1. Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV
co
´
MODULO 2 - AULA 14
Aula 14 – Produto interno, vetorial e misto Aplica¸˜es IV
co
Objetivos
• Estudar a rela¸˜o entre as posi¸˜es relativas de planos e as solu¸˜es
ca
co
co
de sistemas de equa¸˜es de primeiro grau a trˆs vari´veis.
co
e
a
Sistemas de equa¸˜es a trˆs vari´veis
co
e
a
Uma equa¸˜o do primeiro grau nas vari´veis x, y, z ´ da forma
ca
a
e
(I)
ax + by + cz = d ,
em que a, b, c e d s˜o constantes e, pelo menos, um dos valores a, b ou c
a
´ diferente de zero. As constantes a, b, c s˜o denominadas coeficientes da
e
a
equa¸˜o e a constante d ´ chamada termo independente da equa¸˜o.
ca
e
ca
Um sistema de equa¸˜es do primeiro grau a trˆs vari´veis ´ um conjunto
co
e
a
e
de equa¸˜es do tipo (I).
co
Vamos estudar os seguintes dois tipos de sistemas:
a1 x + b1 y + c1 z = d1
a1 x + b1 y + c1 z = d1
(II) :
e (III) : a2 x + b2 y + c2 z = d2
a2 x + b2 y + c2 z = d2
a3 x + b3 y + c3 z = d3 .
Dizemos que um terno de valores (x0 , y0 , z0 ) ´ uma solu¸˜o de um
e
ca
sistema de equa¸˜es nas vari´veis x, y e z, quando a substitui¸˜o x = x0 ,
co
a
ca
y = y0 e z = z0 torna cada uma das equa¸˜es do sistema uma identidade.
co
Como os pontos do espa¸o s˜o representados por ternos de n´meros
c a
u
(em rela¸˜o a um sistema de coordenadas cartesianas), dizemos tamb´m que
ca
e
um ponto P ´ uma solu¸˜o de um sistema de equa¸˜es nas vari´veis x, y e
e
ca
co
a
z, quando o terno (x0 , y0 , z0 ) das coordenadas de P ´ solu¸˜o do sistema.
e
ca
O conjunto de todos os pontos do espa¸o que s˜o solu¸˜es de um sisc
a
co
tema de equa¸˜es ´ denominado conjunto solu¸˜o do sistema (ou conjunto
co e
ca
de solu¸˜es do sistema).
co
Assim, sabemos que o conjunto solu¸˜o de uma equa¸˜o do tipo (I) ´
ca
ca
e
um plano. Logo, o conjunto solu¸˜o de um sistema do tipo (II) ´ o conjunto
ca
e
dos pontos que pertencem simultaneamente aos dois planos
Π1 : a1 x + b1 y + c1 z = d1
e
Π2 : a2 x + b2 y + c2 z = d2 ,
CEDERJ
167

2. Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV
co
e o conjunto solu¸˜o de (III) ´ o conjunto de pontos que pertencem simulca
e
taneamente aos trˆs planos
e
Π1 : a1 x + b1 y + c1 z = d1 ; Π2 : a2 x + b2 y + c2 z = d2 ; Π3 : a3 x + b3 y + c3 z = d3 .
Analisemos os sistemas de cada um desses tipos.
Sistemas do tipo (II)
Na Aula 7, do M´dulo 1, estudamos as posi¸˜es relativas entre dois
o
co
planos no espa¸o e vimos que dois planos Π1 e Π2 podem ser: coincidentes,
c
paralelos ou transversos.
Se os planos s˜o coincidentes, ent˜o o conjunto solu¸˜o ´ formado por
a
a
ca e
todos os pontos que satisfazem a equa¸˜o do plano dado; se s˜o paralelos,
ca
a
ent˜o n˜o h´ ponto comum, portanto o conjunto solu¸˜o ´ o conjunto vazio;
a a a
ca e
se os planos s˜o transversos, ent˜o Π1 ∩ Π2 ´ uma reta r, que ´ o conjunto
a
a
e
e
− e − s˜o dire¸˜es normais
→ η a
→
solu¸˜o. Al´m disso, vimos na Aula 9 que, se η1
ca
e
co
2
− × − ´ dire¸˜o de r.
→ η e
→
aos planos Π1 e Π2 , respectivamente, ent˜o η1
a
ca
2
Sistemas do tipo (III)
Como cada equa¸˜o do sistema determina um plano, h´ v´rias posca
a a
sibilidades de posi¸˜es entre esses planos. Iniciamos a nossa an´lise com
co
a
um resultado importante para o caso em que os trˆs planos tˆm apenas um
e
e
ponto em comum, ou seja, a solu¸˜o do sistema ´ um unico ponto. Para
ca
e
´
tanto, precisamos apresentar alguns elementos novos.
Consideremos quatro determinantes importantes, que denotamos ∆,
∆x , ∆y e ∆z , assim definidos:
Note que ...
Os determinantes ∆x , ∆y
e ∆z s˜o obtidos a partir
a
do determinante ∆
substituindo os
coeficientes da vari´vel
a
correspondente (x, y, ou
z) pelos termos
independentes de cada
uma das equa¸oes. Por
c˜
exemplo, o determinante
∆y ´ obtido a partir do
e
determinante ∆,
substituindo os
coeficientes da vari´vel y,
a
isto ´, b1 , b2 e b3 pelos
e
termos independentes d1 ,
d2 e d3 , respectivamente.
a1 b1 c1
∆ = a2 b2 c2 ,
a3 b3 c3
d1 b1 c1
∆x = d2 b2 c2 ,
d3 b3 c3
a1 d1 c1
∆y = a2 d2 c2
a3 d3 c3
Tendo apresentado esses conceitos, vejamos um crit´rio para determinar
e
sob quais condi¸˜es um sistema do tipo (III) possui uma unica solu¸˜o.
co
´
ca
Proposi¸˜o 14.19 (Regra de Cramer)
ca
O sistema (III) tem uma unica solu¸˜o se, e somente se, ∆ = 0. Al´m disso,
´
ca
e
se ∆ = 0, ent˜o a solu¸˜o do sistema ´ (x0 , y0, z0 ), com
a
ca
e
x0 =
∆
∆x
∆
, y0 = y e z0 = z .
∆
∆
∆
Demonstra¸˜o:
ca
(⇐=) Admitamos que ∆ = 0 e demonstremos que o sistema (III) possui uma
unica solu¸˜o.
´
ca
Consideremos os determinantes
CEDERJ
168
e
a1 b1 d1
∆z = a2 b2 d2 .
a3 b3 d3

3. Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV
co
´
MODULO 2 - AULA 14
b2 c2
b c
b c
, A2 = 1 1 e A3 = 1 1 .
b3 c3
b3 c3
b2 c2
Multiplicando a primeira equa¸˜o do sistema (III) por A1 , a segunda,
ca
por −A2 e a terceira por A3 , obtemos as equa¸˜es
co

 a1 A1 x + b1 A1 y + c1 A1 z = d1 A1 ,

−a2 A2 x − b2 A2 y − c2 A2 z = −d2 A2 ,


a3 A3 x + b3 A3 y + c3 A3 z = d3 A3 .
A1 =
Somando as trˆs equa¸˜es e juntando os termos comuns, obtemos
e
co
(a1 A1 − a2 A2 + a3 A3 )x + (b1 A1 − b2 A2 + b3 A3 )y + (c1 A1 − c2 A2 + c3 A3 )z
= d1 A1 − d2 A2 + d3 A3 .
(14.18)
Observemos que os coeficientes das vari´veis e o termo independente s˜o os
a
a
seguintes determinantes:
coeficiente de x : a1 A1 − a2 A2 + a3 A3
coeficiente de y
coeficiente de z
:
:
b1 A1 − b2 A2 + b3 A3
c1 A1 − c2 A2 + c3 A3
=
a1 b1 c1
a2 b2 c2 = ∆ ;
a3 b3 c3
=
b1 b1 c1
b2 b2 c2 = 0 ;
b3 b3 c3
=
c1 b1 c1
c2 b2 c2 = 0 ;
c3 b3 c3
d1 b1 c1
d2 b2 c2 = ∆x .
d3 b3 c3
Para verificar isso, basta desenvolver cada determinante e comparar
com os coeficientes de x, y e z na equa¸˜o (14.18).
ca
termo independente
:
d1 A1 − d2 A2 + d3 A3
Importante
Se vocˆ est´ inseguro com
e
a
os determinantes, releia a
Aula 10, do M´dulo 1,
o
onde eles s˜o apresentados
a
junto com suas principais
propriedades.
Observe que os
determinantes que s˜o os
a
coeficientes de y e z, nas
express˜es ao lado, s˜o
o
a
iguais a zero, pois tˆm
e
duas colunas iguais.
=
Logo, a equa¸˜o (14.18) reduz-se ` equa¸˜o
ca
a
ca
∆ · x = ∆x .
Como ∆ = 0, o valor de x fica determinado de forma unica como sendo
´
∆x
x=
.
∆
Para determinarmos o valor de y, procedemos de maneira similar, considerando os determinantes
a c
a c
a c
B1 = 2 2 , B2 = 1 1 e B3 = 1 1 .
a3 c3
a3 c3
a2 c2
Multiplicando a primeira equa¸˜o do sistema (III) por B1 , a segunda
ca
por −B2 e a terceira por B3 , obtemos

