Este documento trata sobre la factorización de polinomios. Explica los diferentes tipos de polinomios que se pueden factorizar, incluyendo aquellos con factores comunes, diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y la forma ax^2 + bx + c. También cubre la suma y diferencia de cubos. El objetivo es enseñar a los estudiantes cómo descomponer polinomios en factores.

1. OCTAVO GRADO unidad 4APRENDAMOS A FACTORIZAR Por: Vidal Cruz

2. FACTORIZACIÓN Se llama factores o divisores, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera expresión. Al proceso de encontrar los factores o divisores a partir de una expresión determinada se llama descomposición factorial o factores. En otras palabras, el factoreo, es el proceso inverso de la multiplicación y la división, en consecuencia de los productos y cocientes notables. El proceso de encontrar factores, está dependiendo de ciertas características que las expresiones algebraicas presentan.

3. Las características más comunes de polinomios factorizables, son: 1. Polinomios que tienen factores comunes. 2. Binomios con diferencias de cuadrados 3. Trinomios cuadrados perfectos 4. Trinomio de la forma ax2 + bx + c

5. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS QUE TIENEN FACTOR COMÚN Un factor común está sobre la base de la ley distributiva del producto sobre la suma. La clave de la solución a estos ejercicios está en encontrar dicho factor. En algunos polinomios es fácil y en otros, se requiere de realizar procedimientos para identificarlos. ejemplo: En el polinomio: ax + bx - 3x El valor que se repite en todos los términos se denomina factor común, y en este caso es “x”

6. Cuando se identifica el término común, se escribe como coeficiente de un paréntesis, y dentro del paréntesis los cocientes de dividir cada uno de los términos, entre el factor común.

8. A) Cuando el polinomio tiene letras y/o números que se repiten Identificar las letras y números que se repiten, estas serán el factor común. Si éste, se encuentra con exponente, se selecciona el que es de menor exponente. ejemplo: m2x5 + m3y4 - m4n2 El factor común es m2 Se escribe el factor común como coeficiente de un paréntesis, y dentro de éste, se coloca el cociente de dividir cada uno de los términos de la expresión original entre el factor común, identificado en el paso anterior.

9. B) Cuando los términos del polinomio tienen coeficientes que son divisibles entre si. Se obtiene el máximo común divisor (M.C.D) de todos los coeficientes de la expresión y este será parte del factor común a encontrar. Cuando existen una o varias letras que son comunes, entonces se toma la de menor exponente. ejemplos: Factorar 5x2 – 10x3y + 30x4y2 El MCD de los coeficientes 5 – 10 – 30 es 5 5 10 30 5 1 2 6 luego, la parte literal que se repite es x2 Siempre se deberá tomar la letra que tiene el menor exponente En consecuencia, el factor común es 5x2

10. Factorar las expresiones: 1) x2 + x 2) 2x – 5x2 3) a3 b2 – 2a3b 4)16x3 + 4x5 – 12x7 5) 96 – 48mn2 + 144n3 6) 14x2y3 – 28x3 + 56x4 7)10ab + 15a2b + 25ab2 – 5ab

11. C) Cuando en el polinomio se encuentran otros polinomios que se repiten Cuando se identifican polinomios agrupados que se repiten, se consideran como si fueran una sola expresión y se realizan los procedimientos descritos anteriormente. Ejemplo: Descomponer: 2x(n – 1) – 3y (n – 1). Se puede observar que el factor común es (n – 1)

12. D) POLINOMIO POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Este tipo de polinomio presenta varios factores comunes, por lo que se agrupan de acuerdo a los factores comunes identificados en cada grupo. Ejemplo: a) Factorarax + bx +ay + b Se agrupan los términos que tienen factores comunes, así: (ax + bx) + (ay + by) Se realiza el proceso de descomposición factorial de cada una de las expresiones. x (a + b) + y(a + b) luego, se descomponen utilizando el procedimiento aplicado anteriormente Respuesta: ( a + b) (x + y)

13. b) Factorar x(a + 1) - a - 1 Esta expresión equivale a escribir x(a + 1) -1 (a +1) En este caso el factor común es: (a + 1) Entonces dividimos la expresión original entre este factor común: Por lo tanto, la respuesta quedará: (x -1) ( a + 1)

14. Factorar las expresiones: 1) 3x(x – 1) – 2y(x – 1) +2(x– 1) 2) x2(m – 1 - n) - (m – 1 - n ) 3) 7a(x – y) + x – y 4) 4am3 – 12amn – m2 + 3n 5) 2a2x – 5a2y + 15by – 6bx 6) 6ax + 3a + 1 + 2x 7) nx – ny + nz + x – y + x 8) 3ax – 3x + 4y – 4ay 9) 4x(m – n) + n – m 10) d(x + y) – x – y

