Vectores en el plano algebra lineal

VECTORES EN EL PLANO
Algebra lineal (Ing.Sist.)
Cálculo IV(G,B)

Semestre 99-00 C

Algebra lineal Vectores en el plano

El concepto de vector está motivado por la
idea de desplazamiento en el espacio

Si una partícula se mueve de P a Q
determina un segmento de recta dirigido
con punto inicial P y punto final Q

→
PQ
P Q


La magnitud del vector es la longitud de ese
desplazamiento y se denota por
→
PQ

S

P Q
R R S
→ →
Vectores de la misma magnitud PQ = RS

La dirección del vector viene dada por el
punto inicial y el punto final. En este
→ →
sentido
RS ≠ SR

Q
S
R Q P S
S
R
P R
Vectores de la Vectores en
misma direcciones distintas
dirección

Vectores Equivalentes
→ → Tienen la misma
PQ = RS magnitud y dirección

Q S

P R

Definición Geométrica

Un vector es el conjunto de todos los
segmentos dirigidos equivalentes

Eje y

O
Eje
x

Representante del vector por el origen de
coordenadas


A un vector u se le asocia el punto P(a,b)
así:
Eje Y

b P(a,b) →
u u = OP = (a, b)

O a
Eje X

(a,b) son las coordenadas del vector u
y también del punto P

Dado (a,b)∈ℜ2 se le asocia el vector u así:
Eje Y

P(a,b)
u=(a,b) b
u

O a
Eje X

Definición algebraica
Un vector es un par ordenado de
números reales


Punto P Vector u=OP
en el plano
desde el origen hasta P

(a,b)∈ℜ2
Esta correspondencia se llama:

Sistema de coordenadas rectangulares


Magnitud o norma Dirección θ de u
de un vector u Angulo positivo que
forma con el eje X
2 2 b
u = a +b tag θ =
a
Eje Y
Un vector de
(a,b)
norma uno se b
llama unitario u
θ
El vector nulo (0,0) a
no tiene dirección
O
Eje X

Operaciones con vectores

Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el
plano y α un número real. Se define el
vector:
 suma u+v como
u+v= (x+a, y+b)
 producto por un escalar α u como
α u=(αx, αy).

Eje Y

u+ v
u

v
O
Eje X

Si u=(x,y), v=(a,b), pruebe
gráficamente que u+v=(x+a,y+b)

Eje Y Operaciones con vectores

b
y
u+ v
b y u

b
x
v
Eje X
O x a
a x

u+v=(x+a,y+b)


Investiga por tu cuenta

¿Hay alguna relación entre las normas
de u, v y la de u+v?
¿Hay alguna relación entre la
direcciones de u, v y la de u+v?

Eje Y
αu α >0

u

O
αu Eje X
α <0

Si u=(x,y), α∈ℜ pruebe
gráficamente que αu=(αx, αy)


Eje Y Operaciones con vectores

αy ?
Triángulos
αu semejantes
y αu ? ¿
¿ = =
u u x y

Eje X
O x αx

αu=(αx, αy)


Ejercicio 1

 ¿Cuál es la relación entre las normas
de u y la de αu?
¿Hay alguna relación entre la
direcciones de u y la de αu?


Ejercicio 2

Encuentre el vector de norma 4
en la dirección del vector (4,-3)
Encuentre el vector unitario con
dirección π/4.

Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los
vectores unitarios en la dirección de los ejes
coordenados
Eje Y

y
u
j yj xi
O i x Eje X

Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es
combinación lineal de los vectores i,j

Producto escalar
Primero se define en los vectores canónicos
i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1 i.j=j.i=0

u = xi + yj
v = ai + bj
u.v = xai.i + xbi. j + yaj.i + ybj. j
u.v = xa + yb

Producto escalar

Se define el producto interior o producto
escalar de dos vectores u=( x,y) y v=(a,b)
como:
u.v=ax+by

Se define el ángulo entre
dos vectores u y v como
ϕ el ángulo ϕ no negativo
mas pequeño entre u y v.


Producto escalar
Eje Y
Dos vectores son
π /2 paralelos si el
π
ángulo entre ellos
Eje X es 0 o π.

Dos vectores son ortogonales
si forman un ángulo de π/2

Propiedades del producto escalar

Teorema: Sean u,v vectores en ℜ 2 y α un
número real, entonces:

 u.0 = 0
 u.v = v.u (propiedad conmutativa)
 (αu).v = α(u.v) = u.(α v)
 u.(v+w) = u.v + u.w (propiedad distributiva)
2
 u.u = u

Prueba: Ejercicio

Teorema:
Sean u y v vectores no nulos y ϕ el ángulo
entre ellos, entonces u.v = u v cos ϕ

Interpretación
geométrica:
u

ϕ
v
ucosϕ u.v
w=
v
2
v

Prueba
:
Teorema del v-u
coseno: u
2 2 2
v −u =u + v − 2 u v cos ϕ ϕ
v
2 2
( v − u).( v − u) = u + v − 2 u v cos ϕ

2 2 2 2
v − 2u.v + u =u + v − 2 u v cos ϕ

− 2u.v = −2 u v cos ϕ ⇒ u.v = u v cos ϕ

Teorema:
Sea v un vector no nulo, entonces para
cualquier vector u se tiene que
u.v
w= u − 2 v es un vector ortogonal a v
v

u w
w=u-proy v u
ϕ
v
Proy v u

Prueba del Teorema:

   
 u.v   u.v 
w.v= u − v .v = u.v −  v.v
 2   v2
 v   
 
 u.v  2
w.v= u.v −   v =0
 v2
 

Por lo tanto w⊥v


Ejercicio Propuesto

Pruebe que u y v son ortogonales
si y solo si u.v=0
Pruebe que u y v son paralelos si
y solo si u es múltiplo escalar de v,
es decir si u= αv


Solución
1)
Nº1
αu = (αx )2 + (αy )2 = α 2 x 2 + y 2
αu = α u
2)
ϕ = dirección(u) θ = dirección(αu)
αy y
tgθ = = = tgϕ ⇒ θ = ϕ o θ = π + ϕ
αx x


Solución
Nº1
2) Eje Y
αu α >0

u
θ+π
θ

O
αu Eje X
α <0


Solución
Nº1
2) Sea θ la dirección del vector u,
entonces

 θ si α>0
Dirección de αu= 
 + π si
θ α< 0


Solución
Nº2
a) Queremos encontrar α tal
que: 4
αu = 4 ⇒ α u = 4 ⇒ α = , α > 0
u
u = 16 + 9 = 5 por lo tanto

4 4
u = (4,-3) es el vector buscado
u 5

b) Solución Nº2
Eje Y

u = ( x , y ), u = 1

u π y
Sen θ 1 = tg = ⇒ x = y
4 x
2 2 2
O cos θ 1= u = 2x ⇒ x =
Eje X 2
De otra manera:
π π 2 2
u = (cos , sen ) u =( , )
4 4 2 2

u = cos 2 θ sen 2 θ=
+ 1

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