1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE RECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE MANTENIMIENTO MECÁNICO
Polinomios Interpolantes.
Cabudare, 26 de
Integrante:
Fremy Salazar
Materia: Análisis Numérico
Carrera: Ing. Mantenimiento Mecánico
Cabudare , 10 de Febrero 2013.

2. Interpolación Polinómicas
El Problema De La Interpolación
Consiste en construir una función que pase por los valores conocidos
(llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva.
Para calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las
conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor
que obtengamos será una aproximación del valor real. De igual forma puede
suceder que sepamos la expresión analítica de la función, pero puede que sea lo
suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los valores de la
función a partir de otros ya conocidos.
Interpolación polinómica.
Es cuando se utilizan polinomios como funciones de aproximación.
Extrapolación.
Se presenta cuando en la abscisa para la que queremos encontrar un valor
aproximado de la función se encuentra fuera del mayor intervalo definido por las
abscisas de los polos.
Tabla De Diferencias
Los términos calculados en la tabla de diferencias, permiten determinar los
coeficientes de polinomios interpolantes.
Los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x
La finalidad es determinar el comportamiento de la función, con las muestras de
los pares de datos (x, f(x)).
En una tabla de diferencias se debe arreglar los datos con los valores de x en
forma ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular
las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha
de f(x), se estima o determina calculando las diferencias entre los valores de la
columna a su izquierda.
Un ejemplo:

3. x f(x) Af(x) A2f(x) A3f(x) A4f(x) A5f(x) A6f(x)
0,0 0,000 0,203 0,017 0,024 0,020 0,032 0,127
0,2 0,203 0,220 0,041 0,044 0,052 0,159
0,4 0,423 0,261 0,085 0,096 0,211
0,6 0,684 0,346 0,181 0,307
0,8 1,030 0,527 0,488
1,0 1,557 1,015
1,2 2,572
Polinomio de Avance de Newton-Gregory
Cuando la función que ha sido tabulada, se comporta como un polinomio (esto
se puede decir observando que sus diferencias de orden n-ésimo sean iguales o
casi), se le puede aproximar al polinomio que se le parece. El problema consiste
entonces en encontrar los medios más sencillos para escribir el polinomio de n-
ésimo grado correspondiente.
Polinomio Interpolante de Gauss.
Donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el
punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.
En la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando
primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo.
Interpolación De Hermite.
En esta unidad se busca un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en
cada sub-intervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos. La función H n(x)
queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de
la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la
interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el
caso en muchas en muchas aplicaciones.
Interpolación Usando Splines.
La desventaja es que su segunda derivada no es continua en los
puntos de interpolación.
Uso de los splines donde los mismos son funciones s(x) continúas por pedazos
con las siguientes propiedades:
1. s(x) es polinomio cúbico en .

4. 2. existen y son continuas en .
3. s(x) interpola a la función f en los datos .
4. s(x) es continua en el intervalo.
Los splines de grado 0 son funciones constantes por zonas. Una forma explícita
de presentar un spline de grado 0 es la siguiente:
Los intervalos no se intersectan entre sí, por lo que no hay
ambigüedad en la definición de la función en los nudos. Un spline de grado 1 se
puede definir por:
Polinomio Interpolante De Lagrange.
Construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1
puntos: donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del
Polinomio Interpolante de Lagrange.
Puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene
el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio
Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton
En la aplicación del Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de
Newton, no es necesario que los datos tabulados sean necesariamente
equiespaciados o que los valores deban estar ordenados en forma ascendente. El
valor que aporta el polinomio de Newton está sujeto a un error.

5. Nota:
El polinomio de Newton en diferencias divididas es entonces:
p(x)=f[x0]+(x-x0) f[x0,x1]+ (x-x0)(x-x1) f[x0,x1]+ +(x-x0)(x-x1) (x-
xn-1) f[x0,x1, ... , xn].
Polinomios de interpolación de Lagrange.
Formula.
Cita: http://www.uv.es/~diaz/mn/node38.html