Construccion de graficas y ecuaciones empiricas

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
FACULTAD DE INGENIERIA
E.A.P AGROINDUSTRIAL
CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS Y ECUACIONES
EMPÍRICAS
CURSO :FISICA 1
GRUPO : “C”
DOCENTE :LIC. VERA MEZA SECUNDINO.
INTEGRANTES :VEGA VIERA JHONAS ABNER.
MUÑOZ ROJAS ANDREA GISELA
CICLO: “III”
NUEVO CHIMBOTE - PERÚ
2013

FACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL
I. RESUMEN
La construcción de gráficas nos sirve para predecir el
comportamiento de variables relacionadas entre sí a través de una
ecuación, en el presente informe trataremos sobre tres
experiencias.
La primera experiencia basada en la Ley de Hooke; muestra una
función lineal con variables de deformación experimentado por el
resorte (Li) y del peso aplicado al resorte (Pi), la cual realizaremos
mediante el método visual y el método de los mínimos cuadrados.
La segunda experiencia basada en la caída libre de los cuerpos;
muestra una función potencia con variable de tiempo (Ti) y de
espacio recorrido (Hi); realizado mediante el método de los
mínimos cuadrados.
La última experiencia, basada en la descarga de un condensador
nos muestra una función exponencial con variables de tiempo de
descarga (Ti) y de diferencia potencial en el condensador (Vi);
realizado mediante el método de los mínimos cuadrados.
II. OBJETIVOS
Dados los datos experimentales de tres experiencias realizadas en
la UNS, graficarlos en papel milimetrado, identificar el tipo de
curva y determinar su ecuación empírica.
Aplicar cambio de variables y/o logaritmos para transformar la
ecuación de una curva (exponencial, potencial, logarítmica, etc.) a
una recta.
Aplicar el método de los mínimos cuadrados para hallar la
ecuación empírica de una recta y representarlo gráficamente.
III. FUNDAMENTO TEÓRICO
Una variable es un símbolo como x, y, z, etc. que representa a
una cantidad a la cual puede asignársele, a una variable se le
puede asignar un número ilimitado de valores.
Si a cada valor que puede tomar una variable x corresponde uno
o más valores de una variable y se dice que y es función de x y
se escribe:
C O N S T R U C C I Ó N D E G R Á F I C A S Y
E C U A C I O N E S E M P Í R I C A S

X  Variable Independiente
Y  Variable Dependiente
A la variable “x” se le llama Independiente, porque toma el valor el
valor que se le asigne; y a la variable “y” se le llama Dependiente,
porque toma los valores que satisfacen la relación particular.
Las funciones se representan gráficamente en un sistema de
coordenadas rectangulares, mediante puntos que satisfacen la ecuación:
y = f(x).
Estas gráficas pueden ser líneas rectas o curvas, las que representan el
lugar geométrico de los puntos que cumplen la ecuación.
La pendiente “b” de la ecuación de una recta y = a + bx, tal como la
representada en la figura1, que pasa por los puntos P(x, , y,) y Q(x, , ,
y, , ) , se define por :
Muchas leyes de la física se expresan mediante la ecuación de una recta,
como ejemplo tenemos el M.R.U.: e = v.t. donde y=e, x =t, a=0, b=v
Así también tenemos funciones de la forma:
y = f(x)

FUNCION POTENCIAL FUNCION EXPONENCIAL
FUNCION LOGARITMICA
La prolongación de una pequeña cantidad de una línea recta o curva por
cualquiera de sus extremos se llama “extrapolación” y es una técnica útil
para obtener coordenadas en forma aproximada, propias de la gráfica que
no se tenían inicialmente obteniéndose valores fuera del intervalo
experimental. La extrapolación no es un proceso seguro, por lo que se debe
tener cuidado en su utilización.
Otra técnica es la “interpolación”, que consiste en obtener una de las
coordenadas por ejemplo x’, fijada la otra, es decir y’, a través de la
correspondencia que establece entre ambas la gráficas.
Y
X
Figura N°04

