Calcul de Structures          Volume 2            Plaques                                           Olivier PANTALE Ecole ...
iTable des matièresIntroduction                                                                                           ...
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1Table des figures   I.1.1    Description géométrique de la plaque       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   ...
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3IntroductionCe polycopié sert de base pour le cours de structures. Le cours de structure fait partie in-tégrante de l’ens...
4                               IntroductionAnnée universitaire 2008/2009    Olivier PANTALE
5                       Première partie                  Eléments finis de plaquesOlivier PANTALE                          ...
7                                  - Chapitre 1 -Elément fini C 0 de plaque1.1 Présentation générale                       ...
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1.3 Contraintes généralisées :                                                                                       9avec...
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1.4 Loi de comportement en variables généralisées                                                                         ...
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1.5 Equations d’équilibre d’une plaque                                                                                    ...
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1.5 Equations d’équilibre d’une plaque                                                                                    ...
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1.6 Elements finis de plaque                                                                        17versale P (x, y) en s...
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1.6 Elements finis de plaque                                                                                              1...
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2.2 Plaque en flexion                                                                                     29               ...
30                              Problèmes de plaquesAnnée universitaire 2008/2009            Olivier PANTALE
BIBLIOGRAPHIE                                                                                  31Bibliographie [1] G. Duva...
32                              BIBLIOGRAPHIEAnnée universitaire 2008/2009      Olivier PANTALE
33Indexcoefficient de cisaillement, 12efforts normaux, 9efforts tranchants, 9intégration réduite, 19Love-Kirchoff, 8, 9matr...
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  1. 1. Calcul de Structures Volume 2 Plaques Olivier PANTALE Ecole Nationale dIngénieurs de Tarbes  ­ Année universitaire 2008/2009 ­
  2. 2. iTable des matièresIntroduction 3I Eléments finis de plaques 51 Elément fini C 0 de plaque 7 1.1 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Contraintes généralisées : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Loi de comportement en variables généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 Forme générale de la matrice C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2 Ecriture en variables généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.3 Cas particuliers de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.4 Coefficient de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Equations d’équilibre d’une plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Elements finis de plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6.1 Elements de type Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6.2 Eléments de volume dégénérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.3 Eléments C 0 avec cisaillement transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II Exercices et travaux dirigés 211 Exercices d’application 23 1.1 Elaboration mécanique d’un problème de plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2 Plaques minces axisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3 Différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Flambement d’une plaque en flexion cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Flambement d’une plaque rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Olivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  3. 3. ii TABLE DES MATIÈRES2 Problèmes de plaques 25 2.1 Plaque en traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Modèle continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3 Méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Plaque en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Etude d’une paroi d’échangeur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Modélisation numérique d’une plaque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Année universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  4. 4. 