, com a inven¸c˜ao do C´alculo Integral, simultaneamente por Newton,
na Inglaterra, e por Leibniz, na Alemanha. (ROCHA, 1986, p. 145).
Muitos livros que tratam do c´alculo aponta que o mesmo passou por toda uma constru¸c˜ao
do conhecimento e que foi ap´os os estudos de Newton e Leibniz que o c´alculo se tornou o que
conhecemos hoje. Neste trabalho j´a falamos do desenvolvimento da matem´atica e de alguns
de seus precursores. Por´em n˜ao falamos dos personagens mais ilustres dentro da evolu¸c˜ao
do c´alculo integral e diferencial. Convido para conhecermos um pouco da vida de Newton e
posteriormente da vida de Leibiniz.
1.5 Isaac Newton
Isaac Newton nasceu na aldeia de Woolsthorpe, em 25 de dezembro de 1642. Permaneceu
na escola at´e os dezoito anos de idade, ingressando, na sequˆencia, no Trinity College em Cam-bridge,
onde come¸cou a ler sobre astrologia, o que despertou seu interesse na matem´atica. Com
isso se interessou em ler as obras de Euclides, Descartes, Wallis e Kepler. Levando-o a escrever
a sua pr´opria matem´atica. Primeiramente ele descobriu o teorema do binˆomio generalizado e
depois o m´etodo dos fluxos, atualmente conhecido como c´alculo diferencial.
Em 1665, devido a uma peste bubˆonica, a universidade de Cambridge precisou fechar
at´e meados de 1667. Newton ent˜ao voltou para a sua cidade natal, onde teria desenvolvido
o c´alculo. Interessou-se tamb´em pela F´ısica, realizando experiˆencias sobre ´optica e realizando
teorias sobre a gravidade.
Com a reabertura da universidade, Newton retorna e em 1669, assume o cargo de c´atedra
lucasiana, no lugar Barrow, que renunciava.
Foi em 1675 que Newton comunicou a Royal Society suas teorias sobre a luz e anos mais
15. 12
Figura 6: Isaac Newton.
Fonte: Wipik´edia
tarde sobre ondulat´oria. Entre os anos de 1673 a 1683, dedicou-se a ´algebra e a teoria das
equa¸c˜oes. J´a em 1679, verificou a teoria da gravita¸c˜ao. Escreveu seu primeiro livro Principia
no ver˜ao de 1685, escrevendo outros dois livros logo na sequˆencia. Em 1692, foi acometido de
uma doen¸ca, que provocava dist´urbios mentais e que durou cerca de dois anos. Depois disso
dedicou boa parte da sua vida em estudando qu´ımica, alquimia e teologia.
Em 1696, foi inspetor da Casa da Moeda e em 1699 passou a ser diretor da institui¸c˜ao.
J´a em 1703 foi eleito presidente da Royal Society, onde permaneceu at´e a sua morte. Newton
faleceu em 1727, tendo 84 anos de idade.
1.6 Gottfried Wilhelm Leibiniz
Leibiniz foi o grande gˆenio universal do s´eculo XVII e ”rival”de Newton quando se trata
da inven¸c˜ao do c´alculo. Nasceu em 1646, em Leipzig. Aprendeu falar latim por conta pr´opria
e aos doze anos dominava conhecimentos matem´aticos, te´ologos e filos´oficos. Foi nesta ´epoca
que ele desenvolveu as primeiras ideias de sua obra Characterstica Generalis. Devido a sua
pouca idade foi negado a ele o t´ıtulo de doutor em leis na Universidade de Leipzig.
Em 1672, quando cumpria uma miss˜ao diplom´atica em Paris, Leibiniz exibiu uma m´aquina
de calcular para a Royal Society.
O s´ımbolo de um S alongado
R
(s´ımbolo atual) para a Integral ´e resultado de seus estudos.
16. 13
Figura 7: Gottfried Wilhelm Leibiniz.
Fonte: Wipik´edia
Ele usou a primeira letra latina summa (soma), para indicar uma soma de indivis´ıveis. As
nota¸c˜oes que usamos ainda hoje para representar derivadas como dx/dy, sendo y = y(x) e
integrais
R
f(x)dx surgiram atrav´es dos escritos de Leibiniz. Dedicou-se pelo resto da vida no
servi¸co diplom´atico, falecendo em 1676, a servi¸co da corte de Hanover.
At´e aqui falamos da parte hist´orica, dos fatores que contribu´ıram para o desenvolvimento
do c´alculo.
Mas afinal, o que ´e c´alculo? Thomas (2003, p. XV) define c´alculo como a ”matem´atica
dos movimentos e das varia¸c˜oes”. Para ele, onde h´a movimento e for¸ca sendo empregadas,
tamb´em existe o c´alculo. Thomas, afirma ainda que o c´alculo foi inventado inicialmente para
atender `as necessidades matem´aticas - basicamente mecˆanicas - dos cientistas dos s´eculos XVI
e XVII.
O autor ainda explica que o c´alculo diferencial busca calcular as taxas de varia¸c˜ao, per-mitindo
que as pessoas definissem os coeficientes angulares, calculassem a velocidade e a acel-era
¸c˜ao de corpos em movimento e determinassem os ˆangulos. Tamb´em, aproveita para ar-gumentar
que o C´alculo Integral lidou com problemas de determinar as fun¸c˜oes a partir de
informa¸c˜oes a respeito de sua taxa de varia¸c˜ao, possibilitando assim:
17. 14
[...] que as pessoas calculassem a posi¸c˜ao futura de um corpo a partir de sua
posi¸c˜ao atual e do conhecimento das for¸cas que atuam sobre ele determinassem
as ´areas de regi˜oes irregulares no plano, medissem o comprimento de curvas e
determinassem o volume e a massa de s´olidos arbitr´arios. (THOMAS, 2003, p.
XV).
Boyer (1974) afirma que o pioneiro no desenvolvimento do C´alculo Diferencial e Integral
foi Newton (1665-66) e que independentemente a isso, em (1673-76) Leibiniz, chega `as mesmas
conclus˜oes. Os dois viam o c´alculo separadamente: Newton o via de forma mais geom´etrica,
enquanto Leibniz o via de forma mais anal´ıtica. Os trabalhos de Leibniz sobre C´alculo Integral
foram publicados em 1684.
O nome C´alculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira
vez por seu irm˜ao mais velho Jacques Bernoulli em 1690. O C´alculo de Newton foi sim-plesmente
visto como derivadas ”reversas”, hoje conhecidas como Integrais. Na mesma ´epoca
da publica¸c˜ao das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu o chamado
m´etodo das fra¸c˜oes parciais.
Sabe-se que primeiramente surgiu o C´alculo Integral e que depois surgiu o C´alculo Difer-encial.
Por´em hoje eles s˜ao vistos como um sendo a opera¸c˜ao inversa.
O s´eculo XVII foi um dos s´eculos mais produtivos na amplia¸c˜ao dos conceitos
matem´aticos, gra¸cas, em grande parte, `as novas e vastas ´areas de pesquisa que
nela se abriram. [...] ´E
curioso que o desenvolvimento hist´orico do c´alculo
seguiu a ordem contr´aria `a daquela dos textos e cursos b´asico sobre o assunto:
ou seja, primeiro surgiu o c´alculo integral e s´o muito depois o c´alculo diferencial.
(EVES, 2004, p. 417).
Para o autor, a diferencia¸c˜ao originou-se de problemas relativos `as tangentes de curvas
e a determina¸c˜ao de m´aximos m´ınimos. O c´alculo surgiu para atender uma necessidade de
resolu¸c˜ao de problemas insol´uveis na ´epoca.
Atualmente diversas ´areas do conhecimento utilizam dos conceitos do c´alculo integral e
diferencial para provar ou explicar suas teorias.
18. 2. C´alculo Integral
2.1 O Ensino do C´alculo Integral
Da parte hist´orica do C´alculo Integral explorada no cap´ıtulo anterior, percebe-se que ele
se desenvolveu ao longo do tempo e n˜ao foi simplesmente uma descoberta momentˆanea. Muitos
foram os seus precursores e muitas contribui¸c˜oes foram dadas `a sociedade.
Assim, o desenvolvimento do C´alculo Integral est´a diretamente ligado ao contexto social,
e apresenta uma importante rela¸c˜ao com a evolu¸c˜ao cient´ıfica e tecnol´ogica da sociedade.
De acordo com Frescki e Pigatto (2009), nos s´eculos XVI e XVII, o c´alculo integral teve
seu foco direcionado principalmente ao estudo do c´alculo da posi¸c˜ao futura de um corpo em
rela¸c˜ao a sua posi¸c˜ao atual, conhecendo-se as for¸cas atuantes sobre ele; `a determina¸c˜ao de
´areas de figuras planas n˜ao-regulares, de seu volume e da massa de corpos s´olidos; assim como
quest˜oes relativas ao comprimento de curvas. Estes estudos se voltavam `as tecnologias daquela
´epoca.
No s´eculo atual, o estudo do C´alculo Integral continua relacionado, e porque n˜ao dizer
fortemente relacionado, aos avan¸cos cient´ıficos e tecnol´ogicos. Neste contexto, Whipkey e Whip-key
(apud SCHLICKMANN, CUSTODIO e SILVA, 2008, p. 32) afirmam que:
a aplica¸c˜ao atual do C´alculo est´a presente nos problemas que afetam a hu-manidade,
entre os quais podemos citar a constru¸c˜ao de modelos abstratos
para o estudo de Ecologia de popula¸c˜oes, da Cibern´etica e seu impacto social
sobre o homem, al´em das pr´aticas no campo da administra¸c˜ao, da economia e
medicina.
19. 16
Tamb´em Schlickman, Custodio e Silva (2008) enfatizam outros fatos, que relacionados ao
C´alculo, o torna, junto com as tecnologias, um ferramenta essencial para o mundo moderno, a
saber:
[...] a previs˜ao de tempo, fluxo de ar passando por um autom´ovel, representa¸c˜ao
de imagem da medicina e estrutura do DNA, pois com os avan¸cos na ressonˆancia
magn´etica ´e poss´ıvel verificar a estrutura de mol´eculas relacionadas com a du-plica
¸c˜ao do DNA, al´em do controle do comportamento ca´otico do cora¸c˜ao hu-mano,
explora¸c˜ao do espa¸co profundo e alguns ainda arriscando modelar o
futuro do mundo. (SCHLICKMAN, CUSTODIO E SIVA, 2008, p. 32-33).
