1. O texto descreve as propriedades geométricas e algébricas das circunferências, incluindo sua definição como conjunto de pontos equidistantes de um ponto central e métodos para representá-las algebraicamente. 2. A equação geral de uma circunferência é dada por (x-a)2+(y-b)2=r2, onde (a,b) são as coordenadas do centro e r é o raio. 3. Existem dois métodos para obter o centro e raio a partir da equação geral: por completação de

1. J
Irl
,/J
'/
t a!,1t | ?'leJirt il
f
,),:, imagem umpontôcircutldddo
de pot referímosa essaforma í! ítbertúra do capí-
,. , ,,irlfrnitos autras,todosà mesmadís- tulo 11 tlo volume2, qwúdo introduaimos o
', ' .tâncí.t dele,é o que chamamos de estudodos corposredondos,ressaltandoseus
circunferência- estáprese te em nossa
Ela a.spectospftiticos. Podeúdmos ílustrá- ld aquí
vitiaemquase tutloe a todomomentoJá
nos com uma infinítlatle de etemplos, mas tlen-
tre eles escolhemosum que acima d.e tudo
nlostra seu caráter estétíco,
tãq amplamenteer,plorcdo
na Arquttetura.
O contorno rítra.l
do pa-
fece caffespolla,efaum4 cLt-
cunferência, seupree chí-
e
mento, completanda círcu-
o
Ia, de ama belezaindiscutí-
vet, ]4osmôsúd sud ptapfle-
dadeíu dame tal, que é a
pontos
eqüíd.istanÇíd seus
de

2. No .otidiatlo tls pfopríed,ades círcunfe-
da cutlíerêcíaé u,istacomoumafigura geométrica
rência são aplícad,as sem que ecessaría.mente e comotal podeserrepresentada algebrícamen_
se tenha co/tscíênci.td,elas.Por etetuplo, na te. Assím comofzemos no capítulo anteriot
constraçãode am poço, uma estacltéfrncada com o panto e a reta, determinítremos agora
no terreno e um barbctnteé amarrado em sua essa,represekla para a circunlcrëncia,ps-
Ção
base, coktend.o outra ertremidadeum estile,
na tend,endo nossoestudoàs suasposições rel,c.ti-
te; ao girá'lo, uma círcunferência desenhada
é Í
vasaospoktos e às retasdopl.ttlo cartebÌ.ano,e
no solo,delineando íutura boca do poço.
a destacando ítuportafite aplícaçAo
a destemeto-
Assím,a largura do poço correspondcni do-
ao do na resolução problemas resolvídos
de já geo-
blo do comprime to d.obarbante- o díâmetro metricamente Desenho
em geométrico,
da circuflíerêncíq..
Colocadttkam sistemade eiros perpendi-
culares Jormamo plano cartesiano, cir-
que a
L Clrcunferências
ortogonais cLrrvâs secorram
são que a) ascoordenad;s centrode
do todaseÌds;
segundo ãnguos retos. teorernâ ptágoras,
P€o de bl a mêddado râo derodas ds; e
diras rcunÍerênclasraÌos e 12,
c de rr culoscenrros dis c) â qLralclrcunferéncta
peÍlence ortgern slstema
a do
târnd um do ouÍo, são o.togonais ri + rj = d,
se oÊcoor0enada5l
d) as .oordenadas ponto de nìaor absctssa
do da
maiorc rcunlÊrênca;
e) a d stânca cenrro oíigem
do à
3. Naaberturâ câpítu dovol!me deÍacoteção
do o'12 I
o. r" ,d.de ocd.dop..a a
",
constrLrção bandeÌa
da braseia:'parca calcuja das
dimenóe,tama bdse taryuradesejada,dividin-
tepat d
ao ettaen 11 portet ì7uai.
Cada uno daspanes,eú
consderada uma medìda nóduja. O camptinenta
au
Deacordo
coan textopodernos
o conclu queexsÌe
r
,ì
da bdndeirc de2AmódulôL
será
L^ 'áro o "tá o. o". . o. dec l
"oo"Làddp" O dado o p-16 o" o-1e o- oèo" oo.è.o,é
rcrencâsortogonah.Transfrao desenho mapafa
ac o pode enconÍar 5ire tNlv1ETRO]
no do
seucacerno conìpÍove essas
e que cÌcunferêncâs
sa-
t íazeÍnà defniç;ode oÍtogonais, ww1,{/.ìnmetro.govbf
deternìnando,
por Cornbas€
con ííuçao, triáng! rerângLroâ
o nessã nforrnaçáoobservandogrãftco
e o
o easassoclâdo. aDa determin€:
xo,
al ascoordenadasdos vértces.do
quâtro osangoque
2. CircLrnfeÍêncÌas
concêntrcâs aqueasque pos-
são âparec€ naíguÍa bandetra;
da
sLrem mesrno
o centro laios
e diÍerentes: b" oo o--ìdo.oo - ooo. ooLõ . értaè
la xâ"OrdemProqresso,;
e
c) unìaen matvade medÌda rao desse
do cÍcu o,
consrderandometria bândeÌa,
as da
d)as cooÍdenadarpontoAndicado
do nográíco,cle
êcoroocom rnedidâ ralo mêdâ
a do êsr
Considerando asnìedidas ralos
que dos dessas
circ!nre
Íenciasvão 1! â 10u (damaior â menor)
d€ para unifor-
mementeidentÌflcando-as cor,
e poÍsua det€rrnne:

3. 52 Matemátka
' Onteft &Ápl
alões
Introduçâo
analítica,Algebra ã GêomeÍìâ intêgram.
EmGeometria a e se problemas ceomeÍiasáoresolvidos
Assim, dê
porprocessos
algebíicos,
e relaçóes geometricamente.
algebrica5 interpretadas
sáo
Podemos
lembràrdocàpÍtulo porexemplo,
anterÌor, que:
. a equação + 2y - 5 : 0 representa reta;
3x uma
. um pontodo planopode representado par(4, 3);
ser pelo
. o ponto(4,3)pertence representada :
à reta pory 2x+ 11)
. a retaqueconaoseixos (5,0)e (0,3)tem
em equaçao + {:
] t.
Nestecapítulo, íìgura
a estudadà a circunferência,mesmã
será Oa maneira
comofizemos a reta,
com vamos
associar circunferência equação panirdaL
cadâ a uma e,a estudaras propriedades
suas geométricas.
DeÍinição
pelâ plana,
Sabemos, Geometria quecircunfeftnci'i o conjuntodetodosos pontosde um planoeqüidistantes
é
de um pontofixo.
O ponto fixo châma-se da (na
aenÍro chcuníerência fìgura,o ponto O),e a distância
constante denomìnada
é
(nâfigurã,OA= OB= OC = r).
circìrnfelênciâ
Jggla
El Equação circunÍerência
da
Con siderandodeterm inadâsituâção quea dìstância
em entreos pon-
y) e A(5,3)é iguâla 2, qual seráa relaçáo
tos P(x, que sepode estabeìecer
entrex ei?
Pelafórmulada distân(ia, temos:
d(P, :
A)
:
Comod(P,A) 2,vem:
íx-5)'+{y - 3)', -2-lx 5 ), ly 3 J , -4 -a / -/ -] O x -6 y + 3 0 = O
relação belecida(x - 5)'?+
Logo,a esta é (y 3)']= 4 ou x'z+y'z- 10x- 6y + 30= 0.
Oconjunto pontos y)queêstão
dos P(& situadosumadhtância do ponto
â 2 A(5,3)é circunferênciacentÍo
a de
A(5,3) raio2.Assim, relação 5)'?+(y 3)'?: 4é sâtisfeitâ
e a (x portodos pontos y) dacircunferência
os P(x, dê
centroA(5,3)e 2.Dizemos
ràio (x 5)'1+(y 3)'::4 éa equação
entãoque circunferência.
dessô