1Table des figures I.1.1 Description géométrique de la plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.1.2 descriptif des efforts et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 II.2.1 Description du chargement de la plaque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 II.2.2 représentation de la paroi de l’échangeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 T1 +T2 II.2.3 répartition de la température : Tm = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II.2.4 modélisation de la plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Olivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  5. 5. 2 TABLE DES FIGURESAnnée universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  6. 6. 3IntroductionCe polycopié sert de base pour le cours de structures. Le cours de structure fait partie in-tégrante de l’enseignement de semestre 7 en éléments finis, dans lequel il s’intègre commedécrivant une famille particulière d’éléments finis dédiée à la modélisation numérique despoutres. Pour cette raison, sa place se situe après le cours général d’éléments finis dont ilconstitue un prolongement naturel. Il est donc nécessaire de maîtriser parfaitement le coursd’éléments finis général dont les notions sont supposées connues pour le présent cours destructure (PPV, passage domaine parent-réel, fonctions d’interpolation, construction des ma-trices élémentaires, intégration numérique...). De même, la connaissance du cours général demécanique des milieux continus est requise (on pourra se référer par exemple aux ouvragesde Duvaut [1] ou de Germain [2]).Le lecteur pourra se reporter à d’autres ouvrages de la littérature afin d’approfondir sesconnaissances du calcul des structures par éléments finis. Si à l’issue du cours plus généraldu module “Modélisation Numérique”, la notion d’éléments finis ne vous inspire toujours pas,il est temps de vous plonger dans la lecture du petit livre de D. Gay [3]. Pour ce qui concerne lamodélisation des structures, on citera par exemple l’ouvrage de J. C. Craveur [4] qui présenteune base du calcul de structures par éléments finis ainsi que des exemples de modélisation(poutres, plaques, coques) du point de vue d’un utilisateur de code de calcul.D’un point de vue de la formulation des éléments finis de poutres, des détails et des com-pléments concernant les méthodes présentées dans ce cours pourront être trouvés dans lesdeux premiers volumes de la série publiée par J. L. Batoz [5] [6], ou dans les livres de J. F.Imbert [7] et P. Trompette [8].Enfin, on pourra se référer aux ouvrages de Zienkiewicz [9], Bathe [10] ou Hughes [11] quiconstituent 3 ouvrages de référence en anglais.ATTENTION : Ce polycopié est un résumé succint du contenu du cours de Structures.Olivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  7. 7. 4 IntroductionAnnée universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  8. 8. 5 Première partie Eléments finis de plaquesOlivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  9. 9. 7 - Chapitre 1 -Elément fini C 0 de plaque1.1 Présentation générale z Ω peau supérieure h/2 y h/2 plan moyen x peau inférieure Photo I.1.1 – Description géométrique de la plaqueDans un système de coordonnées rectangulaires (x, y, z), le domaine Ω de la plaque est définipar : h h Ω = x ∈ R3 ; z ∈ − ; ; (x, y) ∈ A ⊂ R2 2 2avec comme notations :– h épaisseur de la plaque– Γm surface de référence (surface moyenne)On complète cette définition par un ensemble d’hypothèses :L’épaisseur h de la plaque est beaucoup plus petite que la plus petite des dimensions latéralesdans le plan x0y. M ax z M in(M ax x ; M ax y ); (x, y, z) ∈ ΩOlivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  10. 10. 8 Elément fini C 0 de plaqueOn effectue alors un DL du champ de déplacements U dans la plaque en puissances de zautour du point à z = 0. On écrit alors classiquement : U(x, y, z, t) = U0 (x, y, t) + zΩ1 (x, y, t) + z 2 Ω2 (x, y, t) + ... + z p Ωp (x, y, t) (1.1)avec p ∈ N+ et :UT = {u(x, y, t), v(x, y, t), w(x, y, t)} 0ΩT = ωxp (x, y, t), ωyp (x, y, t), ωzp (x, y, t) pOn peut donc construire diverses théories plus ou moins raffinées. Dans le cas de la théorienaturelle, on prend alors :p = 1 et εzz = 0Une section droite avant déformation à la ligne moyenne demeure donc droite après déforma-tion. Le champ de déplacements est alors donné ci-dessous :   Ux = u(x, y, t) + zωx Uy = v(x, y, t) + zωy (1.2)  Uz = w(x, y, t)Dans le cas de l’hypothèse HPP, on considèrera que l’interaction des phénomènes de mem-brane et de flexion est négligée.Si on considère que la section droite au plan moyen reste perpendiculaire à ce plan au coursde la déformation, on obtient la théorie des plaques minces de Love-Kirchoff qui néglige lecisaillement transverse dans la plaque.L’hypothèse suivante est alors introduite dans le modèle :On considère que la contrainte normale transverse est nulle dans la plaque (c’est à dire queσzz = 0). On est donc dans un cas de contraintes planes.Cette hypothèse est en contradiction avec l’hypothèse précédente (εzz = 0). Sa justification estpurement “pratique”. Cette particularité devra être supportée par la loi de comportement dela plaque.Les déplacements généralisés u, v, w, ωx et ωy sont :– u et v : fonctions de x et y, caractérisent la traction dans le plan de la plaque suivant les directions x et y respectivement.– w : est colinéaire à z (vecteur perpendiculaire au plan moyen). C’est le déplacement normal, c’est à dire la déflexion de Ω.