1. O texto discute conceitos fundamentais da matemática como limites, paradoxos e dialética através de exemplos históricos como o Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga e a Esponja de Menger. 2. Zenão de Eleia usava paradoxos lógicos para questionar princípios matemáticos, como a impossibilidade de se completar uma série infinita de distâncias cada vez menores. 3. O conceito de limite esteve presente ao longo da história da matemática e foi fundamental para o desenvolvimento do

1. t,
I gou vamos falar dosparadrnos, gan- sempredcsafioumentesespeculativa.s, o foí
lldes desa,fros lógicos, ve2es
às apenas jo- "ParadorNoAquiles'.ContaqueAquiles,
de um
Ãgos depdLatns.Muitas vezes recone- dosheróis guerrade Ttóía,decidíu
da aposta.r
mos a raciocíníos a.pdrehtemehte coerenteE umacoffid.tl cotuuma taftarugae qaopof ser
masqueescond,em contradições dbsurdas, para. maisrápido, pemitiu queelainiciasse corri-
a
convencetmos alguém queaQoèverdadeiro. da 80m à sualrentaAo serdadaa largadano
de
Na Filosofra a dialétíca(a arte d.odiá.logo) mesmo
é ínterualo tempo queAquiles
d,e em per-
quepossibi[ita essa argumektação, Paraà.otn, coneuos80 m, a tartaruga deslocou m e
se 8
do gregopuâdoksos, kohtrário à opiníãaco- enquahto Aquilesos pefcoftia,a tartaruga. ah-
mum",signífrca. eaposiçãa contraditóría, uma dava fiaís 0,8 m, e d.ssím sucessívamente, E
argurflentaçào levaa algumacontradigìo. Zenào
que concluiu Aquiles
que nunca alançaria
Nd Geometuia, fgwas impossívek padem a t"z.l'taruga, sempre
poís havería pereurso
um a
noslevara resultados absurdos awiliar
e nas cumpúr, menor
por quefosse
argumentações. Sãoídrkosos desekhos ar-
os da Esse paradoxolevouos matemátícos ao
tistagrártcohola dêsFÁchet (1898-1972), que conceito delir te Oslaloresacimapodemser
co ntrad.izerlt princípios
os matemátícos. representadas umaEeqüênci.a"
poï
Sedoíslddosdeum tuiâtÌgulo detemínatu (80: 0,8:
8; 0,08; já por
0,008...),estudada vocè.
um plano,como pod.efiamos os
ter parcsdeId- E uma PG deprimeiro teruo 80 e raaio 0,1.
dosde um mumo triâtlgulokã.o'coplanares? Obsewe que o compime to do percursod.e
Essafguraé umparadotco! Aquílescorresponde somadcsses
à terrnose,
Zm,ãodeElêa (século a.C.)eraumfih-
V como PG é Wfiita' o ,11átimo
a quepodemos
sofo reconia, paradaxo|
que aos pard cottstruír fazer é calcularpara qual valor "tende'essa
seusMcíocít1ios. d.e
Uth seus argumentos, que soma, a esse
E valor damos ome de limite
o
Você podeveúfcáJocomo a.u.tílio ulka caL-
de
culaáora aplicarafótmula quevocê
ou apreh-
dct Experitnekte, qualquer
De forma, a con-
clusã.o Zenãoé apekas
dÊ teórica, corres-
não
pohdeà iealidnde"
O êokceíto limite esteve
de presente ao
longode toda a históriada MatemáticaeÍoi
fundamentalparu o desenvolvímento Cál- do
culoDiferchcial I tegal assunto hoiese
e que
apliú ernínúmeras árcis cie tífcas,
,

2. l. OsfractaÌs bons
são exemplosdeapicação conceto llnì
do de
Ì€. Háurn chamado obtda a pattt de rt)
fsponl? l4en7et,
de
cLrbodeste modoidlvdlndo-o 27cubinhos afestas
em de com
1
tamanrìo arestas nais,
das org removem a pۍa
se centra
Jdo
do cuboe cada dos6 cubos
uÍn (ou
decadaface seja,7
centrals
,l do )-.Lbot do.-mo.oo9ÀoaíI. oesse ô
estag -o--,-o
..+- -* pÍocesso cada dos20cubos
cora uÍrì
te,ÌndeÍinidamente.
restantes, m pordan
Acompanheostrês
€ ass
prlmeirosesláq cujo
os,
", 7 pÍocesso repetdoinfinitamente,
é gerandotodosos estágios
L.- È--' |
FI
-.-
., LtrÈ.-
r{Il'{
- 1.
Isaac Newton e Gottíried Wí[helm
ìl .- 8"
-!:r'
Leíb4í2, o primeiro inglês e o segundo
Segundoestágio ÌeÌceiroe5tágio
alemão,Íora.m' contemporâneos (sécuh
XWI) e mesmosem um saber do outro O paÍadoxo qu€
assoclãdoe e é o sequf te: observe a cada
a
estégio perde volume
se coma retlrada cubos, ga
dos mas
descobfiramsimulta eamenteosprincí- nham-se po
áreas, s vãoaparecendo veznìais'túneisi
cada
píos do Cálculo.Nele,asíu ções ocupam Vamos comprová- o.
um lugar central e seucomportame to é Chamando a meddada aíe5Ìa cÌai
deà in
estudadoe interpretado.A íut1çãopode a)cacule área docubo ca,
a tota in
terporÌtosde desconti uidade e ínteressa b)cãculea área tota após prìÍrìeÍoestág
o oì
c) coÍnpaÍe-as(qualé maior?);
â
determina.r se eríste um va.[orpa.ra o d)caculeovo uÍnedaesponja o pr meÌro
após eÍágioemfun
qual ela texde queseráo seulimite. Para ção vo ume
do lnicialdo cubo;
D'Alembert, matefiá.tico íratlc^ do sé' e)compare'os (qualéo mãÌor?).
culoXWII, a idéia de límíte era a "verda.- Agorâ, ta Quando número estág tendeâ infln o
reí o de os Ìo,
deíra metafsica do Cálculo', referind.o- queacontece a área comovo um€da€sponja?
cofiì e
Ass poderÍìos
m, definÌr Esponja lúenger
a de comoumobl?ro
seà acejta4o, por pa.rtede algunsmate- que
geamétrìco ten volume eáteainfÌnital
zerc
máticos,de que havia. um estágiointer-
rhediá,rio entre útua quahtidadeser e 2. .ra dò) oroco"poró e Lode -.na r'çàoqLad'i-"
não ser alguma coka, deúdo à idéia de que
magine umadoceiía qaneRS 2,00 com cadapudnì que
queuma quantídaãe"tendia"a ufi ralor, produza (então, é o preço cuÍo de um pld nr).Élãc
esse de
que
imdgÌnar a qLrantdâdeplrdlnsvendidos vare
de pordÌa de
mas não chegava atingí-lo. Ma.is taúe,
a
acordo o preço
com decada Então,
Lrn seja.xopíeçodevenda
aind.a no século XVIII, Augustín:Louís de um pudiÍÍì suponharnos 05consìJrn
e que dorescomprem
Cauchy viria a dar a.oconceitode limite (20
dÌariamente- x)pudÌns€qLreessa s€jataÍìbémaquantda
utu carâter arittfiético aíkda maispreci' de produzlda dlarlamente.
so,apoiando-sena idéí.ad.e vizifihakça, e râ
d '.. e.óae p. do qLe'ep'e.er d q .o "9" .pa d.
parapÍoduz rtodosospudÌns serãovendÌdos.
que
é d.elca dcf,níçao dc limite que tuaís se que
b)Escreva aexpressão Íepresenta ê quãntlaãrrecadada
conì
aprotcimada que seconsiderahoje. a vendadlára pudins
dos produzidos.
Este capítulo propõe uma introd - c) Expresseo lucroL obudocoma venda ára dospLrdÌns
d enì
çíío ao assunto,indugurando nossajor- função pÊçodevenda cada nì
do de pud
ada no carhikho de ama Matemática d) A doc€lra ucíosevender
terá cada rn porR$3,00? por
pld E
Ri 21,00? fìque
lust
maís abstrata, tratada deíoma mais
e) Esbocêqréfco
o dafunção lcro obtida tem. no lnteJva
no
axalítica. o emqueo lucroé postivo.
f) Observe, gráfìco,queocoÍe co.no ucro
no o q!andoo pre
ço unÌtário venda pldlnss€aproxlma RS
de dos de 20,00, e
quando seaproximaR$11,00.
de
a

