Buku prolin

PROGRAM LINEAR
1
BAB I
PENDAHULUAN
PROGRAM LINIER
A. Sejarah Program Linier
Ide Linear Programming pertama kali
dicetuskan oleh seorang ahli matematika asal
Rusia bernama L.V. Kantorivich dalam
bukunya yang berjudul ”MATHEMATICAL
METHODS IN THE ORGANIZATION AND
PLANNING OF PRODUCTION”. Dengan buku
ini, ia telah merumuskan pertama kalinya
persoalan “Linear Programming”. Namun,
cara-cara pemecahan persoalan in di Rusia
tidak berkembang dengan baik dan ternyata
para ahli di negara Barat dan AS yang
menggunakan cara ini dimanfaatkan dengan
baik.
Pada tahun 1947, seorang ahli
matematika dari AS yang bernama George B.
Dantzig menemukan suatu cara untuk
memecahkan persoalan-persoalan linear
programming. Cara pemecahan ini

PROGRAM LINEAR
2
dinamakan ” Simplex Method”, yang
diuraikan dalam bukunya ”LINEAR
PROGRAMMING AND EXTENTION”.
Selanjutnya teori ini berkembang pesat sekali
terutama dibidang kemiliteran yang
menyangkut optimisasi dalam strategi perang
dan di bidang-bidang lainnya.
B. Pengertian Program Linier
Linear Programming (LP) /
Pemrograman linier merupakan suatu model
yang dapat digunakan dalam pemecahan
masalah pengalokasian sumber-sumber yang
terbatas secara optimal dengan
menggunakan model matematika. Sumber-
sumber yang dimaksud dapat berupa bahan
baku, peralatan & mesin, ruang, waktu, dana
dan orang. istilah linier menunjukan bahwa
seluruh fungsi matematika yang ada di dalam
model harus merupakan suatu fungsi linier,
sedangkan programming pada hakekatnya
adalah sinonim dengan perencanaan.

PROGRAM LINEAR
3
Jadi pemrograman linier mencakup
perencanaan kegiatan-kegiatan untuk
mencapai suatu hasil yang optimal, yaitu
suatu hasil yang mencerminkan tercapainya
sasatan tertentu yang paling baik diantara
alternatif-alternatif yang mungkin dengan
mengunakan fungsi linier. Atau dengan kata
lain LP adalah metode atau teknik matematis
yang digunakan untuk membantu manajer
dalam pengambilan keputusan.
Pokok pikiran yang utama dalam
menggunakan LP ialah merumuskan masalah
dengan jelas dengan menggunakan sejumlah
informasi yang tersedia, kemudian
menerjemahkan masalah ini kedalam bentuk
model matematika guna menemukan
jawaban terhadap masalah yang dihadapi.
Pada saat kita akan menentukan alat
program linier dalam mencoba memecahkan
suatu persoalan, maka ada beberapa hal
yang harus dicermati atau kondisi yang
diperlukan. Hal-hal tersebut adalah:

PROGRAM LINEAR
4
1. Tujuan dari pemecahan kasus
merupakan optimalisasi. Optimalisasi artinya
mencari suatu titik pada besaran angka yang
akan menunjuk pada tujuan utama dari
kasus yang akan dipecahkan. Tujuan utama
dari kasus adalah maksimasi atau minimasi.
Contoh suatu perusahaan apakah ingin
memaksimumkan keuntungan atau
meminimumkan biaya dalam target
operasionalnya. Optimalisasi dari perusahaan
itu adalah mencari tingkat output dan
kombinasi input yang akan mencapai tujuan
dari perusahaan, yaitu maksimasi laba atau
minimasi biaya.
2. Terdapat berbagai alternatif dari
kombinasi berbagai variabel input yang
tersedia yang salah satunya akan
memberikan tingkat output yang sesuai
dengan tujuan dari optimalisasi. Misalnya
apakah membuat nasi goreng yang akan
memaksimumkan keuntungan dibuat
dengan proporsi satu piring nasi dan dua
takar bumbu atau dengan proporsi satu
piring nasi dengan tiga takar bumbu?

PROGRAM LINEAR
5
3. Variabel-variabel input merupakan
variabel yang terbatas. Keterbatasan di sini
dalam arti jumlah yang tersedia terbatas
disertai dengan biaya dari tiap variabel juga
tertentu. Kombinasi variabel input dalam
menghasilkan output mempunyai sifat
substitusi, artinya semakin banyak satu
variabel input digunakan untuk membuat
suatu output, maka alokasi variabel input
tersebut untuk output lain akan berkurang.
4. Semua output yang akan dihasilkan
merupakan suatu pertidaksamaan linier dari
input. Pertidaksamaan ini akan
menggambarkan keterbatasan atau
kemungkinan yang timbul dari kondisi input
dan output. Misalnya, jika X adalah nasi
goreng biasa dan Y adalah nasi goreng
spesial, serta ada ketentuan bahwa biaya
untuk membuat 3 piring nasi goreng biasa
dan 2 piring nasi goreng spesial tidak boleh
melebihi 30.000 rupiah. Oleh karena itu, bisa
kita tulis: 3X + 2Y 30.000.

PROGRAM LINEAR
6
Pemprogramanlinieradalahmetodematem
atika
dalammengalokasikansumberdayayangterb
atasuntukmencapaisuatutujuanseperti
memaksimalkankeuntunganataumeminimu
mkan biaya.
Program linier berkaitan dengan
pejelasan suatu kasus dalam dunia nyata
sebagai suatu model matematik yang terdiri
dari sebuah fungsi tujuan linier dengan
beberapa kendala linier (Taha,1993).
Program linier banyak digunakan untuk
menyelesaikan masalah optimasi didalam
industri,perbankan,pendidikan,dan
masalah-masalah lain yang dapat
dinyatakan dalam bentuk linier.
C. Karakteristik Pemprograman Linier
Sifat linearitas suatu kasus dapat
ditentukan dengan menggunakan beberapa
cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa
kelinearan menggunakan grafik (diagram
pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa.
Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh
adanya sifat proporsionalitas, additivitas,
divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan
pembatas.
Sifat proporsional dipenuhi jika
kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan
atau penggunaan sumber daya yang