4. Gpílülo2 GmÍiêtda
' malílkàra
drudèrÉn(ia
Agom,genericãmente,
considerando b)o centro, râioe P(x, um ponto da circu
O(a, Ìo y) nferênciâ,
temos:
d (P .o )=J{x-a )'+(y - bf : r3 (x a ), + (y b )r: a
Dâípodemos que
escrever umacircunferênciâ centroO(a,b)e raioÌtem equação:
de
ObsêÍvaçãor casopafticulâr o centroda circunferência
No de estarnâ origem,ou sêja,a : b = O,a equaçãoda
circuníerência x2+ y2: l
é
aíÌuaçâonormal da circunferência
. Ao desenvolver equação circuníerênciâ - â)'z (y
a dâ (x + b)2=.r2 obtemoso que se chamâde equação
normdlou geld/da circuníerênciâl
xt - 2ax ar+ y?- 2by+b'z-É_-0 + :*+ i- 2àx
+ +
2by
.Émuitocomumna prátcâquea5circunferênciassejam poÍ
representâdas suâequação geral,como,porexem-
plo,a circunferênciã + y, 2x + 4y 4 : 0. À primekavìsta,
x2 êssaequaçãonão nos permiteidentiíicarnem o
centronem o raiodã circunferência questão,
em portanto,
Precisâmos, aprender obter o raioe o centrode uma
a
cìrcunferênciapartirde suaequação
a geral,Têmos métodos
dois que podemserutilizados:
l!) Método de completaÌ os qu.drâdos
Nesse
método,oobjetìvoé obterosquadrados peíeitos (x a),e (y b), a partiídasinformaçôes
apresenta-
dâsna equação geral.
Vejamôs comoelefuncionacom a equação normalx: + y2 - 2x+ 4y 4 = Ol
. a9rupam-se equação
na normal termos x e os termos y, isolando outÍo membro termoìnde-
os em em no o
pendente, interêssante
É deixarum espãçodepois dostermosem x e dos termosem yÍ e ootsespâços no
x2-2x+-+y1+4y+ :4+-+
:--
. somam-5e ambosos termosdã êquâçãô
a vâlore5convenientes, modo que os termosem x e 05termosem y
de
sêtrânsfoimem,cadaqúal,em um quâdrâdoperfeito, prática,
Na usâmos espaços
os vâgospardescreveresses
números, númeroque complêtao quadradoperfeitoem x é o quadradoda metâdèdo coéfìciente x, seo
O de
coeíiciente x, for 1.Assim,
de comoo coeficiente
dexé -2, metade -2 é -t êoquadradode é t, soma-
de -j
mosI emàmbo5or membros:
x'1 2x+ 1 + Y'1 4Y+
- + 1 +-
-=4+
Damesmã forma,o númeroquecompletâ quâdÍadopeíeito em yé o quadrado metade coêficientê y,.
o da do de
seocoeficientedey2íorl.Assim,comoocoeficiêntedeyé4,metadede4é2eoquadradode2é4,somâmos4
em amDos membros:
05
x 2x 1 y, t4y 4 4-1 4
A5sim,temos seguintês
os quadrados
peíeitos:
x'z- 2x + 1+ Y'z+ 4Y + 4 = 4 + 1+ 4
r"-rr r (Y_2)' =-ì-
Portanto,aequaçãox2+y2-2x+4y-4:Orcpresentaumacircunferênciadecentro(1,-2)eràìo-ì

5. 54 , Lontexto
tualemãti.a &Apli(ações
Ob5eruâçâo:Se coefìcientes x2e y2 nãoforem 1,bastadividirtodâa equação
os de normalpor um númeroconve-
niente
deforma torná-los
a 1,
2a) Método da compaÌação
Nêssemétodo,devemos compararos
coefÌcientes termosdasd uasequâçõe5, equação
dos a dadâêâ teóricai
x'1+Y2 2ax 2bY+là'z+b'1 t2):x2+y'z-2x+4y 4
Destaforma:
-2a- 2= a:1
-2b:4+b: -2
â1+b2-í2=-4111+(-2)2-t2=:4.+1+4 t2= 4 =,t12 g ,) I : 3 (não
: existe negativo)
raio
Então, centroda circunferência(1, -2)e o raioé 3.
o é
O métodode completar quâdrados o melhordosdois,pois não envolvememorizâção formateóricada
é da
equação normale oterece possibilidâde
a detrabalhar mesma
da formacom outrasequâções(nãosó a da circunfê-
rênciâ).
Íúasíica seucrìtérìo escolha métodopaíaresolver exercícios.
a a do os
Condiçõesde existência
Consideremosequâção
a genérica + 8y, + Cxy+ Dx + Ey + F: O.parâquêela represente
Ax, umâcircunfe-
rência necessárioque
é sejam atendìdas condições:
três
. 1acondiçãot
Ai= B +0, ou seja, coeficiente
o dex2rem de serìguâlaocoeficiênte
deyì
. 2acondição: = o,ou seja,não
C podeexistiroprodutory.
. 3acondjçãot + E'z 4AF > 0, ou sejâ,gâÍantimosque o raìoé raizde um númeropositivoe portantoum
D'z
numero reat.
l, Detemin€ equação umacÍcuníefência cen
a de com Resoluçâo:
tÍo no pontoO(-3, r) e rao 3.
RêsoluÉo:
Péoproblema,ternosa b = I e r = 3
llsando equação,
a
(x al'?+
= -3,
vem:
=É=tx+31,+ 6/- ll,=3,+
ty- bl'?
=x,+y,+6x-2y+t=0 I
I
Logo, equâção [x + 3], + (y - r), : I o!
a é
x'z+y'z+6x 2y+l=0.
fgtrÉ,| = d[P,A) Então:
Pela
tx + tz + ty - ll, = I é a equação
dacircunf€rênciabnìâ ÌEduzida
na d(P, = {(2
Al tl, + t3 + 2), : " / / r+ 1 5 =
exr+f+6x-2y+1=Oéã =,8a..>r=Jn
equa4ó brmageral.
nâ
Pea equaçãó al, + (y - b), = I,temos:
(x
(x - 1),+ (J + 2),= ?,r'Ã)'=
2. Deterrnine
a €quaçâo crcunferênca centTo
da coTn rìo = (x rl, + [ y + 2 ] , = 2 6 +
-21 e quepassa ponÌo
y'pontoA(1, p€lo P[2,3]. . 9 x ,+ , 1 - 2 x + 4 y 2 1= A
Logo,a (x- =
equaçãoé rl?+ ú + 21, 26ou
x , + y , -2 x + 4 y- 2 1= 0