Esta rela¸c˜ao de car´ater cient´ıfico e tecnol´ogico, talvez seja um dos fatores res-pons
´aveis por introduzir e manter o C´alculo Integral no curr´ıculo de muitos cursos superiores.
Assim, o C´alculo Integral tem por finalidade, em conjunto com as demais disciplinas, servir
de base para que muitos conceitos espec´ıficos de cada curso de gradua¸c˜ao sejam desenvolvidos.
No entanto, uma das exigˆencias do C´alculo ´e a necessidade de conhecimentos matem´aticos
gerais. Neste sentido Stewart (2009, p. XVII) afirma que ”o sucesso no c´alculo depende
em grande parte do conhecimento da matem´atica que precede o c´alculo: ´algebra, geometria
anal´ıtica, fun¸c˜oes e trigonometria”.
J´a Leithold (1994, p. 01) se direciona aos acadˆemicos que cursam C´alculo atestando que
“”aprender C´alculo pode ser sua experiˆencia educacional mais empolgante e estimulante pois ´e
a base para quase toda a Matem´atica e para muitas grandes realiza¸c˜oes no mundo moderno”.
Entretanto, o ensino de C´alculo Integral baseado em m´etodos tradicionais pode se tornar
um tema de m´edio ou dif´ıcil entendimento. Aqui, entende-se por forma tradicional aquela que
utiliza o modelo cartesiano de curr´ıculo, centrado na exposi¸c˜ao te´orica e formal que enfatiza a
memoriza¸c˜ao e a transmiss˜ao de conhecimento.
Um modelo pedag´ogico bastante comum no ensino superior de matem´atica ´e
aquele em que a apresenta¸c˜ao dos conte´udos ´e organizada nos moldes de sua
estrura formal. Em particular, os conceitos s˜ao introduzidos a partir de sua
defini¸c˜ao formal. [...] O comportamento esperado pelos professores ´e que os
alunos sempre recorram `a defini¸c˜ao de conceito antes de dar a resposta, mas
n˜ao ´e isso que se observa em geral. (ESCARLATE, p. 02).
Quanto a este aspecto, Moraes e Mendon¸ca (2003, p. 02) destacam que em geral,
”um livro texto ´e normalmente adotado, aulas expositivas introduzem a teoria ao aluno, exe-
20. 17
mplos s˜ao resolvidos em sala de aula a fim aplicar a teoria apresentada e exerc´ıcios e/ou prob-lemas
s˜ao propostos com o intuito de solidificar o conhecimento”.
Skovsmose (2000), faz men¸c˜ao de que em algumas de suas observa¸c˜oes sobre o ensino
da Matem´atica pode evidenciar que o ensino enquadra-se no “”paradigma do exerc´ıcio”, onde
o professor apresenta id´eias e t´ecnicas matem´aticas e em seguida os alunos trabalham com
exerc´ıcios selecionados. Geralmente estes exerc´ıcios, constantes nos livros did´aticos, tiveram
sua formula¸c˜ao realizada por “”uma autoridade externa `a sala de aula”o que denota que a
importˆancia ou relevˆancia dos exerc´ıcios n˜ao faz parte da aula. Para ele, desafiar o paradigma
do exerc´ıcio, pode significar para alguns professores sair da “”zona de conforto”para a “”zona
de risco”. Isso tudo porque historicamente o professor ´e visto como detentor de todo o saber e
n˜ao como uma facilitador ou ainda como uma ”ponte”que permite a liga¸c˜ao entre o conte´udo
cient´ıfico e o estudante.
Na vis˜ao de D’Ambr´osio (1998, p. 69), o ponto central do ensino ´e a “”passagem do
curr´ıculo cartesiano, estruturado previamente `a pr´atica educativa, a um curr´ıculo dinˆamico,
que reflete o momento sociocultural e a pr´atica educativa inserida”.
O curr´ıculo dinˆamico defendido por D’Ambr´osio pode ser alcan¸cado ao se reestruturar
os m´etodos pedag´ogicos de ensino de C´alculo Integral, ou seja, pensar em novas alternativas
metodol´ogicas, que contemplem os aspectos te´oricos e formais, mas que tamb´em tratem dos
aspectos hist´oricos e evidenciem suas aplica¸c˜oes nas diferentes ´areas do conhecimento.
Para Junior (2006) a abordagem de conceitos matem´aticos por meio de situa¸c˜oes-problema
pode justificar o ensino, servir de motiva¸c˜ao, ou contribuir para o fortalecimento de conceitos
ensinados.
[...] a maioria das pessoas sente-se mais motivada ao estudo quando ´e capaz
de perceber que o conhecimento adquirido ser´a ´util para sua vida. Portanto,
acreditamos que partir de um problema para chegar a um conceito matem´atico
´e muito mais significativo para o aluno. (JUNIOR, 2006, p. 84).
Ferruzzi (2003, p. 38) destaca a importˆancia de aplicar os conhecimentos matem´aticos e
a necessidade de avaliar os resultados obtidos:
21. 18
A simples memoriza¸c˜ao de conceitos matem´aticos n˜ao garante o reconheci-mento
de uma situa¸c˜ao problema e da aplica¸c˜ao dos conceitos necess´arios para
solucion´a-la. ´E
importante desenvolver nos alunos a capacidade de aplica¸c˜ao
dos conhecimentos matem´aticos em situa¸c˜oes do dia-a-dia, e mais do que isso,
´e preciso que os estudantes desenvolvam a capacidade de refletir acerca dos
resultados destas aplica¸c˜oes.
De acordo com Frescki e Pigatto (2009, p. 05), “”´e de extrema importˆancia que os alunos,
ao cursarem a disciplina de C´alculo, aprendam n˜ao s´o a resolver express˜oes ou equa¸c˜oes, mas que
compreendam a sua finalidade aplicada `a realidade, resolvendo problemas que s˜ao de interesse
social”.
Para salientar a importˆancia de apresentar aplica¸c˜oes dos conte´udos do C´alculo, e, por-tanto,
do C´alculo Integral, Ferruzzi (2003, p. 37) elenca:
Uma das indaga¸c˜oes feitas pelos alunos, geralmente ´e sobre a falta de vis˜ao da
aplicabilidade dos conte´udos matem´aticos estudados, em sua vida acadˆemica e
futuramente em sua vida profissional. Geralmente as disciplinas com conte´udo
matem´atico, entre elas o C´alculo, s˜ao tratadas de forma independente das dis-ciplinas
espec´ıficas da ´area, provocando assim, a falta de vis˜ao de aplica¸c˜ao
da Matem´atica em seu curso e possuem a caracter´ıstica da ˆenfase ser dada
`as t´ecnicas de resolu¸c˜ao, n˜ao levando em conta a elabora¸c˜ao dos conceitos e
ignorando as aplica¸c˜ao em cada ´area.
De modo geral, o C´alculo Integral ´e uma ferramenta que proporciona a resolu¸c˜ao de
in´umeros problemas do mundo moderno e possui aplica¸c˜oes em muitas ´areas do conhecimento,
como na Matem´atica, na F´ısica, na Qu´ımica, na Psicologia, nas Engenharias, nas Ciˆencias
Sociais, entre outras.
Ent˜ao, mostrar a aplicabilidade do C´alculo Integral nos cursos superiores talvez seja um
diferencial que contribua para minimizar as dificuldades no processo de aprendizagem e resgatar
a motiva¸c˜ao em aprender conceitos relativos a este tema.
Com este prop´osito, no cap´ıtulo seguinte ser˜ao exploradas aplica¸c˜oes do C´alculo Integral
em diversas ´areas do conhecimento.
22. 3. Aplica¸c˜oes de Integral nas Diversas
´ Areas
Este cap´ıtulo est´a voltado `as aplica¸c˜oes do C´alculo Integral em algumas ´areas do co-nhecimento.
Para tanto, vamos primeiramente apresentar alguns conceitos relativos a integrais
e em sequˆencia resolver algumas aplica¸c˜oes.
3.1 A Integral Indefinida
Segundo afirma Stewart (2009), em virtude da rela¸c˜ao dada pelo Teorema Fundamental
do C´alculo entre as fun¸c˜oes primitivas e integrais a nota¸c˜ao
R
f(x)dx ´e tradicionalmente usada
para a primitiva de f e ´e chamada de integral indefinida. Portanto temos que:
Z
f(x)dx = F(x)
significa que F0(x) = f(x).
Segundo Flemming (1992, p. 329) podemos definir a Integral Indefida como: ”uma
fun¸c˜ao F(x) ´e chamada uma primitiva da fun¸c˜ao f(x) em um intervalo I (ou simplesmente
uma primitiva de f(x), se para todo x 2 I, temos F0(x) = f(x)”.
Vejamos algunas aplica¸c˜oes de Integral Indefinida:
23. 20
Economia
Ex 3.1.1 Um produtor descobre que o custo marginal ´e de 3q2 ¡ 60q + 400 u.m. por
unidade, quando q unidades do produto s˜ao produzidas. O custo total de produzir as primeiras
2 unidades ´e de R$ 900,00. Qual ´e o custo total de produzir as primeiras 5 unidades?
Resolu¸c˜ao: O custo marginal ´e a derivada da fun¸c˜ao custo total C(q). Assim temos
C0(q) = 3q2 ¡ 60q + 400 e portanto C(q) deve ser a antiderivada (integral)dada por:
C(q) =
Z
C0(q)dq =
Z
(3q2 ¡ 60q + 400)dq = q3 ¡ 30q2 + 400q + C, onde C ´e uma
constante que precisamos encontrar.
Sabendo que para 2 unidades o custo ´e R$ 900,00 ou seja, C(2) = 900, podemos encontrar
o valor de C, fazendo
900 = (2)3 ¡ 30(2)2 + 400(2) + C, o que implica C = 212.
Assim, C(q) = q3 ¡ 30q2 + 400q + 212.
Agora podemos descobrir o custo de produ¸c˜ao para as primeiras 5 unidades:
C(5) = (5)3 ¡ 30(5)2 + 400(5) + 212 C(5) = 1587; 00
Referˆencia:
HOFFMANN e BRANDLEY (1999) p. 254.
Crescimento Populacional
Ex 3.1.2 Estima-se que daqui a x meses a popula¸c˜ao de uma certa cidade estar´a variando
a uma taxa de 2 + 6
p
x pessoas por mˆes. A popula¸c˜ao atual ´e de 5 000. Qual ser´a a popul¸c˜ao
daqui a 9 meses?
