2. Формули для розв'язання тригонометричних рівнянь
• Sin x = a, x = (-1 ) arcsin a + π n, n ∈ Z
n
• cos x = a, x = ± arccos a + 2 π n , n ∈ Z
•tg x = a, x = arctg a + π n, n ∈ Z
•ctg x = a, x = arcctg a + π n, n ∈ Z
3. Тотожні перетворення
• Sin (arcsin a) = a, | a |< 1
• Arcsin(sin x) = x, x ∈ [ − π 2; π 2]
• Arcsin(-a) = -arcsina
• Cos(arccos a) = a, | a |< 1
• arccos(cos x) = x, x ∈ [ 0; π ]
• Arccos(-a) = π - arccosa
• tg (arctg a) = a,
• Arctg(tg x) = x,
• Arctg(-a) = -arctga
• Ctg(arcctg a) = a,
• arcctg(ctg x) = x,
Arcctg(-a) = π - arcctga
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 4). Рівняння які містять різні функції.
Приклад :
tgx(sin x + 1) = 0
область визначення рівняння :
tgx = 0
x = πn; n ∈ Z
не задовільняє :
і
π
x ≠ + πn; n ∈ Z
2
sin x = −1
3π
x=
+ 2πn; n ∈ Z
2
π
x ≠ + πn; n ∈ Z
2
тому рішенням рівняння є
x = πn; n ∈ Z .
14. 5) Пониження ступеня. Рівняння з використанням формул
1 − cos 2 x
sin x =
2
2
Приклад :
і
1 + cos 2 x
cos x =
2
2
cos 2 x + cos 2 2 x − cos 2 3 x − cos 2 4 x = 0
1 + cos 2 x
cos 2 x + cos 4 x − cos 6 x − cos 8 x
cos x =
⇒(
)=0
2
2
2
a+b
a −b
cos a − cos b = −2 sin
sin
⇒ sin 6 x sin 2 x + sin 4 x sin 2 x = 0
2
2
a+b
a −b
cos a + cos b = 2 cos
cos
⇒ sin 2 x(sin 6 x + sin 4 x) = 0
2
2
sin 2 x = 0 або
sin 6 x + sin 4 x = 0
a+b
a −b
sin a + sin b = 2 sin
cos
2
2
2 sin 5 x cos x = 0 ⇒ cos x = 0
або
sin 5 x = 0.
