Apresentação sobre problemas de otimização e funções quadráticas.

1. Resolvendo problemas de otimização através de
funções quadráticas
Professora: Vânia Leitão

2. Intuição x Matemática
Encontramos na natureza e no cotidiano diversas situações que nos
exigem uma tomada de decisão. Muitas vezes, usamos apenas nossa
intuição para realizarmos escolhas, porém nem sempre a intuição é a melhor
maneira para resolver isso.
Uma excelente ferramenta que pode nos auxiliar nestes momentos é a
matemática. Dentre o arcabouço de soluções que a disciplina nos oferece,
encontramos a possibilidade de descrever, com funções, situações reais.

3. O que é um problema de otimização?
Um problema de otimização é aquele onde se procura determinar os
valores extremos de uma função, isto é, o maior ou o menor valor que uma
função pode assumir em um dado intervalo.
Problemas de otimização são comuns em nossa vida diária e aparecem
quando procuramos determinar, por exemplo, o nível de produção mais
econômico de uma fábrica, o ponto da órbita de um cometa mais próximo
da terra, a velocidade mínima necessária para que um foguete escape da
atração gravitacional da terra, etc.

4. Problema 1
A potência elétrica de um circuito por um gerador é expressa por P =
18i – 3i² (SI), onde i é a intensidade da corrente elétrica. Calcule a
intensidade da corrente elétrica necessária para se obter a potência
máxima do gerador.
Observe que a função P é uma função quadrática com a < 0, portanto seu gráfico
tem a com concavidade voltada para baixo. Logo, para calcular a intensidade da
corrente elétrica e obter o valor máximo, basta calcular a abscissa do vértice do
gráfico da função. Ou seja,
imáximo=− b
2a

5. Problema 2
Com 80 metros de tela deve-se construir uma cercado para aves,
aproveitando um muro como um dos lados do cercado. Quais os
valores das dimensões do retângulo para que o cercado tenha uma área
máxima?
Obs: Lembrando que área do retângulo é dado pelo produto da medida da largura pela medida do
comprimento.

6. Observe que 2x + m = 80. Logo, podemos escrever m = 80 – 2x. Assim, a área do
retângulo é dada pela função A = x (80 – 2x) = 80x – 2x².
Logo, para obter o valor de x que possibilita a area máxima do cercado, basta calcular a
abscissa do vértice do gráfico da função A. Ou seja,
xmáximo=− b
2a

7. Vimos aqui apenas dois exemplos de problemas de otimização onde
podemos utilizar uma função quadrática para obter as soluções.
Os problemas de otimização são amplamente utilzados em diversas
áreas como, por exemplo, Economia, Física, Biologia e etc.

8. Referências
UFRJ. Disponível em: <
http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap101s4.html>. Acesso em:
11/10/2014
MEC. Otimização da cerca. Guia do Professor.indd. Matemática. Disponível em: <
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_3.pdf>. Acesso em: 11/10/2014
LIMA, Elon Lages et. al. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 1. 5. ed. Coleção do professor de Matemática.
Rio de Janeiro: SBM, 2001. p. 237.