3. 198 .
lìàÍêmátl(àComêxm
&Aplkàções
ÍlA idéiaintuiriva timire
de
Vejamos caso5 queaparecêa informôle
âlguns êm idéia intLritiva limite.
de
ExemDlos:
1e)Consideremos região
uma quadrada área
de iguala1.Numprimêiro êstágio,colorimos
metade
dêla:
â,rÁ r^l ^ri À r.
r
No estágioseguinte,
colorimos
metadeda regiãoe maismetadêdoque restou:
-
-
I
oanecororida:
lj
No próximo,
colorÌmos que haviasidocoloddoemâismetadêdoque restoui
o
-
--'-=i^:Í,^"'.
panê coloíidai
111a1=26"1or,"
2488
Eassim,
sucessivâ
e indêfìnidamênte, daregião
a área colorida
resultantê
vaitenden-
117
como os valores-, :, - váo seâproximando l. Dizemos,
do a 1,Observemos de
então,que o ,mite desse quandoo númerode estágios
desenvolvimento, tende a nun<a compì€tâda,
será
infÌnito,écolo
rafìguratoda,ouseja,obterumaárea<olorida 1.
igual
a
à ân com a, = f, n c lN*,explicitàdà
2e) Consideremosseqüêncìà de númêros por:
111 111 Itl
1,
Z' t' n' ' õ' ' ee' roo' ' 9 9 9 ' lo O O ' ' ; '
t
i
que, que
Observemos à medidâ n cresce
Indêfìnìdamêntê,
o vôlorde vãi5eaproximando,
-: vaitendendo,vai
para então, quando tende infinito, limite seqüênciaigual O.
convergindo 0.Dizemos, que, n a o da é a
3J)Consideremos exponencialt.. fi, t-f - íl ì'.
a lunçáo lR
xtendendoumvalor<adavêz
a maior+f(x)
tendea
0
a

4. .
GpÍtulo7 lntoduçãoàorlLmlÌês 199
Ob5eruemos à medidaque xtende a 0, Í(x)tendeô 1. Notêmos
qoê, tambémque,à medidaque x cresce inde-
flnldômente, f(x)têndea 0. Podemosentão dizerqueo limitedêssafunção para
exponencial, xÍendendo a infi-
nito,é zero.
Observação: todosoi êxemplos
Em quandodizemos n tendêa ìnfìnito,,." "xtendea zêro,..",
ôcima, "se ou queremos
q
mostrar ue essas variávek estãoseaptoximândo desses"valores"(atênção,infìnitonáoé um númerol)sem,entre-
tanto,serem iguaisaeles,lssoé especialmenteútilen detêrminadas 5ituaçõesmatemáticas emquesedesejaoblêr
um rêsuìtâdo só ocoffequandoumadeterminada
quê variávelaprêsenta vàlorque muitasvezes não pode
um ela
têr (comodissemos, inÍìnitonão é número), issoa variávêl
Por "têndea essevalo/',ou seja, variável aproxima
a se
gradativamentê dês5ê valor,chêgandotãopertodelequantodesejamos. os resultâdos
E decoÍentesdessasapro-
ximações oslimites.
sáo
{
4e) Nocapítulodeste vimosas
3 livro hipélboles dentre vimos
e, elas, umâhipéÊ
boìeeqüilátera o que
ìmportante, reprêsentâgráfìco exprime relação
que â
entre pressãovolume umgás
e de perfeito, condìçóes
êm isotérmicas.
Anâlisando â siÍuação, podemos pensar:Ê possívelovolume serzero?
Orô, uma
é situação imposível. queé algode volume
O zero? é uma
Essa
situação interêssante, náoocorre prática, quepodemos
que na mas imâgi-
narteoricamente, Obsêrvandográíìco,
o vemos quando pressão
que a âü-
menta tendendo infìnìto volumê
a o diminui,tendendo zero,
a Ponanto,
para pressãotendendo
a a iníinito,o
limitedovolume ézero,
pÍopostos
ExeKídos
I " Considefercgãodo plâno
a lmtadapeo tràngLro re- 3. Cons a seoüenca =
dere a L.nE 61-
tánguod€ base e
Íxa gLra 4 cm.Faça altLrÉ se
â a | n+l
aprcxirnando3, Ínas nuncâ
de s€Ín ãtingir3, é,íaça
isto a) Expiciteessa seqüéncia,escfev€ndo vâofêspara
os
tendef 3. CoÍnpete tâbela
a altuÍa a a dada vefÍque
e n = l, 2,3,4,5,..,10,..., I 000,
100,...,
para vaof está
que tendendoárca
€ dessâ ão.
rcg b) Escrcv€ foma de íìúmero
na decirnaosteÍnosdâse
qÜência item
do antefof,
c) Pam queva está
of tendendo seqüência
essa quândo
n
tende pa|anÍìn to?
4. Co_s
dere or; cod. - ìçêoog€r
o rìicà ll'J - og-
que
al à rnedida xtendea l, f[x] tende que
p€Ía vâloÌ?
blà Tedda quex Ìe'ìdepa-a.r'ì v€lorc"d8uel 1.èio-.
f[x] iendeparaquanto?
2" 0 queocoÍre, lirnite, a rnedid€ h potenusade
no corn dâ
umtrânguloretángu semantiverÍnos dâdeurn
o € med
catetoconstante a do oúro cateto dirninundo
e for
tendendo 0 [mas
a nlncaiguala0]? xtendendo Lrm
a valor
cada maor
vez