PROGRAM LINEAR
7
membatasi proporsional terhadap level nilai
variabel. Jika harga per unit produk misalnya
adalah sama berapapun jumlah yang dibeli,
maka sifat proporsional dipenuhi. Atau
dengan kata lain, jika pembelian dalam
jumlah besar mendapatkan diskon, maka
sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika
penggunaan sumber daya per unitnya
tergantung dari jumlah yang diproduksi,
maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.
Sifat additivitas mengasumsikan
bahwa tidak ada bentuk perkalian silang
diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak
akan ditemukan bentuk perkalian silang
pada model. Sifat additivitas berlaku baik
bagi fungsi tujuan maupun pembatas
(kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika
fungsi tujuan merupakan penambahan
langsung kontribusi masing-masing variabel
keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat
additivitas dipenuhi jika nilai kanan
merupakan total penggunaaan masing-
masing variabel keputusan. Jika dua variabel
keputusan misalnya merepresentasikan dua

PROGRAM LINEAR
8
produk substitusi, dimana peningkatan
volume penjualan salah satu produk akan
mengurangi volume penjualan produk
lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat
additivitas tidak terpenuhi.
Sifat divisibilitas berarti unit
aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang
level fraksional, sehingga nilai variabel
keputusan non integer dimungkinkan.
Sifat kepastian menunjukkan bahwa
semua parameter model berupa konstanta.
Artinya koefisien fungsi tujuan maupun
fungsi pembatas merupakan suatu nilai
pasti, bukan merupakan nilai dengan
peluang tertentu.
Keempat asumsi (sifat) ini dalam
dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi.
Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat
asumsi ini, dalam pemrograman linier
diperlukan analisis sensitivitas terhadap
solusi optimal yang diperoleh.

PROGRAM LINEAR
9
1. Sifat linieritas
2. Sifat proposional dipenuhi jika kontribusi
setiap varabel pada fungsi tujuan atau
penggunaan sumber daya yang membatasi
proposional terhadap level nilai variable.
3. Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak
ada bentuk perkalian silang diantara
berbagai aktivitas,sehingga tidak dapat
ditemukan bentuk perkalian silang pada
model.
4. Sifat diviiabel berarti unit aktivitas dapat
dibagi dalam sembarang level
fraksional,sehingga nilai variable keputusan
non integer dimungkinkan.
5. Sifat kepastian menunjukan bahwa semua
parameter model berupa konstanta.
D. Formulasi Permasalahan
Masalah keputusan yang sering dihadapi
analis adalah alokasi optimum sumber daya.
Sumber daya dapat berupa uang,tenaga
kerja,bahanmentah,kapasitas
mesin,waktu,ruangan,atau teknologi.
Tugas analis adalah mencapai hasil terbaik
dengan keterbatasan sumber daya itu.
Setelah masalah diidentifikasikan,tujuan
ditetapkan,langkah selanjutnya adalah
formulasi model matematik.
Formulasi model matematik ada 3 tahap:
1. Tentukan variable yang tidak diketahui
dan dinyatakan dalam symbol.

PROGRAM LINEAR
10
2. Membentuk fungsi tujuan yang ditujukkan
sebagai suatu hubungan linier dari
variable keputusan.
3. Menentukansemuakendalamasalah
tersebut dan mengekspresikanya
dalampersamaanatau pertidaksamaan.
E. Bentuk Umum Program Linear
1. Fungsi Tujuan
Maksimumkan atau Minimumkan
2. Sumber daya yang membatasi
(kendala/syarat)

PROGRAM LINEAR
11
BAB II
METODE GRAFIK
A. Menentukan nilai optimum dengan metode
uji titik
Langkah-langkah:
1. Membuat model matematika
2. Menentukan fungsi sasaran
3. Menyelesaikan fungsi pertidaksamaan
4. Menentukan titik-titik terluar dari himpunan
penyelesaian
5. Menentukan nilai fungsi sasaran di setiap
titik terluar
6. Menentukan nilai optimum
Catatan :
Metode Grafik hanya dapat digunakan
dalam pemecahan masalah program linier
yang ber “dimensi” : 2 x n atau m x 2,
karena keterbatasan kemampuan suatu
grafik dalam “menyampaikan” sesuatu
(sebenarnya grafik 3 dimensi dapat
digambarkan, tetapi sangat tidak praktis).
B. Contoh soal
1. Perhatikan pertidaksamaan berikut dengan
kendala :

PROGRAM LINEAR
12
Gambarlah daerah penyelesaian dan
tentukanlah nilai terbesar dari !
2. Tentukan nilai ekstrim jika
adalah penyelesaian pertidaksamaan dari
kendala berikut :
Pembahasan :
1. Formulasi:
Fungsi Tujuan :
Max
Kendala :
Titik potong kendala 1
0 4
6 0
0 6
0
Membuat grafik dari titik potong diatas

PROGRAM LINEAR
13
Menetukan nilai titik yang berpotongan
-
Menentukan nilai maksimum dari titik-
titik yang termasuk HP:
a.
b.
c.
2. Formulasi:
Fungsi Tujuan :
Max
Kendala :
0 4
6 0
0 6
0

PROGRAM LINEAR
14
Membuat grafik dari titik potong diatas
Menetukan nilai titik yang berpotongan
-
Menentukan nilai maksimum dari titik-
titik yang termasuk HP:
a.
b.
c.
Nilai ekstrim dilihat dari gambar =
max/min

PROGRAM LINEAR
15
BAB III
METODE SIMPLEK
A. Pengantar
Persoalan program linier tidak selalu sederhana
karena melibatkan banyak constraint
(pembatas) dan banyak variabel sehingga tidak
mungkin diselesaikan dengan metode grafik.
Oleh karena itu serangkaian prosedur
matematik (aljabar linier) diperlukan untuk
mencari solusi dari persoalan yang rumit
tersebut. Prosedur yang paling luas digunakan
adalah Metode Simplex. Penemuan metode ini
merupakan lompatan besar dalam Riset Operasi
dan ia digunakan sebagai prosedur penyelesaian
dari setiap program komputer.
Salah satu teknik penentuan solusi optimal
yang digunakan dalam pemrograman linier
adalah metode simpleks.Penentuan solusi
optimal menggunakan metode simpleks
didasarkan pada teknik eleminasi Gauss
Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan
dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu
dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga
penentuan solusi optimal dengan metode
simpleks dilakukan tahap demi tahap yang
disebut dengan iterasi.Iterasi ke-i hanya
tergantung dari itersi sebelumnya (i-1).

