Phase Field

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The phase-field method is briefly described. The phase-field equations are derived from both thermodynamic and kinetic arguments. The application to solidification is discussed.

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Phase Field

  1. 1. 1 Modélisation des procédés et des microstructures Modélisation en champ de phase Valentin Chapuis 12.12.2008 Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  2. 2. 2 Plan • Applications • Champ de phase – Définitions – Modèle thermodynamique • Modéliser la solidification – Un modèle simple : métal pur • Complexifications – Anisotropie – Alliages binaires AB • Modèle géométrique – Solidification d’un alliage binaire Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  3. 3. 3 Applications • Solidification • Transformations à l’état solide • Coalescence et croissance de grains • Propagation de fissures • Dynamique des dislocations • … Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  4. 4. 4 Champ de phase – définitions (I) • « Modèle qui traite une interface microscopiquement abrupte comme une zone diffuse immergée dans la zone de calcul », Beckermann and al., [2] • « Méthode qui utilise des arguments thermodynamiques et cinétiques pour décrire l’évolution d’une microstructure sans suivre l’interface », L.Q. Chen, [1] Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  5. 5. 5 Champ de phase – définitions (II) • « Méthode qui utilise une variable de phase, fonction du temps et de l’espace, pour décrire l’état du matériau. Le comportement de cette variable est gouvernée par une équation couplée aux équations de conservations traditionnelles », W.J. Boettinger and al., [3] • « Méthode qui décris une microstructure (i.e. les domaines et les interfaces) comme un tout en untilisant une ou plusieurs variables de champ », L.Q. Chen, [1] Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  6. 6. 6 Variable de phase Φ (I) • Décrit localement l’état du matériau (phase, paramètre d’ordre, orientation, …) • Varie d’une manière rapide mais continue sur les interfaces Boettinger et al., [3] x Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  7. 7. 7 Variable de phase Φ (II) Boettinger et al., [3] Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  8. 8. 8 Modèle thermodynamique • L’évolution d’une microstructure mène toujours à une augmentation de l’entropie totale du système S, donc à une diminution de l’énergie libre totale F U TS, qui peut contenir plusieurs contributions (interfaces, déformation élastique, magnétisation, …) • On cherche la valeur de Φ qui localement permet de diminuer/minimiser l’énergie libre F, sous l’action d’un champ externe appliqué (température, champ électrique, contrainte,…) Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  9. 9. 9 Energie libre totale • Considérons le cas (simple) d’une variable de champ unique évoluant sous l’effet des champs de température et de concentration. 2 2 2 2 c F f ( , c, T ) c V 2 2 • f(Φ,c,T) = énergie libre locale • ε = coefficient de gradient Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  10. 10. 10 Fonction d’énergie libre locale (I) • Le choix de f est arbitraire et dépend du phénomène à modéliser, mais toujours une fonction contenant plusieurs états d’équilibre séparés par une barrière d’énergie •Dynamique des dislocations : f( ) f sin 2 ( ) •Décomposition d’une phase: 1 2 1 4 f( ) 4 f 2 4 •Croissance de grains : 1 2 1 4 2 2 f ( 1, 2 ,...) 4 f i i i j 2 i 4 i i j i Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  11. 11. 11 Fonction d’énergie libre locale (II) • Solidification (0=solide, 1=liquide) – Beaucoup de fonctions différentes, dépendantes du type de solidification – Souvent, deux contributions principales • Fonction « double-well » g(Φ)  Différencie les phases • Fonction d’interpolation p(Φ)  Effet d’un champ appliqué f ( , v) W g ( ) p( ) G (v ) – Exemple: composé pur 2 2 15 2 3 1 5 f ( ,T ) 4 f (1 ) T Tm 8 3 5 G f (1, T ) f (0, T ) T Tm Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  12. 12. 12 Fonction d’énergie libre locale (III) • Formes de la fonction double puits g(Φ) et de la fonction d’interpolation p(Φ) Boettinger et al., [3] Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  13. 13. 13 Equations de champ de phase • Situations non-stationnaires – Si les coefficients de gradient sont constant Allen-Cahn Cahn-Hilliard p ( r , t) F ci ( r , t ) F L pq M ij t ( r , t) t c j ( r , t) q f 2 2 c f 2 2 M M c c(1 c) ( c c) t t c Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  14. 