24. 21
Resolu¸c˜ao: Fa¸ca P(x) denotar a popula¸c˜ao da cidade daqui a x meses. Ent˜ao a taxa de
varia¸c˜ao da popula¸c˜ao em rela¸c˜ao ao tempo ´e a derivada
dP
dx
= 2 + 6
p
x.
Logo, a fun¸c˜ao popula¸c˜ao P(x), ´e uma antiderivada de 2 + 6
p
x, isto ´e,
P(x) =
Z
dP
dx
dx =
Z
(2 + 6
p
x)dx = 2x + 4x
3
2 + C, com C 2 R.
Como precisamos determinar C, vamos considerar o fato de que em x = 0 a popu-la
¸c˜ao ´e 5000.
Logo, 5000 = 2(0) + 4(0)
3
2 + C, o que resulta em C = 5000. Sendo assim, em 9 meses
teremos uma popula¸c˜ao de P(9) = 2(9) + 4(27) + 5000 = 5126 pessoas.
Referˆencia:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 254.
Administra¸c˜ao
Ex 3.1.3 Um varejista recebe uma encomenda de 10000 kg de arroz, que ser˜ao consumidos
em um per´ıodo de 5 meses a uma taxa constante de 2000 kg por mˆes. Se os custos de ar-mazenamento
s˜ao de 1 centavo por quilograma por mˆes, quanto o varejista pagar´a pelos custos
de armazenamento nos pr´oximos 5 meses?
Resolu¸c˜ao: Seja S(t) o custo de armazenamento total (em unidades monet´arias (u.m))
durante t meses. Como o arroz ´e consumido a uma taxa constante de 2000 quilogramas por
mˆes, a quantidade de arroz no estoque ap´os t meses ´e de 10000 ¡ 2000t. Considerando os
custos de armazenamento de 1 centavo por quilograma por mˆes, a taxa de varia¸c˜ao do custo de
armazenamento em rela¸c˜ao ao tempo ´e:
dS
dt
=( custo por kg)(n´umero de kg) = 0; 01(10000 ¡ 2000t)
Segue-se que S(t) ´e a antiderivada de 0; 01(10000 ¡ 2000t) = 100 ¡ 20t, isto ´e,
25. 22
S(t) =
Z
dS
dt
dt =
Z
(100 ¡ 20t)dt = 100t ¡ 10t2 + C, para alguma constante C.
Precisamos descobrir a vari´avel C. Como no instante em que o embarque chega (t = 0) o
custo n˜ao existe, ent˜ao
0 = 100(0)¡10(0)2 +C, o que implica em C = 0 e a fun¸c˜ao dada por S(t) = 100t¡10t2.
Ap´os 5 meses de armazenamento o custo ser´a
S(5) = 100(5) ¡ 10(5)2 = 250; 00:
Referˆencia:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 254.
F´ısica
Ex 3.1.4 Ap´os a aplica¸c˜ao dos freios, um carro desacelera a uma taxa constante de 22 p´es
por segundo. Se o carro est´a viajando a 45 milhas por hora (66 p´es por segundo) no momento
em que os freios s˜ao aplicados, que distˆancia ele percorre antes de parar por completo?
Resolu¸c˜ao: Seja s(t) o deslocamento (distˆancia) do carro t segundos ap´os os freios serem
aplicados. Porquanto o carro desacelera a 22 p´es por segundo, segue-se que a(t) = ¡22. Como
a(t) =
dv
dt
, ent˜ao integrando esta equa¸c˜ao encontramos:
v(t) =
Z
¡22dt = ¡22t + C1
Para calcular C1 note que v = 66 quando t = 0, de modo que 66 = v(0) = ¡22(0) + C1 e
portanto, C1 = 66. Assim a velocidade no instante t ´e v(t) = ¡22t + 66.
Em seguida, para encontrar o deslocamento s(t), vamos usar o fato de que
ds
dt
= v(t) = ¡22t + 66.
26. 23
Usando integra¸c˜ao chegamos a s(t) =
Z
(¡22t + 66)dt = ¡11t2 + 66t + C2.
Como s(0) = 0 seque que C2 = 0 e s(t) = ¡11t2 + 66t.
Finalmente para encontrar a frenagem, note que o carro para quando v(t) = 0 e isto
ocorre em t = 3, pois 0 = ¡22t + 66.
Resolvendo esta equa¸c˜ao encontramos que o carro para ap´os 3 segundos de desa-celera
¸c˜ao e que nesse tempo ele percorreu
s(3) = ¡11(3)2 + 66(3) = 99 p´es.
Referˆencia:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999). p. 254.
3.2 A Integral Definida
Anton (2007) coloca que a integral definida relaciona o conceito de ´area a ou-tros
conceitos importantes, tais como comprimento, volume, densidade, probabilidade e tra-balho.
J´a para Stewart (2009), problemas de ´areas e distˆancias servem para apresentar a integral
definida, introduzindo a nota¸c˜ao sigma (que respresenta a soma de ´areas retangulares) sempre
que necess´ario. Para ele os problemas de ´area e distˆanicas s˜ao utilizados para formar a ideia
de integral definida, que ´e conceito b´asico do c´alculo integral.
Para que possamos entender e utilizar os conceitos de integral definida, aproveitaremos a
defini¸c˜ao de Anton (2007):
Defini¸c˜ao Dizemos que uma fun¸c˜ao f ´e integr´avel em um intervalo fechado finito[a,b] se
o limite
27. 24
limmax4xk!0
Xn
k=1
f(x¤
k)4xk existir
e n˜ao depender da escolha das parti¸c˜oes ou da escolha dos pontos x¤
k nos subintervalos.
Neste caso, denotamos o limite pelo s´ımbolo
Z b
a
f(x)dx = lim
max4xk!0
Xn
k=1
f(x¤
k)4xk
que ´e denominado de integral definida de f de a at´e b. Os n´umeros a e b s˜ao denominados
limite de integra¸c˜ao inferior e limite de integra¸c˜ao superior, respectivamente, e f(x) ´e
denominado integrando.
Para Stewart (2009, p. 345) o significado da defini¸c˜ao de integral ´e:
Para todo n´umero " > 0 existe um inteiro N tal que j
Z b
a
f(x)dx¡
Xn
i=1
f(x¤
i )4x j< " para
todo inteiro n > N e toda escolha de x¤i
em [xi¡1; xi].
Um resultado importante da integral definida ´e o Teorema Fundamental do C´alculo
(TFC).
Flemming (1992, p. 368) lembra que ”o Teorema Fundamental do C´alculo nos permite
relacionar as opera¸coes ˜de deriva¸cao ˜e integra¸cao”. ˜Isso porque conhecendo uma Z primitiva
b
de uma fun¸c˜ao cont´ınua f : [a; b] ! R, podemos calcular a sua integral definida
a
f(t)dt.
Formalmente, o TFC pode ser definido:
Teorema 1 (Teorema Fundamental do C´alculo)
Se f for cont´ınua sobre [a; b] e se F ´e uma primitiva de f neste intervalo, ent˜ao
Z b
a
f(t)dt = F(b) ¡ F(a).
Vamos ver algumas aplica¸c˜oes da integral definida:
28. 25
Economia
Ex 3.2.1 Os economistas usam uma distribui¸c˜ao acumulada chamada curva de Lorenz para
descrever a distribui¸c˜ao de renda entre as fam´ılias em um dado pa´ıs. Tipicamente uma curva
de Lorenz ´e definida no intervalo [0,1], tem extremidades (0,0) e (1,1) e ´e cont´ınua, crescente
e cˆoncava para cima. Os pontos sobre essa curva s˜ao determinados classificando-se todas as
fam´ılias pela renda e ent˜ao calculando a porcentagem de fam´ılias cuja renda ´e menor ou igual
a uma porcentagem dada da renda total do pa´ıs. Por exemplo, o ponto(a=100; b=100) est´a
sobre a curva de Lorenz se a% de fam´ılias recebe menos do que ou igual a b% da renda total.
A igualdade absoluta da distribi¸c˜ao de renda ocorreria se a parte mais baixa a% das fam´ılias
recebesse a% da renda e, nesse caso a curva de Lorenz seria a reta y = x. A ´area entre a curva
de Lorenz e a reta y = x mede quanto a distribui¸c˜ao de renda difere da igualdade absoluta. O
coeficiente de desigualdade ´e a raz˜ao da ´area entre a curva de Lorenz e a reta y = x para a ´area
sob y = x
(a) Mostre que o coeficiente de desigualdade ´e o dobro da ´area entre a curva de Lorenz
e Z a reta y = x, isto ´e, mostre que o coeficiente de desigualdade Cd ´e definido por Cd =
1
2
0
[x ¡ L(x)]dx.
A ´area entre a curva de Lorenz e a reta y = x ´e dada por
Z 1
0
[x ¡ L(x)]dx.
29. 26
A ´area abaixo da curva ´e dada por
Z 1
0
xdx.
Assim, o coeficiente de desigualdade Cd ser´a:
Cd =
Z 1
0
[x ¡ L(x)]dx
Z 1
0
xdx
Cd =
Z 1
0
[x ¡ L(x)]dx
1
2
Cd = 2
Z 1
0
[x ¡ L(x)]dx
(b) A distribui¸c˜ao de renda para um certo pa´ıs est´a representada pela curva de Lorenz
definida pela equa¸c˜ao L(x) =
5
12
x2 +
7
12
x. Qual ´e a porcentagem da renda total recebida pelas
50% das fam´ılias que recebem menos? Encontre o coeficiente de desigualdade.
Usando que L(x) =
5
12
x2 +
7
12
x e que L(50%) = L(1=2), temos
L(1=2) =
5
12
:
1
4
+
7
12
:
1
2
L(1=2) =
19
48
' 0; 396.
Ent˜ao o coeficiente de desigualdade Cd ser´a
Cd = 2
Z 1
0
[x ¡ L(x)]dx = 2
Z 1
0
·
x ¡ (
5
12
x2 +
7
12
¸
dx
x)
Cd = 2
Z 1
0
·
x ¡
5
12
x2 ¡
7
12
x
¸
dx
Cd =
5
36
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 374.
30. 27
Ex. 3.2.2 Suponha que daqui a x anos, um plano de investimentos estar´a gerando lucro a
uma taxa de R1x = 50 + x2 u.m.(unidades monet´arias) por ano, enquando um segundo plano
estar´a gerando lucro a uma taxa de R2x = 200 + 5x u.m. (unidades monet´arias) por ano.
(a) Por quantos anos o segundo plano ser´a mais lucrativo que o primeiro?
