SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  76
Télécharger pour lire hors ligne
Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton
Teoria grafurilor

Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti
a,
Facultatea de Stiinte Reale
,
,

Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a
a
¸
¸
Distribuire-ˆ
ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0)
¸
a

B˘lti, 2013
a,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

1 / 32
Problema postasului chinez
,
,

Pentru prima dat˘ problema a fost publicat˘ de matematicianul chinez
a
a
Mei-Ko Kwan (1962).
De aici si denumirea problemei.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

2 / 32
Problema postasului chinez
,
,

Pentru prima dat˘ problema a fost publicat˘ de matematicianul chinez
a
a
Mei-Ko Kwan (1962).
De aici si denumirea problemei.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

2 / 32
Ciclu Euler; Graf Euler

Un ciclu simplu, dintr-un graf conex, care contine toate muchiile grafului
,
se numeste ciclu Euler (sau ciclu eulerian).
,
Un graf care contine cel putin un ciclu Euler se numeste graf Euler (sau
,
,
,
graf eulerian).
ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: ˆ
In
a
a
a ıntr-un ciclu eulerian nu este
,
permis˘ repetitia muchiilor, dar se pot repeta vˆ
a
ırfurile.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

3 / 32
Ciclu Euler; Graf Euler

Un ciclu simplu, dintr-un graf conex, care contine toate muchiile grafului
,
se numeste ciclu Euler (sau ciclu eulerian).
,
Un graf care contine cel putin un ciclu Euler se numeste graf Euler (sau
,
,
,
graf eulerian).
ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: ˆ
In
a
a
a ıntr-un ciclu eulerian nu este
,
permis˘ repetitia muchiilor, dar se pot repeta vˆ
a
ırfurile.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

3 / 32
Ciclu Euler; Graf Euler

Un ciclu simplu, dintr-un graf conex, care contine toate muchiile grafului
,
se numeste ciclu Euler (sau ciclu eulerian).
,
Un graf care contine cel putin un ciclu Euler se numeste graf Euler (sau
,
,
,
graf eulerian).
ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: ˆ
In
a
a
a ıntr-un ciclu eulerian nu este
,
permis˘ repetitia muchiilor, dar se pot repeta vˆ
a
ırfurile.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

3 / 32
Ciclu Euler; Graf Euler

Un ciclu simplu, dintr-un graf conex, care contine toate muchiile grafului
,
se numeste ciclu Euler (sau ciclu eulerian).
,
Un graf care contine cel putin un ciclu Euler se numeste graf Euler (sau
,
,
,
graf eulerian).
ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: ˆ
In
a
a
a ıntr-un ciclu eulerian nu este
,
permis˘ repetitia muchiilor, dar se pot repeta vˆ
a
ırfurile.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

3 / 32
Exemple
v1
u0

u1

v2

v1
u0

v0

u1

v3

v2

v0
v3

Primul graf (de la stˆ
ınga spre dreapta) nu este Euler, iar al doilea este
Euler.
v1
u0

u1

v2

v0
v3

Ciclul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este eulerian.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

4 / 32
Exemple
v1
u0

u1

v2

v1
u0

v0

u1

v3

v2

v0
v3

Primul graf (de la stˆ
ınga spre dreapta) nu este Euler, iar al doilea este
Euler.
v1
u0

u1

v2

v0
v3

Ciclul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este eulerian.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

4 / 32
Exemple
v1
u0

u1

v2

v1
u0

v0

u1

v3

v2

v0
v3

Primul graf (de la stˆ
ınga spre dreapta) nu este Euler, iar al doilea este
Euler.
v1
u0

u1

v2

v0
v3

Ciclul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este eulerian.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

4 / 32
Lant Euler; Graf semi-Euler
,

ˆ
Intr-un graf conex, un lant simplu care contine toate muchiile grafului se
,
,
numeste lant Euler (sau lant eulerian).
,
,
,
Un graf care contine cel putin un lant Euler se numeste graf semi-Euler
,
,
,
,
(sau graf semi-eulerian).
Un lant eulerian se mai numeste traseu eulerian.
,
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

5 / 32
Lant Euler; Graf semi-Euler
,

ˆ
Intr-un graf conex, un lant simplu care contine toate muchiile grafului se
,
,
numeste lant Euler (sau lant eulerian).
,
,
,
Un graf care contine cel putin un lant Euler se numeste graf semi-Euler
,
,
,
,
(sau graf semi-eulerian).
Un lant eulerian se mai numeste traseu eulerian.
,
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