6. . -
Gp tu lo2 . eom qr , ,r.r! -Í.+ n (à
a1à a í.u
G€feÉ zando:Em uma crcuffefêr]cia ceJìÍode Logo,aequaçãox?+ 2x 2y+6=0nãorepre
+y,
C[ê,b) e fao r seuspontos satslazemequação
a serlaumâ cunfefência.
cif
l-x- a)2+ ty bl = r' RecpÍocarnente, eqla
uma Devernosserìrpreernbmf quel
' çãode vafáveis e y €scrtanessa
x foÍna rcprcsenla
urìracrclnferêJìcÌa centro
de C[â,b] e mo Í > 0 um8equêçâo tarávèis € y representa
nas x
3.Veffq!€sea €qLração y, 4x 8y + t9 = 0
x, + lma crcunÌeÍência e soment€ podeser
se, se,
representa cÍcunleéncia.
!fna escdÌa foma:
nâ
Resoluçãol ix-al'?+0 bl':=f'z
usando pfocesso
o conhecidoconìo completârnento coma€ tR, € lR, € lRe r> 0.
b Í
p
dèqradrodo( e Ìb ooqueL _ 2a. è,
= [x a]:,terììosl " Auriarcsaluçãa:
x'?+y'? 4x 8y+19=0= Ern +y, + 2x 2y + 6= 0remosA= B = j,
x,
='z 4^+ +!,-av+ c=0.D=2,E= 2eF=6
= -ìq +
_A 3qcondiÇâo é arendida
não pos
.' ) 8'6 (2)'+ | 2)' 4.1.6=
-l I 6.Logo, equação
a não
= tx - 2)'?+ =
(y- 41, t= (J- 2),+ g q, =1, feprcsenta c rclrníeÉncra.
urnâ
Logo, equação
a lnìca repfes€nia crcunfererÌca 5. Obt€nha €io € o cenrfo cifcunteÉncia
Urna o da
dec€ntrc C[2,4) Íao ].
e x'1+f +6x 4y 12=A
AutraresaluçãD:
Ernx:+y, - 4x gy+ t9 = 0r€mosA B = t, Resoluçâo:
=
c=0,D= 4,E= 8eF=lg llétada de camptetar quatlrados
Âssirìì,
atendernostréscondições existênca
às r2+6+ +v: 4v+
de =12+_+_
l?lA=Bl0 posA=B=l
3elD,+E'_4AF>0
x' +6x+9+y'. 4y + 4 =12+I + 4
pois( 41,+( 81,-4.1. t9=4 [x+3)' + [y-2]? = q,
Logo, eqLração
a incalrepresenta circunfeénciâ.
urna Pofiafto aequaçãox, y, + 6x- 4y t2 = 0 feprc
+
4.Aeqlaçãox: +yl + 2x - 2y + 6 = 0 fepfes€nÌê
urna sÊro.tu Í r-Íeíê1.â Lp,ìtÍo , 2l e,oo 5
de l
crcLrnÍefénca? caso
Ern afÍmaÌivo, ascoordenadas
dê lr'létada canpançãa
da
x' + y2- 2ax 2by+ (ar+ br - t1 =
Resoluçâo: = x'?+ y, + 6x - 4y - 12 = 0
* +'f + x 4 + 6 =D+x, +n+f _ 2y= _6= ue
lcrcunierêncá
(a,
centfo bl e |aoÍl
=x':.+2x+1+f-2y+ l= 6+t+ = -2a=6:râ=_3
=tx+ll,+ty rl,= 4
Corno + ]1, é sempre
[x posÌÌvo nulo,
ou b€mcomo a:+b'z É= -j2=l-B),+2, t,= 12=
ty 11,a sorna + ]), + [y - ]1, nunca negati_
[x é =9 + 4 - d = -12+É = 2b=f : b [nãoexiste
vatenÌão, há pontoqLr€
não satisfaçaretêção
a raionegarÌvo)
tx+11:+0/-tl,=-4 qÍì|ào c€nÍo
o dlcrÍcunfeÍênca3.2]eoraioeB
e[
Exerddos
propostos
Dqas coofdenadês ceJìtfo o m o das cifcunfeén-
do e Obtenha Íaioe o centrc crcunfêÍêncas
o das â segur
crasrcprcsentadas as €quaèões:
pe [PaÉrcsolvef exercíco, o método comptelaf
est€ use c]e
altx-51.+ 0 4),= l qLraaraoos 0acompaÍaçãol
€o
b)(x-2)'z+y'=a
a)zx,+ 2y, Bx+12y 6=A
cl tx + 3), + ty ty = t6
blx,+y,-6x-2y-6=0
dl x,+ y, = l0
D€t€m !ma equação cÌcuníeÉnciâ
ne da quetem ,1ssegu eqlaçSes
ntes represenÌaÍn
circunfeÉncas;
deteF
âl centrc C(2,5l e mo 3
€nì mneascoodenadas centÍo Êioemc€dâcaso.
do eo
b)cenÍoemM[ 1,-4)eÂioD alx,+y, 4x By+16=0
cl centfo Q(0, 2) e raio
em 4 'blx: + y, + t2x - 4y 9 = 0
d) c€ntrc D(4 0l e raiob
€rìr c)x'?+y,+8x+|=0

7. .
MatemáticConÌexlo
&Ápliciõer
5.VeriÍquequasdasequaçôes
âbaxorcprcsenÌâm
cÊ dessa cÌeuníeénci€ 1ã, deteffninesuaequugao.
é a
cunfeÍênca:
8.0s po_ro, Aíu. -2) e Bl?.0JsàoaseÌ.enioaoesco
âlx,+y, 8x+6y+1=0
diàrneiro umacìfclníefênca centroC(a, b) e
de de
bìx'?+y,+xy+4x+6y-3=0
É o r. Delemine €quação
urnã dessa
crcLtníeÍênca.
c)2x'1+y,+4x 2y+1=0
+
dl3x'? 3y'? l2x lsy-6=0 9.llmâ circuníeÍênca centro ponb q[2, 0) passa
de no
el4x'? 4y'?.=0 pelooo-rode e co t o oasteto:r e s de eq râções
6. VerfqLre ospontos
entre 4t0,3),Bt7,2l C( t,3l
e x y- 2:0ex+y- 6=0 rcspectvarnente.
Quaé
qLraspeftencernà cÍclrníefência eqlação
de a equação dessâ fcunfefència?
c
ix - 3)'2.,+ +,11,= 25.
ty que
lo.quais são os vâlores k pod€assumfparaque a
7.0 cènÍode umacrcuníefênca ponto
éo nrédodo equação + y, 2x + IOy+ 13k= 0 fepresenfe
x, urna i
segmênto seJìdo -5] e B[-2, -3). Seo Íao
AB, A[2, cifcunferênca?
Posiçõesrelativasde um ponto e uma circunÍerência
Quândotemos ponto P(xr,yr)eumâcircunferência de centroC(a, raioÍ, âs possíveis
um )., b)e posiçôes
relatì-
vasde Pe ì são:
1è) O ponto penenceà circunferência:
Nêssecaso, coordenadas ponto devemsatisÍâzer equação ciícunfêÍênciã, a
ãs do ã da e
distânciã
entreP e Cé igualar.
2q) O ponto é internoà circunferência:
Nessecajo, distância ponto ao centroé menorqueo raio.
a do
3!) O pònto éexternoà circunÍerência:
caso, distânciã pontoaocentro maiorqueo
Nesse a do é râio,
que da (reduzida geral)é obtida ô panir da condição
Considerando a equâção c;rcunferência ou d(p,C) = r,
podemos escrever:
. d(P, : r<ì (xj - â)'z+(yr bÌ = Ê <r (xr- aF + (yr-b)2-rr=0<+p€À
c)
. d(P,C)<r<ì( - â)'z+ (y, b),< Pê(xr - aF + (y,- b)'z Ê< 0<+PéinternoaÀ
-
. d(P,
c)> r<ì (x,- aF + (yr bF > r, ê (xr- aF + (y,- b)'z r'z> 0 <+ P é externoa À
6. Dêa posção ponto Íeativa cÍcuníerénciâ
do P à À:
al P[3 2) eì:x,+y,- 6x+5= 0 + :
cl P[4,3) e tr:x'z y'z 36 _
blP[5, 1] e À:x,+ y, - 6x- 2y + 8 = 0 dl Pi 2, -31 e ì:(x + rl? + [y + 4], = h/5 )'?