(b) Calcule o seu lucro l´ıquido excedente se vocˆe investir no segundo plano em vez de no
primeiro pelo per´ıodo de tempo do item (a).
(c) Interprete o lucro excedente no item (b) como uma ´area entre as curvas.
Resolu¸c˜ao: Para ajudar a visualiza¸c˜ao da situa¸c˜ao, come¸camos esbo¸cando as curvas
y = R1(x) e y = R2(x) como mostra a figura:
(a) Como o gr´afico indica a taxa R2(x) na qual o segundo plano gera lucro ´e ini-cialmente
maior que a taxa R1(x) na qual o primeiro plano gera lucro, o segundo plano ser´a
mais lucrativo at´e que R1(x) = R2(x), isto ´e, at´e que
50 + x2 = 200 + 5x
x2 ¡ 5x ¡ 150 = 0
(x ¡ 15)(x + 10) = 0
x = 15 anos (despreze x = ¡10)
31. 28
(b) Para 0 · x · 15, a taxa na qual o lucro gerado no segundo plano excede o primeiro ´e
de R2(x)¡R1(x) u.m. por ano. Portanto, o lucro l´ıquido gerado durante o per´ıodo de 15 anos
pelo segundo plano ´e dada pela integral definida
Z 15
0
[R2(x) ¡ R1(x)]dx =
Z 15
0
[(200 + 5x) ¡ (50 + x2)]dx
Z 15
0
[R2(x) ¡ R1(x)]dx =
Z 15
0
[150 + 5x ¡ x2]dx = 1678; 50
(c) Em termos geom´etricos, a integral definida que fornece o lucro l´ıquido excedente do
item (b) ´e a ´area da regi˜ao sombreada da figura, entre as curvas y = R2(x) e y = R1(x) de
x = 0 at´e x = 15.
Referˆencia:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 282.
Medicina
Ex. 3.2.3 A respira¸c˜ao ´e c´ıclica ´e um ciclo completo que come¸ca pela inala¸c˜ao e acaba
pela exala¸c˜ao, durante cerca de 5 s. A taxa m´axima do fluxo de ar para dentro dos pulm˜oes
´e e cerca de 0,5 L/s. Isso explica, em parte, por que a fun¸c˜ao f(t) =
1
2
sen(2¼=5) tem sido
frequentemente usada para modelar a taxa de fluxo de ar para dentro dos pulm˜oes. Use esse
modelo para encontrar o volume de ar inalado nos pulm˜oes no instante t.
O volume de ar inalado para dentro dos pulm˜oes num tempo t qualquer ´e:
V (t) =
Z t
0
f(x)dx =
Z t
0
1
2
sen(
2¼x
5
)dx (1)
Chamando u =
2¼x
5
temos du =
2¼
5
dx. Substituindo em (1), temos:
V (t) =
1
2
Z t
0
senu:
5
2¼
du
V (t) =
1
2
:
5
2¼
Z t
0
senudu
32. 29
V (t) =
5
4¼
:(¡cosu)jt
0
V (t) =
¡5
4¼
cos
µ
2¼t
5
¶
+ 1 litros
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 382.
Ex. 3.2.4 O m´etodo da dilui¸c˜ao do contraste ´e usado para medir a capacidade card´ıaca com
6 mg de contraste. As concentra¸c˜oes de contraste, em mg/L, s˜ao modeladas por c(t) = 20te¡0;6t,
0 · t · 10, na qual t ´e medido em segundos. Calcule a capacidade card´ıaca.
A capacidade card´ıaca ´e definida como F =
A
I
, sendo A o contraste e I =
Z t
0
C(t)dt.
Calculando a integral
I =
Z t
0
C(t)dt = 20
Z 10
0
te¡0;6tdt
Chamando u = t, du = dt, dv = e¡0;6t e v =
¡e¡0;6t
0; 6
, temos
I = 20
µ
¡t
0; 6
e¡0;6t +
1
0; 6
Z 1
0
e¡0;6tdt
¶
I = 20
µ
¡t
0; 6
e¡0;6t ¡
1
0; 36
e¡0;6t
¶
j10
0
I ' 20[(¡0; 04 ¡ 6; 88:10¡3) ¡ (0 ¡ 2; 77)] ' 54; 46
Logo, a capacidade card´ıaca ´e F =
A
I
=
6
54; 46
' 0; 11 L/seg ou 6,6 L/min
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 524.
Administra¸c˜ao
33. 30
Ex. 3.2.5 A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para
fabricar uma nova calculadora. A taxa de produ¸c˜ao dessas calculadoras ap´os semanas ´e
dx
dy
=
5000
µ
1 ¡
100
(t + 10)2
¶
calculadoras por semana. (Observe que a produ¸c˜ao tende a 5 000 por
semana `a medida que passa o tempo, mas a produ¸c˜ao inicial ´e baixa, pois os trabalhadores
n˜ao est˜ao familiarizados com as novas t´ecnicas.) Ache o n´umero de calculadoras produzidas do
come¸co da terceira semana at´e o fim da quarta semana.
Resolu¸c˜ao: O n´umero de calculadoras pode ser encotrado resolvendo:
x(4) ¡ x(2) =
Z 4
2
5000
µ
1 ¡
100
(t + 10)2
¶
dt
x(4) ¡ x(2) = 5000
Z 4
2
(1 ¡ 100(t + 10)¡2)dt
x(4) ¡ x(2) = 5000(t + 100(t + 10)¡1)42
x(4) ¡ x(2) = 4048 calculadoras.
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 383.
Ex. 3.2.6 Uma empresa possui uma m´aquina que se deprecia uma taxa cont´ınua f = f(t),
onde t ´e o tempo medido em meses desde seu ´ultimo recodicionamento. Como cada vez em
que a m´aquina ´e recondicionada incorre-se em um custo fixo A, a empresa deseja determinar o
tempo ´otimo T (em meses) entre os recondicionamentos.
(a) Explique porque
Z 1
0
f(s)ds representa a perda do valor da m´aquina sobre o per´ıodo
de tempo T desde o ´ultimo recondicionamento.
Resolu¸c˜ao: Seja F(t) =
Z t
0
f(s)ds. Do TFC temos, F0(t) = f(t) = taxa de deprecia¸c˜ao.
Assim, F(t) representa a perda do valor no intervalo [0, t].
(b) Seja C = C(t) dado por C(t) =
1
t
[A +
Z 1
0
f(s)ds] o que representa C e por que a
empresa que minimizar C?
34. 31
Resolu¸c˜ao: Temos que
C(t) =
1
t
µ
A +
Z t
0
f(s)ds
¶
= A +
F(t)
t
, que representa a m´edia de recondicionamentos
por unidade de tempo durante o intervalo [0, t], assumindo que s´o h´a uma revis˜ao naquele
per´ıodo de tempo. A empresa deseja minimizar a m´edia de recondicionamentos.
(c) Mostre que C em um valor m´ınimo nos n´umeros t=T onde C(T) = f(T).
Resolu¸c˜ao: Usando o Teorema Fundamental do C´alculo e a regra da derivada do produto,
temos:
C0(t) =
1
t2
µ
A +
Z t
0
¶
f(s)ds
=
1
t
f(t)
C0(t) =
1
t
(f(t) ¡ f(0)) =
1
t
f(t)
Vamos encontrar os pontos cr´ıticos, fazendo C0(t) = 0, ou seja
tf (t) = A +
Z t
0
f(s)ds
f(t) =
1
t
µ
A +
Z t
0
f(s)ds
¶
= C(t).
Logo, C tem um valor m´ınimo em t = T, onde C(T) = f(T).
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 366.
F´ısica
Ex. 3.2.7 Uma part´ıcula move-se ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua
velocidade no instante t ´e v(t) = t2 ¡ 2t m/s.
(a) Encontre o deslocamento da part´ıcula no intervalo de tempo 0 · t · 3:
Resolu¸c˜ao: Calculando o deslocamento
35. 32
d =
Z 3
0
v(t)dt
d =
Z 3
0
(t2 ¡ 2t)dt
d =
µ
t3
3
¡ t2
¶3
0
= 0
Assim, em t = 3, a part´ıcula est´a na mesma posi¸c˜ao que em t = 0.
(b) Encontre a distˆancia total percorrida pela part´ıcula no intervalo 0 · t · 3.
Resolu¸c˜ao: A velocidade pode ser escrita como v(t) = t2 ¡ 2t = t(t ¡ 2t), logo v(t) · 0
se 0 · t · 2 se 2 · t · 3. Desse modo, segue que a distˆancia total percorrida ´e
d =
Z 3
0
jv(t)jdt
d =
Z 2
0
¡v(t)dt +
Z 3
2
v(t)dt
d =
Z 2
0
¡(t2 ¡ 2t)dt +
Z 3
2
(t2 ¡ 2t)dt
d = ¡
µ
t3
3
¡ t2
¶2
0
+
µ
t3
3
¡ t2
¶3
2
d =
4
3
+
4
3
=
8
3
m.
Referˆencia:
ANTON (2007) p. 411.
Astronomia
Ex. 3.2.8 O peso de um astronauta (ou, mais precisamente, seu peso terrestre) ´e a for¸ca
exercida sobre ele pela gravidade da Terra. `A
medida que o astronauta se move para cima no
espa¸co, a atra¸c˜ao gravitacional da Terra decresce e, portanto, o mesmo acontece com raio de
4.000 milhas (cerca de 6.400 km), ent˜ao, um astonauta que pesa 150 libras (cerca de 68 kg) na
36. 33
Terra ter´a um peso de
w(x) =
2:4000:000:000
x2 lb; x ¸ 4000.
A uma distˆancia de x milhas do centro da Terra. Use essa f´ormula para determinar o
trabalho em p´es-libras necess´ario para elevar o astronauta a um ponto que est´a a 800 milhas
acima da superf´ıcie da Terra.
Como a Terra tem um raio de 4 000 milhas, o astronauta ser´a elevado para um ponto
a 4 800 milhas do centro da Terra. Como 1 milha = a 5 280 p´es, o trabalho necess´ario para
elev´a-lo ´e:
W =
Z 4800
4000
2400000000
x2 dx
W =
µ
¡2400000000
x
¶4800
4000
W = ¡500000 + 600000
W = 100000 milhas.lb
W = (100000) milhas.lb x 5280 p´es/milhas
W = 5; 28 x 108 p´es.lb
Referˆencia:
ANTON (2007) p. 485.