14. 14 Solidification d’un métal pur (I) 1. Définir la fonction d’énergie libre locale Tm T Boettinger and al., [3] f ( ,T ) W g( ) L p( ) Tm 2 2 g( ) (1 ) 3 2 p( ) (6 15 10) 2. Introduire f dans l’équation de Allen-Cahn 2 2 2W 30M L 2 M 2 (1 )(1 2 ) (Tm T) (1 )2 t Tm Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  15. 15. 15 Solidification d’un métal pur (II) L Tm T G G L (T ) G S (T ) L T L Tm Tm -SL GL(T) G L (T ) S LT HL GS(T) G S (T ) SST HS -SS L SL SS SF Tm HL HS HF L T Tm Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  16. 16. 16 Solidification d’un composé pur (III) 3. Lier les paramètres W, εΦ, MΦ aux paramètres physiques Tm W 3 M 6 6 L • δ = épaisseur de l’interface • = énergie interfaciale solide-liquide • L = chaleur latente de fusion • μ = coefficient cinétique Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  17. 17. 17 Anisotropie (I) • Les énergies d’interface sont généralement anisotropiques et cela peut avoir un effet important sur la morphologie de croissance de la structure considérée • Le coefficient εΦ devient une fonction de l’angle θ entre la normale à l’interface et l’axe x (cas 2D), défini par: x Φ=0 / y n tan( ) Φ=1 / x θ y Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  18. 18. 18 Anisotropie (II) • L’énergie libre F devient alors 2 2 1 2 1 2 F f ( , c, T ) c c ( ) v 2 2 • Ce qui mène à une formulation plus complexe des équations de Allen-Cahn et Cahn-Hilliard, puisque le coefficient εΦ est maintenant fonction de la variable de phase Anisotropie cubique lors de la solidification de Ni pur. Chen, [1] Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  19. 19. 19 Alliage binaire AB • Construction de f(Φ,c,T) 1. Construire une fonction qui décris à la fois le liquide et le solide du composé i fi ( ,T ) (1 p( )) f i s (T ) p( )) f i l (T ) Wi g ( ) 2. Construire la fonction qui représente une solution (ici régulière  εAA ≠ εBB ≠ εAB) des composés en présence f ( , c, T ) (1 c) f A ( , T ) cf B ( , T ) RT (1 c) ln(1 c) c ln( c) c(1 c) S (1 p( )) L p( ) AA BB AB 2 Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  20. 20. 20 Modèle géométrique (I) • Considérons une variable de phase Φ(x,y,z,t). L’interface est alors représenté par une valeur constante de Φ (p. ex. 0.5). • Sa normale est donnée par n • Et sa courbure 1 2 n Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  21. 21. 21 Modèle géométrique (II) • La description de l’interface liquide-solide est donnée par l’équation de Gibbs-Thomson – Alliage binaire, énergie de surface isotrope vn k Tm mL c L T k T Tm SF L • La vitesse normale à l’interface est donnée par 1 vn t Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  22. 22. 22 Modèle géométrique (III) • On substitue vn et κ pour obtenir 2 vn k k T t • Cette équation ne donne pas de solution unique, il est nécessaire de spécifier un profil type Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  23. 23. 23 Modèle géométrique (IV) • En utilisant un potentiel en double puits pour la dérivation du modèle, on définit la variation de Φ dans la direction perpendiculaire à l’interface n comme: 1 0.9 0.8 0.7 0.6 1 n 1 tanh 0.5 2 2 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 n 2 Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  24. 24. 24 Modèle géométrique (IV) • On obtient alors les relations suivantes (1 ) n 2 (1 )(1 2 ) n2 2 • En substituant dans l’équation de phase 2 (1 )(1 2 ) (1 ) k 2 k T t Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  25. 25. 25 Modèle géométrique (V) • L’équation de variation de la concentration est obtenue par loi de mélange de la loi de Fick c (1 ) DS cS DL cL t • Les concentrations du liquide et du solide sont exprimées en fonction de la concentration nominale c kc cL cS k (1 ) k (1 ) Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI
  26. 26. 26 Références 1) Phase-field models for microstructure evolution, L.-Q. Chen, Annu. Rev. Mater. Res. 2002, 32, pp.113-140 2) Modeling Melt Convection in Phase-Field Simulations of Solidification, C. Beckermann and al., Journal of Computational Physics 1999, 154, pp.468-496 3) Phase-Field Simulation of Solidification, W.J. Boettinger and al., Annu. Rev. Mater. Res. 2002, 32, pp.163-194 Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI

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