8. Gèomètda íliGiacrcuúedn(ã
ana
Resolução:
al P[3,2] e Iix'z + y'? 6x + 5 = 0 qlre
DaGeoÍnetrphna,l€mbrérnos o centro clrcunie'
; dâ
Substìt!indo: réncra a !Ín oLlsela,
circünscrita Íânguoé o circunc€ntro,
3r+2,, 6,3 + 5-9+4 _ t8+5= é o enconüo mediaÍzes trángulo.
das do Então,
vamos
= 18 18= 0 obreÍ equação d-aòì"daì/pa e o oorlode nte'
a de
Enlão, € tr.
P secçâo O a será€sseponto
delas. centrcdacìrcuníerênc
blP[5, ]) e ],rx':+Y'?- 6x- 2Y+ I = 0 e o Ta|o a o stanc ooLenl ê Jn dosl "s véÍlces
seÉ a o
SLrbstìtìrìndo: MediatÍiz lado
do AB:
5,+(,1), 6.5,2(_11 +I=
=25+l -30+2+8=36 30=6>C m, =;--- = -l
EntãoPéexlernoâ). *l l .
|,_.-._
c) P(4,3)e Lix'?+y'z:36
SLrbstt!lndo: Ponto o deAB:Ml:. : I
med
4,+3r_36=16+9_36= ]]<0 2 2)
EntãoPé ntemoa)! Então, Í€tâquepassa M corn
a pof angular
coeíciente
d) P(-2, -31 e r (x + ll'?+ ty + 4Y = t!6,"
S!bstltulndo:
(-2+ l),+t-3+4Y tn6)'= I + I -s= v-:=rl l+zv-s=2^,1 .1
' 2 ^ 2)
=-3<0
=2x-2y+4=Aàx-y+2=a
ÊntãoPé nteÍno tr
â
Medatriz adoBC:
do
7. DeteÍm lrna equaÉoda circLrnfeÍènca
ne cÍcunscita 43
aoÍiángllodevértces
A[].2), Bt0,3)e C( 7, 41.
7A
Resolução:
Aequação crcuníeÍêncaI:
da é
r .= - I= - l=
'fr,
,
I
t*-è1,+ ty b).=l
. A[].2l É À:[] a)'+t2 bl'z=Í'zQ Ponio o deBC Nl -;, -;
mëd I
z z)
. 8t0,3) € À: to ay + t3 blz= É (, a que por
Então,feta passâ N com anglrlaÍ
coefclente
. c(-7, -4) € rr(-7 - aÌ + t 4-bl'=É@ mr= -ló r
gualando OeO, tenros:
1 2a+a2+4 :
4b + b'? a':+ I - 6b + b?+ u + l= - r í * + 1 ì = z v r = 2 {- 7 =
' +
2 2l
2a+2b=4=-a+h=2
é2x+2y+8:03x+y+4=0
-
lgualando @, ternos:
O€ Centrc dacrcLrnierêncla:
O
a, +9 - 6b+b'?- 49+ 14â +a'l + 16+ 8b+ b'?ì
A intercecção duâs
das ínediatrzes sãoÍetas
[qÌre con
+-l4a-14b=56+a+b= 4
é pelâ
coffentesl obtida reso!ção sstema
do
R"sohe-doossler" - _
I l'_conaro. -,Feso'eroo
lâ+0=-4 1 esses'senà,enconlla-
a=-3eb=_1. [x+y+4=0
mosx=-3ey= O[-3, ]).
] Logo,
Assm, [x + 3]'?+0/ + ll'?= É
À:
por a Raio cifcunfeénciâ:
da
PamencoòtÍaf vaof de Í usamos, exernpìo,
o
Distáncia centro vértce B [poderâ quaqLreÍ
do ao ser
equaçãoO :
uÍndostÍésvértlcesl
0-al'z+(2-bl'?=É=
rf -J- 12- tt-t'z-í1 '25 o (0 . 8 )-í (-3 -0 r. Í ' 3l =Je 1 6 -s
Poftanto,€quâção
a pfocumda é Portanto, = 5.
Íâo
[x+3]'?+0i+l)'z=25 a pÍocuEda tx + 3l' + (y + ll'?= 25.
Então,€qLração é
I l. Dados ponto e a c rclníerêncla deteÍnine p0_ 12, Dada c rcunfeÍênca equação
o P tr, a a de
sçãode P enìtêlação tr.
a x'+ f - 2x + 4y 3 - 0,qualé pos do ponto
a ção
a) P[-] 2l e I:(x - 31'?+ + lY
6/ = s'? P[3,-4] ernrelação essa
a crcunferêncâ?
b)P[2,2]e À:x'z+ y'? lox + 8y I : 0 a que pelÓs
13. Encontre eqlaçãoda clrc!íìfefênciá passa
cJP(3, e ì:x'z+ t' - 8x-5= 0
ll pontos o], Q[3,3)e R[0,8].
P[0,

9. Posiçõesrelâtivasde uma retã e ma circunferência
astrêspossíveis
Considerernos posiçóes umaretaem relação uÍnacircunfeÍência:
de a
li) A retaté secantecÌcunferência:
à
PÌopri€dades Ìetâ e da
de
ckcunferência
s€cantes:
Nesse
caso, distânciâ centroda circunferênciã retaé
a do à .ON TA S
menorque o raio,A íetae a circunferência dois pontos . M é pontômédio de
têm
AB IAB = 2AM]
. TeoÌ€mà Pitácoras:
de
(o Ml, + I B MF = t B O y
23) A retatétangenteàcircunfeíência:
Nêssecaso, distânciâ centroda circunferênciaretaé igualaoraio,Aíetae a circunfe_
a do à
rência um único
têm pontocornum,
3-') A fetat é exterÌoràcircunferência:
Nesse caso, distânc;ã centroda cìrcuníerência retaé maiorque o raio.A reta e a
a do à
cifcunferêncìa têm ponto comum,
náo
Vejamos, panir dasequãções,
a como identificarqualdesses
câsos
severiíica,
'ì
8.Sãodadasarctar d€€quâção2x+y I = 0,€a OutrarcsaluÇão:
deeqlaçãox, y2+ 6x 8y= 0.Qua
c rclnf€Íênca + OsponÌos comuns rctae à c rcunfeÉnc s€houver
à a ,
é a posção rctar €nìr€ação cfcunf€iênca? sá0as soLrções ssterna
do pof
foÍmado suâsequa-
da à
ç0es:
'Resolução: [2x+y ]=0=y=l-2x
VârÍos cuaf, nicia
ca mente, coordenadascentfo
as do l-
lx'+y'+6x 8y=0
e o rao dacÍclrníefênca: Substtu y nasegLnda
ndo €quação temos:
x:+)?'?+6x 8y= 0+x'?+ 6x+y, - 8y= 0= x'z+y':+6x 8y=0+
ex,+ 6x+ 9 +yr-8y+ t6=9+ t6= +x,+[] -2x),+6x-8(t 2xl=0+
+ [x + 3)'?+ 6/ 4]':= 25 .r x, + I - 4x + 4x, + 6x - I + I 6x = o +
=sx'?+l8x-7=0
Então 3 4)er=5
C( 0 cálcuo À seú suíciente deteminar
de pam quantos
Agorâ
vamos
deteiminârclisünca cenÍoà rcra
a cìo ponbscornufs â rcÌae a c rcLrníefênca a
têrn e daÍ
posrção rearva. Então:
:_
,T !ì+rfuì - l
-!- t _______: _
2l
" __:
1 A : l8r + 140= 324+ 140 464>0=
.12'1 1'
+ ./5 J5 O vaor de > 0 ndica exstência dos vâores
a de
feaFe d|st ^ d€xe, conseqü€ntemente,pontos
ntos dois
CompaÍân.lo Í, ternos < r (1,3< bl
de d comuns reta à cìÍcunleéncia
â e
Logo, rcÌâr é secant€ cfcunÍeréncia.
a à Logo, Íetaé secante crclnierência.
a à