– ωx et ωy : rotations d’un segment droit prélevé sur l’épaisseur de Ω initialement perpendicu- laire au plan moyen de la plaque.Un développement à un ordre > 1 conduit à des théories plus raffinées (Reddy) permettant demieux modéliser le cisaillement transverse et de prendre en compte εzz = 0 et σzz = 0.1.2 Tenseur des déformationsDans le cadre de la théorie naturelle, on pose alors :εij = 1 (ui,j + uj,i ) 2d’où l’écriture des déformations est donnée ci-dessous :  0  εxx = u,x + zωx,x = εxx + zKxx    εyy = v,y + zωy,y = ε0 + zKyy  yy 2εxy = ε0 + zKxy xy (1.3)   2εxz = γ 0   xz  0 2εyz = γyzAnnée universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  11. 11. 1.3 Contraintes généralisées : 9avec les notations suivantes :   Kxx = ωx,x Kyy = ωy,y courbures  Kxy = ωx,y + ωy,x  0  εxx = u,x (1.4) ε0 = v,y dilatations  yy ε0 = u,y + v,x xy 0 γyz = ωy + w,y 0 distorsions γxz = ωx + w,xLa théorie de Love-Kirchoff implique alors que : ωx = −w,x εyz = εxz = 0 ⇒ (1.5) ωy = −w,yLes déformations ne dépendent plus alors que du déplacement w de flexion.    (εxx )F = −zw,xx  Kxx = −w,xx (εyy )F = −zw,yy Kyy = −w,yy (1.6)   (εxy )F = −zw,xy Kxy = −2w,xy1.3 Contraintes généralisées :On introduit maintenant les contraintes généralisées suivantes :efforts normaux par unité de longueur : h 2 (Nxx , Nyy , Nxy ) = (σxx , σyy , σxy ) dz (1.7) −h 2moments fléchissants et moment de distorsion par unité de longueur h 2 (Mxx , Myy , Mxy ) = z (σxx , σyy , σxy ) dz (1.8) −h 2efforts tranchants par unité de longueur h 2 (Qyz , Qzx ) = (σyz , σzx ) dz (1.9) −h 2On définit de la même manière les résultantes des efforts appliqués sur la structure par lesrelations suivantes : h 2 (nxx , nyy , nzz ) = (fx , fy , fz ) dz (1.10) −h 2 h 2 (mxx , myy ) = z (fx , fy ) dz (1.11) −h 2 h 2 N xx , N yy , N zz = Fx , Fy , Fz dz (1.12) −h 2Olivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  12. 12. 10 Elément fini C 0 de plaque h 2 M xx , M yy = z Fx , Fy dz (1.13) −h 2Le vecteur contrainte à ainsi la forme suivante :    Nxx     N     yy     N     xy    −−−            {N}    Mxx σ∗ = = {M} (1.14)  Myy        Mxy   {Q}          −−−      Q     yz     Qzx1.4 Loi de comportement en variables généraliséesEn adoptant une loi de comportement thermo-visco-élastique linéaire et anisotrope, permet-tant l’analyse des structures composites, la loi de comportement générale est de la forme : • • σ = Cε + C ε +σ 0 = Cε + C ε +σ θ + σ σ (1.15)avec les définitions suivantes de σ et ε :σ T = {σxx , σyy , σxy , σyz , σzx }εT = {εxx , εyy , 2εxy , 2εyz , 2εzx }σ θ = −C {α} (T − T0 )αT = {αx , αy , 2αxy , 0, 0}1.4.1 Forme générale de la matrice C Cp 0 C= 0 CtCp est obtenue à partir des termes de la matrice tri-dimensionnelle générale en prenant encompte le fait que σzz = 0. On obtient donc les écritures suivantes pour Cp et Ct :   C11 C12 C16 C44 C45 Cp =  C12 C22 C26  et Ct = (1.16) C45 C55 C16 C26 C66Remarque : Dans le cas où le matériau est isotrope, on a :   1 ν 0 E  5 µ 0 Cp = ν 1 0  et Ct = (1.17) 1 − ν2 6 0 µ 0 0 1−ν2Le coefficient 5 est un coefficient correcteur de cisaillement destiné à compenser la mauvaise 6distribution du cisaillement transverse (distribution constante en z).Année universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  13. 13. 1.4 Loi de comportement en variables généralisées 111.4.2 Ecriture en variables généraliséesL’écriture de la loi de comportement en variables généralisées conduit à l’expression suivanteaprès intégration sur z de la loi constitutive :              N  A B 0  ε0   Nθ   Nσ  A B 0  ε0  ,t   M = B D 0  K + Mθ + Mσ + B D 0  K,t (1.18)    0       0  Q 0 0 E γ 0 0 0 0 E γ,t elastique thermique precontrainte visco−elastiqueavec : NT = {Nxx , Nyy , Nxy } MT = {Mxx , Myy , Mxy } T QT = {Qyz , Qzx } ε0 = ε0 , ε0 , ε0 xx yy xy T KT = {Kxx , Kyy , Kxy } γ 0 = γyz , γzx 0 0Et les définitions ci dessous : h h h 2 2 2 A= Cp dz B= zCp dz D= z 2 Cp dz (1.19) −h 2 −h 2 −h 2 h h 2 2 T (θ,σ) (θ,σ) (θ,σ) (θ,σ) E= Ct dz N = σxx , σyy , σxy dz −h 2 −h 2– A : comportement global de membrane– D : comportement global de flexion– E : comportement global de cisaillement– B : couplage membrane-flexion (B = 0 si la plaque est construite symétriquement par rap- port à Oxy)1.4.3 Cas particuliers de comportement1.4.3.1 Théorie des plaques minces en flexion pureOn a dans ce cas là : A, E, B = 0 et M = DK.Dans le cas où de plus la plaque est isotrope :   1 ν 0 E   Cp = ν 1 0 (1.20) 1 − ν2 1−ν 0 0 2et on a :     h h 1 ν 0 1 ν 0 2 2 E   dz = Eh3  ν 1  D= z 2 Cp dz = z 2 ν 1 0 0 (1.21) −h −h 1 − ν2 1−ν 12(1 − ν) 1−ν 2 2 0 0 2 0 0 2Pour une plaque mince, dans le cas de l’hypothèse de Love-Kirchoff, on a alors en posant poursimplifier l’écriture que : Eh3 D= 12(1 − ν 2 )soit :   1 ν 0 D=D  ν 1 0  (1.22) 1−ν 0 0 2Olivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  14. 14. 