15. DIFERENCIA DE CUADRADOS En los productos notables se pudo ver que la suma de dos cantidades por su diferencia, es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo Siempre aparecerán dos términos que tienen raíces cuadradas exactas, separadas por un signo menos. El procedimiento para obtener la factorización de una diferencia de cuadrados es el siguiente:

17. Factorar las expresiones siguientes: 1) 16 – x6 2) b8 – 49 3) 1 – a4 4) 25x2 – 36y2 5) 4m8 – 121n4 6) 4 – (x – 2)2 7) (a + 2)2 – (1 – a)2 8) (2a – c )2 – (a + c)2 9) 25x2 – (5 + x)2 10) (x – y)2– (x – 1)2 11) (a + 1)2 - 4 12) (x -3)2 - (y + 3)2

18. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP) Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad. Así: a2 es un cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a, 9b2 es cuadrado perfecto por que es el cuadrado de 3b. Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se extrae la raíz de su coeficiente y se divide el exponente de cada factor literal por 2. Así, la raíz cuadrada de 16x4 es 4x2 Por productos notables sabemos que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, por tanto

19. a2 + 2ab + b2 es el trinomio cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b El procedimiento para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto es: Ejemplo: 9x2 -12 xy + 4y2 Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto. Se obtienen las raíces cuadradas del primero y tercer término raíz cuadrada de 9x2 es 3x y la raíz cuadrada de 4y2 es 2y Se obtiene el doble del producto de las raíces obtenidas anteriormente. (2) (3x) (2y) = 12xy Entonces 9x2 -12 xy + 4y2 = (3x – 2y)2

21. Factorar las expresiones: 1. 4a2 – 20ab + 25b2 2. 9b2 – 30a2b + 25a4 3. 49m6 + 25a2n4 – 70am3n2 4. 4x2 – 12xy + 9y2 5. 4m2 + 9n2 + 12mn

22. Existen ocasiones en que el trinomio cuadrado perfecto, se encuentra implícitamente con otros términos, es decir, pueden no aparecer tres términos, sino cuatro o más. Considere las ilustraciones siguientes: 1) Factorar: 4x2 + 25y2 – 36 + 20xy SOLUCIÓN: Se identifica el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo dentro de un paréntesis. Se ordenan 4x2+ 20xy + 25y2 – 36 Se agrupan (4x2+ 20xy + 25y2) – 36 Descomponer el trinomio cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4x2 es 2x La raíz cuadrada de 25y2 es 5y Luego 2(2x) (5y) = 20xy

23. Se verifica si el término independiente tiene raíz cuadrada exacta, en caso de no tenerlo, termina el ejercicio, pero si tiene raíz cuadrada exacta, se realiza una diferencia de cuadrado. (2x + 5y)2 – 36 Luego, se factoriza la diferencia de cuadrados. [(2x+5y)+6][(2x+5y)-6] (2x + 5y + 6) (2x + 5y - 6) respuesta

24. 2) Factorar: a2 + 2ab + b2 - 1 Encuentra los factores del polinomio siguiente: a2 + 2ab + b2 – 1 Se identifican el trinomio cuadrado perfecto (a2 + 2ab + b2 ) – 1 Se factorizan el trinomio (a + b)2 – 1 Se factorizan las diferencias de cuadrados (a + b + 1) (a + b - 1) respuesta

25. Factorar las expresiones 1) 9x2 + 25y2 – 30xy – 16 2) m2 + 2mn + n2 – 25 3) m2 – x2 –2xy – y2 4) 25 – x2 – 16y2 + 8xy 5) 49x4 25x2 – 9y2 + 30xy 6) a2 – 16 – x2 + 36 + 12a – 8x

26. TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx +c Anteriormente se estudió en los productos notables que (3x + 5) (4x + 6) se obtiene 12x2 + 12x + 30, en la misma forma se puede realizar el procedimiento inverso así:

27. Para poder realizar el camino inverso y decir que los factores de 3x2 – 5x -2 son (x - 2) (3x + 5) descomponer en sus factores el polinomio 3x2 - 5x - 2 El primer coeficiente se deberá multiplicar por cada uno de los términos, dejando indicado el segundo término con el valor que posee y en la misma forma se deberá dividir por el mismo valor para no alterar la expresión. Lógicamente si el primer coeficiente tiene valor de uno, no se deberá hacer esta parte

28. 3(3x - 5x - 2) 3 Se multiplica todo el trinomio por el mismo factor del primer término, y dividiéndolo por el mismo factor 9x - 5(3x) - 6 3 se descompone en dos términos haciendo uso de paréntesis, escribiendo en cada uno de ellos la raíz cuadrada del primer término. (3x ) (3x ) 3 Se escribe el signo en cada paréntesis el cual se hace de la manera siguiente: a) El signo que le corresponde al primer paréntesis es el mismo que tiene el segundo término del trinomio; b) El signo correspondiente al segundo paréntesis es el resultado de la multiplicación de los signos del segundo y el tercer término del trinomio.