5 / 32
Lant Euler; Graf semi-Euler
,

ˆ
Intr-un graf conex, un lant simplu care contine toate muchiile grafului se
,
,
numeste lant Euler (sau lant eulerian).
,
,
,
Un graf care contine cel putin un lant Euler se numeste graf semi-Euler
,
,
,
,
(sau graf semi-eulerian).
Un lant eulerian se mai numeste traseu eulerian.
,
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

5 / 32
Exemple
v1
u0

u1

v2

v1
u0

v0

u1

v3

v2

v0
v3

Primul graf (de la stˆ
ınga spre dreapta) nu este semi-Euler, iar al doilea
este semi-Euler.
v1
u0

u1

v2

v0
v3

Lantul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este semi-eulerian.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

6 / 32
Exemple
v1
u0

u1

v2

v1
u0

v0

u1

v3

v2

v0
v3

Primul graf (de la stˆ
ınga spre dreapta) nu este semi-Euler, iar al doilea
este semi-Euler.
v1
u0

u1

v2

v0
v3

Lantul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este semi-eulerian.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

6 / 32
Exemple
v1
u0

u1

v2

v1
u0

v0

u1

v3

v2

v0
v3

Primul graf (de la stˆ
ınga spre dreapta) nu este semi-Euler, iar al doilea
este semi-Euler.
v1
u0

u1

v2

v0
v3

Lantul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este semi-eulerian.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

6 / 32
Conditie necesar˘ si suficient˘
a ,
a
,

Teorem˘ (Euler)
a
Un graf conex este eulerian dac˘ ¸i numai dac˘ oricare vˆ al s˘u are
as
a
ırf
a
gradul par.

Teorem˘
a
Un graf conex este semi-eulerian dac˘ ¸i numai dac˘ cel mult dou˘ vˆ
as
a
a ırfuri
ale sale au grad impar.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

7 / 32
Conditie necesar˘ si suficient˘
a ,
a
,

Teorem˘ (Euler)
a
Un graf conex este eulerian dac˘ ¸i numai dac˘ oricare vˆ al s˘u are
as
a
ırf
a
gradul par.

Teorem˘
a
Un graf conex este semi-eulerian dac˘ ¸i numai dac˘ cel mult dou˘ vˆ
as
a
a ırfuri
ale sale au grad impar.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

7 / 32
Eulerizare

Grafurile care nu sˆ euleriene pot fi transformate ˆ grafuri euleriene.
ınt
ın
Dublˆ unele muchii existente putem face ca toate vˆ
ınd
ırfurile s˘ aib˘ grad
a
a
par. Graful obtinut va fi eulerian. Iar procedeul de dublare a muchiilor cu
,
scopul de a obtine un graf eulerian se numeste eulerizare.
,
,
Nu este permis ad˘ugare de muchii ˆ
a
ıntre vˆ
ırfurile care nu-s vecine; este
permis doar dublarea muchiilor existente.
O euleriazare se numeste bun˘ dac˘ contine num˘rul minim de muchii noi.
a
a
a
,
,
Num˘rul minim de muchii necesare pentru eulerizarea unui graf G se
a
numeste num˘rul de eulerizare si se noteaz˘ ecc(G).
a
a
,
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

8 / 32
Eulerizare

Grafurile care nu sˆ euleriene pot fi transformate ˆ grafuri euleriene.
ınt
ın
Dublˆ unele muchii existente putem face ca toate vˆ
ınd
ırfurile s˘ aib˘ grad
a
a
par. Graful obtinut va fi eulerian. Iar procedeul de dublare a muchiilor cu
,
scopul de a obtine un graf eulerian se numeste eulerizare.
,
,
Nu este permis ad˘ugare de muchii ˆ
a
ıntre vˆ
ırfurile care nu-s vecine; este
permis doar dublarea muchiilor existente.
O euleriazare se numeste bun˘ dac˘ contine num˘rul minim de muchii noi.
a
a
a
,
,
Num˘rul minim de muchii necesare pentru eulerizarea unui graf G se
a
numeste num˘rul de eulerizare si se noteaz˘ ecc(G).
a
a
,
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