PROGRAM LINEAR
16
Dapat disimpulkan juga bahwa metode
simpleks adalah suatu metode yang secara
sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar
yang fleksibel ke pemecahan dasar yang fisibel
lainnya dan ini dilakukan berulang-ulang
(dengan jumlah ulangan yang tebatas) sehingga
tercapai sesuatu pemecahan dasar yang
optimum dan pada setiap step menghasilkan
suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih
besar atau sama dari step-step sebelumnya.
Ada beberapa istilah yang sangat sering
digunakan dalam metode simpleks,diantaranya :
1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana
nilai dalam perhitungan itu tergantung dari
nilai table sebelumnya.
2. Variable non basis adalah variabel yang
nilainya diatur menjadi nol pada sembarang
iterasi. Dalam terminologi umum,jumlah
variabel non basis selalu sama dengan
derajat bebas dalam sistem persamaan.
3. Variabel basis merupakan variabel yang
nilainya bukan nol pada sembarang iterasi.
Pada solusi awal,variabel basis merupakan
variabel slack ( jika fungsi kendala
merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau
variabel buatan ( jika fungsi kendala
menggunakan pertidaksamaan ≥ atau = ).
Secara umum,jumlah variabel basis selalu
sama dengan jumlah fungsi pembatas (
tanpa fungsi non negatif ).

PROGRAM LINEAR
17
4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai
sumber daya pembatas yang masih tersedia.
Pada solusi awal,nilai kanan atau solusi
sama dengan jumlah sumber daya
pembatas awal yang ada, karena aktivitas
belum dilaksanakan.
5. Variabel slack adalah variabel yang
ditambahkan ke model matematik kendala
untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤
menjadi persamaan ( = ). Penambahan
variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi.
Pada solusi awal,variabel slack akan
berfungsi sebagai variabel basis.
6. Variabel surplus adalah variabel yang
dikurangkan dari model matematik kendala
untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥
menjadi persamaan ( = ). Penambahan ini
tejadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi
awal,variabel surplus tidak dapat berfungsi
sebagai variabel basis.
7. Variabel buatan adalah variabel yang
ditambahkan ke model matematik kendala
dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan
sebagai variabel basis awal. Penambahan
variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi.
Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi
optimal karena kenyataanya variabel ini
tidak ada. Variabel hanya ada diatas kertas.
8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom
yang memuat variabel masuk. Koefisien
pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai

PROGRAM LINEAR
18
kanan untuk menentukan baris pivot (baris
kerja).
9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu
baris dari antara variabel basis yang
memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah
elemen yang terletak pada perpotongan
kolom dan baris pivot. Eleme pivot akan
menjadi dasar perhitungan untuk table
simpleks berikutnya.
11. Variabel masuk adalah variabel yang
terpilih untuk menjadi variabel basis pada
iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih
satu dari antara variabel non basis pada
setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi
berikutnya akan bernilai positif.
12. Variabelkeluar adalah variabel yang keluar
dari variabel basis pada iterasi berikutnya
dan digantika oleh variabel masuk. Variabel
keluar dipilih satu dari antara variabel basis
pada setiap iterasi .variabel ini pada iterasi
berikutnya akan bernilai nol.
Bentuk Aljabar Metode Simplex
Dengan menggunakan contoh pada kasus
perusahaan TAS terdahulu maka model
linier persoalan tersebut dapat dinyatakan
sebagai berikut:

PROGRAM LINEAR
19
Dengan menyertakan variabel Slack atau
surplus maka model tersebut dibuat
menjadi bentuk standar berikut:
Subject to constraint:
Properti Aljabar Metode Simplex
Keempat fungsi pembatas tersebut merupakan
suatu persamaan sistem dengan enam variabel.
Jika suatu sistem persamaan memiliki veriabel
yang lebih banyak dibanding dengan jumlah
persamaannya maka solusi dari persamaan

PROGRAM LINEAR
20
sistem tersebut adalah infinity. Metode simplex
dengan demikian merupakan prosedur aljabar
untuk mendapatkan solusi terbaik bagi suatu
sistem persamaan. Dalam proses mencari solusi
terbaik (best solution), solusi yang tidak
memenuhi persyaratan non negatif akan
dieliminasi.
Mendapatkan Solusi dasar
Oleh karena jumlah variabel dalam persamaan
sistem lebih besar dibanding jumlah
persamaaannya –-dalam hal ini ada enam
variabel untuk empat persamaan-- maka
metode simplex memberikan nilai nol untuk
dua variabel, dan mencari solusi terbaik bagi
empat variabel lainnya dalam sistem persamaan
tersebut. Misalkan X2 = 0 dan S1 = 0 sehingga
persamaan sistem tersebut menjadi:
2X1 = 800 ... (5)
2X1 + 1S2 = 1000 ... (6)
1X1 + 1S3 = 300 ... (7)
2X1 + 1S4 = 650 ... (8)
Dengan menetapkan nilai nol untuk variabel X2
dan S1 maka persamaan sistem tersebut
direduksi menjadi empat persamaan dengan
empat variabel (X1,S2,S3,S4).
Dari persamaan (5) diperoleh 2

PROGRAM LINEAR
21
2X1 = 800
sehingga X1 = 800/2 = 400.
Dari persamaan (6) masukkan nilai x1 = 400
untuk mendapatkan nilai S2 yaitu
2X1 + 1S2 = 1000
sehingga S2 = 1000 – (2*400) = 200
Dari persamaan (7) diperoleh
1X1 + 1S3 = 300
sehingga S3 = 300 – 400 = -100
Dari persamaan (8) diperoleh
2X1 + 1S4 = 650
sehingga diperoleh S4 = 650 – (2*400) = -150
Dengan demikian diperoleh solusi dari
persamaan sistem dengan enam variabel
dan empat persamaan, yaitu:
X1 = 400
X2 = 0
S1 = 0
S2 = 200
S3 = -100