 a1 B1 x + b1 B1 y + c1 B1 z = d1 B1 ,

−a2 B2 x − b2 B2 y − c2 B2 z = −d2 B2 ,


a3 B3 x + b3 B3 y + c3 B3 z = d3 B3 .
CEDERJ
169

4. Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV
co
Fazendo a soma das trˆs equa¸˜es e juntando os termos comuns, obtemos:
e
co
(a1 B1 − a2 B2 + a3 B3 )x + (b1 B1 − b2 B2 + b3 B3 )y + (c1 B1 − c2 B2 + c3 B3 )z
= d1 B1 − d2 B2 + d3 B3 .
(14.19)
Observemos que os coeficientes das vari´veis e o termo independente
a
s˜o os seguintes determinantes:
a
Gabriel Cramer
1704 - 1752
Genebra, Su´ca
ı¸
Recebeu o grau de Doutor
em Genebra, aos 18 anos,
defendendo uma tese sobre
Teoria do Som. Dois anos
depois concorreu a uma
cadeira de Filosofia na
Academia de Clavin, em
Genebra. Em suas viagens
trabalhou com Johann
Bernoulli, Euler e
Clairaut. A obra mais
importante de Cramer foi
a Introduction ` l’analyse
a
des lignes courbes
alg´braique (1750), na
e
qual, abordando o
problema de determinar
uma curva polinomial de
grau dado, passando por
uma cole¸ao de pontos no
c˜
plano, chega a um sistema
de equa¸oes lineares. No
c˜
apˆndice, ele explica o
e
m´todo utilizado para
e
resolver esse tipo de
sistemas, m´todo hoje
e
conhecido como Regra de
Cramer. Sabe-se que n˜o
a
foi dele a id´ia de resolver
e
sistemas usando esse
m´todo, por´m, ap´s o
e
e
o
aparecimento dessa obra,
o m´todo foi referenciado
e
como Regra de Cramer.
Para saber mais sobre
Cramer, veja
http://www-groups.dcs.
st-and.ac.uk/~ history/
Mathematicians/Cramer.
html
CEDERJ
170
coeficiente de x :
a1 B1 − a2 B2 + a3 B3
=
coeficiente de y
:
b1 B1 − b2 B2 + b3 B3
=
coeficiente de z
:
c1 B1 − c2 B2 + c3 B3
=
termo independente
:
d1 B1 − d2 B2 + d3 B3
=
a1 a1 c1
a2 a2 c2 = 0 ;
a3 a3 c3
a1 b1 c1
− a2 b2 c2 = −∆ ;
a3 b3 c3
c1 a1 c1
c2 a2 c2 = 0 ;
c3 a3 c3
a1 d1 c1
− a2 d2 c2 = −∆y .
a3 d3 c3
Logo, a equa¸˜o (14.19) reduz-se ` equa¸˜o
ca
a
ca
−∆ · y = −∆y ,
da qual determinamos o valor de y (pois ∆ = 0): y =
∆y
.
∆
Finalmente, para determinar o valor de z, considere os determinantes
a b
a b
a b
C1 = 2 2 , C2 = 1 1
e C3 = 1 1 .
a3 b3
a3 b3
a2 b2
Multiplicando a primeira equa¸˜o do sistema (III) por C1 , a segunda
ca
por −C2 e a terceira por C3 , obtemos as equa¸˜es
co