29. Se escribe el segundo término de los paréntesis, de acuerdo a los dos signos encontrados en el paso anterior, los cuales se hacen con los criterios siguientes: a) Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma, sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y el producto del tercer término. Estos dos números encontrados serán los segundos valores de los binomios.

30. b) Si los signos son contrarios, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y el producto sea igual al tercer término. Para que no exista la posibilidad de equivocarse, escribe siempre el número mayor en el primer paréntesis. Estos dos números encontrados, serán los segundos valores de los binomios. Como los signos que tienen los paréntesis son distintos, se buscan dos números que multiplicados resulten 6 y restados resulten 5 6 x 1 = 6 y 6 - 1 = 5 ( 3x - 6 ) ( 3x + 1 ) 3 * 1

31. Se obtiene el factor común del primer paréntesis y se simplifican si es posible 1 3 (x - 2 ) (3x + 1 ) 3 Luego: 3x2 - 5x - 2 = (x - 2) (3x + 1)

32. Factorar las expresiones: 1) x2 + 7x + 10 7) 12 – 7m – 10m2 2) 2x2 + 3x – 2 8) m – 6 + 15m2 3) x2 + 3x – 10 9) c2 + 33 - 14c 4) 5x2 + 13x – 6 10) 18p2 - 13p - 5 5) c2 + 5c – 24 11) 20x2 + 7x - 6 6) 9b2 + 10b + 1 12) 15 + 2n - n2

33. SUMA DE CUBOSa3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) Cuando tenemos una suma de cubos y queremos factorizarla, sacamos la raíz cúbica de las dos cantidades y estas son colocadas en un paréntesis, separadas por el mismo signo de la suma. A continuación abrimos otro paréntesis y escribimos en el la primera cantidad elevada al cuadrado, menos la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

34. Ejemplo: Factorizar 8m3 + n3 =(2m+n)[(2m)2-(2m)(n)+(n)2] =(2m+n)(4m2-2mn+n2) 2m n 3 √ 3 √

35. DIFERENCIA DE CUBOSa3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) Cuando tenemos una diferencia de cubos y queremos factorizarla, sacamos la raíz cúbica de las dos cantidades y estas son colocadas en un paréntesis, separadas por el mismo signo de la resta. A continuación abrimos otro paréntesis y escribimos en el la primera cantidad elevada al cuadrado, más la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

36. Ejemplo: Factorizar 8m3- 27n3 =(2m-3n)[(2m)2-(2m)(3n)+(3b)2] =(2m-3n)(4m2-6mn+9n2) 2m 3n 3 √ 3 √

37. Factorizacion de polinomiosempleando la divisionsintetica

42. INDICACIONES: FACTORICE LOS POLINOMIOS SIGUIENTES 14) 16b2 + 24bm + 9b2 15) 1 + 18ab + 81a2b2 16) 8a2 – 22a – 21 17) 14√x – 3c – 5c2 18) (x + y)2 – z2 19) 4a2m + 12a2n – 5bm – 15bn 20) n4 + n2 + 1 21) a2 – x2 – a – x2 22) 5b2 + 7b + 2 23) n2 + n – 42 24) (6a – 3b) (a + b) + (6a – 3b) (5a +10b) 25) 20 – x – x2 26) 81a2 – 4b2c8 27) 16 – (2a + b)2 1) 6x4y – 9x3y2 + 12x2y3 2) 5a2 – a 3) xz + xy – x2 4) x2 – 81 5) 6x2 – x – 2 6) (a + 1) (x + y) – (a + 1) 7) (x – y)2 - ax +ay 8) x3 + 2x2 +yx + 2y 9) (x – y)2 – 25 10) 7x2 + 31x - 20 11) a2 + 4a + 4 12) 10a2 + 29a + 21 13) x2 – 9y2

43. 28) ax – ay – bx + by 29) x2 + 14x + 49 30) ax + a – x - 1 31) 7x2 + 31x - 20 32) m4 + m2n2 + n4 33) 1 + 2x + x2 – y2 34) 25b2 + 90b + 81 35) x2 + 6x + 9