PROGRAM LINEAR
22
S4 = -150
Solusi diatas disebut Solusi dasar (Basic
Solution). Prosedur umum untuk mendapatkan
basic solution adalah dengan membangun
bentuk persamaan standar untuk n variabel
(termasuk variabel keputusan, slack dan
surplus) dan m persamaan pembatas dimana n
lebih besar dari m.
B. Metode Pemecahan Dasar (Basis) atau simplek
1
1. Nilai maksimum dari pada
himpunan penyelesaian system
pertidaksamaan
Kendala :
a. Menambahkan setiap kendala dengan
sebuah variabel tambahan (slack)
b. Menetukan banyaknya variabel basis
dengan cara kombinasi

PROGRAM LINEAR
23
Jawab :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
No Variabel
Basis
Variabel
Non
Basis
Ket Titik
1. TL - -
2. TL - -
3. TL - -

PROGRAM LINEAR
24
 Jadi dari data diatas maka nilai
maksimalnya adalah 60 pada titik (0,0)
2. Untuk (x,y) yang memenuhi
,dan ,maka nilai
maksimum untuk adalah …
Jawab:
a. Menambahkan setiap kendala dengan
variabel slack
4. TL - -
5. L (10,0) 60
6. L (10,0) 60
7. L (2,0) 12
8. L (10,0) 60
9. TL - -
10. L (0,4) 52

PROGRAM LINEAR
25
6
b. Menentukan banyaknya variabel basis
dengan cara kombinasi
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
No Variabel
Basis
Variabel
Non
Basis
Ket Titik
1. TL - -
2. L (0,4) 4

PROGRAM LINEAR
26
3. TL - -
4. TL - -
5. TL - -
6. L (0,3) 3
7. L (0,3) 3
8. L ( )
9. L (0,4) 4
10. L (3,0) 3
 Jadi dari data diatas nilai maksimumnya
adalah 4 pada titik (0,4)

PROGRAM LINEAR
27
C. SIMPLEKS DENGAN OPERASI BARIS
Ada beberapa hal yang harus diperhatikan
dalam membuat bentuk baku/standar, yaitu:
a. fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤
dalam bentuk umum, dirubah menjadi
persamaan (=) dengan menambahkan satu
variabel slack.
b. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥
dalam bentuk umum, dirubah menjadi
persamaan (=) dengan mengurangkan satu
variabel surplus.
c. Fungsi kendala dengan persamaan dalam
bentuk umum, ditambahkan satu artificial
variable (variabel buatan).
Contoh soal :
1.
Misal dan variabel slack
Sistem persamaan :
Tabel awal simplex

PROGRAM LINEAR
28
100 200 1 0 9000
400 200 0 1 1200
-4000 -3000 0 0 0
Matrix simpleks
100 200 1 0 9000
400 200 0 1 1200
-4000 -3000 0 0 0
Membaca Tabel Optimal
Membaca tabel optimal adalah bagian penting
bagi pengambil keputusan. Ada beberapa hal dibaca
dari tabel optimal :
1. Solusi optimal variabel keputusan
2. Status sumber daya
3. Harga bayangan (dual/shadow price)
Menggunakan tabel optimal :
Menggunakan tabel optimal :
VB NK
Z 0 0 4 0
0 0 1
0 1 0

PROGRAM LINEAR
29
1 0 -2 0
Solusi optimal = , = , dan Z = ,
artinya untuk mendapatkan keuntungan maksimum
sebesar $ , maka perusahaan sebaiknya
menghasilkan produk 1 sebesar unit dan produk 2
sebesar unit.
Status sumber daya :
Sumber daya pertama dilihat dari
keberadaan variabel basis awal dari setiap fungsi
kendala pada tabel optimal. Dalam kasus di atas,
untuk fungsi kendala pertama periksa keberadaan
pada variabel basis tabel optimal. Periksa
keberadaan pada variabel basis tabel optimal
untuk fungsi kendala kedua. Periksa keberadaan
pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi
kendala ketiga.
= . sumber daya ini disebut berlebih. (abundant)
= 0 . kedua sumber daya ini disebut habis
terpakai (scarce).
Harga bayangan :
Harga bayangan dilihat dari koefisien variabel slack
atau surplus pada baris fungsi tujuan.
Koefisien pada baris fungsi tujuan tabel optimal
= 0 , dengan demikian harga bayangan sumber
daya pertama adalah 0.

PROGRAM LINEAR
30
= , dengan demikian harga bayangan sumber
daya pertama adalah .
= , dengan demikian harga bayangan sumber
daya pertama adalah .
Perhatikan juga kasus berikut:
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2
Terhadap :
10x1 + 5x2 ≤ 600
6x1 + 20x2 ≤ 600
8x1 + 15x2 ≤ 600
x1, x2 ≥ 0
Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum.
Perubahan kedalam bentuk baku hanya
membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi
kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≤
dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya
adalah sebagai berikut:
Maksimumkan
Terhadap :
oleh karenanya merupakan variabel slack.

PROGRAM LINEAR
31
PEMBENTUKAN TABEL SIMPLEKS
Gunakan kasus di atas, maka tabel awal
simpleksnya adalah :
-2 -3 0 0 0 0
10 5 1 0 0 600
6 20 0 1 0 600
8 15 0 0 1 600
LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN
Langkah-langkah penyelesaian adalah
sebagai berikut:
1. Periksa apakah tabel layak atau tidak.
Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi
(nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai
negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak
layak tidak dapat diteruskan untuk
dioptimalkan.
2. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot
dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di
sebelah kanan baris z) dan tergantung dari
bentuk tujuan. Jika tujuan berupa maksimisasi,
maka kolom pivot adalah kolom dengan
koefisien negatif terbesar. Jika tujuan
minimisasi, maka kolom pivot adalah kolom
dengan koefisien positif terkecil. Perhatikan, kita
tidak menggunakan kata-kata nilai terkecil dan
terbesar, karena kita memang tidak memilih
nilai terkecil dan terbesar. Jika kolom pivot
ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan

PROGRAM LINEAR
32
mendapatkan variabel keluar. Jika nilai negatif
terbesar (untuk tujuan maksimisasi) atau positif
terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari
satu, pilih salah satu secara sembarang.
3. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan
setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom
pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam
satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0
pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya
tidak ikut menjadi pembagi. Baris pivot adalah
baris dengan rasio pembagian terkecil.
Perhatikan, rasio pembagian tidak mungkin
bernilai negatif, karena nilai kanan tidak negatif
demikian juga dengan nilai kolom pivot. Jika
baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka
kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika
rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih
salah satu secara sembarang.
4. Tentukan elemen pivot. Elemen pivot
merupakan nilai yang terletak pada perpotongan
kolom dan baris pivot.
5. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks
baru dibentuk dengan pertama sekali
menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot
baru adalah baris pivot lama dibagi dengan
elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan
pengurangan nilai kolom pivot baris yang
bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu
kolom terhadap baris lamanya yang terletak
dalam satu kolom juga.
6. Periksa apakah tabel sudah optimal.
Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi

PROGRAM LINEAR
33
tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari
bentuk tujuan. Untuk tujuan maksimisasi, tabel
sudah optimal jika semua nilai pada baris z
sudah positif atau 0. Pada tujuan minimisasi,
tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris
z sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke
langkah no.2, jika sudah optimal baca solusi
optimalnya.
Kita selesaikan kasus di atas.
X2 adalah variabel masuk dan s2 adalah variabel
keluar. Elemen pivot adalah 20.
Perhitungan kita lanjutkan ke iterasi 2.
Variabel masuk adalah x1 dan variabel keluar
adalah s3
VB X1 X2 S1 S2 S3 solusi rasio
z -2 -3 0 0 0 0 -
S1 10 5 1 0 0 600 12
S2 6 20 0 1 0 600 3
S3 8 15 0 0 1 600 4
VB X1 X2 S1 S2 S3 solusi Rasio
z -11/10 0 0 3/20 0 90 -
S1 8.5 0 1 -1/4 0 450 52.9
X2 3/10 1 0 1/20 0 30 100
S3 3.5 0 0 -¾ 1 150 42.857

PROGRAM LINEAR
34
VD X1 X2 S1 S2 S3 Solusi
z 0 0 0 9/70 1/35 94.2857
S1 0 0 1 11/7 -17/7 85.7155
X2 0 1 0 8/70 -3/35 17.1329
X1 1 0 0 -3/14 2/7 42.857
Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi
dihentikan!
Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi
pengambil keputusan. Ada beberapa hal yang bisa
dibaca dari tabel optimal :
1. Solusi optimal variabel keputusan.
2. Status sumber daya.
3. Harga bayangan (dual/shadow prices).
Menggunakan tabel optimal di atas:
VD X1 X2 S1 S2 S3 solusi
z 0 0 0 9/70 1/35 94.2857
S1 0 0 1 11/7 -17/7 85.7155
X2 0 1 0 8/70 -3/35 17.1329
X1 1 0 0 -3/14 2/7 42.857
Solusi optimal : x1 = 42.857; x2 = 17.1329 dan z =
94.2857, artinya untuk mendapatkan keuntungan
maksimum sebesar $94.2857, maka perusahaan
sebaiknya memproduksi produk 1 sebesar 42.857
unit dan produk sebesar 17.1329 unit.
Status sumber daya : sumber daya pertama dilihat
dari keberadaan variabel basis awal dari setiap
fungsi kendala pada tabel optimal. Dalam kasus di
atas, fungsi kendala pertama periksa keberadaan s1

PROGRAM LINEAR
35
pada variabel basis tabel optimal; periksa
keberadaan s2 pada variabel basis tabel optimal
untuk fungsi kendala kedua; periksa keberadaan s3
pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi
kendala ketiga.
s1 = 85.7155. Sumber daya ini disebut berlebih
(abundant)
s2 = s3 = 0. Kedua sumber daya ini disebut
habis terpakai (scarce).
Harga bayangan : harga bayangan dilihat dari
koefisien variabel slack atau surplus pada baris
fungsi tujuan.
koefisien s1 pada baris fungsi tujuan tabel
optimal = 0, dengan demikian harga bayangan
sumber daya pertama adalah 0.
Koefisien s2 pada baris fungsi tujuan tabel
optimal = 9/70, dengan demikian harga
bayangan sumber daya kedua adalah 9/70.
Koefisien s3 pada baris fungsi tujuan tabel
optimal = 1/35, dengan demikian harga
bayangan sumber daya ketiga adalah 1/5.
D. Simplex Fase 1
Solusi dasar mungkin saja fisibel atau infisibel.
Sebuah solusi dasar fisibel akan memenuhi
persyaratan tidak negatif. Solusi dasar yang
diperoleh diatas dengan menetapkan X2 dan S1
sebagai variabel bukan basis dan bernilai sama
dengan nol telah mendapatkan solusi untuk nilai

PROGRAM LINEAR
36
X1,S2,S3,S4 bukan sebagai solusi dasar fisibel
karena nilai S3 = -100 dan S4 = -150. Oleh karena
itu pemilihan variabel bukan basis perlu diubah.
Jadi jika variabel yang dipilih sebagai variabel
bukan basis adalah X1 dan X2 dan bernilai nol
maka solusi basis yang diperoleh adalah fisibel,
yaitu:
S1 = 800
S2 = 1000
S3 = 300
S4 = 650
dengan variabel bukan basis X1 = 0 dan X2 = 0.
Prosedur penyelesaian program linear dengan
Metode Simplex
1. Formulasikan persoalan menjadi model linear
2. Transformasikan model tersebut kedalam
bentuk standar dengan menambahan variabel
slack atau mengurangi dengan variable surplus
3. Buatlah tableau form
Menyusun Tabel Simplex Awal (Initial Simplex
Tableau)
Setelah melakukan konversi program linier kedalam
tabel simplex maka tahap

PROGRAM LINEAR
37
pertama adalah membangun tabel simplex awal
(initial simplex tableau). Pada tahap ini termasuk
pemberian notasi bagi semua koefisien yaitu:
cj = koefisien fungsi tujuan untuk variabel j
bi = koefisien sisi kanan (RHS) untuk constraint ke i
aij = koefisien yang berasosiasi dengan variabel j
pada constraint i
E. Simpleks Fase 2
Langkah-langkah :
1. Sistem pertidaksamaan 1 dan seterusnya dibuat
sama seperti simpleks dengan 1 fase.
2. Nilai Z diminimumkan (dikalikan dengan -).
3. Z pindah ruas menjadi bernilai + .
4. Selanjutnya sama seperti pada simpleks dengan 1
fase. Namun pembedanya adalah yang
mempunyai nilai hanya variabel M dan Z. Variabel
yang mengandung nilai M bernilai = -1 dan Z = 1
selebihnya bernilai 0 .
5. Cari nilai pada sistem pertidaksamaan yang
membentuk identitas dan pada posisi 1 di sebelah
kiri (pengali) di letakkan nilai x. Lalu setelah 2
variabel dikali dan di jumlahkan, dikurng nilai x
di atasnya.
6. Selanjutnya sama seperti pada simpleks 2 dan 1
fase himgga berakhir pada nilai baris terakhir
yang bernilai positif.