Si la gráfica no es una recta, ¿Cómo encontrar los valores de A y B en la
función potencia?. Una técnica muy empleada es aplicando logaritmos y
cambio de variable.
Tenemos:y = AxB
Aplicando logaritmo: ln y = ln A + B ln x
Cambio de variable: r = ln y, x = ln x, a = ln A, b = B
Reemplazando: r = a + bx …………..Ecuación de la recta
METODOS DE LOS MINIMOS CUADRADOS
En un experimento realizado en el laboratorio se han medido cantidades de
2 magnitudes físicas x e y , con el propósito de descubrir o de verificar la
ley física que las vincula. Como consecuencia, se han obtenido n pares de
valores (xi ,yi) que representados gráficamente muestran un conjunto de
puntos que sugiere la forma de una línea recta.
Existe 2 formas de hacer éste gráfico:
1. Trazando directamente la línea recta entre los puntos (Método
visual).
2. Encontrando los parámetros a y b de la ecuación de la recta y = a +
bx, por el método de los mínimos cuadrados y luego graficarlo.
Donde a y b se calcula con las siguientes fórmulas:
……. (2) …….. (3)
Figura N°05 Figura N°06

Las desviaciones estándar de a y b se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:
……. (4) …… (5)
IV. PARTE EXPERIMENTAL
4.1 Instrumento y materiales:
Calculadora
Juego de pistoletes, regla, lapiz y borrador.
5 unidades de papel milimetrado.
4.2 Procedimiento:
Los puntos de las gráficas deben tener sus incertidumbres bien
marcadas sobre ellos (con un rectángulo o una cruz), y los ejes
están debidamente identificados. Tanto el tipo de incertidumbre
como cualquier símbolo empleado para rotular los ejes deberán de
identificarse explícitamente en forma claro, sobre o junto a la
gráfica.
Para representar una curva o recta gráficamente en un papel
gráfico, indique cada punto experimental con una señal encerrada
por un círculo pequeño o cruz, previamente escoger una escala para
cada variable física en forma adecuada. Después de indicar los
puntos experimentales, dibuje lo mejor posible una curva o recta
continua que pase entre los puntos. Algunas veces no es posible
dibujar una curva o recta que pase por todos los puntos trazados.
En este caso, quedarán algunos puntos a uno y otro lado de la curva
o recta.
Cuando aparezcan dos o más curvas en la misma gráfica se deberán
utilizar distintos símbolos para cada grupo de datos.
4.3 TABULACIÓN DE DATOS
En el laboratorio de Física de la UNS se realizaron los siguientes
experimentos:

a. Experimento Nº 01: Ley de Hooke
Tabla Nº 1
Li (m) 0,052 0,102 0,155 0,206 0,258
Pi (N) 1,96 2,94 3,92 4,90 5,88
Donde:
Li = Deformación experimentada por el resorte
Pi = Peso aplicado al resorte que esta suspendido por uno de
sus extremos.
b. Experimento Nº 02: Caída libre de un cuerpo
Tabla Nº 2
Ti (s) 0,112 0,155 0,189 0,216 0,264 0,306 0,334 0,362 0,391 0,419
Hi(m) 0,08 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 0,6 0,7 0,8
Donde:
Ti = Tiempo que demora en recorrer el espacio Hi.
Hi = Espacio recorrido por el cuerpo que cae.
c. Experimento Nº 03: Descarga de un condensador
Tabla Nº 3
Ti(s) 0,00 4,14 7,58 11,87 13,97 16,92 20,24 24,16 28,65 37,10 46,51
Vi(v) 15 12 10 8 7 6 5 4 3 2 1
Donde:
Ti = Tiempo de descarga.
Vi = Diferencia de potencial en el condensador.
Con estos datos experimentales hacer las siguientes gracficas:
P versus L H versus T V versus T

V. RESULTADOS
1. Experimento: Ley de Hooke
Cuadro 1: Ley de Hooke
n L (m) P (N) L2
(m2
) L P(Nxm) P2
(N2
)
1 0.052 1.96 0.002704 0.10192 3.8416
2 0.102 2.94 0.010404 0.29988 8.6436
3 0.155 3.92 0.024025 0.60760 15.3664
4 0.206 4.90 0.042436 1.00940 24.01
5 0.258 5.88 0.066564 1.51704 34.5744
Total 0.773 19.6 0.146133 3.53584 86.436
Utilizando la fórmula 2
a = 0.983974882
b = 18.99110684
Fórmula Empírica: P = 0.983974882 + 18.99110684 L
Buscando “r” (coeficiente de correlación lineal)