10. .
CapÍtul02GemeÌíia G:âdÌonfeÍêncÌa
malít
Observaçâo:A resoução p€mì quassão
completa sist€nìa t€ descobdf
do
osdoispontos
comuns reiae à cÍcLrníeéncia.
à
I' Quao comprlmento corda
da deterrìrinada ÍeÌas:3y 4x + I = 0 nâ
pea
crcunferêncìa y'?=25?
x'?+
Resolução:
Os pontoscornuns retâe à ciÍcunleéncis as €Ìtrcnì
à são dades e B dâ
A
coda ÁB procuÍadâ. m,vamos
Ass resov€Í sistenìaobt€r pontos e B dacodâ AB.
o e os A
I
l. v -/q
1 4r1
l3v-4^+l=0-v=:
t_ 3 3 {
S!bsttundoy na laequação,temos:
I , 6,i Br - _ .. 25, B 221=
, Í.r ì'_r, ,^' Ft='z5= -t- 0 = 25x'- 8N 224= o
-
3 3./ I I I I
I
Resolvendo
a eqLrâção
À=[-8], =
4.25.t 224) 22 464
-(-at- a-z"uEí o t puEg 4 - 12.,r6s
' E-qw
2.25 5A 25 r-- ,5
I ^
-'
4 + r2.[t
PAÍAXj=-rcrnOS
q( q+v,lw t -3+16Ãã
3 25 ) 3 25
Í, .^ Â; ^ .^Ã;
[2525)
^ XT = q tz"6
HATa l€mOS.
q íq -r z ..6gì r s rouãt
' " J '
I
I
- - -( q n"Eí s ro,6t ì
f2s25)
obternosd stâncÌa entre pontos e B:
FnalÍÍ€nte, a dÁ6 os A
ç Ì,
It 24V39|
-J í 32./39ì
ll 25 ll2sJ
1600.39 ,,0.[9 8..6e
625 25
Auta rcs,aluçã,a:
ì
I

11. o .
Mãtenálic CdntelloAplieções
&
O pontoO temcoordenadas 0J.O segnìento
[0, OB Erìtão equação
a detéy 2 = 6(x- 5) ou
Ín€de [Éo). OIV]é dlstânc de O a s Então:
5 a a 6x-y-28=0.
Ì I.Areia deequâção y + k:0 é tangente rclrn-
x àc
leÉncia eqlação + y, = L CalculevaloÍ k.
de x, o de
Logo: Resolução:
=
(rvrB),tíirOl, tOBÌ=
+ Se â |e1a tang€nte cÍcunferència,
é à a distâncra
do
+fMBl,+ L=2sJt,18: 4J3e centro a retaé iguâlâo
aÌé |aìo.
25 Cerìtro raiodaciÍcuníeÉncia:
€
x'?+y,:9+ [x 0),+ 6i - 0),= 3,
AB=2MB=:fja
5 Então,C[0,0)ef=3
I0-O ponto P(5 2l pertenc€ cÍcuníefència equalru Í
à de Dstáncia cenrro
do [0,0] à fetatx ty + k = 0:
- y z o 2/ - 0 Dete nóê êqLado
. aa , 1.0 I.0+[ f,
r€tattangênteessa
a circLrníerêncaP.
ern -
Resoluçáo: "[' r 'rE
Lemore oeque, umâ Cáculo k sabendo d = Í:
de que
se se rcÌê
I tangenca circLrníeÉnca
urna t-
+ = 3- r ^ = .3J2- [- a3Jz
d€ centÍo e Íaior €rnP, en-
C
tãolé p€jgendìcuarà s|J'
rcta
pone CP.
de
Caculândo coodenadas
as do
centloCeor.ior,Ìemos
x,+y,+2x-6y-27-0=
..>2+2x+y' 6y=27,..
) x2+ 2x+ I +yr-6y+9= 27+ I +9= OutrarcsaluÈo:
=íJ(+ lì,+Ív 3ì2=37 Sea Íetâé tano€nte circuníeÉncia, o s st€rna
à então
En u o ,cc l r,:i e
r= pelas
fofinado duas€quações urna
tern única
soluçãol
Vamos 'ã7 anguÌar dâ rctaque
det€rm o coefciente
nar mr lx y+k=0=âx=y-k
l"
passa
pelospontos
C[-].3l e P[5,2) Lx'+]?'=9
231 Substtuindonasegunda
x equação,
Ìemos:
x'z+y'?=I + (V- t)'+ t': n
VaÍnos
detefininâr co€ícenÌe
o angllafm2 da retat .Jy,-2ky+k,+y, 9=0= -
perp€ndicuafà quepassâ
retâ p€los
ponÌos e P:
C =2f 2W+k,-s=0
r "= - - L = l =6 PâÍâ a solução úncadev€Ínos = 0:
qle seja ter
l--t 8tk -9)-0-.r- 8 ^
72-0
6 '
"fr,
Calcuamos êgoma equação Íetat quepâssa
dâ peo -rç. 1 72:6arc = !? = $ =)
ponto P[5,2Je temd€cvdade6: - =a3/2
y 2=6tx-51ãy 2=6x 30=) =k=aJl8
+6x y 28=0 12.0 ponto P0, 2Jé exremocircunferêncaeqlação
à de
Logo, equação dâé 6x y 28 = 0.
â ped
tx :
ll: + 6? 21'? L Deternrine eq!àções
as dâs
Outa rcsaluÇão: rctas
Ìângentesà circLrnfefênca passam P.
e que por
Obtemos centÍoC[ 1,3) can.lo pflmetra
o na rcsa Resoluçâo:
luÇíia. P€a equação ternos
dada, Ctt,2) e Í = J8
DeteÍmnamos€quaçâo
a rcduzida rctaCPe dea
da
t mrnos coefcient€
o angulâr
[mr]:
xvl
- 3 I 0-'ì' 5-2-l i 2 n-
ls 2l
ã 6 v = x + 1 7 e v=--L x+ L Z =' = I
666
A rctat procumda
passa P(5,2) e é peÍpend
pof cular
à ÍeÌa aP ogo. s-L coeíce'ìlp èngLld p o. porà
í -lì u=,
6,]