PROGRAM LINEAR
38
7. Hilangkan kolom yang mengandung nilai M pada
Z lalu letakkan nilai keseluruhan Z pada atas
baris (nilai x).
8. Lalu seperti cara no.5 hingga nilai baris terakhir
bernilai positif.
9. Dan itulah nilai Z (jangan lupa nilai Z adalah -Z).
Contoh Soal :
Minimmumkan :
Kendala :
Penyelesaian :
Z =
Transformasi baris kunci (X6)
2 4 0 0 -1 1 48
( )
1 0 0 12
Cj 0 0 0 -1 0 -1
HB
VB CB X Y X3 X4 X5 X6
X4 -1 4 2 -1 1 0 0 60
X6 -1 2 4 1 0 1 0 48
Zi - Cj -6 -6 1 0 1 0 -108

PROGRAM LINEAR
39
Transformasi baris X4
Transformasi baris kunci (X4)
3 0 -1 1 36
( )
1 0 12
Cj 0 0 0 -1 0 -1
HB
X4 -1 3 0 -1 1 36
Y 0 1 0 0 0 12
Zi - Cj
-3 0 1 0 -36

PROGRAM LINEAR
40
Transformasi baris Y
Maka X = 12 ; Y = 6
Jadi Z = 8x + 6y
= 8(12) + 6(6)
Cj 0 0 0 -1 0 -1 HB
X 0 1 0 12
Y 0 0 1 6

PROGRAM LINEAR
41
= 96 + 36
= 132
F. Metode M. Charness
Minimumkan Z = 3x – 2y
Kendala : x + y
2x + y
x,y
Penyelesaian :
Masalah PL menjadi z =
Menggunakan prosedur memaksimalkan :
Pada kendala kurangi variable surplus dan
tambahkan variabel slack
a,b = variabel surplus
c, d = variabel slack
Pada fungsi tujuan kurangi dengan M dikali
kan variabel slack, sehingga

PROGRAM LINEAR
42
Cj -3 -2 0 0 -M -M
HB
VB
CB X y a B c d
c
-M 1 1
-
1
0 1 0 2 r =2/1=2
d -M 2 1 0 -1 0 1 3 r =3/2
Zj-Cj
3 2 0 0 0 0 0 konstanta
-3 -2 1 1 0 0 -5 Nilai M
Keterangan : r = rasio
Mencari nilai Zj – Cj







Note : Banyaknya
VB tergantung
banyak variabel
slack, nilai CB
mengikuti nilai
variabel slack

PROGRAM LINEAR
43
Cari unsur kunci, dengan mencari baris
kunci dan kolom kunci didapat unsur
kunci 2
Transformasi baris kunci
2/2 1/2 0/2 -1/2 0/2 1/2 3/2
1 1/2 0 -1/2 0 1/2 3/2
Transformasi baris lain
 Baris c
Cj -3 -2 0 0 -M -M
HB
VB CB x y A B c d
c -M 0 1/2 -1 1/2 1 -1/2 1/2
x -3 1 1/2 0 -1/2 0 1/2 3/2
Zj-Cj
0 1/2 0 3/2 0 -3/2 -9/2
0 -1/2 1 -1/2 0 3/2 -1/2




PROGRAM LINEAR
44




Cari baris kunci dan kolom kunci. Unsur
kunci = 1/2
Transformasi baris kunci
0 1 -2 1 2 -1 1
 Baris x
Cj -3 -2 0 0 -M -M
HB
VB CB X y a B c d
Y -2 0 1 -2 1 2 -1 1
Note : yang paling negatif ada 2 yaitu -1/2
dan -1/2. Lihat nilai Zj-Cj diatasnyac 1/2 <
3/2, maka ambil nilai -1/2 yang pertama

PROGRAM LINEAR
45
X -3 1 0 1 -1 -1 1 1
Zj-Cj
0 0 1 1 -1 -1 -5
0 0 0 0 1 -1 0
Karena koefisien-kefisien variabel adasar sudah
tidak ada lagi yang negatif, berarti optimalisasi
sudah dicapai pada tahap penyelesaian pada tahap
ini.Tabel terakhir merupakan tabel optimal.
Contoh soal
Syarat : 3x1 + x2≤ 3
Kendala : 4x1+ 3x2 ≥ 6
x1 + 2x2≤ 3
x1,x2 ≤ 0
Z
x =1
y = 1

PROGRAM LINEAR
46
Jawab :
-zmin = - maks (-z)
Kendala 1 dan 3 hanya ditambahkan
variabel slack, karena “≤” sedangkan
kendala 2 dikurangi variabel surplus dan
ditambahkan variabel slack. Sehingga :
Pada fungsi tujuan kurangi M dikali kan
variabel slack
- Zmin = - 4x1 – x2 – Ma – Mc – Md
Substitusikan ke dalam tabel
Cj -4 -1 -M 0 -M -M HB
VB CB x1 x2 a b C d
a -M 3 1 1 0 0 0 3 r = 1
c -M 4 3 0 -1 1 0 6 r=6/4=3/2
D -M 1 2 0 0 0 1 3 r=3
Zj – Cj 4 1 0 0 0 0 0
-8 -6 0 1 0 0 -12

PROGRAM LINEAR
47
 Transformasi baris kunci
3/3 1/3 1/3 0/3 0/3 0/3 3/3
1 1/3 1/3 0 0 0 1
 Transformasi baris yang lain
 Baris c
 Baris d