Engenharia
Ex. 3.2.9 ´Agua est´a sendo bombeada de um tanque a uma taxa de 5¡5e¡0;12t litros/minuto,
onde t est´a em minutos a partir do instante em que a bomba foi ligada. Se o tanque continha
1000 litros de ´agua quando a bomba foi ligada, quanta ´agua resta no tanque uma hora depois?
37. 34
Resolu¸c˜ao: Seja V (t) o volume de ´agua que ´e bombeada para fora do tanque. Seja
V (0) = 1000l o volume inicial, ou seja, o volume total do tanque antes de iniciar o bombeamento.
Vamos calcular o volume de ´agua que saiu do tanque em 1 hora, ou seja, 60 minutos:
V (60) =
Z 60
0
(5 ¡ 5e¡0;12t)dt
V (60) =
µ
5t +
5
0; 12
e¡0;12t
¶60
0
V (60) ' (300 + 0; 031) ¡ (0 + 41; 67)
V (60) ' 258; 36 litros
Assim, restam 741,63 litros de ´agua aproximadamente no tanque, j´a que V (0)¡V (60) =
1000 ¡ 258; 36 = 741; 63
Referˆencia:
HALLET (2004) p. 213.
Economia
Ex.3.2.10 Encontre os valores presente e futuro de um fluxo de renda constante de $
1000,00 durante um per´ıodo de 20 anos, supondo que a taxa de juros de 10% ´e composta
continuamente.
Resolu¸c˜ao: O valor presente P(t) ´e encontrado utilizando a f´ormula P(t) =
Z b
a
A(t)eidt,
onde A(t) ´e o valor inicial e i a taxa de juros.
O valor presente ser´a
P(t) =
Z 20
0
1000e¡0;1tdt
P(t) = 1000
µ
¡e¡0;1t
0; 1
¶20
0
38. 35
P(t) = 1000(1 ¡ e¡2) ¼ 8646; 65 d´olares
Podemos calcular o valor futuro de duas maneiras. Usando o valor presente de $ 8646,65,
segue que
Valor futuro = 8646; 65e0;1(20) = 63890; 58 d´olares.
A outra alternativa consiste em utilizar a f´ormula integral
Valor futuro =
Z 20
0
1000e0;1(20¡t)dt
V (t) =
Z 20
0
1000e2e¡0;1tdt
V (t) = 1000e2
µ
¡e¡0;1t
0; 1
¶20
0
V (t) = 10000e2(1 ¡ e¡2) ¼ 63890; 58 d´olares.
Observe que o total depositado ´e de $ 1000,00 por ano por 20 anos, ou seja $ 20000,00.
Os $ 43 895,58 adicionais do valor futuro prov´em dos juros recebidos.
Referˆencia:
HALLET (2004) p. 312.
Aqui ´e importante destacarmos a teoria do valor presente que consiste em saber que valor
deve ser depositado no banco hoje, por exemplo, para que ele produza um determinado valor
num momento futuro. Por sua vez, o valor futuro de um pagamento ´e o valor desse acr´escimo,
em outras palavras, poder´ıamos dizer que ´e o juro.
39. 36
3.3 A Integral Como Varia¸c˜ao Total
Segundo Stewart (2009), em decorrˆencia do Teorema Fundamental do C´alculo, podemos
ter um teorema que representa a taxa de varia¸c˜ao de y = F(x) em rela¸c˜ao a x e F(b) ¡ F(a)
que ´e a varia¸c˜ao em y quando x varia de a at´e b.
Teorema 2 (Teorema da Varia¸c˜ao Total - TVT)
A integral de uma taxa de varia¸c˜ao ´e a varia¸c˜ao total:
Z b
a
f(x)dx = F(b) ¡ F(a)
Vejamos algumas aplica¸c˜oes:
Biologia
Ex 3.3.1 Uma colmeia com uma popula¸c˜ao inicial de 100 abelhas cresce a uma taxa de
n’(t) abelhas por semana. O que 100 +
Z 15
0
n0(t)dt representa?
Resolu¸c˜ao:
Z 15
0
n0tdt = n(15) ¡ n(0).
Como n(0) ´e a popula¸c˜ao inicial de abelhas, ent˜ao n(0) = 100.
Assim, P(t) =
Z 15
0
n0tdt = n(15) ¡ 100 representa o aumento da popula¸c˜ao de abelhas
nas 15 primeiras semanas. Ent˜ao,
P(t) = 100 +
Z 15
0
n0tdt = n(15) representa a popula¸c˜ao total de abelhas depois de 15
semanas.
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 373.
40. 37
Ex. 3.3.2 Uma popula¸c˜ao de bact´erias tem inicialmente 400 bact´erias e cresce a uma taxa
de r(t) = (450268)e1;1256t bact´erias por hora. Quantas bact´erias existir˜ao ap´os 3 horas?
Resolu¸c˜ao: A f´ormula geral de r(t) ´e r(t) = aebt. Neste caso, a = 450268 e b = 1; 1256
e n(t) representa a popula¸c˜ao de bact´erias ap´os t horas. Como r(t) = n0(t), ent˜ao
n(t) =
Z 3
0
r(t)dt = n(3) ¡ n(0) o que expressa a popula¸c˜ao total ap´os 3 horas.
Sabendo que a popula¸c˜ao inicial ´e de 400, isto ´e, n(0) = 400, temos
n(3) = 400 +
Z 3
0
450268e1;1256tdt
n(3) = 400 +
µ
450268
1; 1256
e1;1256t
¶3
0
n(3) ' 11:311:877 bact´erias.
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 382.
Engenharia
Ex. 3.3.3 A ´agua escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de
r(t) = 200 ¡ 4t litros por minutos, onde 0 · t · 50. Encontre a quantidade de ´agua que escoa
do taque durante os primeiros 10 minutos.
Resolu¸c˜ao: Como r(t) ´e a taxa de escoamento da ´agua, usando o TVT, temos com o
tempo t variando de 0 a 10:
Q(t) =
Z 10
0
r(t)dt
Q(t) =
Z 10
0
(200 ¡ 4t)dt
Q(t) = (200t ¡ 2t2)10
0
41. 38
Q(t) = 1800 litros de ´agua escoados nos primeiros 10 minutos.
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 374.
Economia
Ex. 3.3.4 A fun¸c˜ao custo marginal C0(x) foi definida como a derivada da fun¸c˜ao custo.
Se o custo marginal para produzir x metros de um tecido ´e C0(x) = 5 ¡ 0; 008x + 0; 000009x2
(medido em d´olares por metro) e o custo fixo ´e C(0) = $ 20000; 00, use o Teorema da Varia¸c˜ao
Total para achar o custo de produzir as primeiras 2 mil unidades.
Resolu¸c˜ao: C(2000) ¡ C(0) =
Z 2000
0
C0(x)dx; sendo C(x) a fun¸c˜ao custo.
Sendo o custo fixo C(0) = 20000; 00, ent˜ao
C(2000) = 20000 +
Z 2000
0
(5 ¡ 0; 008x + 0; 000009x2)dx
C(2000) = 20000 + (5x ¡ 0; 004x2 + 0; 000003x3)2000
0
C(2000) = 38000 unidades monet´arias.
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 523.
Ex. 3.3.5 Sendo a fun¸c˜ao marginal R0(x) como a derivada da fun¸c˜ao rendimento R(x),
onde x ´e o n´umero de unidades vendidas. O que
Z 5000
1000
R0(x)dx representa?
Resolu¸c˜ao: Temos que
Z 5000
1000
R0(x)dx = R(5000)¡R(1000), que reprensenta o aumento
no rendimento quando a venda varia de 1000 a 5000 unidades.
42. 39
Referˆencia:
STEWART (2009)p.373
Biologia
Ex 3.3.6 Um ver˜ao ´umido est´a causando uma explos˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos em
uma cidade tur´ıstica. O n´umero de mosquitos aumenta a uma taxa estimada de 2200 + 10e0;8t
por semana (com t medido em semanas). Em quanto aumenta a popula¸c˜ao de mosquitos entre
a quinta e a nona semana do ver˜ao?
Resolu¸c˜ao: n(9) ¡ n(5) =
Z 9
5
¡
2200 + 10e0;8t¢
dt
Seja n(t) o n´umero de mosquitos na semana t. Assim como queremos encontrar o aumento
da popula¸c˜ao entre t = 5 e t = 9, temos:
n(9) ¡ n(5) =
µ
2200t +
10
0; 8
e0;8t
¶9
5
n(9) ¡ n(5) =
µ
2200:9 +
10
0; 8
e0;8:9
¶
¡
µ
2200:5 +
10
0; 8
e0;8:5
¶
n(9) ¡ n(5) ' 24860 mosquitos.
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 524.
3.4 A Integral Via Regra do Ponto M´edio
Sterwart (2009) afirma que frequentemente escolhemos um espa¸co amostral x¤i
, como
extremidade direita do i-´esimo intervalo, porque isso ´e conveniente para o c´alculo do limite.
Mas se o prop´osito for encontrar uma aproxima¸c˜ao para uma integral, se torna conveniente
43. 40
escolher o melhor dos x¤i
, como o ponto m´edio do intervalo. ´E
ent˜ao que surge a Regra do
Ponto M´edio. Vejamos:
Regra do Ponto M´edio
Z b
a
f(x)dx ¼
Xn
i=1
f(xi)4x = 4x[f(x1) + ::: + f(xn)]
onde 4x =
b ¡ a
n
e xi ´e ponto m´edio de [xi¡1; xi].
Vejamos as aplica¸c˜oes:
Geografia
Ex. 3.4.1 Suponha que um vulc˜ao esteja em errup¸c˜ao e que as leituras da taxa r(t) com
que materiais s´olidos s˜ao lan¸cados na atmosfera sejam as dadas na tabela. O tempo t ´e medido
em segundos e a unidade para r(t) ´e toneladas por segundo.
t 0 1 2 3 4 5 6
r(t) 2 10 24 36 46 54 60
(a) Dˆe estimativas superior e inferior para a quatidade Q(6) do material proveniente da
errup¸c˜ao ap´os 6 segundos.
Resolu¸c˜ao: Usando o TVT, temos que a quatidade de materiais s´olidos lan¸cados na
atmosfera ´e dada por:
Q(6) ¡ Q(0) =
Z 6
0
r(t)dt = Q(6), pois Q(0) = 0.
a) A estimativa superior Es para Q(6) ´e dada pelos valores m´aximos em cada subintervalo
n, com n = 2; :::6. Assim temos:
Es = 10 + 24 + 36 + 46 + 54 + 60 = 230 toneladas.