12 Elément fini C 0 de plaqueet par suite : Mxx = D(Kxx + νKyy ) Myy = D(Kyy + νKxx ) (1.23) Mxy = 2D 1−ν Kxy 21.4.3.2 Plaques composites stratifiées :Chaque couche de la plaque est composée d’un matériau caractérisé par une matrice decomportement C∗ exprimée dans les axes d’orthotropie, déduite de l’écriture de la matricede comportement C précédement établie. Dans le repère de la structure, cette matrice decomportement devient d’après les relations de changement de base des tenseurs de rang 2applicables à σ : ,(k) (k) (k) Cp = T−1 C∗ T(k) p (1.24)où k est le numéro de la couche, et T est défini par :   cos2 θ sin2 θ 0 0 0 2cosθsinθ  sin 2θ cos2 θ 0 0 0 −2cosθsinθ     0 0 1 0 0 0  T=    (1.25)  0 0 0 cosθ −sinθ 0   0 0 0 sinθ cosθ 0  −cosθsinθ cosθsinθ 0 0 0 cos2 θ − sin2 θavec θ défini par l’angle de rotation autour de l’axe →. − zSi on admet que dans chaque couche, les déformations généralisées sont les mêmes (approchegrossière), en réalisant une homogénéisation sur l’épaisseur de la structure, on obtient alors : N zk+1 N (k) (k) A= C, dz p = (zk+1 − zk )C, p (1.26) k=1 zk k=1 N zk+1 N ,(k) 1 2 2 (k) , B= zCp dz = (zk+1 − zk )Cp (1.27) zk 2 k=1 k=1 N zk+1 N (k) , 1 (k) D= z 2 Cp dz = (zk+1 − zk )C, 3 3 p (1.28) zk 3 k=1 k=1 N zk+1 N (k) (k) E= Ct dz = (zk+1 − zk )Ct (1.29) k=1 zk k=11.4.4 Coefficient de cisaillementLes composantes de cisaillement σyz et σxz sont supposées uniformes dans la section (car cal-culées à partir des rotations). En fait cette répartition n’est pas correcte puisque par exempleσyz (z = ± h ) = 0. 2Pour en tenir compte, on affecte la matrice de comportement Ct de coefficients à partir deconsidérations d’énergie équivalente. Par exemple, pour un matériau isotrope : 0 γyz σyz 1 0 =G 0 (1.30) σzx 0 1 γzxAnnée universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  15. 15. 1.5 Equations d’équilibre d’une plaque 13 {σ c } = [C∗ ] γ 0 (1.31) 1 1 T 1 Uc = {σ c }T γ 0 dΩ = γ0 [C∗ ]T γ 0 dΩ = {σ c }T [C∗ ]−1 {σ c } dΩ (1.32) 2 Ω 2 Ω 2 ΩEcrivons alors Uc sous la forme suivante, en utilisant la relation entre les efforts tranchantset les déformations de cisaillement : {Q} = [Ct ] γ 0 (1.33) 1 1 T 1 Uc = {Q}T γ 0 dΓ = γ0 [Ct ]T γ 0 dA = {Q}T [Ct ]−1 {Q} dA (1.34) 2 Γ 2 A 2 ALa relation entre {σ c } et {Q} : {σ c } = f (z) {Q}Exemple :{σ c } = f (z) {Q} avec répartition parabolique : h 2 h 3 4z 2 f (z)dz = 1 et f (± ) = 0 ⇒ f (z) = 1− (1.35) −h 2 2h h2 2On écrit alors : h 1 2 Uc = {Q}T f (z) [C∗ ]−1 f (z)dz {Q} dA (1.36) 2 A −h 2et aussi : 1 Uc = {Q}T [Ct ]−1 {Q} dA (1.37) 2 APar identification, il vient alors : h 2 [Ct ]−1 = f 2 (z) [C∗ ]−1 dz (1.38) −h 2dans le cas particulier précédent : [Ct ] = 5h 6 [C∗ ]Soit finalement l’écriture suivante : 5Gh 1 0 [Ct ] = (1.39) 6 0 11.5 Equations d’équilibre d’une plaqueEn partant de l’écriture du PPV et en adoptant un champ de vitesses virtuelles de la formeU∗ = U∗ + zΩ∗ , soit : 0 1  ∗  Ux = u∗ (x, y) + zωx ∗ U ∗ = v ∗ (x, y) + zω ∗ (1.40)  y ∗ = w ∗ (x, y) y UzLe PPV s’écrit alors :Olivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  16. 16. 14 Elément fini C 0 de plaque f : Ω −→ REtant données F : ΓF −→ Rtrouver U ∈U tel que ∀U∗ ∈ U * : T T ρU∗ U,tt dΩ = − D∗ (U∗ )σ (U)dΩ Ω Ω T T + U∗ fdΩ + U∗ FdΓF Ω ΓFavec : h h Ω= x ∈ R3 ; z ∈ − ; ; (x, y) ∈ A ⊂ R2 2 2et σ (U) est caractérisée par la loi de comportement de Ω.Année universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  17. 17. 1.5 Equations d’équilibre d’une plaque 15Le calcul explicite de la fonctionnelle précédente s’effectue aisément à l’aide des remarquesci-dessous : L– Ω (...)dΩ = 0 A (...)dA.dz T– D∗ (U∗ )σ (U) = σxx Dxx + σyy Dyy + 2σxy Dxy + 2σyz Dyz + 2σzx Dzx ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗– D (U ) se calcule en fonction de U comme ε(U).Compte tenu de l’expression de U∗ , on obtient alors : h 2 ρ (u,tt + zωx,tt ) (u∗ + zωx ) + (v,tt + zωy,tt ) v ∗ + zωy + w,tt w∗ dAdz ∗ ∗ −h 2 A h 2 = − σxx u∗ + zωx,x + σyy v,y + zωy,y + σxy u∗ + v,x ,x ∗ ∗ ∗ ,y ∗ −h 2 A ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ +zσxy ωx,y + ωy,x + σyz ωy + w,y + σzx ωx + w,x dAdz h h 2 T 2 T + U∗ fdAdz + U∗ FdAdz −h 2 A −h 2 A hEn posant alors : Rk = −h 2 ρ(z)z k dz avec k = 0, 1, 2 2et en intégrant par parties comme par exemple pour le terme : h 2 − σxx u∗ dAdz = − ,x Nxx u∗ dA = ,x Nxx,x u∗ dA − Nxx u∗ nx dS −h 2 A A A C z Q zx M xx Q yz M xy M yy y M xy M yy M xy N yy N xy N yx x Q yz N xx M xx Q zx M xy Photo I.1.2 – descriptif des efforts et momentsOlivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  18. 18. 16 Elément fini C 0 de plaqueOn est donc maintenant en mesure de regrouper les termes facteurs des quantités u∗ , v ∗ ,w∗ ,ωx ∗ ∗et ωy et le PPV peut alors etre explicité comme suit : R0 (u,tt u∗ + v,tt v ∗ + w,tt w∗ ) + R1 ωx,tt u∗ + u,tt ωx + ωy,tt v ∗ + v,tt ωy ∗ ∗ A ∗ ∗ ∗ ∗ +R2 ωx,tt ωx + ωy,tt ωy dA = ((Nxx,x + Nxy,y ) u∗ + (Nyy,y + Nxy,x ) v ∗ ) dA A membrane ∗ ∗ + (Mxx,x + Mxy,y − Qzx ) ωx + (Myy,y + Mxy,x − Qyz ) ωy dA A equilibre des moments + ((Qyz,y + Qzx,x ) w∗ ) dA A equilibre ef f orts tranchants + nxx u∗ + nyy v ∗ + nzz w∗ + mxx ωx + myy ωy dA ∗ ∗ A ef f orts volumiques et charges transversales − [(Nxx nx + Nxy ny ) u∗ + (Nyy ny + Nyx nx ) v ∗ + (Qyz ny + Qzx nx ) w∗ C ∗ ∗ + (Mxx nx + Mxy ny ) ωx + (Myy ny + Myx nx ) ωy dS contraintes au bord de Ω − N xx u∗ + N yy v ∗ + N zz w∗ + M xx ωx + M yy ωy dS ∗ ∗ C ef f orts exterieurs sur ΓFLes equations d’équilibre s’écrivent alors sous la forme :   Nxx,x + Nxy,y + nxx = R0 .u,tt + R1 .ωx,tt    Nyy,y + Nxy,x + nyy = R0 .v,tt + R1 .