5. .
MateÍnálkãContexto kades
&Ap
Fã Limitesde seqüências
Vejamosalguns
exemplos seqüênciasêus
de e respectivos (quando
limites existirem),
le) Rêtomemos
a seqüéncia.., poíà, = -L, comn e lN*, explicitadâ
deíinida ê por:
1 r ììr 11111
'' 2 '3 ' 4's'6'7'A 'g'
1 1 1 '
rO" '1oO" 1oO0" 'n'
ou,âinda, representaçáo
em decima
ll
1;0,5;
0,333...ì 0,2i
0,25; 0,16...j
O,142;
0,125ì ...; ; ..r0,01...;
O,11 O,1 ; 0,001
; ...
que, quencresce
Obsêrvemos à medida (tendendoa
ìndeÍìnidamente infinito),otermoa": tendea
-L O.Indi-
camosassiml
ou,então,
assim:
ti,n o
l=
limitede f quando tendea ÍnlinÍto iguala 0. Nesse dizemos ô seqüëncia
que lemos: n è caso que converge
para ouqueo limite seqüênciã0.
0, da é
Observaçâo:O
'7 número = 3,1?2857... o,ol
I ê uma -àpÍoxrmdçáodonumero iíacional - l, út sgz...,
,r isto
é,é umô aproximação comerro
den àbsolutomenordoque0,0l.Jáont^.ro!:Z;IASZ...naoéu^u
V7
0,001-aproximâção - 3,141592...
den
Demodo geral,5eeé número
um realpositivo, quexéuma
dizemos €-aproximaçáode sóselx y] < €,
trsêe
ou seja, a-a
uma proximaçáo y é umâaproximâção y comerro(absohito)
de de menor que€,
do
As5im, exemplo
no acìma,quandodizemos:
lim f = o
êstamos que,parà
dizendo qualquer
número positivo dado,
íeal Ê sempre po5sível
é encontrar teÍmoda
um
/!
seqüência I a panirdoqualtodos
I ostermos
dessa
seqüêncìa s-a dêzero porexemplo,
sáo píoximaçóes (O).
n ,/
setomarmos = 0,1,
e têremo,i
] o < e q r" n d o n > 1
nÊ
ouseja,
1- 6 ç 6 q r6 n 4 q n ; 1
n 0,1
ou, ainda:
lf.o,tou"naon'''o
1
Logo, n > 'ì0,-: é umà0,1-àpíoximàção
para dêzero(0), é,umaaproximãção zero(0)com (absolu-
isto de eío
to)menor que0,1. constataíìsso, verosvâlorêsseqüência:
do Para basta da
,1 1 1 1 1 .I1 1 1111
' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9' 10' 11' 12' t3"'
JJ J J J J i 'J T.I 1
lr 0,5; 0,333,.; '
0,25j 0,125i Oirrl..; 0,1; O,O9O9O9;0,03333,.;0,076923,..

6. (.pítulo . llJroduÍãoaor
7 imits
(4,
2el sejãa seqúèncià )1F N', definidàpor a. - --L e explicitadd
por:
1234567 99 999
1't '+'i E 7'e" r o o ' ' - r o oo "
ou,emrepresentação por:
dêcimal,
0,5;
0,666...; 0,8; 3.; 0,a57 O,A7 ...;
0,75; 0,83 ...; 5; 0,99; 0,999;
...j ,..
Obsetuemosque,
à medidaqueovalorde aumenta, dendo infìnìto,
n ten a I
ovalorde tende l. pormais
a
n+1
que,observandoseqüência valores
a de peÍcebâmos crescimento vàl6rs5 --L, q1s3
decimais, um nos 6s
n+1
nunca5erão
maioresque 1,poiso numêradorsempre
é que
menor o denominador. Assim, valorde I
o
n+ l
sêm ultra '1
cresce nunca pâssar. Indìca âssiml
mos
n -+ ó= -J1
ou,atnoâ: Um sÌrórrnode"ÌÌmite
da s€qüência 0" é dizer
é
que â "s€qüência
conveÌge
n+l
quelêmot:limhe --ll, quando
de ntendeainÍnìto, ìguâlaL Nesse
é caso,o
limite seqüência
da é.ì.
n+l
Vejamos,agora,
algunscasosemque o limitenãoexisfe,
1P(aso
Asêqúência(aJi€lN*,coma"=(-1)",explicitadapor-1,1,-1,1,j,...,(-l)n,...,
oscita
entre tej,não
paranúmêroalgum,Oíndicen pode crescer
convêÍgindo indefìnjdamente o termo annão5eaproxima ne_
quê de
nhum número. entâo,quenõoexiste limite,
Dizemos, o
seqúênciâs
comoessa châmèdas
são diveryentes.
29aâso
A seqüência 8, I 6, 32,64,.,.,2",.,,nãoconverge
2,4 paranenhumnúmero, caso, particular,
Nesse em dizêmo5
que eladivergepara+-.
2": +-
^lim
Demodogerâ|,é
possívelprovarque, à > l,temos:
para
a": +6
"lim
39<âso
-L, -]. -4-. 9 -19
Aseqüéncia(a")^€lN_talquea-- exol;ciLàdâpor ---, naoconverge
n,l 2 3 4 5 -, Para
nenhumnúmero,
Nessêcâsoem panicular,
dizemosqueeladivergeparâ @.Assiml
l. Câlcuei
bl 2n + 5l
nlirn. tn' -