Cuadro 2 : Ley de Hooke
N Li (m) Pi (N)
1 0.052 1.97129
2 0.102 2.92095
3 0.155 3.92759
4 0.206 4.89624
5 0.258 5.88383
Total 0.773 19.59996
Reemplazando los Datos:
2. Experimento: Caída Libre de un Cuerpo
H = A T B
Haciendo un cambio de variable:
H = A T B
LnH = lnA + B lnT
H = a + bt, donde: h = lnH
a = ln A
b = B
t = lnT

Cuadro 3 : Caída libre de los Cuerpos
n t = lnT (s) h = lnH (m) t 2
(s 2
) t h (m.s)
1 -2.189264080 -2.995732274 4.79286 6.55846
2 -1.864330162 -2.302585093 3.47573 4.29279
3 -1.666008264 -1.897119985 2.77559 3.16062
4 -1.532476871 -1.609437912 2.34849 2.46643
5 -1.331806176 -1.203972804 1.77372 1.60346
6 -1.184170177 -0.9162907319 1.40226 1.08504
7 -1.096614186 -0.6931471806 1.20255 0.16012
8 -1.016111067 -0.5108256238 1.03248 0.51906
9 -0.939047719 -0.3566749439 0.88185 0.53493
10 -0.869884359 -0.2231435513 0.75669 0.18411
Total -13.68970569 -12.7089301 20.44216 20.97497
lnA = a ea
= A A = 4.988510065

b = 2.102331875 B = 2.102331875
H = A TB
H = 4.988510065 T2.102331875
Buscando “r” (coeficiente de correlación lineal)
n t (s) h (m)
1 -2.18926 -2.99733
2 -1.86433 -2.31394
3 -1.66601 -1.89683
4 -1.53248 -1.61599
5 -1.33181 -1.19394
6 -1.18417 -0.88343
7 -1.09661 -0.69927
8 -1.01611 -0.52996
9 -0.93905 -0.36789
10 -0.86988 -0.22241
Total -13.68971 -12.72099
Reemplazando datos:

c) Experimento: Descarga de un Condensador
V = A e BT
Haciendo un cambio de variable:
V = A e BT
LnV = lnA + BT
v = a + bt, donde: v = lnV
a = ln A
b = B
t = T
Cuadro 5: Descarga de un Condensador
n t (s) V (v) t 2
(s2
) t v (v.s) v2
(v2
)
1 0.000 15 0.00000 0.000000 225
2 4.14 12 17.1396
49.68
144
3 7.58 10 57.4564
75.8
100
4 11.87 8 140.8969
94.96
64
5 13.97 7 195.1609
97.79
49
6 16.92 6 286.2864
101.52
36
7 20.24 5 409.6556
101.2
25
8 24.16 4 583.7056
96.64
16
9 28.65 3 820.8225
85.95
9
10 37.10 2 1376.410
74.2
4
11 46.51 1 2163.180
46.51
1
Total 211.14 73 6050.716
15413.22
673

a = -127.9767776
b = 7.013093463
Buscando “r”
n t (s) v (v)
1 0.000 2.74297
2 4.14 2.50624
3 7.58 2.30955
4 11.87 2.06424
5 13.97 1.94417
6 16.92 1.77548
7 20.24 1.58565
8 24.16 1.36150
9 28.65 1.10476
10 37.10 0.62159
11 46.51 0.08353
Total 211.14 18.09968