Analogamente, a estimativa inferior Ei, para Q(6) ser´a:
44. 41
Ei = 2 + 10 + 24 + 36 + 46 + 54 = 172 toneladas.
As informa¸c˜oes contidas na tabela podem ser representada graficamente por
Figura 8: Leituras das taxas de erup¸c˜ao.
Fonte: Elaborado pela autora
(b) Use a regra do ponto m´edio para estimar Q(6).
Resolu¸c˜ao: Usando a Regra do Ponto M´edio e n = 3, temos:
4t =
6 ¡ 0
3
= 2
Q(6) =
Z 6
0
r(t)dt
Q(6) ' 2:(r(1) + r(3) + r(5))
Q(6) = 2:(10 + 36 + 54)
Q(6) = 200 toneladas.
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 374.
45. 42
Medicina
Ex. 3.4.2 Uma tomografia computadorizada produz vistas e sec¸c˜oes trasversais igualmente
espa¸cadas de um ´org˜ao humano, as quais fornecem inform¸c˜oes sobre esse ´org˜ao que de outra
maneira s´o seriam obtidas por cirurgia. Suponha que uma tomografia computadorizada de
um f´ıgado humano moste sec¸c˜oes transversais espa¸cadas por 1,5. O f´ıgado tem 15 cm de
comprimento e as ´areas das sec¸c˜oes tansversais, em cent´ımetros quadrados, s˜ao 0, 18, 58, 79,
94, 106, 117, 128, 63, 39 e 0. Use a Regra do Ponto M´edio para estimar o volume do tronco.
Resolu¸c˜ao: Usando a regra do ponto m´edio, sabendo que h´a 10 subintervalos de tamanho
1,5 cm, vamos usar
n
2
=
10
2
= 5 subparti¸c˜oes. Assim, o volume do f´ıgado pode ser aproximado
por
V =
Z 15
0
A(x)dx, onde A(x) ´e a ´area do f´ıgado.
V ' 3(A(1; 5) + A(4; 5) + A(7; 5) + A(10; 5) + A(13; 5))
V = 3(18 + 79 + 106 + 128 + 39)
V = 1110cm3
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 406.
Engenharia
Ex. 3.4.3 ´E
mostrada a se¸c˜ao transversal da asa de uma avi˜ao. As medidas da espessura
da asa a cada 20 cent´ımetros s˜ao 5,8, 20,3, 26,7, 29,0, 27,6, 27,3, 23,8, 20,5, 15,1, 8,7 e 2,8. Use
a Regra do Ponto M´edio para estimar a ´area da se¸c˜ao trasversal da asa.
Resolu¸c˜ao: Temos 10 intervalos de 20 cm cada. Logo, tomando n = 5:
46. 43
4s =
10:20 ¡ 0
5
= 40 cm, com 4s a varia¸c˜ao do espa¸co.
Assim,
Z 200
0
wds ' 40:(5; 8 + 26; 7 + 27; 3 + 20; 5 + 8; 7)
Z 200
0
wds ' 3660 cm2
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 396.
Ex. 3.4.4 H´a um fluxo de ´agua para dentro e para fora de um tanque de armazenamento.
A seguir, temos um gr´afico que mostra a taxa de troca r(t) do volume de ´agua no tanque, em
litros por dia. Se a quantidade de ´agua no tanque no instante de tempo t = 0 ´e 25 000 litros,
use a Regra do Ponto M´edio para estimar a quantidade de ´agua depois de 4 dias.
Resolu¸c˜ao: A quantidade de ´agua ap´os 4 dias ´e:
Q(t) = 25000 +
Z 4
0
r(t)dt
Q(t) ' 25000 +M4, onde M4 = m´edia de ´agua por dia.
Assim, dividindo o intervalo [0, 4] em 4 parti¸c˜oes, temos:
Q(t) = 25000 +
Z 4
0
r(t)dt
47. 44
Q(t) ' 25000 +
4 ¡ 0
4
(r(0; 5) + r(1; 5) + r(2; 5) + r(3; 5))
Q(t) ' 25000 + [1500 + 1700 + 750 ¡ 650]
Q(t) ' 28320 litros
Portanto, a quantidade de ´agua ap´os o quarto dia ser´a de 28 320 litros aproximadamente.
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 374.
Ex. 3.4.5 As larguras (em metros) de uma piscina com o formato de rim foram medidas
a intervalos de 2 metros, como indicado na figura. Use a Regra do Ponto M´edio para estimar
a ´area da piscina.
Vamos usar uma parti¸c˜ao n = 4. Como as medidas s˜ao indicadas de 2 em 2 metros, ent˜ao
a varia¸c˜ao total 4x =
b ¡ a
n
=
8:2 ¡ 0
4
= 4, sendo x a distˆancia.
Assim,
A =
Z 16
0
wd(x)
48. 45
A = 4(6; 2 + 6; 8 + 5; 0 + 4; 8)
A = 4(22; 8)
A = 91; 2m2
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 396.
3.5 A Integral Impr´opria
Hallet et al. (2004, p. 271) apresenta a integral impr´opria da seguinte maneira:
Defini¸c˜ao:
i) Suponha que f(x) ´e positiva para x ¸ a.
Se limb!1
Z b
a
f(x)dx ´e um n´umero finito, dizemos que
Z 1
a
f(x)dx converge e definimos
Z 1
a
f(x)dx = lim
b!1
Z b
a
f(x)dx.
Caso contr´ario, dizemos que
Z 1
a
f(x)dx diverge.
49. 46
Definimos
Z a
¡1
f(x)dx de maneira an´aloga.
Vejamos as aplica¸c˜oes:
Psicologia
Ex. 3.5.1 Em um experimento psicol´ogico, descobre-se que a propor¸c˜ao de participantes
que exigem mais do que t minutos para terminar determinada tarefa ´e dada por
Z 1
t
0; 07e¡0;07udu.
(a) Encontre a propor¸c˜ao de participantes que precisa de mais de 5 minutos para terminar
a tarefa.
Resolu¸c˜ao: vamos considerar P(u) = por¸c˜ao de participantes
P(u) =
Z 1
t
0; 07e¡0;07udu
P(u) = limb!+1
Z b
t
0; 07e¡0;07udu
P(u) = lim
(e¡0;07u)b5
b!+1
P(u) = lim
b!+1
e¡0;07b + e¡0;07:5
P(u) ' 0; 70 ' 70% dos pacientes precisam de mais de 5 minutos para realizar a tarefa.
Referˆencia:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 329.
Qu´ımica
Ex. 3.5.2 Uma substˆancia radioativa decai exponencialmente: a massa no tempo t ´e
50. 47
m(t) = m(0)ekt, onde m(0) ´e a massa inicial e k, uma constante negativa. A vida m´edia M de
um ´atomo na substˆancia ´e
M = k
Z 1
0
tektdt.
Para o is´otopo radiativo de carbono, C14, usado para a data¸c˜ao, o valor de k ´e ¡0; 000121.
Calcule a vida m´edia de um ´atomo de C14.
Resolu¸c˜ao: Vamos calcular a integral I =
Z 1
o
tektdt. Usando o m´etodo de integra¸c˜ao
por partes, chamando u = t e dv = ektdt, temos
I = lim
b!+1
Z b
o
tektdt
I = lim
b!+1
µ
t:ekt
k
¶b
0
¡
1
k
Z b
0
ektdt
I = lim
b!+1
µ
t
k
ekt ¡
1
k2 ekt
¶b
0
I = lim
b!+1
µ
b
k
ekb ¡
1
k2
¶
¡
µ
0 +
1
k2 e0
¶
I = lim
b!+1
b
k
ekb ¡
1
k2 ekb ¡
1
k2+
I =
1
k2 , usando L’Hospital e considerando k < 0.
Voltando a integral M = kI, temos que
M = k:
¡1
k2 =
¡1
k
=
¡1
¡0; 000121
' 8264; 5 anos.
Referˆencia: ´
STEWART (2009) p. 489.
Matem´atica
Ex. 3.5.3 Deduza a f´ormula para a circunferˆencia de um c´ırculo de raio r.
51. 48
Resolu¸c˜ao: Por conveniˆencia, vamos supor que o c´ırculo esteja centado na origem; nesse
caso, sua equa¸c˜ao ser´a x2 +y2 = r2. Encontraremos o comprimento de arco da parte do c´ırculo
que est´a no primeiro quadrante e, entao, ˜vamos multiplica-´lo por 4 para obter a circunferˆencia
p
total. Como a equa¸c˜ao do semic´ırculo superior ´e y =
r2 ¡ x2, temos, a patir da f´ormula, que
a circunferˆencia C ´e
C = 4
Z r
0
p
1 + (dy=dx)2dx
C = 4
Z r
0
s
1 +
µ
x
p
r2 ¡ x2
¶2
dx
C = 4r
Z r
0
dx
p
r2 ¡ x2
Essa integral ´e impr´opria por causa da descontinuidade infinita em x = r, de modo que
para calcularmos escrevemos:
C = lim
k!r¡
Z k
0
p
r2 ¡ x2dx
C = 4r lim
k!r¡
h
arcsen
³x
r
´ik
0
C = 4r lim
k!r¡
·
arcsen
µ
k
r
¶
¡ arcsen0
¸
C = 4r[arcsen1 ¡ arcsen0]
C = 4r
³¼
2
´
= 2¼r.
¡ 0
Referˆencia:
ANTON (2007) p. 575.
Medicina
Ex. 3.5.4 Um paciente de um hospital recebe 5 unidades intravenosas de uma certa droga
por hora. A droga ´e eliminada exponencialmente, de modo que que a fra¸c˜ao que permanece
52. 49
no corpo do paciente por t horas ´e f(t) = e
¡t
10 . Se o tratamento continua indefinidamente,
aproximandamente quantas unidades da droga estar˜ao no corpo do paciente a longo prazo?
Resolu¸c˜ao: N(t) ´e o n´umero de unidades da droga que permanece no corpo do paciente
e r(t) = 5 ´e a taxa da droga injetada no paciente por hora. Temos ent˜ao
N(t) =
Z +1
0
5e
¡t
10 dt
N(t) = lim
b!+1
5
Z b
0
e
¡t
10 dt
N(t) = lim
b!+1
³
¡5:10e
¡t
10
´b
0
N(t) = lim
b!+1
¡50(e
¡b
10 ¡ 1)
N(t) = 50 unidades da droga.
Referˆencia:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 29.