8 / 32
Eulerizare

Grafurile care nu sˆ euleriene pot fi transformate ˆ grafuri euleriene.
ınt
ın
Dublˆ unele muchii existente putem face ca toate vˆ
ınd
ırfurile s˘ aib˘ grad
a
a
par. Graful obtinut va fi eulerian. Iar procedeul de dublare a muchiilor cu
,
scopul de a obtine un graf eulerian se numeste eulerizare.
,
,
Nu este permis ad˘ugare de muchii ˆ
a
ıntre vˆ
ırfurile care nu-s vecine; este
permis doar dublarea muchiilor existente.
O euleriazare se numeste bun˘ dac˘ contine num˘rul minim de muchii noi.
a
a
a
,
,
Num˘rul minim de muchii necesare pentru eulerizarea unui graf G se
a
numeste num˘rul de eulerizare si se noteaz˘ ecc(G).
a
a
,
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

8 / 32
Eulerizare

Grafurile care nu sˆ euleriene pot fi transformate ˆ grafuri euleriene.
ınt
ın
Dublˆ unele muchii existente putem face ca toate vˆ
ınd
ırfurile s˘ aib˘ grad
a
a
par. Graful obtinut va fi eulerian. Iar procedeul de dublare a muchiilor cu
,
scopul de a obtine un graf eulerian se numeste eulerizare.
,
,
Nu este permis ad˘ugare de muchii ˆ
a
ıntre vˆ
ırfurile care nu-s vecine; este
permis doar dublarea muchiilor existente.
O euleriazare se numeste bun˘ dac˘ contine num˘rul minim de muchii noi.
a
a
a
,
,
Num˘rul minim de muchii necesare pentru eulerizarea unui graf G se
a
numeste num˘rul de eulerizare si se noteaz˘ ecc(G).
a
a
,
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

8 / 32
Eulerizare
v1
u0

u1

v2

v0
v3

Graful de mai sus, nefiind Euler, poate fi eulerizat ˆ felulurile urm˘toare:
ın
a

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

9 / 32
Eulerizare
v1
u0

u1

v2

v0
v3

Graful de mai sus, nefiind Euler, poate fi eulerizat ˆ felulurile urm˘toare:
ın
a

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

9 / 32
Eulerizare
v1
u0

u1

v2

v0
v3

Graful de mai sus, nefiind Euler, poate fi eulerizat ˆ felulurile urm˘toare:
ın
a

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

9 / 32
Problema Comis-Voiajorului

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

10 / 32
Ciclu Hamilton; Graf Hamilton

Un ciclu elementar, dintr-un graf conex, care contine toate vˆ
ırfurile
,
grafului se numeste ciclu Hamilton (sau ciclu hamiltonian).
,
Un graf care contine cel putin un ciclu Hamilton se numeste graf
,
,
,
Hamilton (sau graf hamiltonian).
ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: un ciclu hamiltonian trebuie
In
a
a
a
,
treac˘ prin toate vˆ
a
ırfurile grafului, dar nu si prin toate muchiile.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

11 / 32
Ciclu Hamilton; Graf Hamilton

Un ciclu elementar, dintr-un graf conex, care contine toate vˆ
ırfurile
,
grafului se numeste ciclu Hamilton (sau ciclu hamiltonian).
,
Un graf care contine cel putin un ciclu Hamilton se numeste graf
,
,
,
Hamilton (sau graf hamiltonian).
ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: un ciclu hamiltonian trebuie
In
a
a
a
,
treac˘ prin toate vˆ
a
ırfurile grafului, dar nu si prin toate muchiile.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

11 / 32
Ciclu Hamilton; Graf Hamilton

Un ciclu elementar, dintr-un graf conex, care contine toate vˆ
ırfurile
,
grafului se numeste ciclu Hamilton (sau ciclu hamiltonian).
,
Un graf care contine cel putin un ciclu Hamilton se numeste graf
,
,
,
Hamilton (sau graf hamiltonian).
ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: un ciclu hamiltonian trebuie
In
a
a
a
,
treac˘ prin toate vˆ
a
ırfurile grafului, dar nu si prin toate muchiile.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

11 / 32
Exemple
v1
u0

u1

v2

u
v0

v
z

v3

x
y

Primul graf (de la stˆ
ınga spre dreapta) este Hamilton, iar al doilea nu este
Hamilton.
v1
u0

u1

v2

v0
v3

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

12 / 32
Exemple
v1
u0

u1

v2

u
v0

v
z

v3

x
y

Primul graf (de la stˆ
ınga spre dreapta) este Hamilton, iar al doilea nu este
Hamilton.
v1
u0

u1

v2

v0
v3

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

12 / 32
Exemple
v1
u0

u1

v2

u
v0

v
z

v3

x
y

Primul graf (de la stˆ
ınga spre dreapta) este Hamilton, iar al doilea nu este
Hamilton.
v1
u0

u1

v2

v0
v3

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

12 / 32
Ciclu Hamilton; Graf Hamilton

Evident, grafurile Cn sˆ hamiltoniene, pentru orice n; grafurile Kn sˆ
ınt
ınt
hamiltoniene pentru n ≥ 3.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

13 / 32
Lant Hamilton; Graf semi-Hamilton
,

ˆ
Intr-un graf conex, un lant elementar care contine toate vˆ
ırfurile grafului se
,
,
numeste lant Hamilton (sau lant hamiltonian).
,
,
,
Un graf care contine cel putin un lant Hamilton se numeste graf
,
,
,
,
semi-Hamilton (sau graf semi-hamiltonian).