ωy,tt  Qyz,y + Qzx,x + nzz = R0 .w,tt   Mxx,x + Mxy,y − Qzx + mxx = R2 .ωx,tt + R1 .u,tt    Myy,y + Myx,x − Qzy + myy = R2 .ωy,tt + R1 .v,ttet les conditions aux limites sont données par :   N xx = Nxx nx + Nxy ny   N =N n +N n  yy  yy y yx x N zz = Qyz ny + Qxz nx   M xx = Mxx nx + Mxy ny    M yy = Mxy nx + Myy ny 3Remarque : Si Ω est homogène, R0 = ρh, R1 = 0, R2 = ρ h . 12Cas particuliers : Plaques minces homogènes en flexion pure soumises à une pression trans-Année universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  19. 19. 1.6 Elements finis de plaque 17versale P (x, y) en statique :   Mxx,x + Mxy,y − Qzx = 0 Myy,y + Myx,x − Qzy = 0  Qyz,y + Qzx,x + P = 0En combinant les 3 équations par élimination des efforts tranchants, on obtient alors l’écrituresuivante : Mxx,x + Myy,y + 2Mxy,xy + P = 0En adjoignant l’expression des courbures :   Kxx = ωx,x = −w,xx Kyy = ωy,y = −w,yy  Kxy = ωx,y + ωy,x = −2w,xyOn obtient alors les expressions suivantes :   Mxx = D(Kxx + νKyy ) = −D(w,xx + νw,yy ) Myy = −D(w,yy + νw,xx )  Mxy = −D(1 − ν)w,xySoit finalement : P (x, y) w,xxxx + w,yyyy + 2w,xxyy = DSoit donc une équation différentielle en w à résoudre sur le domaine A avec les conditionsaux limites du problème. P ∆∆w = D1.6 Elements finis de plaqueIl existe globalement 3 catégories d’éléments finis de plaque :– Les éléments de plaque mince basés sur la théorie de Kirchoff.– Les éléments obtenus à partir d’éléments de volume.– Les éléments avec prise en compte du cisaillement transverse.1.6.1 Elements de type KirchoffIl n’est nécessaire de faire qu’une approximation de w seulement, par polynômes complets du2eme degré au moins (courbure constante) ; respect de continuité C 1 en adoptant w, θx et θyavec θx = w,y et θy = −w,x .Formulation délicate :– conserver une formulation simple en sacrifiant la conformité de l’élément (problème de convergence). polynôme complet non conforme (Tocher, Zienkiewicz) éléments rectangulaires triangles et quadrilatères conformes (mais quelquefois moins précis ou trop rigides !)– corriger par formulation en sous domaines– approximation d’ordre élevé (coûteux)Olivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  20. 20. 18 Elément fini C 0 de plaque1.6.2 Eléments de volume dégénérésOn transforme l’élément de volume original en imposant certaines modifications tirées dela théorie des plaques : suppression dans l’expression de l’énergie des termes relatifs à σzz ,hypothèse sur la variation du déplacement selon l’épaisseur (élimination de d.d.l), intégrationexplicite sur l’épaisseur et numérique dans le plan moyen...1.6.3 Eléments C 0 avec cisaillement transverse1.6.3.1 Champ de déplacements5 champs de déplacement indépendants : u, v, w, ωx et ωy .Interpolation classique de continuité C 0 seulement :   u uh = ϕu u(gj ) j ωx h ωx = ϕωx ωx (gj ) j v vh = ϕv v(gj ) j h ω  ωy ωy = ϕj y ωy (gj ) w wh = ϕw w(gj ) j ωEn général, on adopte ϕu = ϕv = ϕw = ϕωx = ϕj y = ϕj . j j j j1.6.3.2 Relation déformation-déplacements nodauxOn peut poser comme écriture : ε0 = [Be ] {qe } avec {qe }T = ue1 , vg1 , ..., ueng , vgng m m m g e g e T{K} = Be f qe avec qe p p e e e e e e = wg1 , ωxg , ωyg , ..., wgng , ωxgng , ωygng 1 1 γ 0 = [Be ] qe c pComme on sait que :  0       εxx   u,x  ϕe j,x 0 ε0 = ε0 = v,y ⇒ Be j = 0 ϕe   yy    m j,y ε0 xy v,x + u,y ϕe j,y ϕe j,x        Kxx   ωx,x  0 ϕe j,x 0 {K} = Kyy = ωy,y ⇒ Bej f = 0 0 ϕe  j,y     Kxy ωx,y + ωy,x 0 ϕe e j,y ϕj,x 0 γyz ωy + w,y ϕe 0 ϕe γ0 = = ⇒ Bej = c j,y j 0 γzx ωx + w,x ϕe j,x ϕe 0 j1.6.3.3 Matrice élémentaire de rigidité ∗T ∗En identifiant Pi∗ = − Ω D (U )σ (U)dΩ avec la forme : ∗ T ∗ T ∗ T e •e Pi∗ = − qe [Ke ] {qe } + qe [σ e ]σ θ − qe C qAnnée universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  21. 21. 1.6 Elements finis de plaque 19On obtient :   [Be ]T [A] [Be ] dA e T Ah [Bm ] [B] Be dA  m m e f   Ah e    e  membrane  [K ] =    T Be [B] [Be ] dA Be T [D] Be dA + [Bc ] [E] [Bc ] dA  e T e  f m f f   Ah e Ah e Ah e  couplage membrane f lexion f lexion cisaillementet :  e T σ   [Bm ] [N]    [σ e ]σ = −−− dA h  Ae  T   Be [M]σ f1.6.3.4 Techniques d’intégration réduiteCet élément serait limité aux plaques semi-epaisses ( L < λcritique ) si on ne limitait sa rigidité eexcessive en cisaillement ; c’est le problème du vérouillage rencontré en poutres, plaques etcoques minces avec les éléments de continuité C 0 prenant en compte le cisaillement trans-verse. Quand l’épaisseur h de la structure tend vers zéro, il apparait une anomalie dans lamatrice de rigidité : certains termes de la part relative au cisaillement de la matrice de rigi-dité deviennent très grands lorsque l’épaisseur de la structure devient rès petite (la flexionn’est pas concernée) ; il y a alors surestimation de la rigidité au cisaillement (phénomènesouvent appelé véouillage). Pour pallier cet inconvénient, on procède par intégration réduite(éventuellement sélective). Ceci entraine des singularités nouvelles dans la matrice qui ne cor-respondent pas forcément à des modes rigides. On écrit alors la matrice de rigidité obtebueprécédement sous la forme suivante : Ke = Ke + Ke + Ke m f cavec :– Ke : part liée aux effets de membrane. m– Ke : part liée aux effets de courbure (flexion). f– Ke : part liée aux effets de cisaillement. cL’intégration réduite sera appliquée aux termes de Ke , les deux autres matrices étant intégrées cau mieux numériquement. Une intégration sélective consiste à choisir un ordre d’intégrationplus bas pour seulement certains termes de la matrice élémentaire considérée.On montre numériquement que l’intégration réduite a un effet bénéfique sur le comportementdes éléments dont la tendance est à une surestimation de la rigidité. malheureusement cettetechnique est d’un emploi délicat car elle peut occasioner, en réduisant le rigidité, la perte decertains modes de déformation. Il faut donc appliquer l’intégration réduite avec parcimonie etvérifier soigneusement la réponse du modèle lorque h → 0, en contrôlant notament les modesde corps rigide qui doivent etre au nombre de deux en membrane et de trois en flexion. Uneintégration réduite mal contrôlée peut conduire à des modes à énergie de déformation nullesupplémentaires qui ne doivent pas exister.Olivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  22. 22. 20 Elément fini C 0 de plaque Intégrations Bilinéaire Biquadratique Intégration réduite uniforme 1x1 2x2 Intégration réduite 1x1 pour Ke c 2x2 pour Ke c sélective 2x2 pour Ke f 3x3 pour Ke fExemples : éléments bilineaires de Hughes (LR) et quadratiques (QLR).1.6.3.5 Matrice de masse ∗ T ••ePar identification de Pa = qe ∗ [Me ] q et de l’expression développée en introduisant lesinterpolations des champs de déplacement : U0 Uh = 0 Nej Ue (gj ) 0 0 Ω1 Ωh = 1 Nej Ωe (gj ) 1 1et en adoptant généralement l’écriture suivante : Nej = ϕj ∆ 0 (3, 3) Nej = ϕj ∆ 1 (2, 2)On obtient finalement : e Ah R0 [Ne ]T [Ne ] dA 0 0 Ah R1 [Ne ]T [Ne ] dA 0 1 [M ] = e e T e e e T e Ah R1 [N1 ] [N0 ] dA e Ah R2 [N1 ] [N1 ] dA ede même, on peut écrire :     [Ne ]T {n} dA  0Ah  e e f = −−−   e T   Ah [N1 ] {m} dA e     [Ne ]T N dA  0 h Ce  e F = −−−    e T C h [N1 ] M dA  eAnnée universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  23. 23. 21 Deuxième partie Exercices et travaux dirigésOlivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  24. 24. 23 - Chapitre 1 -Exercices d’application1.1 Elaboration mécanique d’un problème de plaque1) A partir de la loi de comportement local, retrouver quelques termes de la loi de com-portement globale exprimée en fonctions des variables généralisées : effort normal, momentfléchissant,...,dilatation, courbure, distorsion,...2) A partir du PPV et de la définition des variables généralisées, retrouver quelques équationsd’équilibre et quelques conditions aux limites.1.2 Plaques minces axisymétriquesIntégrer l’équation des plaques minces pour trouver déplacement, moments, courbures...,dans le cas de disques de rayon a :– soumis à un moment fléchissant uniforme Mr sur la périphérie– encastré à la périphérie et soumis à une force F normale à son plan en son centre– en rotation à la vitesse angulaire ω1.3 Différences finiesAppliquer la méthode des différences finies pour résoudre le problème d’une plaque mincecarrée, de côté a, simplement appuyée sur son contour et soumise à une densité uniforme dechargement p appliquée normalement à son plan moyen.On adoptera une maille carrée de côté a/4 et on exploitera les symétries du problème.1.4 Flambement d’une plaque en flexion cylindriqueUne plaque mince, de longueur infinie, est soumise dans son plan, dans le sens de sa largeur, 0à un effort de compression Nxx .Olivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  25. 25. 24 Exercices d’application1) Ecrire l’équation différentielle que doit vérifier le déplacement transversal w(x).2) La plaque est appuyée en x = 0 et x = L (L est la largeur) ; donner l’expression du déplace-ment normal et des charges de flambement. Discuter la charge de flambement critique.1.5 Flambement d’une plaque rectangulaireIl s’agit de l’étude du flambement linéaire d’une plaque mince, rectangulaire (longueur a selonx, largeur b selon y), isotrope, qui fléchit sous l’action d’une charge uniforme de compression 0Nxx . Les hypothèses adoptées sont en outre celles de Von Karman, et on admettra que lesconditions aux limites au bord sont du type appui simple.1) Rappeler les hypothèses de Von Karman et établir que les taux de déformation virtuelsassociés à la part non-linéaire sont : ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1 ∗ ∗ Dxx = w,x w,x ; Dyy = w,y w,y ; Dxy = (w,x w,y + w,y w,x ) 22) Montrer que la puissance virtuelle associée aux charges de flambage est : NL Pi∗ =− 0 ∗ Nxx w,x w,x dA A3) En déduire que l’équation d’équilibre est : 0 Mxx,xx + 2Mxy,xy + Myy,yy + Nxx w,xx = 04) Montrer alors que l’expression de la charge de compression est : 2 m n2 a Nxx,mm = π 2 D 0 + a mb2où D est la rigidité à la flexion de la plaque et m, n sont des entiers.5) Le flambement de la plaque apparaît pour la plus faible valeur de la charge, qui intervientpour une valeur fixée de m, lorsque n = 10, ce que l’on vérifiera aisément.Si on pose : 2 0 π2D µ m a Nxx,m1 = Km ; Km = + ; µ= b2 m µ bLe coefficient Km est le facteur critique de flambement, lorsque son minimum est atteint.Représenter graphiquement ce facteur en fonction de l’élancement a/b et de m.