7. 202 .
À,latemátka Conlexlo Aolicde!
&
Resoluçâo:
A seqüêncê corn = 5 é chanada
an a" seqúêncÌa e pode escrta
constanle ser assirn: 5, 5, 5,...
5,
Ela para ouseja:
convefge 5,
, , ry_5 =5
Obsewaç ão:
Deroooqeê 'ì "-k[o ì te oe Lna concra é rgual
.e à
b) lirn [n3 2n + 5]
Para cálculo
o desseirnite,
usamosm adííciocoocamos emevidénc
! n3 a .2
quanoonrendea&,-
|,ì " l-
l-t ('-2' -5)- ir nlr- r r -" tende zerc. mesmo
a O
- n)
5
-0 ';
Logo, m (f3-2n+51 = lrn n3=-
ObsewaçãoiPode pfovar
se q!e:
t n a'a d.7-...-an.- l"r ar.rcora,0'
Conìo cons€qüênc
a tenìos
a. ér o,
. ì Lb- lr''- n t.or" +0eb.0ì
''^b ... b
cJ hT '- " - l_ -i+ - m r-n) --(
n-,3n'2+2n n-r 3nr ,2- 3nr = n3l+
,_l
6 n- " 3n+d =
;' - 5 lm n:-L 1t + 2n = n211
n ,, 5 j
"
,(,
m
tn l
3n3
3n+5
í:-rì 3+-
propostos
I lxeÍ(iqos .l
t---_
i !1.Expciteostermos seqüénciss fo|rna mal€
das na dec {i- Entre seqüénclas
as abaixo, quais convergentes
diga são
que:
c0n$aÌe e q!a s sãod veruentes
e justfqLte:
a11,01,0,1,0,
-3
oâ"=l;l
l
bl m =0
d lr 3 l. 3 . l. 3 . | 3 . . . .
23a
cj a (eqrencrd € '
rc"ì co-r,^ - ]l q".
' 2n-l -.
l
pam .
converce ")",=
l-r)
fl r, 2 3,4,5,6,.
g)2,3.5,7, 11, 17,...
13,
dJ A . êoüèL" ;J . Ê N'. coT a^ :--::.. qLe
hìt ]t I I l
para
converce 4. 2 4 b 810" 2n

8. 7- Qlandoumâ seqüéncia dveÍg€pam+ó, escÍeve-
an 8. Cacule vaorcsdossegLtntes
os lirnitesr
nos lin an -ó. e qJaldo dive-ge
- oa-a-d. es - n+l
r - al lim 6
crcvernos a" =
n{n* - l+4n 5 -n
NosexercÍciosabaxo, os"vaores" êxprcssões
dê dâs lm
2+7n 2+3n
al lrn n dl im 2" 8n
cl lim 0l m (n' - 2)
bl lm n'z e) im [-n] 2n+3
n+5
c) ( n5+ 5l dJ lm hl m [ 2n5+n+]ì
nlm_ 3n+2
i
Númercsreais como limites de seqüências
Já estudâmos ãmplìãção conjuntos
â dos numéricos (lN)ãtéos reaÈ(lR).Vimos existem
desdeos naturais que
ceftosnúmêrosracìonais, quê
como0,333..., sáochamados peiódìcos.
dízìmos Números dessetipo nãosãodecimais
exâtos,ma5podemservistoscomo "de(imaisinfìnitos", seja,um númerocom infinitascasas
ou decimais,
Vimos
tàmbémquea gerãtriz 0,333...é , poisi
dê _
N = 0,333...ê10N= 3,333...ê10N= 3 + 0,333...<â = 3 + N ê9N:3
10N (3 N: I <+N: -
Essa
dízìmaperiódica,
ou'decimalinfìnito',é obtìdaa partìrdeumaseqúência
infinitaS^dê decimais
exatos:
S.:0.3
S,:0,33
53:0,333
5,r 0,3333
1
que tende para-. lssoocorreporque,à medidaque n cresce, quantidãde "3" do termo Sntambémcresce,
a de
tendendo infìnito(âquântidôdê
a dê'3'). Então5.tendeà dízimâperìódica quandon tendea infinito.Como
0,333...
tÌ
a geratriz 0,333... ;,s, tendêa ; quandôn tendêâ infìnito.
de é
Assìm, medidaq-ue índicen ciesce
à o indefÌnidamente,otermo S" vaisetornandocadavezmaispíóxamo de
'ì
ouselâ:
Jr
n-.=s"-]
",T.s"=;
então,quea seqüência 0,3 0,3 0,3
Dizemos, 0,3; 3; 33; 333;...convergepara-L, ôu rem lirniteìguâla ].
De modogeral,
todo númerorâcionalpode
servistocomolimitede seqüências
dedecimais
exatos,
Èxemplos:
1e) O númeroracional podeservistocomolÍmìteda seq êncÌa stànte0,5;0,5;0,5;...
] ü con
2
O númeroracional podeservìstocomolimiteda seqüência 0,66; ,666;
0,6; 0 0,6666;
...
;
O númêro
racìonal podeservistocomolimite seqüência
dâ 0,41;0,4141ìO,414141ì0,41414141ì.,,
O número :i
racional podêservisto
- comolimite seqüência
da constante -t; -t; -1; -1,...
-1;