PROGRAM LINEAR
48
Cj -4 -1 -M 0 -M -M HB
VB CB x1 x2 a B c d
x1 -4 1 1/3 1/3 0 0 0 1
c -M 0 5/3 -4/3 1 -1 0 2
d -M 0 5/3 1/3 0 0 1 2
Zj - Cj 0 1/3 -4/3 0 0 0 -4
0 -
10/3
8/3 1 0 0 -4
 Transformasi baris kunci
0 1 -1/5 0 0 3/5 6/5
Transformasi baris x1

PROGRAM LINEAR
49
Transformasi baris b
Mencari nilai Zj-Cj
Cj -4 -1 -M 0 -M -M HB

PROGRAM LINEAR
50
VB CB x1 x2 a B C d
x1 -1 1 0 6/15 0 0 -1/3 3/5
c -M 0 0 -1 -1 1 -1 0
x2 -1 0 1 -5 0 0 3/5 6/5
Zj - Cj
0 0 51/15 0 0 11/19 -18/5
0 0 0 1 0 2 0
Kesimpulan :
Zmin = , = 3/5 , X2 = 6/5
G. Metode Simplex 2 Fase
Langkah-langkah :
1. Sistem pertidaksamaan 1 dan seterusnya
dibuat sama seperti simplek dengan fase 1.
2. Nilai z minimumkan (dikalikan sengan -).
3. Z pindah ruas menjadi nilai +.
4. Selanjutnya sama seperti pada simplek
dengan 1 fase, namun perbedaannya adalah
yang mempunyai nilai hanya variabel M dan
Z. Variabel yang mengandung nilai M bernilai
= -1 dan z = 1 selebihnya bernilai 0.
5. Cari nilai pada sistem pertidaksamaan yang
membentuk identitas dan pada posisi 1
disebelah kiri (pengali) di letakkan nilai x.
Lalu setelah 2 variabel dikali dan
dijumlahkan, dikurang nilai x diatasnya.
6. Selanjutnya sama seperti pada simplek 2
dengan 1 fase hingga berakhir pada nilai
baris terakhir yang bernilai positif.
7. Hilangkan kolom yang mengandung nilai M
pada Z lalu letakkan nilai keseluruhan z pada
atas baris ( nilai x ).

PROGRAM LINEAR
51
8. Lalu seperti cara pada no. 5 hingga nilai baris
terakhir bernilai positif.
9. Dan itulah nilai z (jangan lupa nilai z adalah –
z).
Contoh soal :
Syarat
Jawab :
Misal :
Fase 1
CJ 0 0 0 0 -1 -1
VB CB HB
-1 1 1 -1 0 1 0 40
-1 1 2 0 -1 0 1 30
ZJ-CJ -2 -3 1 1 0 1 -100

PROGRAM LINEAR
52
Transformasi baris sebagai baris kunci ;
Transformasi baris

PROGRAM LINEAR
53
Transformasi baris sebagai kolom kunci
Transformasi baris
CJ 0 0 0 0 -1 -1
VB CB HB
-1 0 -1 1
10 / = 20
0 1 0 0 30/ = 60
ZJ-CJ 0 1 0 -10

PROGRAM LINEAR
54
Fase 2
CJ 0 0 0 0 -1 -1
HB
VB CB
0 1 0 -2 1 2 -2 20
0 0 1 1 -1 -1 1 20
0 0 0 0 1 1 0
CJ 30 -40 0 0
VB CB HB
-30 1 0 -2 1 20
-40 0 1 1 -1 20

PROGRAM LINEAR
55
Catatan :
Fase 1 berakhir pada kondisi , maka
simpulkan untuk meneruskan ke fase 2 dengan
memperhatikan 3 kemungkinan berikut :
1. maks < 0 dimana satu atau lebih variabel
slack berada dalam basis pada tingkat nilai yang
positif. Masalah Program Linier yang asli tidak
mempunyai penyelesaian layak (fisibel)
2. maks = 0, dengan kenyataan tidak ada
variabel slack terletak dalam basis ini berarti
telah diperoleh penyelesaian layak dasar (fisibel
basis) dari persoalan Program Linier yang asli.
3. maks =0, dengan kenyataan satu/lebih
variabel slack terletak dalam basis pada tingkat
nol (degenerasi). Kenyataan ini juga
menunjukkan bahwa telat diperoleh
penyelesaian layak dasar (fisibel basis) dari
masalah Program Linier yang asli.
Persyaratan untuk memulai fase 2 :
ZJ-CJ 0 0 20 10 -1400

PROGRAM LINEAR
56
Perhitungan fase 2 merupakan lanjutan fase 1,
apabila akhir fase 1 menunjukkan kemungkinan (2
dan 3) Tabel fase 2 adalah akhir fase 1 dengan
modivikasi sebagai berikut :
a. Koefisien hanya fungsi tujuan adalah koefisien
fungsi tujuan yang asli, atau nilai koefisien
variabel pokok pada fase 1 yaitu nol harus di
ganti dengan koefisien asli.
b. Elemen pada baris Zj-Cj di hitung kembali.
Soal latihan!
1.
Dengan syarat :
Jawab,
Misal :
Jadi,

PROGRAM LINEAR
57
Transformasi baris sebagai baris kunci
Transformasi baris
CJ 0 0 0 -1 -1
HB
VB CB
-1 1 1 0 1 0 25: 1=25
-1 5 6 -1 0 1 140:6=
ZJ-CJ -6 -7 1 0 0 -165

PROGRAM LINEAR
58
Transformasi baris sebagai baris kunci
CJ 0 0 0 -1 -1
HB
VB CB
-1 0 1 : = 10
0 1 0 :
ZJ-CJ
0 0

PROGRAM LINEAR
59
Transformasi baris
CJ 0 0 0 -1 -1
HB
VB CB
0 1 0 1 6 -1 10
0 0 1 -1 -5 1 15
ZJ-CJ 0 0 0 1 1 0

PROGRAM LINEAR
60
Fase 2
CJ 0 0 0
HB
VB CB
-14 1 0 1 10
-18 0 1 -1 15
ZJ-CJ 0 0 4 -410

PROGRAM LINEAR
61
BAB IV
PRIMAL DAN DUAL
Untuk memperoleh gambaran yang jelas tentang
masalah “PRIMAL” dan “DUAL”, kita definisikan
masalah-masalah berikut sebagai masalah primal
dan dual nya masing-masing.
(*) Masalah maksimum :
Maksimumkan: mm
xcxcxcf ...........2211
Syarat:
kmkmkkk
mm
mm
mm
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
..........
..................................................................
.................................................................
.................................................................
..........
..........
..........
332211
33333232131
22323222121
11313212111
xi ≥ 0, i = 1, 2, .........., m
(**) Masalah minimum :
Minimumkan: kk
ybybybg ...........2211