– Lorsque a < 2, pour quelle valeur de m le minimum est-il obtenu ? cas particulier de la b charge critique de flambement d’une plaque carrée.– Lorsque a > 2, vérifier que la charge critique est obtenue pour des valeurs m > 1, m donnant b également le nombre de demi-ondes associées au mode propre correspondant.Année universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  26. 26. 25 - Chapitre 2 -Problèmes de plaques2.1 Plaque en tractionObjectif : étude d’une plaque en traction.La plaque est repérée dans le système cartésien (O, x1 , x2 , x3 ). Son plan moyen est supposécontenu dans le plan 0x1 x2 . On fait l’Hypothèse des Petites Perturbations et on suppose queles matériaux considérés sont élastiques, linéaires et isotropes. On utilisera les notations ducours lorsqu’elles ne sont pas précisées.Les parties 2.1.2 et 2.1.3 sont indépendantes.2.1.1 Théorie1) On considère la cinématique suivante associée à la théorie naturelle :   u1 (x1 , x2 , x3 , t) = v1 (x1 , x2 , t) + x3 β1 (x1 , x2 , t) u2 (x1 , x2 , x3 , t) = v2 (x1 , x2 , t) + x3 β2 (x1 , x2 , t)  u3 (x1 , x2 , x3 , t) = w(x1 , x2 , t)Pour le cas d’une plaque en membrane, préciser les termes à négliger, et donner :– les déformations HPP,– la relation contraintes-déformations– la loi de comportement.2) On rappelle le Principe des Puissances Virtuelles sur le domaine plaque, noté V (V = e eΩ × − 2 , 2 , où e est l’épaisseur de la plaque) : f : Ω −→ REtant données F : ΓF −→ ROlivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  27. 27. 26 Problèmes de plaquestrouver U ∈U tel que ∀U∗ ∈ U * : T T ρU∗ U,tt dΩ = − D∗ (U∗ )σ (U)dΩ Ω Ω T T + U∗ fdΩ + U∗ FdΓF Ω ΓFOn simplifiera l’expression ci-dessus pour le cas d’une plaque sollicitée en membrane enutilisant 1). On ramènera alors le problème tridimensionnel initial en un problème formulésur le plan moyen en introduisant les grandeurs suivantes :R0 , Nαβ , pα , Pα que l’on aura pris soin de définir.2.1.2 Modèle continu1) A partir des développements du 2.1.1, on explicitera les équations d’équilibre de la plaque : 1. à l’intérieur Ω, 2. sur le bord ΓF .2) Introduire le comportement dans les équations d’équilibre.3) En déduire les équations d’équilibre en terme de déplacement.4) Pour l’exemple de la figure II.2.1 (plaque de longueur L et de largeur a, d’épaisseur e,encastrée sur le bord x1 = 0. Elle est soumise à une force de traction F1 sur le bord x1 = L),on explicitera les conditions aux limites de type cinématique à vérifier. x2 a x1 L Photo II.2.1 – Description du chargement de la plaque.2.1.3 Méthode des éléments finisObjectif : construire l’élément fini quadrilatère isoparamétrique à quatre noeuds et deuxdegrés de liberté (ddl) par noeud (v1 , v2 ).On sera amené à résoudre le système algébrique KQ = g.– K matrice de rigidité– Q vecteur des degrés de liberté– g chargement1) On adopte les notations matricielles du cours. On discrétise la plaque en utilisant deséléments de plaque au niveau du plan moyen sous la forme Ω = ∪Ωe , e = 1, nelem . Expliciter lePrincipe des Puissances Virtuelles sur le domaine discrétisé, en statique et en négligeant lesforces de volume fi .Année universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  28. 28. 2.2 Plaque en flexion 272) Rappeler les fonctions d’interpolation Nb (ξ, η) pour i = 1, 4 de l’élément quadrilatère isopa- iramétrique à quatre noeuds. On en déduira l’interpolation de la géométrie et des grandeurscinématiques. On précisera l’expression du vecteur des degrés de liberté Qe .3) Rappeler l’expression de la matrice jacobienne J e .Notations : pour alléger l’ensemble des écritures, on notera par la suite :– jαβ les composantes de J e −1– ijαβ les composantes de J e = IJ e .4) Construire la matrice de rigidité Ke de cet élément fini sur le domaine générique ΩeNotations :– on conviendra de ne pas effectuer les produits matriciels.– il est conseillé de définir une matrice de transformation géométrique, notée TM– et une matrice contenant les dérivées partielles (par rapport aux coordonnées réduites) des fonctions d’interpolation, notée BM.5) Application : on s’intéresse à l’exemple de la figure II.2.1. La plaque est discrétisée avecun seul élément quadrilatère à quatre noeuds.5-a) Définir alors (à l’aide d’une figure simple) la transformation géométrique entre l’élémentde référence et l’élément réel et donner les expressions des matrices suivantes en fonction dea et de L : −1Je et Je , le déterminant de la matrice jacobienne |Je | et TM.5-b) On convient, afin de simplifier les calculs, d’encastrer le bord x2 = 0. Expliciter la restric-tion de la matrice BM et du vecteur Q au problème considéré.5-c) On remplace la force de traction sur le bord x1 = L par une force appliquée directementau point de coordonnées (L, a). Expliciter le second membre g du système algébrique.5-d) Calculer la matrice de rigidité K en prenant en compte les simplifications introduites en5-a -b -c). On utilisera le schéma d’intégration numérique réduite à 1x1 point de Gauss. Lesvaleurs sont données dans le tableau ci dessous : schéma coordonnées poids d’intégration ξi ηi wξi wηi 1x1 0 0 2 26) Résoudre le système algébrique obtenu par la méthode des éléments finis pour les donnéessuivantes :– dimensions : a = 5cm– propriétés du matériau : E = 106 N/cm2 ; L = 10cmν = 0, 3 ; e = 1cm.