9. .
Malemáti.aconÌexÌo
&Aplkàçõer
Um númeroirracional um limiteimportante
e
Ao estudar logaritmos
os 1, que
naturais volume vimos a base
no desses
logaritmos o número
era irracìonal
e : 2,7182818294...
A seqüência € lN*,t"fo*"" = (t * 1)", *tá explicìtada
(a")" abaixo:
/ 1 o r t tot
f -iJ,l '- rl,f.;J ,l '.;J ' ,l '.* J
JJJJ
f-,;J
2,0000 2,2500 2,3703 2,4414 2,5937 2,7048 i
r r r" o / r io' , r r
ì"'
' ' ' ' l ''rooJ ' l' '
' '['' " Í, sooooJ
l'
_ì' ' ""'
J 'o*J 'ooooJ J
2,7156 2,7169 2,7141 2,7142
Essa pois
é importantq seulimite umdoschamados
seqüência é limites
fundamenraii, valor o número
e seu é e,
Atsim:
.
ri. ír , -' ì" -
n+F n1 "
Obseftâçáo:Limitedaseqüência somadostermosdeuma PGinÍìnita
da
Novolume1 destacoleção estuda mosasseqüências entreelas, progressões
e, as geométricas,
Vimostambémque
é possívelobteÍ valor
um para soma inÍìnitos
a de teímos umaPG
de quando Íazão fortalqueO < ql< 1.Esse
a q
valoré o limitêdaseqüênciâfoÍmâdãpelâs somas PG, ocâsiáo,
dâ Nâ obtivemosumâÍórmulaque nosdavao'vâlor
da somainfinita".Essevaloré o limitêda somados termosdã PGparao númerode teÍmostendendoao infìnito.
como estudado a termosda PGé dada por s- = 3í.91-a
anteriormente, somados n primeiros oaraqualquer
qì
razãoexcêtoq=l.Quando0<lq <l,olimitedeq"parantendendoãinfìnitoézero.ÉpossÍvelperceberisso
o =
relembrando gráÍicodà funçãoexponencìalf(x) at para0 < a < 1,assunto
tambémestudado volume1:
no
Se liÍn qô = 0 para0 < lql < ì, entào:
,_ à(q" -l) à(0-lÌ a( l) _ à
n-_ Ç_t q,t q 1 l_q
que é a fórmulaestudeda
anteriormente,
9" Determ os números
ne que
racionas sãolirnites seguintes
das seqüêncies
elustiíque
os:
al0,6;0,66;0,666;0,6666;... c)0,24;0,2424tA.242424t...
bl0,9;
0,99i0,999;
0,9999;
... dl3,3,3,3,3,. .

10. Gpílulo . lìtmduçáolimitês
i aos 205
Ël Limites Íunções
de
No tópicoânteriorvimosos limitesde seq ências;
ü agoíaêstudaremos que vema sero lìmite umafunção.
o de
Comessê conceitopodemos descobriÍoque ocoÍe com afunçáonum determinado ponto,conhêcendo apenaso
queestáacontecendo com elanospontos"bêmpróximoí' daquele determinado,Afunçãonem precisa estardefi-
nidanaquele ponto.Oconcêito limitede umafunçãoé de grandeutilidadeno cálculo
de diíerencial,
assunto ser
a
estudado nÍvelsupêrior.
em
ldéiaintuitiva limitede umaÍunção
de
VâmosveÍessa idéiacom algunsexemplo9
lq) Consideremosgráíicoda funçãoÍ lR + lR definidaporf(x) = x - 1.
o
que,
Observemos à medida osvalores seaproximam 4 (sem
que dex dê porvalores
atìngi-lo), que
menores 4
(pela ou maiores 4 (pela
esquerdâ) porvalores que direita), valores f(x)corÍespondentes
os de seaproximam
cada mais 3.A tabela segujr
vez de a mostra valores Í(, para
os de alguns
valoresdex:
Assim, podemos q
escrêvêr uei
. o limitê f(x)quando
de xtendea 4 pelaesquerdaiguala3,ê indicamos
é
f(x) = 3
_lim.
. o lìmite f(x)quando
de xtendea 4 peladireita igualà e indicamos:
é 3,
lim f(x) = 3
Esses
limitessãochâmad ti^it", tot"roi, roiosão iguais, duasindicaçóes
o, as podemse resumir
ânteriores
numaúnicâ; ",
lim f(x) = 3
e lêmos quandoxtende 4é iquala
limitedeí{x) a 3.
(2 x + l)(x -1 )
a função lR- {l} -t lRdeÍinida f(x) =
Considêremos Í por
estudar limitedeÍ(x)quâ x tende 1, ouseja,limf(x).
Vamos o ndo a

11. 206 . conÌ-ÂxÌo
l,laÌêmátÌo &Adkações
Obseruemos nêstêcãso, funçãonemestádefinidano ponto x : 'ì,
quê, â
ou seja,
nãoexiste f(1).
Comox+ l,entãox 1 + 0 e podemos
dividìr
numerôdordenominâ-
e
dor por(x - 1)obtendo:
f(x)=2"*tt**t'
cujográfìcoestáao lado(aretadá"um salto"parax: ì, poisa funçãonão
estádefinidanesseponto).Obserue tabelaabaixovaloresde x e f(x)
nà
próximo5 I e 3, respectivamente
de
i
0,9 0,99 0,999 0,9999 1,00011.001 L0l t,1
f{x) =2 x+r 2,4 2 ,9 4 2,994 2,9994 3,00023,002 3.02 3,2
Quando seaproxìma
x gradativam€nte 1,querpela
de esquerda, pelà
quer porém atingi-lo, va-
diÍeita, sem o5
lores
correspondentesf(x)seaproximarn vezmais 3. Dizemos
de cada de entáoquelimitede f(x)quôndo
x
tendea1 é iguâì 3 e escrevemos:
a
limlf(x):3
emboraf(l )ìão exìsta.
Definição
Considêremos o gráfìco função
da f.
quê
A medidô osvâlores x seâproximãm de um númêro
dê mais ã,
pêladireita pela
e o5valores
esquerda,emconsêqüêncìã,
e, deí(x)seàpro-
ximam vez d€ L, que
cada mais umnúmero dizemos o lìmite def(x)quan-
doxtendea a é igual L e escrevemos:
a
lìmf(x): L
Éìmportanteobservarquequandosê
câlculâ nãoesta
mosinteressados f(a),mesmo
em queeleexis-
xlimaf(x)
ta, e simno comportamento f(x)quandox seaproxima a, Nesse
de de nãohá necessidade o valorx : a
sentido, de
pêrtencer domínio de f e, portãnto,
ôo náoé nêcessá que
rio f(x) sejaigualaf(a). maìorìa limitesimpor-
Na dos
*lim"
tantes, pontoã nãopenence domínio,
o ao
Exemplos:
1q) Consideremosfunçãof:lR + ìRdefinidapor
â
... lx' A,parax+2
Ìtxl = {
ll,sex:2
Observemos conformexseaproxìma 2, quet pelôêsquer-
que, de
da, quer pela dirëita,porém sem atingi-lo,os valoresde f(x) se
aproxìmam cadâvezmaisde 0, Então,temos:
lim f(x)= 0
que f(2) = 1.
NoÌemos
Logo,limf(x) + f(2).