Reemplazando datos:
VI. CUESTIONARIO
1. De las gráficas obtenidas, con qué tipo de funciones los puede
relacionar.
El primer Experimento (Ley de Hooke); como se pudo observar que
se trata de una función lineal:
P = a +bL
El segundo Experimento (Caída Libre de los Cuerpos); trata sobre una
función Potencia:
H = A T B
El tercer Experimento (Descarga de un Condensador); trata sobre
una función exponencial :
V = A e BT
2. Una vez identificadas las gráficas, la que corresponde a una
recta, determinar su ecuación empírica por el método visual y
también por el método de los mínimos cuadrados.
La gráfica que corresponde a una recta, es la gráfica del primer
experimento (Ley de Hooke), cuya ecuación empírica es:
o Método Visual: P = + L
o Método de los Mínimos Cuadrados: P = 0.983974882 +
18.99110684 L
3. Para las gráficas curvas, transformarlos a una recta y
determinar la ecuación empírica de las curvas.
En el segundo y tercer experimento se puede observar que sus
gráficas pertenecen a curvas.
o El Segundo Experimento: Caída Libre de los Cuerpos. Trata
sobre una curva de la forma: H = A T B
(potencial).
Transformación a una recta:
H = A T B
LnH = lnA + B lnT

H = a + bt, donde: h = lnH
a = ln A
b = B
t = lnT
Ecuación Empírica: h = 1.60712 + 2.1032 t
La ecuación de la curva es: H = 4.98862 T 2.10236
o El Tercer Experimento: Descarga de un Condensador. Trata
sobre una curva de la forma: V = A e BT
(Exponencial)
Transformando a una recta:
V = A e BT
LnV = lnA + BT
v = a + bt, donde: v = lnV
a = ln A
b = B
t = T
Ecuación Empírica: v = 2.74297 – 0.05718 t
La ecuación de la curva es: V = 15.53305 e –0.05718 t
4. Dar tres ejemplos de leyes de ecuaciones físicas que
correspondan a una función lineal y de potencia. Identifique
cada variable y constantes.
Función Lineal
1. e = v.t, y = e (espacio)
x = t (tiempo)
a = o
b = V (velocidad)
2. VF = g.t y = VF (velocidad)
x = t (tiempo)
a = o
b = g (aceleración de la gravedad)

3. F = K.s y = F (fuerza de fricción)
x = s (deformación)
a = o
b = K (constante elástica)
Función Potencial
1. h = ½.g.t 2
y = h (altura)
x = t (tiempo)
a = ½.g (½ de la gravedad)
b = 2
2. f = T -1
y = f (frecuencia)
x = T (período)
a = 1
b = -1
3. T = 2 .w -1
y = T (período)
x = w (velocidad angular)
a = 2
b = -1
5. Para trazar una gráfica que corresponda a una recta, con cual
método es más conveniente trazar, con el Método Visual o
empleando el Método de los Mínimos Cuadrados. Porque?
Para el trazado de gráficas que corresponden a una rectas, es más
conveniente trazarla por el método de los mínimos cuadrados, ya que
posee mucha más exactitud que el método visual. Con el método
visual se corre el riesgo de trazar una recta equivocada, debido a que
las variables dependiente e independiente sufrirían cambios.
VII. DISCUSIÓN Y CONCLUSIÓN
Haciendo un análisis para el método visual y método de los mínimos
cuadrados, se llegó a la conclusión que:
El método visual es un análisis de la gráfica del cual se extraen los
elementos necesarios (pendiente y constante) para realizar la fórmula
empírica (Y = a + bx). Este método no es el más adecuado ya que se
trabaja en base a datos obtenidos mediante instrumentos de
medición, los cuales por más precisos que sean siempre tienen un
pequeño margen de error.

El método de los mínimos cuadrados trabaja en base a la aplicación
de los datos en fórmulas (fórmula 2 y fórmula 3), las cuales permiten
hallar con mayor exactitud la pendiente (b) y la constante (a); datos
necesarios para encontrar la fórmula empírica.
Por lo cual es recomendable utilizar el método de los mínimos
cuadrados.
VIII. BIBLIOGRAFÍA
D. C. BAIRD Experimentación Una Introducción a la teoría de
Mediciones al diseño de experimentos – 2° Edición – Editorial “Melo
S.A.” – México 1991.
http://www.google.com.pe/#q=construcci%C3%B3n+de+graficas.
http://dc306.4shared.com/img/ufUgxJQT/preview.html
http://dc140.4shared.com/doc/kHp5JlNW/preview.html

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