– chargement : force au point de coordonnées (L, a) orientée suivant l’axe x1 : F1 = 1N .2.2 Plaque en flexionDans les études proposées, le comportement du matériau isotrope est supposé élastique,linéaire, sans amortissement.Olivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  29. 29. 28 Problèmes de plaques2.2.1 Etude d’une paroi d’échangeur :Une plaque carrée, de côté 2a, d’épaisseur h, sépare, à l’intérieur d’un échangeur de chaleur,un fluide "primaire" (température T1 ) et un fluide “secondaire" (température T2 ). y T1 T2 2a x h 2a Photo II.2.2 – représentation de la paroi de l’échangeur1) Cette plaque est soudée sur un raidisseur périphérique massif que l’on supposera immobile.Quels sont, à votre avis, les points qui doivent être vérifiés pour garantir la tenue mécaniquede cette paroi ?2) Les deux fluides sont à la même température, supérieure à la température de mise en placede la plaque T0 .(T1 = T2 = Tm > T0 ) 1. Exprimer la loi de comportement en termes de contraintes généralisées (efforts de mem- brane, moments fléchissants..). On précisera les notations utilisées et on explicitera les termes qui interviennent. 2. Quel état de contrainte et de déplacement prévoyez-vous ?3) Même question, mais cette fois, le régime thermique établi au sein de la paroi est représentésur la figure II.2.3 : T T1 T2 z h h 2 2 T1 +T2 Photo II.2.3 – répartition de la température : Tm = 24) Expliquer succinctement quel type de problème poserait la liaison d’éléments de membrane-flexion de continuité C 1 (paroi) et d’éléments de poutre (raidisseurs périphériques) ?2.2.2 Modélisation numérique d’une plaque :La plaque précédente, encastrée sur le contour, est soumise cette fois à la seule action d’unepression uniforme p (p1 − p2 ) agissant normalement à son plan moyen (voir figure II.2.4). Lesforces d’inertie éventuelles sont négligées. On souhaite modéliser cette plaque en utilisantdes quadrilatères à 4 noeuds, isoparamétriques, de continuité C 0 , avec prise en compte du ci-saillement transverse, et utilisant les mêmes fonctions d’interpolation pour chacun des degrésde liberté.Année universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  30. 30. 2.2 Plaque en flexion 29 y p 2a 4 3 h 1 2 x Photo II.2.4 – modélisation de la plaque1) Rappeler la nature des degrés de liberté et l’expression des fonctions d’interpolation encoordonnées paramétriques (ξ η). Justifier leur validité (notations du cours).2) Donner l’expression de la matrice jacobienne de la transformation géométrique.3) Par symétrie, on ne maille qu’un quart de la plaque avec un seul élément fini (voir figure).a) Préciser la valeur du jacobien pour cet élément ainsi que de son déterminant.b) Donner l’expression des matrices, relatives à un noeud gj liant les déformations et lesdéplacements nodaux, en distinguant effet de membrane, de flexion et de cisaillement.c) En considérant le cas particulier étudié, montrer que la matrice de rigidité peut être réduiteà un seul terme dont l’expression est : 10hµ 2 2 ϕg3 ,ξ + ϕg3 ,η 3a2 Ωe– Ωe domaine de l’élément– ϕg3 fonction d’interpolation relative au noeud 3.Le second membre correspondant est ici : ϕg3 (ξ, η)pdΩ Ωe(il n’est pas demandé de le démontrer)En utilisant une intégration numérique de Gauss à un seul point, déterminer la valeur dudéplacement transversal w au centre de la plaque.Rappel :– Point d’intégration ξ1 = η1 = 0– poids w1 = 4Olivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  31. 31. 30 Problèmes de plaquesAnnée universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  32. 32. BIBLIOGRAPHIE 31Bibliographie [1] G. Duvaut. Mécanique des Milieux Continus. Masson, 1990. [2] P. Germain. Cours de mécanique des milieux continus. Masson, 1962. [3] D. Gay and J. Gambelin. Une approche simple du calcul des structures par la méthode des éléments finis. Hermes, 1989. [4] J. C. Craveur. Modélisation des Structures ; Calcul par Eléments Finis. Masson, 1997. [5] J. L. Batoz. Modélisation des structues par éléments finis - Poutre et plaques. Hermes, 1990. [6] J. L. Batoz. Modélisation des structures par éléments finis - Solides élastiques. Hermes, 1990. [7] J. F. Imbert. Analyse des structures par éléments finis. Cepadues - Sup’Aero, 1984. [8] P. Trompette. Mécanique des structures par la méthode des éléments finis. Masson, 1992. [9] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor. The Finite Element Method (Fourth Edition) Volume I and II. McGRAW-HILL BOOK COMPANY, 1987.[10] K. J. Bathe. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice-Hall - Inc - Englewood Cliffs - New Jersey 07632, 1982.[11] T. J. R. Hughes. The Finite Element Method ; Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Prentice Hall, 1987.Olivier PANTALE Année universitaire 2008/2009
  33. 33. 32 BIBLIOGRAPHIEAnnée universitaire 2008/2009 Olivier PANTALE
  34. 34. 33Indexcoefficient de cisaillement, 12efforts normaux, 9efforts tranchants, 9intégration réduite, 19Love-Kirchoff, 8, 9matrice de masse, 20matrice de rigidité, 18moment de distorsion, 9moments fléchissants, 9plaque, 7Reddy, 8Olivier PANTALE Année universitaire 2008/2009

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