12. (.pítulo7 lnÍôduçáoãosllmtes
.
Consideremos f:lBr R,defìnidaporf(x)=
a função .ujográficoà união duas
e de semj-retas.
"
1, + 2,r",, t,
que,quandoxse
Obseruemos aproxima I pelâ
de êsquerdô,f(x)se
aproxÈ
madê 1.As5im:
f(x) = 1 (limitelaterâl esquerda)
à
_lìnÌ
E,qlandox seaproxima 1 peladireitâ,f(x)se
de aproximô 2. Assim:
de
= 2 (lìmite
lateralà
diÍeita)
rlim,f(x)
Nessêcaso, que
dizemos o limitede f(x)nãoexistequãndoxtende â 1,pois
05limites direita à esquêrda diferêntes.
à e sáo
ObsêÍvâçáo: que
Para exista limite ("lim"f(x)),devem
um existire iguais limites
ser os lâteraisesquerdà direità,
à eà
tsÌoe:
tim f(x) = lim í(x): lim f(x)
propostos
Exercícios
'l L Determ
ne,'quando
existif,
o mâf[x] nosseg!ntes '13. Considefe
a íunção R ì R deÍnida
poÍ
ii
r
[]
x,sex+3
al (xl=j2|
.--
[2,sex=3
"""'.:,i â) Esboce Oráí d€í[x].
o co
b) Detemì f[3]
!ìe
/
c) DeÌerrn inì- ftrl e hrn (f).
ne
d) Seexstir,
deteffn ovaor de
ne fcx).
xlirn3
14. Consd€reÍlnçãoí lR-ì lRdeíndapof
a
.-- h- oarar<:
I2x,paftx>2
al Esboce gráftco f(x).
o de
bl Detefnìine m, ítl e lrn ítx)
c) S€existIdeieffninevalor
o de rn?f[x).
x
I 5. Considefea função R + R defnida
l: pof
.,- Í3+t.psa+2
t"'=]opr,.r=,
6l Esboce gÉÍco def(x)
o
bl Verifqueque m, f(xl + f(2).
x
I6. Considere
a funÉof: R --,lRdeÍndapor
1 L Dadâ função + lR,defnidaporf[x] = 3x - l,
a f:,R
pfóxirnos
fx+ l,par ax< 2
construa tabela
!ma atíibuindo
axvalofes de ftxl= 1a,paËx= 2
2,íaça géfco e calcue im, f(xl.
o
x 13,paÊx>2
'12. Dada função R
a f: a) Esboce gráf def[x].
{ll-)lR,deÍnidapor o co
f[xJ= j--+, consÌrua tabe atrìbuindo
uma a â xvalo- b) D€teÍnne m" fGl e rm^ ftx)
Íespóx mos I, façâ gfáÍcoe calcule mÌ f(xl.
de o cl Seexsfif,deterÍnìne
o vaoÍ f[x].
r xlirn,

13. lúatenìát . Comexto
o &AplkôçÕes
ffi$Propriedades limites
dos
O cálculo um limiteíjca
de maissimple5 partirde
a propriedades
suâs operatórias.
Primeirapropriedade
O limitêdâ somâé igualà somados lìmites(quando existirem). seja,
Ou seexistirem limites
os f(x) : Lr e
xlima
1,,então:
xlrlìa9(x) -
+ gk)l: lim f (x) + g(x)= L1+1,
*lim"If(x)
"lima i
Exemplo:
Im( x + J , =
lr
propriedade
Segunda
O limitedo produtoé iguâlao pÍodutodos limites(quando existiÍem). seja, existirem limites
Ou se os
f(x): Lre limàg(x)= L,,então:
_lim"
: f(x)'lrjìà s(x)= L, .1,
, lim [f(x).s(x)l
"lim.
Exenploil
le) (5x) : 5' x:5' x = 5 3 : 15
xlim- xlim3 xlim3 xlim3
2q) ( 3 x) =
,l i m , J,1",3 J'1",,:3 x|,1",x=3' 2 : 6
comoconseqüência,5e delâs a função
umô é constante,
temos:
fk): L+ k (x)= k f(x): kL(k€ lR)
_lim" *lim" _lrlÌ,
Outrà conseqüência:
- :
tflx) s(x)l ,lim"If(x) ( l)s(x)l=xlimà + lima(-l)s(x): rlimaf(x)+( 1)',lim"9(x)-
+ (x)
_lim"
= limaíG)-,lim" g(x)
Ouseja, limiÍe diferençaigualàdifêrençâ limites
o dà é dos (quândoexistirem).
Ëxêmplos:
] s ) l i m r k'z 2 x):limrx'?- lìml2x= limr (x . x ) 2 . limrx - limrx . limì x -2 . lì mrx =
2 e)xl i m( 4x, 2x+ 1):
3 - 4x,- lim32x+ l imr l = 4 . 3 . 3 -2 . 3 + l =3ì
,lìm
Generalizândo, lR+ lRé aíunçâo
sel polinomial nìda
defi por
:
í(x) a"x" a"-rxn-ì+ . + â2x': arx+ ao
+ +
temoslim f(x)= f{a).
Eastâ lcular valor umérico função pontoa.
ca o n dâ no
3 e)l i m r ( 2 x3 3x,-, x + 3): 2 . 13 3 . l,
+ + 1+ 3 = 2 + 3 - 1+3=7
Terceirapropriedade
O limite quociente igualâoquociente limites
do é dos (quando existìremquôndoolimite divisorfordiíe-
ê do
rentede 0).Ou seja, existirem
se f(x) : Lr ê g(x)= Lr,com L, * 0, então:
xlimâ xlimu
.. f(x) L,
xJa 9(x) L,