12. Geoneniàìna
a.a(runÍeren.a
ConsideÉndo c ente
o coef angulaÍ dasrcrâs e t2.
m q
poderos epr êq.oçâo dloF..a|e(dq.
esc ge ê1 t llx y -2
" t t )= 0 = x -y -t = 0 =
bÍândo passanì P[], 2l
que pof
y+2=.rlx 1))y+2 =rnx Íì+
Ioao êo è, õF. ars -e.dstonae Ìes tr e t2 5:o
9rì]X-y 2 Ín:0 "
x -y 3=0€x+y+t=0.
. Se p€íence circuntuÉncìa, uma reta
P à exiíe ó
quepassâ P e é tangente
por à circunf€rêncià_
{
I3. Detemnea€quação crcunferéncia cenrro
da com no
oonoC. ,r"o ê- dncieteê e.drdeeqJaçio
I . SeP é ext€rno, duâs
há hnCentes. x+y+2=0
Resolução:
l . SePè rnremo,não lincenr€.
exisre
Corno disÌância
€ enÍ€ o centÍoCtl, 2) e a rcraoe
equação - y - 2 rn= 0 deveserigualao
mx |âoI,
_=võ= I[2) 2-m
rn[]) E
/rn' + I
I
= ! ã=
D p" Ío. oo-e1ê l or qLe o ao oo . . - tere ca
-4 1! "
+-+=V8 - = p" dd" e gi d ddsrá i dpnl eoc- oC F.retdL
--=r/8
I
r/m'+t ./m'+t Enlão:
+-=8+8m,+8=16+
- 'lt+3+2t' =i l6
.tr =
j a m , - s - o +.m,- r = o =m, = r =
o ovu
=9m'=lenra=:l
.J2 2
I V"nos calc-aÍ dgod. ac eoLèçops ê os tr e t.
sLrbsirtlindo
o vâlor m naeqlação
mx Y-2_m- 0.
de
oac
geÍal
 equação crcunierèncra
da
a:l,b:3€Í=3J2.é:
pedida,sabendo qu€
ú al'+ (y bl,=É=ix rl, + (y- 3),= l3,A)'=l
ì[x ]), + 0i 3),=tB=
tllx-y-2 I = 0+x-y 3=0 +x,+y, 2x-6y 8=0
Ì 4..Dadas urna r e urna
reia crcunleénciê vefÍìque
ì, a ì 5. Determ ascooÍdenadas ponÌos qúea rera
ne dos ern r,
posrçãoreatvade r e tr.Sehouvefpontoscorìruns de equação = x + 5, ìnteEectacrclníerênca
y a de
(tange.ìle sêcâmeì. ni-ê es.eò
ó- det- ponto,. equaçâo + y, - l]x 2y + 2j : A
x,
a)r:2x y+ 1=0etrx,+y,-2x=0 i ã" A rcta deequaçãox y 3 = 0,ea circunfeéncia
r, + d€
blÍ:Y=xeI:x'? +Y2+ 2x- 4Y- 4 : O equação + 2), + (! - 1)' = ]o sãosecantes
[x nos
cJr:x=Ì-4ey=2 Ìe pontos e B. DeteÍÍìine áreâ rriângu cujos
A a do o vértices
ì:xz+y,-2x 6y 8=0 são c€n!! dacÍcunleÉncia porìlcs e B.
o e os A

13. . (ontexto
M.temálkã &Àpli.ades
Cor .d p -ìo i o pla r de - a- o! ; o ' J 0. eé 2l. A ciÍclnfefència centro
conì c[], tl é rângenre rerât
à
crcuJìfeÉnciaeqlação + c - 2x - 2y - 3 : A
de x'z de equação + y l0 = 0. Detemne a eqlaçãoda
x
Qla é a posção reta
da rem reação crcLrnferénca? c rclrnÍefêIìca.
à
.. Sabendo a feÌa = mxé tangente
que y à crcunferênciê ::l=QLrêl a eqLrêção cifc!nlerènca c€ntfono
de é de de
eqlação + y, - l0X+ l6 - 0,cacue osV€ dem.
x, ofes ponto C[4, 4J e queé iângente dois€ xosde
aos
' O ponto A[2, 3] pefience c rcunf€rência equação
à de L00 dp1:drs
x, + y, 2x 2y 3 = 0. DeteflÌ a eqltação
ne da
Íetatangent€crcunferència ponto
à no A ? 3. DeteÍm a equação urna rcunleÉndâ
ne de c langente eixo
ao
yeà e-adeeqLàção F q-e.erocen.ro'ìo x
- r. eio
oeooonoP0.,ì F e o . cicun'ee1cade a Êq
.ão l' I Li ll r oa:sa 1;s eras e t2. ?/.i.4Íetax+y
tr I = 0 seccÌona cirbuníerènca
a
q p c;o rorqp-ìl-. d . .. fe-e c o déda. De'e Trle è< 2 + y, + 2x 3 = 0 nospontos B. Caculea
Ae
equâções retastl€ t2.
das distânca c€ntfo à corda
do C AB
i lFosiçôesralativaç duas cãrcunferências
de
Duas circunfeÍênciâs
distintaspodem terdois, ou nenhum
um pontocomum,
A partirdasequações duascircunferências
das podemos quantose quâissãoos pontoscomunsre-
descobrir
solvendo sistema
o formadopor elas.Alémdisso,podemosidentificar posição
a relâtivausando dois raios€ a
os
distância
entreos centros.
Considere umacircunfeÍência centroCl e râioÌ1 e outrâde centroC2e raio12. distâncìa
de A entreos centros
serád(C| C,).
Vejaas possíveis
posiçóesÍelativâs duascircunfeÍências:
das
1s) DoìsDontos comuns:
l ,j ,:l < d(q,c:)< r,+ r:
2-')Umponto
comum:
pònto tansência
d€ são
tangentes exterioÍfrente tangente5
inteÍ orm€nte
d (c ,,c ,)= Í,+ f:
Nenhum pont o c o m u m l
dtcj, = 0.
c,l
umaclrcunterência à ôutra
nterna

14. ' Gmnìetdaanalíticra
ciÍ(unfeÉn.i.
14. VeÍiÍìque posçãoÍeativàdas dLras
a crcunferêncas dascÍcunfeÉncas poÍ meio seusraos (efiì
e de
d€das, forem
Se secantes tangentes,
ou deteÍm os
ne que
D|ando 0scentÍos cifcLrníeféncasponto
das eo
pontoscom!ns: deÌangência sempfe inhadosl
estão a
a)x'? = 30 e [x - 3],+ y?= e
+y'z
bJx,+y,-20x 2y+100=0€
x,+y,-2x-2y S8=O
c)(N+ 2), + ly - 2), = r e r, + y: = r
d) (x 31'?+ - 2)'?- e e
(j/ t
x'z+f-6x-4y+12=A
Resolução:
al ResoÌvendo
o sist€Ína pe
fofrnado asduas
equações
circunfeÍências
Ìãngentes
etr€rnãmente
7T) -30 d(q,c:)= r, + rr
=
(x - 3)'?+Y'z 9âx'z +y'?- 6x= O3
=30-'6x=0=6x=30+x=5
Substituindo prirnera
x na equaçâo,
vemr
-)']-30-25ry -c0=) -5 ,
3y= l!6
Logo, duascúcunferènciss secantes seus
âs são e
ponros
comuns [s, Jd] e [b, !6].
são
bl ResoÌvendo stema,
os temos: ciÍcunferênciã5
tangentes
internãmenre
l x "+ y ' - 2 a x 2 v+to o =o d(q,c,)= Ì,1
r,
1 ^ ' , ' - z ' - zy o e -o .r'j ' ConsdeÍando
a pÍirne equação
|a temos:
x +Í 2 a t- ? 4+1 a o =a 2 y 20'-2) r00-0-
')-1 =x'/- 2A+ 100 y, - 2y + I =
+
| /,/ +c' + .' +ae=n-
tf --
8.-1S8-0- = - 100 100 I = [x - ]0),+ - l), = l,
+ +
8-tg8+ 0i
Entêo, 0, ll e fì - L
Cr[]
3x:19931=11
t8 /1gompetâ s€gunda vem
I x'+y2-2x 2y-9a=0.)
Substituindo prmeirâ
x na equâÇão,
vern: i),-2 Ì -J - 2t, -98- t
3 tx- ll, + ty -1) = r00 = 10, -
xz+y'z 2Ax-2y+1AA-0.)
=
3l l? + y':- 20.11 2y+ lOO 0+ EnÌéo C2t. e.- 0.
)y'z 2y+121-220+100=03
Calc ianos.Fltào a otsl-, a erÌ.eos ce-.os C1
éY'z2y+1=A
e c2:
d t c , , c=). v 6 0 r l+ 0 - r l' = i6 Ì = s
,
Y= =''
2 Coríìo €os medern = I e r?= t0 e
os fr
9= I l0,temosd[C],C?)= -r,.
fr
[] l, ll é o únicoponto
cornum dLras
às ctrcunferên
ciês, portanto sãotangent€s.
elas Logo, circunferêncsão
as as tangentes intemarnente
comojá v mos, c rcuníerênctang€ntes
as es podem e o ponto
comlm [1], tl.
é
serexaernas iniernas.
ou Podernos
determinar
a sua c) Nêc rclníefência + 2], + 0/ - 2), = t, remos
[x
posçãoreativâ Íì€ o dad stánc entre c€ntrcs
por a os C(-2,2) e | = 1.