Economia
Ex. 3.5.5 Estima-se que, daqui a t anos, uma determinada usina nuclear estar´a produzindo
rejeito radioativo a uma taxa de f(t) = 400t libras por ano. O rejeito decai exponencialmente
a uma taxa de 2% ao ano. O que acontecer´a com o estoque radioativo da usina a longo prazo?
Resolu¸c˜ao: Para encontrar a quantidade de rejeito radioatvo presente ap´os N anos,
divida o intervalo de N anos em n subintervalos iguais de comprimento 4t e fa¸ca tj denotar
o in´ıcio do j-´esimo subintervalo. Ent˜ao, o montante de res´ıduo produzido durante o j-´esimo
subintervalo ' 400tj4t.
Como o rejeito decai exponencialmente a uma taxa de 2% ao ano, e como h´a (N ¡ tj)
anos entre os instantes t = tj e t = N, seque-se que o montante de res´ıduos produzidos durante
53. 50
o j-´esimo subintervalo ainda presente em t = N ´e ' 400tje¡0;02(N¡t)4t.
Assim, o montante de res´ıduos presente em N anos ser´a
limn!1
Xn
j=1
400tje¡0;02(N¡tj )4t =
Z N
0
400te¡0;02(N¡t)dt
limn!1
Xn
j=1
400tje¡0;02(N¡tj )4t = 400e¡0;02N
Z N
0
te0;02tdt
O montante de rejeito radioativo presente a longo prazo ´e o limite desta express˜ao quando
N tende ao infinito. Isto ´e:
limn!1
Xn
j=1
400tje¡0;02(N¡tj )4t = lim
N!1
400e¡0;02N
Z N
0
te0;02tdt
limn!1
Xn
j=1
400tje¡0;02(N¡tj )4t = lim
N!1
400e¡0;02N(50te0;02t ¡ 2500e0;02t)jN0
limn!1
Xn
j=1
400tje¡0;02(N¡tj )4t = lim
N!1
400e¡0;02N(50Ne0;02N ¡ 2500e0;02N + 2500)
limn!1
Xn
j=1
400tje¡0;02(N¡tj )4t = lim
N!1
400e¡0;02N(50N ¡ 2500 + 2500e¡0;02N) = 1
Isto ´e, a longo prazo a acumula¸c˜ao de rejeito radioativo da usina crescer´a indefinidamente.
Referˆencia:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 327.
Economia
Ex. 3.5.6 Uma pessoa deseja fazer uma doa¸c˜ao para uma faculdade partiular e far´a uma
retirada de $ 7 000 por ano, perpetuamente, de forma a sustentar a opera¸c˜ao do seu centro
de computa¸c˜ao. Supondo que a taxa de juros anual permanecer´a fixa em 10% caitalizados
continuamente, quanto deve a pessoa doar a faculdade? Isto ´e valor presente da doa¸c˜ao?
54. 51
Resolu¸c˜ao: Para encontrar o valor presente de uma doa¸c˜ao que gera $ 7 000 por ano
durante N anos, divida o intervalo de N anos em n subintervalos iguais de comprimento 4t e
denote por tj o in´ıcio do j-´esimo subintervalo. Ent˜ao
Montante gerado durante o j-´esimo subinervalo ' 70004t. Valor presente do motante
gerado durante j-´esimo subintervalo ' 7000e¡0;1tj4t.
Assim, o valor presente da doa¸c˜ao no n-´esimo ano ser´a dado por
limn!1
Xn
j=1
7000e¡0;1tj4t =
Z N
0
7000e¡0;1tj dt.
Para encontrar o valor presente da doa¸c˜ao total, tome o limite desta integral quando N
tende ao infinito. Isto ´e,
V (t) = lim
N!1
Z N
0
7000e¡0;1tdt
V (t) = lim
N!1
(¡70000e¡0;1t)N0
V (t) = lim
N!1
(¡70000e¡0;1N ¡ 1)
V (t) = 70000 d´olares.
Referˆencia:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 326.
F´ısica
Ex. 3.5.7 Calcular o trabalho necess´ario para lan¸car um sat´elite de 1000 kg para fora do
campo gravitacional. Sabendo que a Lei de Newton da Gravita¸c˜ao Universal afirma que dois
corpos com massas m1 e m2 atraem um ao outro com uma for¸ca de F = Gm1:m2
r2 m1 ´e a massa
da Terra (m1 = 5; 98x1024kg), m2 ´e a massa do sat´elite (m2 = 1000kg), R ´e o raio da Terra
(R = 6; 37:106m) e G a constante gravitacional (G = 6; 67:10¡11N:m2=kg).
55. 52
Resolu¸c˜ao: O trabalho ´e dado por W =
Z b
a
F(t)dt.
Neste caso, podemos definir o trabalho W por:
W =
Z 1
R
Gm1m2
r2 dr
W = lim
t!1
Z 1
R
Gm1m2
r2 dr
W = lim
t!1
Gm1m2v
µ
¡1
r
¶t
R
=
W = lim
t!1
Gm1m2
µ
¡1
t
+
1
R
¶
W =
Gm1m2
R
.
Substituindo os dados do problema temos
W =
6; 67:10¡11:5; 98:1024:1000
6; 37:106
W ' 6; 26:1010J.
Referˆencia:
Stewart (2009) p.488, ex 64
3.6 A Integral Como Fun¸c˜ao Densidade da Probabilidade
Supondo que desejamos saber como uma certa caracter´ıstica x, que pode ser altura, peso
ou idade, est´a distribuida pela popula¸c˜ao. Para analisar a caracter´ıstica x, Hallet(2004) afirma
que podemos utizar a fun¸c˜ao densidade, a qual pode ser definida da seguinte forma:
Defini¸c˜ao A fun¸c˜ao p(x) ´e uma fun¸c˜ao densidade se a fra¸c˜ao da popula¸c˜ao para a qual x
est´a entre a e b ´e igual a ´area sob o gr´afico de p entre a e b, ou seja,
Z b
a
p(x)dx.
A fun¸c˜ao densidade possui ´area m´axima quando atinge o valor unit´ario, isto ´e,
56. 53
Z +1
¡1
p(x)dx = 1 e p(x) ¸ 0 para todo x.
Essa fun¸c˜ao deve ser n˜ao-segativa, pois sua integral sempre resulta em uma fra¸c˜ao da
popula¸c˜ao. Ela tamb´em ´e frequentemente usada para a aproxima¸c˜ao de f´ormulas.
J´a a fun¸c˜ao densidade da probabilidade, como encontramos em Stewart(2009), surge com
a an´alise de comportamento aleat´orio. Afinal podemos escolher aleatoriamente uma pessoa
entre um grupo de pessoas, para um exame, por exemplo. Essa pessoa seria o que vamos
chamar de vari´avel aleat´oria cont´ınua, uma vez que os valores que estar˜ao representados por
essa pessoa fazem parte de um conjunto de n´umeros reais, embora possam ser medidos ou
registrados apenas como um inteiro. Neste caso, podemos considerar que x ´e o n´umero que
pegamos dentre um intervalo [a, b], ent˜ao:
P(a · X · b)
Cada vari´avel x aleat´oria cont´ınua x, tem uma fun¸c˜ao densidade de probabilidade
f. Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de x estar entre a e b ´e encontrada pela
integra¸c˜ao de f de a at´e b:
P(a · x · b) =
Z b
a
f(x)dx.
Vejamos algumas aplica¸c˜oes:
Economia
Ex. 3.6.1 Suponha que o tempo m´edio de espera para um cliente ser atendido pelo
funcion´ario da firma para a qual ele est´a ligando seja 5 minutos.
(a) Calcule a probabilidadae de a liga¸c˜ao ser atendida no primeiro minuto.
Resolu¸c˜ao: Temos que a m´edia da distribui¸c˜ao exponencial ´e ¹ = 5 min, e assim,
sabemos que a fun¸c˜ao densidade de probabilidade ´e:
57. 54
f(x) =
8><
>:
0; se t · 0
0; 2e¡t=5; se t · 0
Ent˜ao a probabilidadae de a liga¸c˜ao ser atendida no primeiro minuto ´e
P(0 · T · 1) =
Z 1
0
f(t)dt
P(0 · T · 1) =
Z 1
0
0; 2e
¡t
5 dt = 0; 2(¡5)
³
e
¡t
5
´1
0
P(0 · T · 1) = 1 ¡ e¡t
5 ' 0; 1813
Assim, cerca de 18% das liga¸c˜ao dos clientes s˜ao atendidas durantes o primeiro minutos.
(b) Calcule a probabilidade do consumidor esperar mais que cinco minutos para ser atendido.
Resolu¸c˜ao: A probabilidade de o consumidor esperar mais ue cinco minutos ´e
P(T > 5) =
Z 1
5
f(t)dt =
Z 1
5
0; 2e
¡t
5 dt
P(T > 5) = lim
x!1
Z x
5
0; 2e
¡t
5 dt
P(T > 5) = lim
(e¡1 ¡ e
x!1
¡x
5 )
P(T > 5) =
1
e
P(T > 5) ' 0; 368.
Cerca de 37% dos consumidor esperam mais que cinco minutos antes de terem sua liga¸c˜ao
atendida.
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 528.
Ex. 3.6.2 (a) O r´otulo de um tipo de lˆampada indica que ela tem uma vida ´util m´edia
de 1 000 horas. ´E
razo´avel modelar a probabilidade de falha dessas lˆampada por uma fun¸c˜ao
densidade exponencial com m´edia ¹ = 1000. Use esse modelo para encontrar a probabilidade
58. 55
de uma lˆampada:
(i) queimar durante as primeiras 800 horas.
(ii) funcionar por mais de 800 horas.
(b) Qual a mediana da durabilidade dessas lˆampadas?
Resolu¸c˜ao: (a) A fun¸c˜ao densidade de probabilidadae ´e:
f(t) =
Z t
0
1
u
:e
¡t
u dt, com u a m´edia.
Assim, resolvendo o primeiro item, temos:
i) P(0 · x · 200) =
Z 200
0
1
1000
e
¡t
1000 dt
P(0 · x · 200) =
³
¡e
¡t
1000
´200
0
P(0 · x · 200) = e
¡1
5 + 1
P(0 · x · 200) ' 0; 181
ou seja, a probabilidade de queimar durante as primeiras 200 horas ´e de 18,10%.
ii) P(x > 800) =
Z 1
800
1
1000
e
¡t
1000 dt
P(x > 800) = lim
b!+1
Z 1
800
1
1000
e
¡t
1000 dt
P(x > 800) = lim
b!+1
³
¡e
¡t
1000
´b
800
P(x > 800) = ¡e
¡b
1000 + e
¡800
1000
P(x > 800) ' 0; 449
isto ´e, a probabilidade de queimar ap´os 800 horas ´e de 44,9%.