14. Exemplos:
ì llm I
le) lim 1: r-4 =::
lim x 4 2
v.-1 lim-{x7.1ì .). rì
5
2-'l lim.^
xi2 x _ I t) 2_t l
*t;m-A
3e) lim ^ -:?
Como lim(x 2) = 0,istoé,olimitedodivkorénulo,não
podemosâplicara
propriedâde
âcimã.
Neste
caso, i
devemos
usarum artifício fazer:
e
x' q v + 2 )te 4
x 2 Lx,-2)
Então:
lìm- : lim lx+2:2+2=4
,-2 x 2
propostos
Ixercí<ios
I7- Cac! e ossegu
nteslirnites: el m l^" x, - 3ìro
al lirn x
fl lirn í^+ 2ì5
rl_9, " '
oJ trn
oì rnì Bx + xì -
o *' ' h
n.l m
d ) "! , x ' -x J r 3 x -1 ..3
DrJr 2X+l
Ì8. DeteÍnine osvaores segLrintes
dos lmites
al - 2x - 1)
rlrnr [3x, xJox3+x,+x+1
b)r mo[4x3+2x,+x+2)
.. 3x'+x+l
cl mì [x4 x3+ x, + x + 1) 2
" x3+ 2x2+3x+2
dlrliÍn [2x'z-x+2] tl
I "19o2 x " + x ' + 2 x + 4
ões contínuas
Intuitivamente
dizemos que umafunçãoé confínudnum ponto a do seudomíniose nesseponto elâ não dá
"saltos'nêmapresenta "furo',Vejamos
âlgunsexemplosl
A função é cortínuo pontox: a.
Í no

15. 210 . ConldÌo Apli.â(ôer
l,latemárka &
A lunçào g é descontínua ponto x = a.
no
Seugráficodá um "sâlto"nêsse
ponto.
A funça)o é des.ont[nuo pontox = â.
h no ,
seugrafìcoapresentè "furo"
um nesseponto,
istoé,ela está
não deÍinida ponto.
nesse
Observemos a íunçãoÍestá defìnida ponto x: a e, portanto,
que no existeí(a).Vemos tambémque Í(x)
rlima
eque f(x) = í(â).
xlimã
A funçãog estádefinidano ponto x = a e, portanto,existeg(â).lúasnáo existe g(x),poìs,quãndox se
,limu
aproxima â pelaesquerda, limiteé L1e, quandox seaproximã
de o dea peladireita, limiteé Lz com Lj + Lr.
o
AÍunçáohnàoestó definda no pontox: a, ou seja, exi5te
nAo h(a),embora exista lim h(x).
DeÍiniçãode Íunção contínua
Umafunçãoíécontínuanum pontox = a se,e somentese/asseguintes
condiçóes satisfeitas:
êStiverêm
1e)existef{â);
2s)existelim f(x);
A pÍmein condição
3s) lim f{x)= íâ). pertence domÍnio I
âo de
Quando (oumãis)dessâs
uma parax: a,dizemosque
condições é satisfeita
não afunção édescontínua ô.em
que
Dizemostambém umaÍunçáocontínua aorjunÍo íorcontínua todos elementos
é num se em os desse con-
junto.üzemos simplesmenteque funçáo contínuâ
uma é quando for emtodos pontos seu
o os do domínio.
Exemplo5 Íunçôes
de <ontínuas:
a )Afun çã o p o linomialí(x)=anxn+an . + a rx 2 + â rx + ã o é c o n t í n u a n o c o n ju n t o lR. Re c o r d à m o s q u e
rxnr+..
nessêcaso,lim f(x): f(a).
Éstãoincluídâs a função f(x): ax + b e a funçáo
aí aÍim quâdrática = ax': bx + c (a+.0).
f(x) +
b) A funçãoexponencialR + Rl,f(,
f: = a*(a> 0):
logaÍítmìtalRÌ J LR, : log,x (a> 0 e a + 1):
c) A função I f(x)

16. (àpítulo7. lnlÌodüçáo llmÌtes
ms zll
trigonométricâa e co!5eno,lFì lR, = senxeÍ(x): cos
d) Asfunçóes seno ft --t f(x) x:
e) A tunção
módulo
t
ft lR-ì lR, = lxl
f(x)
f) Afunção enésima
raiz
f: lB+ lR, = ú, comnnatural
(x) pogitivo
-
g)Afunção
í lB - {ol+ lR,defìnidê (x) = 1
por
Observemos 0 não peítence domínio. função contínua
que âo A é
lR- {0}.
Ponanto,Íé
contínua.
h) A função
- i-
sex > o _ _ _ -.I 1 I' i
Í rR.-+ rR. norírx) ]4 = .11
derinida
'
=
: ; ig:
x l -l ,sex< o -T.Éi
:l '!l
Afunçãofdáum'salto"nopontox=0.Ma5oponto0nãopertenceaodomíniodafunção,queélR*=lR-
Ponanto,lé
contlnua,
A função
tangente
tn- + r.'r} rn, ke z,f{x|= x
.om te
{f -

17. 212 À4âlêmát. contexto
o &Aplicçóe5
frÌl
todos pontos
Afunçãotgxécontínuaem os doseudomínio.Adúvida poderia pontos
surgirnos
masesses pertencem domíniodafunçáo.
não ao Logo,Í é contínuâ.
t't
ExemDlos descontinu
de idades:
a) Consideremosfuncão
a
Í
Essa nçãonão estádefinidâ parax = I . Portanto,
fu não existe ). Assìm, pÍìmeira
f(1 a condição definiçãonão
da
Logo, nãoé contínuâ x
estásatisfeita, f em = 1,emborasejacontínua paratodosos pontosdo domínio.
b)consideremos funçáodefinidâpor
a
]),r" * + l flxl é continua
€nì
[("*l)("
Ìlxl:< x-ì
l:,r""=t
caso, : 3. Portanto, primeira
Nesse f(1) a condição definição
da estásatisfeita.
Alémdisso,liml í(x): 2j logo,a segunda
condiçãotambém estásatisfeita.
limìflx):2efl1):3;logo, limr íx)* f(l)e, portânto, teÍceira
l4as â condição está
não satisfeitã.
Logo,Ínãoé contínua x = l.
em
l
poríx)
c) consideíen a funçáoÍdefinida
os descontinua pontox - l:
no
,
"
paràtodos os pontosdo
Nãoexist€ ), poisa Íu nçãonãoestádefinidaparax = 1. Logo,a pÍimêira
f(1 condição estásatisfeitâ. de fato,
não E,
Í é descontínua pontox
no : l.
d) consideremos fu nçãoao lado,dêrinidâ
a porf(x) = {: *" -: 1
ll,parax>2
Obseruamos queí(2): 2j assim,aprimeiracondiçãoestásâtìsfêita.
Vejamos quantovalemos limiteslaterais esquerda à direitade f(x)quando
à e
x tendea 2.
lim- íx):2 e lin íx): I
Como f(x) + f(x),entãonãoexisteo f(x),Poúãnto, segunda
a condiçãonãoé satisfeita con-
€
xlim,
"l "lin1
cluímos íé descontínua Dontox : 2.
oue no