d 1 C1 ,
 a1 C1 x + b1 C1 y + c1 C1 z =
−a2 C2 x − b2 C2 y − c2 C2 z = −d2 C2 ,
 a C x+b C y+c C z =
d 3 C3 .
3 3
3 3
3 3
Fazendo a soma das trˆs equa¸˜es e juntando os termos comuns, obtemos:
e
co
(a1 C1 − a2 C2 + a3 C3 )x + (b1 C1 − b2 C2 + b3 C3 )y + (c1 C1 − c2 C2 + c3 C3 )z
= d 1 C1 − d 2 C2 + d 3 C3 .
(14.20)
De forma an´loga aos casos anteriores, os coeficientes das vari´veis e o termo
a
a
independente s˜o os seguintes determinantes:
a

5. Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV
co
´
MODULO 2 - AULA 14
coeficiente de x : a1 C1 − a2 C2 + a3 C3
=
a1 a1 b1
a2 a2 b2 = 0 ;
a3 a3 b3
coeficiente de y
:
b1 C1 − b2 C2 + b3 C3
=
b1 a1 b1
b2 a2 b2 = 0 ;
b3 a3 b3
coeficiente de z
:
c1 C 1 − c2 C 2 + c3 C 3
=
a1 b1 c1
a2 b2 c2 = ∆ ;
a3 b3 c3
=
a1 b1 d1
a2 b2 d2 = ∆z .
a3 b3 d3
termo independente
:
d 1 C1 − d 2 C2 + d 3 C3
Logo, a equa¸˜o (14.20) reduz-se ` equa¸˜o
ca
a
ca
∆ · z = ∆z =⇒ z =
∆z
, pois ∆ = 0 .
∆
Desta maneira, mostramos que, se ∆ = 0, ent˜o a solu¸˜o do sistema
a
ca
(III) ´ determinada de forma unica e ´ dada por
e
´
e
x0 =
∆x
,
∆
y0 =
∆y
∆
e
z0 =
∆z
.
∆
(=⇒) Agora vejamos que, se o sistema (III) tem uma unica solu¸˜o,
´
ca
ent˜o ∆ = 0 .
a
Na Figura 14.30
Mostramos os planos Π1 ,
Π2 e Π3 com suas
respectivas dire¸oes
c˜
normais − , − , − .
η→ η→ η→
1
2
3
Se o sistema (III) possui uma
unica solu¸˜o, ent˜o Π1 ∩ Π2 ´ uma
´
ca
a
e
− × − , a qual
→ η
→
reta r, de dire¸˜o η1
ca
2
intersecta Π3 em um unico ponto.
´
− × − ,− = 0.
→ η η
→ →
Portanto, η1
2
3
Consideremos os dois primeiros Figura 14.30: Planos Π1 , Π2 e Π3 .
planos Π1 : a1 x + b1 y + c1 z = d1
e Π2 : a2 x + b2 y + c2 z = d2 . Como o sistema admite solu¸˜o, devemos ter
ca
Π1 ∩ Π2 = ∅. Esses planos n˜o podem ser coincidentes, pois isso implia
caria que a sua interse¸˜o com Π3 seria uma reta, e o conjunto solu¸˜o seria
ca
ca
formado por todos os pontos dessa reta. Como estamos assumindo que o
sistema possui uma unica solu¸˜o, essa possibilidade para Π1 e Π2 n˜o pode
´
ca
a
acontecer.
Logo, Π1 e Π2 s˜o planos transversos.
a
→ η a
→
Desse modo, se − e − s˜o dire¸˜es normais a Π1 e Π2 , respectivaη1
co
2
→ η a
→
mente, ent˜o essas dire¸˜es n˜o s˜o paralelas, ou seja , − e − s˜o lineara
co
a a
η1
2
−
→
− ×− = 0 .
→ η
→
mente independentes. Isto ´, η1
e
2
→ η
→
Conclu´
ımos que Π ∩ Π ´ uma reta r cuja dire¸˜o ´ − × − .
e
ca e η
1
2
1
2
CEDERJ
171

6. Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV
co
Como estamos admitindo que o sistema tem uma unica solu¸˜o, r in´
ca
tercepta Π3 em um unico ponto. Isto ´, r n˜o pode ser paralela a Π3 . Dessa
´
e
a
− ´ dire¸˜o normal a Π , devemos ter (veja a Figura 14.30)
→e
forma, se η3
ca
3
− × − , − = 0.
→ η η
→ →
η
1
2
3
→ η η
→ →
→ → →
Mas, − × − , − = [− , − , − ] = ∆ e, portanto, ∆ = 0. Como
η1
η1 η2 η3
2
3
quer´
ıamos demonstrar.
Observa¸˜o
ca
O que significa a condi¸˜o ∆ = 0 ?
ca
→ → →
→ → →
Como ∆ = [− , − , − ], a condi¸˜o significa que os vetores − , − , −
η1 η2 η3
ca
η1 η2 η3
s˜o linearmente dependentes, ou seja, s˜o paralelos a um mesmo plano.
a
a
Desta situa¸˜o temos duas possibilidades:
ca
− , − e − s˜o paralelos
→ η
→ η a
→
− , − e − n˜o s˜o paralelos.
→ → η
→ a a
η1
ou
η1 η2
2
3
3
Analisemos cada caso.
→ → η a
→
Caso 1: − , − e − s˜o paralelos.
η1 η2
3
Como as dire¸˜es normais s˜o paralelas, podemos ter as seguintes situa¸˜es
co
a
co
(veja Figuras 14.31 a 14.33):
Figura 14.31: Planos paralelos.
Figura 14.32: Π1 e Π2 coincidentes.
• Π1 , Π2 e Π3 s˜o paralelos. Nesse caso, n˜o h´ ponto comum aos planos,
a
a a
logo, o conjunto solu¸˜o ´ vazio.
ca e
• Dois dos planos s˜o coincidentes e
a
o terceiro ´ paralelo a ambos. Nesse
e
caso, tamb´m, n˜o h´ ponto comum
e
a a
aos trˆs planos e o conjunto solu¸˜o
e
ca
´ vazio.
e
• Os trˆs planos coincidem. O cone
junto solu¸˜o ´ formado por todos os Figura 14.33: Trˆs planos coincidentes.
ca e
e
pontos que satisfazem a equa¸˜o do
ca
plano dado. Observe que o conjunto solu¸˜o tem um n´ mero infinito de
ca
u
solu¸˜es.
co
CEDERJ
172

7. Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV
co
´
MODULO 2 - AULA 14
→ → →
Caso 2. − , − , − n˜o s˜o paralelos.
η1 η2 η3 a a
Como as dire¸˜es normais n˜o s˜o paralelas, devemos considerar os
co
a a
seguintes casos:
a. existem duas dire¸˜es paralelas
co
b. n˜o h´ par de dire¸˜es paralelas.
a a
co
Analisemos cada caso.
a. Quando duas dire¸˜es s˜o paralelas e a terceira n˜o ´ paralela a ambas,
co
a
a e
temos as seguintes possibilidades para as posi¸˜es entre os planos:
co
(i) dois dos planos s˜o paralelos e o outro transverso a eles. J´ o fato de
a
a
dois dos planos serem paralelos implica que eles n˜o possuem pontos comuns,
a
logo n˜o h´ pontos comuns aos trˆs. Portanto, o conjunto solu¸˜o do sistema,
a a
e
ca
neste caso, ´ o conjunto vazio (Figura 14.34).
e
(ii) dois dos planos s˜o coincidentes e o outro transverso a eles. Nessa
a
situa¸˜o, h´ uma infinidade de solu¸˜es. Essas solu¸oes formam uma reta
ca
a
co
c˜
contida simultaneamente nos trˆs planos (Figura 14.35).
e
Figura 14.34: Π1 e Π2 paralelos e Π3 Figura 14.35: Π1 e Π2 coincidentes e
transverso a eles.
Π3 transverso a eles.
b. N˜o havendo dire¸˜es paralelas temos duas possibilidades:
a
co
(i) os planos s˜o transversos com reta de interse¸˜o comum aos trˆs
a
ca
e
planos. O conjunto solu¸˜o ´ o conjunto de pontos da reta comum, portanto
ca e
tem um n´ mero infinito de pontos.
u
(ii) os planos s˜o dois a dois transversos e as retas obtidas das ina
terse¸˜es s˜o paralelas. Nesta situa¸˜o o conjunto solu¸˜o ´ o conjunto vazio.
co
a
ca
ca e
Com tanta possibilidade, parece dif´ determinar o conjunto solu¸˜o
ıcil
ca
do sistema quando ∆ = 0. Mostramos, aqui, um crit´rio bem simples para
e
determinar o conjunto solu¸˜o.
ca
Passo 1. Tome os dois primeiros planos do sistema (ou quaisquer dois planos
do sistema). Esses planos podem ser:
(a) paralelos, (b) coincidentes ou (c) transversos.
CEDERJ
173

8. Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV
co
Figura 14.36: Planos transversos com Figura 14.37: Planos transversos com
interse¸˜o vazia.
ca
uma reta em comum.
Vejamos:
(a) Se esses dois planos s˜o paralelos ent˜o o conjunto solu¸˜o do sisa
a
ca
tema ´ o conjunto vazio, independentemente da posi¸˜o do terceiro plano.
e
ca
(b) Se os dois planos s˜o coincidentes, ent˜o resolver o sistema reduza
a
se a determinar a interse¸˜o entre dois planos, o primeiro (que ´ o mesmo
ca
e
que o segundo) e o terceiro: se s˜o paralelos ent˜o o conjunto solu¸˜o do
a
a
ca
sistema ´ vazio; se s˜o coincidentes o conjunto solu¸˜o ´ todo o plano e se
e
a
ca e
s˜o transversos, o conjunto solu¸˜o ´ a reta de interse¸˜o.
a
ca e
ca
(c) Se os dois planos s˜o transversos, determine as equa¸˜es param´tricas
a
co
e
da reta interse¸˜o. Tendo as equa¸˜es dessa reta, verifique se seus pontos
ca
co
satisfazem a equa¸˜o do terceiro plano. Caso afirmativo, ent˜o essa reta ´
ca
a
e
comum aos trˆs planos e ela ´ o conjunto solu¸˜o. Caso contr´rio, os planos
e
e
ca
a
n˜o se intersectam e o conjunto solu¸˜o ´ vazio.
a
ca e
Lembre que estamos supondo ∆ = 0, ou seja, n˜o pode haver uma unica
a
´
solu¸˜o. Portanto, se vocˆ achar que a reta obtida intersecta o terceiro plano
ca
e
em um unico ponto, ent˜o vocˆ se equivocou em algum dos procedimentos,
´
a
e
devendo verificar, novamente, seus c´lculos.
a
Exemplo 14.67
Analise o sistema dado, exibindo o conjunto solu¸˜o, caso exista:
ca
2x − 7y − 3z + 1 = 0
x − 2y + 3z = 0
5x − y + z − 2 = 0 .
Solu¸˜o: Calculemos o determinante ∆ dos coeficientes:
ca
2 −7 −3
∆ = 1 −2 3 = −123 .
5 −1 1
Como ∆ = 0, o sistema tem uma unica solu¸˜o dada por:
´
ca
CEDERJ
174

9. Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV
co
1 −1 −7 −3
0 −2 3 ,
∆x =
∆ 2 −1 1
1 2 −1 −3
1 0
3
∆y =
∆ 5 2
1
e
´
MODULO 2 - AULA 14
1 2 −7 −1
1 −2 0 .
∆z =
∆ 5 −1 2
Calculando os determinantes, obtemos a unica solu¸˜o:
´
ca
−55
55
−32
32
−3
3
=
, y=
=
e z=
=
.
x=
−123
123
−123
123
−123
123
Exemplo 14.68
Analise o sistema dado, exibindo o conjunto solu¸˜o, caso exista:
ca
x−y+z = 5
3x − 2y + z = 8
2x − y = 3 .
Solu¸˜o: Calculemos o determinante ∆ dos coeficientes:
ca
1 −1 1
∆ = 3 −2 1 = 0 .
2 −1 0
Portanto, pode ou n˜o haver solu¸˜o. Se houver, n˜o ´ um unico ponto, ´
a
ca
a e
´
e
uma reta ou um plano.
Consideremos a primeira e a terceira equa¸˜es (as mais simples do sistema):
co
x−y+z =5
2x − y = 3 .
→
→
Dessas equa¸˜es cartesianas, vemos que − = (1, −1, 1) e − = (2, −1, 0) s˜o
co
η1
η2
a
dire¸˜es normais do primeiro e terceiro planos, respectivamente.
co
→ η
→ η
→
Logo, − = − × − = (1, −1, 1) × (2, −1, 0) = (1, 2, 1) ´ dire¸˜o da reta r
v
e
ca
1
2
que resulta da interse¸˜o desses planos.
ca
Para determinar as equa¸˜es param´tricas de r, basta tomarmos um ponto
co
e
que satisfa¸a as duas equa¸˜es, pois temos j´ o vetor dire¸˜o − .
c
co
a
ca →
v
Tomando z = 0, obtemos x = −2 e y = −7, ou seja, P = (−2, −7, 0) ∈ r.
Portanto, as equa¸˜es param´tricas da reta r interse¸˜o dos dois planos s˜o
co
e
ca
a

 x = −2 + t

r:
y = −7 + 2t ; t ∈ R .


z=t
Verifiquemos se r est´ contida no outro plano do sistema.
a
Para isso, substitu´
ımos as express˜es param´tricas das coordenadas dos pono
e
tos de r no primeiro membro da equa¸˜o do plano 3x − 2y + z = 8
ca
3(−2 + t) − 2(−7 + 2t) + t = 8 .
CEDERJ
175

10. Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV
co
Como essa igualdade ´ satisfeita independentemente do valor de t, conclu´
e
ımos
que a reta r ´ o conjunto solu¸˜o do sistema proposto.
e
ca
Resumo
Nesta aula, vocˆ aprendeu a determinar o conjunto solu¸˜o de um sise
ca
tema de trˆs equa¸˜es do primeiro grau a trˆs vari´veis, usando a Regra
e
co
e
a
de Cramer. Aprendeu tamb´m a representa¸˜o geom´trica desses conjuntos
e
ca
e
solu¸˜o. Em nossos argumentos, aplicamos os conceitos de produto vetorial,
ca
produto interno e produto misto para analisar as poss´
ıveis posi¸˜es relativas
co
entre planos.
Exerc´
ıcios
1. Para cada sistema dado, determine o conjunto solu¸˜o.
ca

 x + 2y + 3z − 1 = 0
a.
x + 2y + z + 2 = 0

−2x − 4y + 2z = 0 .

 2x + y + z = 2
b.
4x + 2y + 2z + 2 = 0

x +y +2 = 0.

 3x + y + 5z − 1 = 0
c.
2x + y + 2z + 2 = 0

2x − 3y + z = 0 .
2. Sejam os planos

 Π1 : x + y − z − 1 = 0
Π : x − y + 2z + 2 = 0
 2
Π3 : ax + y + bz = 0 .
Em cada item, dˆ os poss´
e
ıveis valores de a e b, de modo a verificar as
condi¸˜es desejadas.
co
a. Π1 ∩ Π2 ∩ Π3 ´ um unico ponto;
e
´
b. Π1 ∩ Π2 ∩ Π3 ´ uma reta;
e
c. Π1 ∩ Π2 ∩ Π3 = ∅ .
CEDERJ
176

11. Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV
co
´
MODULO 2 - AULA 14
Auto-avalia¸˜o
ca
Se vocˆ fez todos os exerc´
e
ıcios, ent˜o vocˆ aprendeu a determinar o
a
e
conjunto solu¸˜o de um sistema de equa¸˜es do primeiro grau a trˆs vari´veis
ca
co
e
a
e sabe analisar a posi¸˜o relativa entre dois e trˆs planos. Caso vocˆ sinta
ca
e
e
dificuldade em entender os desenvolvimentos apresentados, reveja as Aulas 7
e 8 do M´dulo 1.
o
CEDERJ
177