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 531.
59. 56
3.7 A Integral Definida Como M´edia
Para Hoffmann e Brandley (1999), existem situa¸c˜oes pr´aticas onde nos interessa saber o
valor m´edio de uma fun¸c˜ao cont´ınua em um intervalo.
Hallet et al.(2004), por sua vez, destaca que o c´alculo da m´edia de n n´umeros pode ser
efetuado somando-se os n´umeros e dividindo esta soma por n. O autor tamb´em questiona a
possibilidade de encontrar o valor m´edio de uma fun¸c˜ao que varia continuamente.
Assim, Hallet et al.(2004, p. 200) apresenta a seguinte integral como Valor M´edio de f
de a at´e b.
Valor m´edio de f de a at´e b =
1
b ¡ a
Z b
a
f(x)dx.
O Valor M´edio da fun¸c˜ao f tamb´em ´e conhecido como Teorema do Valor M´edio para
Integrais.
Vejamos algumas aplica¸c˜oes:
60. 57
Economia
Ex. 3.7.1 Suponha que C(t) representa o custo di´ario para refrigerar sua casa, medido
em reais por Z dia, onde t ´e o tempo meddo em dias e t = 0 corresponde a 1± de janeiro de 2001.
90
Interprete
0
C(t)dt e
1
90 ¡ 0
Z 90
0
C(t)dt.
Resolu¸c˜ao: As unidades para a integral
Z 90
0
C(t)dt s˜ao (reais/dia) x (dias) = reais. A
integral representa o custo total, em reais, para refrigerar a sua casa, durante os 90 primeiros
dias de 2001, isto ´e, durante os meses de janeiro, fevereiro e mar¸co. A segunda express˜ao ´e
medida em (1/dias)(reais), ou reais por dia, as mesmas unidades de C(t). Ela representa o
custo m´edio por dia para refrigerar sua casa durante os 90 primeiros dias de 2001.
Referˆencia:
HALLET (2004) p. 200.
Ex. 3.7.2 Como atacadista, a Tracey Burr Distribuidores (TBD) recebe um carregamento
de 1 200 caixas de barras de choolate a cada 30 dias. A TBD vende o chocolate para varejistas
a uma taxa fixa, e t dias depois que um carregamento chega, seu estoque de caixas dispon´ıveis
´e I(t) = 1200 ¡ 40t, 0 · t · 30. Qual o estoque di´ario m´edio da TBD para 30 dias? Qual ser´a
o custo di´ario de estocagem se o custo de estocagem por caixa ´e de $ 0,03 por dia?
Resolu¸c˜ao: O estoque di´ario m´edio ´e encontrado resolvendo a integral:
E(t) =
1
T
Z t
0
I(t)dt
E(t) =
1
30
Z 30
0
(1200 ¡ 40t)dt
E(t) =
1
30
¡
1200t ¡ 20t2¢30
0
E(t) =
1
30
(36000 ¡ 18000) = 600 barras de chocolate
61. 58
O custo di´ario ´e dado por
C(t) = E(t):0; 03
C(t) = 600:0; 03
C(t) = 18 d´olares por dia.
Referˆencia:
THOMAS (2002) p. 392.
Engenharia
Ex. 3.7.3 Uma engenharia de tr´afego monitora o trˆansito durante uma hora do hor´ario
de pico da tarde. A partir de seus dados, ela estima que, entre as 4 horas e 30 minutos e `as
5 horas e 30 minutos a tarde, a taxa R(t) segundo a qual os carros entram em uma certa via
expressa ´e dada pela f´ormula R(t) = 100(1 ¡ 0; 0001t2) carros por minuto, onde t ´e o tempo
(em minutos) desde as 4 horas e 30 minutos. Encontre a taxa m´edia, em carros por minuto,
segundo a qual os carros entram na via expressa entre as 4 horas e 30 minutos e `as 5 horas da
tarde.
Seja R(t) a taxa dada por R(t) = 100(1 ¡ 0; 0001t2). Usando o teorema do valor m´edio
para integrais, temos:
N(t) =
1
b ¡ a
Z b
a
R(t)dt, com N(t) a taxa m´edia de carros por minuto.
N(t) =
1
30 ¡ 0
Z 30
0
100(1 ¡ 0; 0001t2)dt
N(t) =
1
30
:100
µ
t ¡ 0; 0001
t3
3
¶30
0
N(t) =
100
30
(30 ¡ 0; 9)
62. 59
N(t) = 97 carros por minutos.
Referˆencia:
ANTON (2007) p. 480.
Ex. 3.7.4 Por v´arias semanas, o departamento de estradas de rodagem vem regis-trando
a velocidadedo tr´afego em uma estrada a partir de um certo ponto. os dados sug-erem
que, entre as 13h e 18h de um fim de semana normal, a velocidade do tr´afego no ponto ´e
de aproximadamente S(t) = t3 ¡10; 5t2 +30t+20 milhas por hora, onde t ´e o n´umero de horas
ap´os o meio-dia. Calcule a velocidade m´edia do tr´afego entre 13h e as 18h.
Resolu¸c˜ao: A meta ´e encontrar o valor m´edio de S(t) no intervalo 1 · t · 6. Eis ent˜ao
a velocidade m´edia
Vm =
1
6 ¡ 1
Z 6
1
(t3 ¡ 10; 5t2 + 30t + 20)dt
Vm =
1
5
µ
1
4
t4 ¡
10; 5
3
¶6
t3 + 15t2 + 20t
1
Vm =
1
5
(228 ¡ 31; 75)
Vm = 39; 25 milhas por hora
Referˆencia:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 318.
Ex. 3.7.5 Ap´os t meses no trabalho, um empregado do correio pode classificar Q(t) =
700 ¡ 400e¡0;5t cartas por hora. Qual a taxa m´edia na qual o funcion´ario classifica as cartas
durante os primeiros 3 meses de trabalho?
C(2160) =
1
b ¡ a
Z b
a
(700 ¡ 400e¡0;5t)dt
63. 60
C(2160) =
1
3 ¡ 0
Z 3
0
(700 ¡ 400e¡0;5t)dt
C(2160) =
1
3
¡
700 ¡ 400e¡0;5t¢3
0
C(2160) =
1
3
(2100 + 800e¡1;5 ¡ (0 + 800))
C(2160) '
1
3
(2278; 5 ¡ 800)
C(2160) = 493 cartas por hora.
Referˆencia:
HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 321.
3.8 Fun¸c˜oes Definidas como Integrais
Nesta se¸c˜ao vamos mostrar algumas fun¸c˜oes conhecidas no mundo, que s˜ao escritas na
forma de integrais.
(a) Fun¸c˜ao de Bessel de ordem zero.
De acordo com Anton (2007), a fun¸c˜ao Jo definida abaixo ´e chamada de fun¸c˜ao de Bessel
de ordem zero.
Jo(x) =
1
¼
Z ¼
0
cos(xsent)dt
(b) Regra de Leibiniz.
Se f for cont´ınua em [a; b] e se u(x) e v(x) forem fun¸c˜oes diferenci´aveis de x cujos valores
situam-se entre [a; b], ent˜ao
d
dx
Z v(x)
u(x)
f(t)dt = f(v(x))
dv
dx
¡ f(u(x))
du
dx
64. 61
Referˆencia:
THOMAS (2002) p. 394.
(c) Fun¸c˜ao de Fresnel.
´E
assim conhecida em homenagem ao f´ısico francˆes Augustin Fresnel (178-1827), famoso
por seu estudo em ´optica, como afirma Stewart (2009). Essa fun¸c˜ao apareceu primeiramente na
teoria de difra¸c˜ao das ondas de luz de Fresnel. Ela tamb´em tem sido aplicada no planjamento
de autoestradas e ´e definida por:
S(x) =
Z x
0
sen
¼t2
2
dt.
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 360.
(d) Capacidade Card´ıaca.
A capacidade card´ıaca pode ser definida pela integral
F =
A
Z T
0
C(t)dt
,
onde A ´e a quantidade total de contraste e C(t) a concetra¸c˜ao deste.
Vejamos um exemplo:
A figura abaixo mostra o sistema cardiovascular humano. O sangue retorna do corpo pelas
veias, entra no ´atrio direito do cora¸c˜ao e ´e bombeado para os pulm˜oes pelas art´erias pulmonares
para a oxigena¸c˜ao. Ent˜ao volta para o ´atrio esquerdo por meio das veias pulmonares e dai
circula para o resto do corpo pela aorta. A capacidade card´ıaca do cora¸c˜ao ´e o volume de
sangue bombeado pelo cora¸c˜ao por unidade de tempo, isso ´e, a taxa de fluxo na aorta.
65. 62
Resolu¸c˜ao: O m´etodo da dilui¸c˜ao do contraste ´e usado para medir a capacidade card´ıaca.
O contraste (corante) ´e injetado no ´atrio direito e escoa pelo cora¸c˜ao para a aorta. Uma
sonda inserida na aorta mede a concentra¸c˜ao do contraste sa´ıda do cora¸c˜ao em intervalos
regulares de tempo durante um intervalo [0; T], at´e que o contraste tenha terminado. Seja C(t)
a concentra¸c˜ao do contraste no instante T. Se dividirmos [0; T] em subintervalos de igual 4t,
ent˜ao a quantidade de contraste que circula pelo ponto de medi¸c˜ao durante o subintervalo de
t = ti¡1 a t = ti ´e aproximadamente
(concentra¸c˜ao)(volume) = C(ti)(F4t).
em que F ´e a vaz˜ao (taxa de escoamento) que estamos tentando determinar.
Ent˜ao, a quantidade total de contraste ´e aproximadamente
Xn
i=1
C(ti)F4t = F
Xn
i=1
C(ti)4t.
Fazendo n ! 1, calculamos que a quantidade total de contraste ´e
66. 63
A = F
Z T
0
C(T)dt.
Ent˜ao, a capacidade card´ıaca ´e dada por
F =
A
Z T
0
C(t)dt
.
Referˆencia:
STEWART (2009) p. 522-523.
(e) Lei da Radia¸c˜ao de Plank.
A Lei da Radia¸c˜ao de Plank, muito utilizada nas engenharias e na f´ısica tamb´em pode
ser definida por uma integral. A saber,
I =
Z 1
1
dx
x5(e
1
x
¡1)
.
Referˆencia:
HALLET (2004) p. 279.