18. Qpítulo . lntmduçãoaos
7 limiÌer 213
propriedades funçôes
Algumas das contínuas
Comoconseqüência propriedadesdos
das limites(l;miteda soma,limitedoproduto,etc.)temosas
proprìedâ-
des dasfunçõescontínuas.
Assim, í e
se g sãofunçõescontínuâs um ponto x = a, também sêrãocontínuas
em
1 (se9(a).
nes5êponÌoarÍuncóesÍ-g,Í-g,kí(k€lB).f9, o1e9of19çompostacomÍ).
deíinição funçãocontínua
AtercêiÍâcondiçáoda de num pontox = a é f{x) = f(a).Então,
paradeterminar
xlimâ
o valordo limitede umafunçáocontínuâquandoxtende a a, bastadeterminarf(â).
2.Dete[ì]ne os vâlofes se0lntes irnites
dos sabeÍìdo
qle asfunções contínlras seus
são em domÍnos
n m {,f rì m iç=í16ì={,iiã=2
sl"lrnri2'f) -. '.-.-rì dà "
d hl mì [log, + 7]l
[x3 loS,(x3 7)l : log,[]3 + 7] = los,8= 3
hl"lirnr +
x
rì r_ ts"n, 2'j .Fr - | ,l | --
.I m isenx+2x l ,-; "
'-+ t"
^ '
3. trê-lr F:e a r, Çdo
oe,ì oo 0o ,., ]'
l?:e 2
adrniÌe
agLrm ponto descontinudâde.
de
Resolução:
al hrìì Ì'z= fí3ì = 3'): 9 Se essafunção alglm pontode descontnu
adrnitir
dade, seÍáx= 2.
ele
bì [nì ]=ff3): l [,44slirn i(x) = 2 ê lirn l(x] = 2, o queacaffeta
cl"ima3'=f[4]=34=81 lirn Íaì:2=ff2ì.
Logo, funçãoÍécontínua ponto = 2. Écontínua
a no x
dl ims os,x=l(8)=log,8:3 também todoo domíinio
em R.
r
'| 9.Asíunçôes segursãocontÍnuas sels dornínios
â ern
DeteÍrn os vaores dos seuslimilesnos pontos
ne al lm t2 + cosxl
.-:
dl
' f!4 * r" ì
al im x3 fl lm 2' bl"9,i" - :t el liÍn t2- . og,xl
bì m oo--^ aì hm fxr+x2+2ì lì
*, * u
"l,r i.,.uF
cl lrn cosx hl lm senx
,-14
2 I . Exoìcileouando streÍìr. Dontos d€scont
ex os d€ nuidade
dasseguntesíunções:
0l lTn -'.-
'x)2 lm
x'+2x + 1
a)(x)=l dl ftxl = s€cx
" el lm xl l
bl ftx)
20,4s funções segLrif contÍnuas seusdomÍ
â são ern
dos seuslrntes nos
nios.Determ os valores
ne
pontosndicados:

19. 214 . Contexto&Aplc!Ões
MaÉmárka
22. Esboce gÍáÍcode mdâfunção.
o Observe
ondeexis- tx + 2)tx 2l
tem"saltos" gÉÍco e mostre condição deÍ-
no qual da a)í(xl = (x 2l , p a Ê x + 2
nição está
não apontãndo pontos des-
sstisíeita, os de a,P aÉ X -2
contnuidade:
-..- -x-2 x,_9
^,
x2 bl (xl =
a,pârãx=3
-,-- Í(+t,parax<2
--
ll paÍ.x>2 xt 6x'+1lx-6
t"?_,_Â i
..-- l" ^ ".se,r+g
cjÌr!=1 x-3
5,sex=3
23. Determ os vaoresd€ a paraos qlais as funções
ne 0,parax=0
aba sãocontÍnlas:
xo
Um limitemuitoimportante:
o limite ÍundamentaltrÍgonométrico
Consideremosfunçáóf:lB* --t lRdeÍinidàpoÍ flx): I
a qualéo valorde:
e verifiquemos
;161!9!J!
quexseàproxima
À medida senx
nosdoissentidos 0,a funçào
de f(x): seaproxima l.
de
A tabelaâbaixofoifeitacom o auxÍliodêumacalculadora, importante
É perceber x estáem radiânos,
que pois
x c lB.Sex náoestiver radianos, 1;r JSII
em o = 1 6566 yi;1;6e;
,-0 X
0,1 o,o2 0,01
0,99833 0,19998 0,00999
0,9983 0,99993 o,99994
que:
lssosignifica
Geometricamente,
temos:

20. (apftrio7 . lnÍoú4ão limites
aos 215
observandofigura,
a que:
vemos
l/
senx x<toxl0x/j:ì
-
-
2J
Tomando inverso,
o obtemosi
L>f > l- _ _ L > 1 > 1 9 ! 1
S enx x tgx Senx x senx
Como x > 0,pois0 < x < +, multiplicamos
sen '2 porsen obtendo:
x,
t"n* taou
,-t
De mãneiÍaanálogâ,
obtemosessaexpressàoquando < x < o.
-{
2
Assim,oara <x< tr x/ o,temos:
-Í
' 2
'ì > t"n* >aos*
''
_ cosx < i!!r <.ì l
v^v
lim cosx: I lim 1 :1
:::j-j:, queestá
Como lim cosx:1e ìim I - l, então Íunção
à entre x e l, temtambém
cos limiteigualaì
quandox tendeâ 0, ou seja:
., senx _
4. Deteminê valoÍ
o de: lgla
í
cl lm
' Iì "-
senx 2)
âl lim
3x .- +
dl lim
2
- xJ0 íÍ- '
,r
x cosx/
ì- r+ ""
ro
x
' . ir
xi ocosx
- r
sen4x l91r dl NesÌe Íazernos x - a então
caso, u:
b l "9 o
2x .- +
el liÍn
x = u + a , e v e mo s o u e :
2
2
tg x
x+a<=u+o
"l ,lTo 2
Resolução:
senx ít sen^ì 2)
'i-o 3x -03 lm
)
.. ì senÌ
^
I l
--+ 1l
2
xro3 xeo x 3 3
el Ìlxl = e comnlan0 ponÌo
^ÌunÇêo
- sen4x ,. í sen4^ 4ì
x-a r-0 4x 2) 2
2x
sen -ínì I 2
,. sen4x r_r r 21
xeo 4X r+0