15. NacircunfeÍéncla Jl = l,ternosC[0,0] = 1.
+
x'z eÍ +x':-6x+9+l 4y +4= 12+S+ 4=
Esboçândoo gráfco,
podemos queasc rcLrnf€-
ver =tx-3)'?+0 2)'z=l
rêncâs têrnponto
não cornum sãoext€mas:
e Então,
a crcunÍêÍênca 3],+0
[x 21,= ltenì
C[3,2)e r= ].
t
Agom,vaÍnos veranaliticarnente
feso
Pelo
sisterna,
temos: Como duas
as ckcunfeÍèncâs o nTesmo
têm centTo
podemos
lconcéÍìt| e Êlosd ferentes,
cas] afiÍmaÍque
e asnãotêmpontocomurn uma lrìterna out|a.
e é à
15. DeienÌine equação circunfefência centrc
â da de ern
[8,4] e q!€ tangencia
extedoffnente
a crcLtnferênca
-8)x-y=-2)x=y-2
x,+y, 4x+8y-t6=0
Resolução:
Substitu x nasegunda
ndo eqlação
Nesse
câso,6distância oscentros igualà
entfe é sorna
x , + y , = r =0 2 ),+'l =1 =
=f 4 y+4 +f l =0 =a l 4 y+3= 0
A=16 24= 8<0
Se < 0, nãoexiste sol!çãopaÍao s stemâ,
então
as ciÍcunferéncias têrnpontocomLrrn.
^ não Vejamos
qualdas duassituaçôes verÍca:
se
d(c,,C?)=
rr+L
Iniciamente,
câlculârnos [C1]e o €io [l] .lâ
o c€ntro
c rcunlerênc
â dâda:
x'z 4x+4+y'z+8y+ 16= 16+4 + 16 +
=tx-2)'1+(y+41,=36
. Calcuando distânc en$eos centros ( 2, 2) e
a a Cr Então,C,(2, 4J e fr - 6
cz(0,0),vem: Âgor€cacuamos distânca
a enÍe oscentrcs
Crt2,-4) e C,i8 al:
d(c,,c,) = !G2 - o)' + (2 oÍ = !ã
Como raìos
os rnedern = I e f?= I e
rr a='G'+*=.úoo=ro
Cornod=f,+r?pod€mo
Jí > I + t,temosd r, + r..
>
d=fr+r, ã l0=6+rr=rr=4
Logo, circuníefências exernas.
as são A eoudçào
píocuÍêd€a cà cicunlerFnna r" o 4
e oF "
[x =
dlA c rclníeréncia- 3]'z (y - 21'? I tern
+ Ct3,2l centrc 4]:
[8
tx 81'z+(y al':= a'?
ou
x'z+y'?-6x-4y+12=0+ x,+y,- t6x 8y+64=0
25. Dadas ciÍcun
as e'èncias e À- oescuorê oosi
Àj suas 26. Aequação crcLrnfeÍênca 4 e concêntrica
dâ d€€io com
çôes Íelatvas seus
e pontos (se
comuns houver): a cÌcunferência deequâção
al Àr:x'z+ y'z- 4x - 8y- 5 : 0 x ' z + y , + 2 x -6 y + g = 0 é :
ì.r:x'?+y'?2x 6y+1:0 a lx , + y ? + 2 x 6 y -6 = 0 .
b lx ' ? + y , + 2 x -6 y + 6 = 0 .
blr,ìix-21,+(y-11,=4 c )x , + y , + 2 x 6 y + 2 = 0 .
À- l_x zì'?+fv + 2ì'z=) d )x , + y , + 2 x 6 y 4 = 0 .

16. Gê0metria acirunfsêndà
analÍtÌ.ar
tÍ-t
s"j". s, sJr.. cn"u nferênciss
langenres
ex1êrna-?S" trr e ),>: sãoduas rcunfefèfcas
c corìcêntdcas, ì,r
com
rnente," que tern
tais sr como equação nteínêìÀ,.Sabendo € equEçâo À é
que de
I
x, + y, - 2x- 4y+ 4 = 0 es2terncentrc porìro
no ír 6' 8) -0eo e € áÍeâ a-e , ircura.
do
I p0Í
Ìormâ00 Àr e À, é iguaa 24n,deteínÌne equação
Ci5,-rl Calcule dâcÍcunteéncia
o Íalo S2 a
I de ì, nalofmagefa.
Aplica
16. Umengenheiro precÌsâconstÍuir ponte íofina
urna em remos o centrc cifcunfêrêncÌa C(0, t6l
que da seú
0e arcode circuníefênciâ,
sernehalìtequeaparece
a poF0 rao tern20 m e a pt/astm
maior 4 m. puÍa
tem
na fotoabaÌxo vãolivÍesobreo rio a servencido
0 obÉf 0 tarnanho pilastÉs
das peddas,pfecisêmos
pelaponte de 24 m, e a piasÍa centrai,
é segundo o apenas ofdenadas pontos e B, cujas
das dos A âbs_
arqutêto,devêfiá 4 rndeatum.O engenhe usan_
ter ro, cBsas rcspedivamente 8. Nestè
sá0 4e €xercício,
a
do seuscofhec mentos Geornet plana,já cutou
de a ca escoÌha sisterna exoscadesÌanos
do de
queo raiodo arco crcunfeÉncia adequêdoé
de pfoletado ar-
peio Íì1r.rÌ0
mportante fâcilitar feso
para â ução,
qurteto de20Ín Agom pÍecÌsa
é ee calculaftarnanho
o
dasoutÉsqLatro pilãstras (duss €squerda
rnenofes à
e duas difeita p last|a
à dã centÉD.Segundo prcieto,
o
todâs pibsÌms
as esião 4 m urna outra,
a da
A equação cifcunferêncaentão,
dâ é,
. _6J.- 400. oblenosã de-êdav-
ty Pa-è o oo
oon,oA.oasãsJo, aêoscssè.
J -
Ponte Hamburgo,
eh Alemanha. "no"q-ícro
4'z (y 16l,= 400 (yÁ t6l, = 384=
+ + 3 +
éyA + l6 = r68a= 1s,60
=yA= 3,60rn
Da mesrnaíorma,paraobt€rrnos odenadayo oo
a
oono B bd:Ìa rosÌr , a .osciòsa _ I naeqJãção
s s
8: + [yB ]6Y = 400+ [yB j6], = 336.r
+ +
Cornbasenas nformaçôes prcblerna,
do escoha Ltm +ys + 16= Êãã 18,33 y. = 2,33,
- =
sEterna exoscoordenados
de conveniente
e ohefhaa
altLr|a quaÍopiÌastras Porcausê smeÍa d€ pont€, dlrasp lastrâs
da as oo
dessas menorcs.
lado€sqLrefdo o mesrnotarnafho
teËo desuascoffes_
Resolução: pondentes adod rcito. m,as piastras tas
no Ass são
Escolhendosstema exos
LtÍn de caÍtesanos coÌoqle
que o " dJa< Én. op-o,iloo;ne-.e,2,?3 e oLasÌeTn
n
a p lastracenlfalno eixoy e o vãoda ponteno eixor, 3,60 e â cent|a,
rn. comojá sãbírrnos, 4 m.
teÍn
Escolha ststerna exoscoordeÍìados
um de âdequadofe-
€ íDrcè: Cooque ênce oo àrgJo.eto triangLlo
o oo te_
soè,LsaToo
GeoÍIFtria
and,rica. seqJ p ooelds oe
os rrcs Énguto orqem.J
na
30, llma c rcunlefêncEestá
L inscrìta unìtrángu eqüi_
em o
látefo ado2J3. [,40s!re pa€ todoponto L, a
dê que de
29,Obtenhâ ralodacrclfferência
o inscnta trángulo
num sorna quâdmdos suas
dos de distáncas Íês vénices
âos
rctângulo catetos
cujÕs meçam cme 4 cm,
3 dotriângulo constante.
é