PROGRAM LINEAR
62
Syarat:
mkkmmmm
kk
kk
kk
cyayayaya
cyayayaya
cyayayaya
cyayayaya
..........
..................................................................
.................................................................
.................................................................
..........
..........
..........
332211
33333223113
22332222112
11331221111
yi ≥ 0, i = 1, 2, .........., k
Masalah (*) dan (**) saling berperan sebagai primal
dan dualnya. Akan kita tulis kembali koefisien dari
sekelompok persamaan (*) dan (**) dalam bentuk
matriks, dengan koefisien dari fungsi obyektif
sebagai baris paling bawah.
(*) Masalah Maksimum
a11 a12 a13 . . . . . . . . . a1m b1
a21 a22 a23 . . . . . . . . . a2m b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ak1 ak2 ak3 . . . . . . . . . akm bk
c1 c2 c3 . . . . . . . . . . ck *

PROGRAM LINEAR
63
(**) Masalah Minimum
a11 a21 a31 . . . . . . . . . ak1 c1
a12 a22 a32 . . . . . . . . . ak2 c2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a1m a2m a3m . . . . . . . . akm cm
b1 b2 b3 . . . . . . . . . . bk *
Dalam setiap kasus, koefisien dari matriks DUAL
dapat ditentukan sebagai transpose dari koefisien
matriks PRIMALnya.
PRIMAL DAN DUAL
Berkaitan dengan setiap masalah program linear
selalu ada dualnya. Arti dari DUAL akan menjadi
lebih jelas setelah Anda mempelajari masalah
vitamin yang telah dibahas di muka. Untuk
lengkapnya kita tuliskan kembali data masalah
tersebut.

PROGRAM LINEAR
64
Marilah kita pertimbangkan makanan F1 dan F2 yang
dijual disebuah toko. Pemilik toko menyadari bahwa
makanan F1 dan F2 memiliki nilai jual karena
mengandung vitamin A dan B yang diperlukan
untuk kesehatan.
Masalah yang ia hadapi adalah menentukan harga
jual, misal x sen dolar per unit vitamin A dan y sen
dolar per unit vitamin B. Ia menyadari bahwa harga
per unit vitaminnya harus diatur sedemikian rupa
sehingga harga jual yang ditetapkannya untuk
kedua jenis makanan kurang dari atau sama dengan
harga pasaraan.
Dengan perkataan lain terhadap x dan y harus
ditentukan harga, sehingga biaya yang dihitung
untuk makanan F1 dan F2 kurang dari atau sama
dengan 3 sen dan 2,5 sen dolar perunit, masing-
masing. Kalau pemilik toko menentukan harga di
atas harga 3 dan 2,5 sen dolar, ia akan kehilangan
pelanggan.
Vitamin
Makanan
Keperluan
sehari-hari
F1 F2
A 2 4 40
B 3 2 50
Harga Makanan/Unit 3 2,5

PROGRAM LINEAR
65
Pada saat yang sama, ia ingin memaksimumkan
penghasilannya, yang diberikan oleh f = 40 x + 50 y,
karena keperluan vitamin sehari-harinya adalah 40
unit dan 50 unit untuk masing-masing vitamin.
Masalah yang dihadapi oleh pemilik toko dapat
dirangkum sebagai berikut :
(**)
Sekelompok pertidaksamaan (**) ini merupakan
DUAL dari masalah aslinya. Untuk mengenalinya,
masalah aslinya disebut PRIMAL. Jika (**) kita sebut
PRIMAL, maka masalah asli disebut DUAL nya, dan
sebaliknya.
Kesimpulan yang perlu diperhatikan ialah bahwa
setiap masalah program linear memiliki DUAL yang
unik (hanya satu-satunya).Masalah (**) dengan
mudah dapat diselesaikan dengan Metode SimpleksI.

PROGRAM LINEAR
66
Selama dalam barisan penilaian masih terdapat nilai
yang positif, berarti program belum optimal, dan
masih memerlukan perbaikan.
Program 3 ini sudah optimal karena Baris penilaian
tidak memiliki nilai positif lagi. Pemilik toko harus

PROGRAM LINEAR
67
menetapkan harga 16
3
sen dolar untuk vitamin A
dan 8
7
sen dolar untuk vitamin B perunitnya. Nilai
dari fungsi obyektif adalah :
f = 40 ( 16
3
) + 50 ( 8
7
) = 51,25 sen dolar
yang memang persis sama dengan jawaban yang
diperoleh pada masalah mencari nilai minimum
dengan membeli makanan F1 dan F2.
MEMBANDINGKAN TABEL PRIMAL DAN DUAL
NYA
Sekarang kita perhatikan tabel optimal dari masalah
primal yang melibatkan pembelian makanan F1 dan
F2 (tabel*), kemudian tabel optimal dari dual nya
(tabel **). Tabel dari dua tabel optimal tersebut akan
memberikan nilai yang sama.

PROGRAM LINEAR
69
DAFTAR PUSTAKA
Hasan, Iqbal. 2004. Pokok-pokok Materi
Teori Pengambilan Keputusan. Bogor:
Ghalia Indonesia
Sri Mulyono, Riset Operasi, Jakarta: Lembaga
Penerbit Fakultas Ekonomi UI, 2002
Supranto, J. 2005. Teknik Pengambilan
Keputusan. Edisi Revisi. Jakarta: Rineka
Cipta
Taha, Hamdy A., Riset Operasi – Jilid 1,
Jakarta: Binarupa Aksara, 1996
http://fairuzelsaid.wordpress.com/2009/11/
24/data-mining-konsep-pohon-keputusan/
http://duljimbonpdq.blogspot.com/2010/09/
formulasi-model-pemrograman-linier.html
hendri.staff.gunadarma.ac.id

Buku prolin

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Buku prolin

Similaire à Buku prolin (20)

Buku prolin