17. [UFG-G0) Co]ìsdere d!asc rcunfeÉnclas p ano
no [UELPR]Consdere Í€tar de equação
a
caftes d€scítas
ano pelâsequaçõ€s + y, = I0 e
x, . 2 ? - A Co* re'aç;o rep€se1raçào
o geo-ê
tx - xol'? (y _ yo)': ] Detefln o ponto
+ = ne yol
P(xo, ïca daÍetar nop anocertes pod€ afrmar:
ano, se
pafaqUe dLras fc!nÍerênc sejãm
as c as tângentes ) Aárca dotÍâng!oíomrado reta pelos
pela re exos
extefnas ponto
no A[3, ]). coo|denadost€rnovaofdeI undadeqLredmdâ.
(UFPR) | Á c.cJ-'e F-r,s eqLaçâo J- - 2 co- Ál
oe '
Nosstems cadesano onogona considefe
oxy,
'odo f;rg ro b . ado
o peè eldÍ e pFo.
a circunferénciã.y
decentfo C[4,3) e rao r = 5 "o.
al Encontreequação
a cânesana c rcLtnferénca
da y.
i| A.i"c.n.e-ê.cdd-equ€çro'_2. z) - 0
)
bl Encontreas coofdenadas pontos nteÍs€cção
dos de
da circLrnferênca o eixo üngenoa r€ÌE
â r.
Ï com 0y
lU A |eta percendìculafà 2y + x + t0 = 0.
cl SejaP o pontode nteÍsecção circuníerênca
dã .y ré reta
qàÌeÍ aÌa qJ-coìÌé- rodàs F
com o eixo0y, de ofuenada positiva. Encontrea e"o -r d. co re-
equaçõo fetaquetangenca circunfeÍênca
dâ a rìes-
seponto P a) el. c) e lv. €l I llelV.
bli€ll dl e L
iUFlVlG)Sejêrìì e C2cfcunferências rcspect-
C1 de,
(UFC-CE) Sejâ.yurnacircunfeÉnciâ Éo 2 cm,AB
de
r'ane-Ìe cel or 01 e 02 e aos Ír e í2 y' pqlãç;o
deC, éx, + y, loy + 15 = 0 eaequação umd ârnetrc e r e s fetas
de.y tangentes respecti-
ê.y,
deC2
poÍ
vamente A e B, 0s pontos e Q €stão
P fespectva-
éx'z y, + 2Ax+ l5 = 0.Sejanr B ospontos
+ Ae cte
inteÍsecção Cl e C, Considemndo mente stLrâdossobfe e s e sãotâisqle PQtambém
r
de essasnfof-
rnâç0es tangenca SeAP = I cm,pod€-se
y aÍmnaf coffeta-
que
rnente Bq rnede:
a) deteftn ascoofdenadas Oj € 02 e os m os rl
ne de
a) 3 cÍì
bl deteÍm ascoordenadas e Bi b) 4 cnì
ne de
c) câcule árca quadriáteÍo
a do A0jB0,
dJI crn.
(Uncanìp-SPl eqlaçôes + t), + y, = I e
As (x eJ8,5crn.
=
(x - 2)'z+ y'1 4 f€prcsentam crcunfefêncas
dLrâs
(llFPRI panocarl€sano,
No considerc pontos
os
cr.loscenÍosestão sobre exodásabscssas
o
êJlncoìtÍe :e e' s|er osoor oc oe .Êrsecç;o A t0,l) Bt2, C(3 5)e a Íeta.deíinda
31, pea€qua-
ca
queasc rcunferéncas çào 3x + 4y = 12. Sabendo queâ reÌa dvd€ o
Ì
pl3n0 cad€srano duasregões,charn€das
ern s€m,
bl Encontfe que
ovalordee R a + 0,d€modo duas
a
plânos, considefe afÍmâtivasseguÍ:
as a
fet€s passam ponto 0] selam
qu€ peo [a, tangentes
àsduas rcunfefènclas ll0s pontos e B estão rnesrno panode,
A no sern
c
lefmnâco peafetar
(Uto-CElDetemì o vaorda constante d€ rnooo
Íìe a 2l A rctad€ternì pof
nada A e C é perpend à cllar
. l^'+v'=qz IeÌar
que0 ssreìa0e eq-açoes
i - tenìd 3l A c Ícunfefèncìa passa
que peÌos
pontosA, e C
B
L3x+4y+z=a inteEectaretarem dols
a pontos dstlntos
souçãorcalÚn
ca
4l0s pontos senì
do pano qle contém pontoC
o
(lnif€splEnì panocârtesiano, T o triângu qle
unì seja o satsÍâzem a desgualdad€ 4y< 12.
3x +
delirnitarcgião
a p€
defnida a nequações Assina a atemativa
e correta.
y<2,x>0ex-y<2. al Sofiente ãffinatvâs € 2 sãovefdadeiras.
as I
a- Ob€nhé eoLè)õ-. tooa) €rè5 ê sào
!s a" cs q Áqü bl Sonìente ãÍ ÍnatvâsI € 3 sãoveúadeirãs.
as
distantes Íês vértices tr ângu T
dos do a cl Sornente âfrnetjvâs e 3 sãovedade
as 2 râs.
b) Obt€nhaequâção crcunfeÉnca
a da crclrnscÍita
ao dl Sornente afrmetivase 4 sãovedade
as 2 És.
triânguo deslacando
T o centro o É0.
€ el Sornente afrmativase 4 sãovedãde
as 3 râs.