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

14 / 32
Exemple
u
v

x

z

y

Graful de mai sus este semi-hamiltonian.
u
v
z

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

x
y

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

15 / 32
Exemple
u
v

x

z

y

Graful de mai sus este semi-hamiltonian.
u
v
z

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

x
y

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

15 / 32
Exemple
u
v

x

z

y

Graful de mai sus este semi-hamiltonian.
u
v
z

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

x
y

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

15 / 32
Conditii suficiente
,

Teorem˘ (Ore)
a
Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice dou˘ vˆ
a
a ırfuri
,
neadiacente u si v avem
,
d(u) + d(v) ≥ n,

(1)

atunci G este Hamilton.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

16 / 32
Teorema Ore
Demonstratie.
¸
Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘.
a
a
Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ
a
a
ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei
a
,
ıns˘
ˆ a nu este hamiltonian.
Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ
a
ınt
ırfuri) alegem graful cu
cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G.
a
a
Fie p si q dou˘ vˆ
a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de
ın
,
,
maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian.
Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din
a
a
a
,
G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G.
ın
ın
ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n.
In
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

17 / 32
Teorema Ore
Demonstratie.
¸
Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘.
a
a
Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ
a
a
ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei
a
,
ıns˘
ˆ a nu este hamiltonian.
Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ
a
ınt
ırfuri) alegem graful cu
cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G.
a
a
Fie p si q dou˘ vˆ
a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de
ın
,
,
maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian.
Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din
a
a
a
,
G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G.
ın
ın
ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n.
In
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

17 / 32
Teorema Ore
Demonstratie.
¸
Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘.
a
a
Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ
a
a
ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei
a
,
ıns˘
ˆ a nu este hamiltonian.
Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ
a
ınt
ırfuri) alegem graful cu
cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G.
a
a
Fie p si q dou˘ vˆ
a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de
ın
,
,
maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian.
Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din
a
a
a
,
G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G.
ın
ın
ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n.
In
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

17 / 32
Teorema Ore
Demonstratie.
¸
Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘.
a
a
Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ
a
a
ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei
a
,
ıns˘
ˆ a nu este hamiltonian.
Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ
a
ınt
ırfuri) alegem graful cu
cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G.
a
a
Fie p si q dou˘ vˆ
a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de
ın
,
,
maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian.
Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din
a
a
a
,
G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G.
ın
ın
ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n.
In
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

17 / 32
Teorema Ore
Demonstratie.
¸
Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘.
a
a
Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ
a
a
ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei
a
,
ıns˘
ˆ a nu este hamiltonian.
Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ
a
ınt
ırfuri) alegem graful cu
cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G.
a
a
Fie p si q dou˘ vˆ
a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de
ın
,
,
maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian.
Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din
a
a
a
,
G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G.
ın
ın
ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n.
In
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

17 / 32
Teorema Ore
Demonstratie.
¸
Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘.
a
a
Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ
a
a
ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei
a
,
ıns˘
ˆ a nu este hamiltonian.
Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ
a
ınt
ırfuri) alegem graful cu
cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G.
a
a
Fie p si q dou˘ vˆ
a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de
ın
,
,
maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian.
Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din
a
a
a
,
G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G.
ın
ın
ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n.
In
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

17 / 32
Teorema Ore
Demonstratie; Continuare.
,
Fie un oarecare ciclu hamiltonian ˆ G + xy:
ın
p, v1 , v2 , ..., vn−2 , q, p.

(2)

Observ˘m c˘ dac˘ vi este adiacent cu p atunci vi−1 nu poate fi adiacent
a
a
a
cu q; ˆ caz contrar ciclul:
ın
p, v1 , v2 , vi−1 , q, vn−2 , vn−3 , vn−4 , ..., vi , p
este hamiltonian ˆ G.
ın

p

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

v1

vi−1 vi

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

vn−2 q

B˘lti, 2013
a,

18 / 32
Teorema Ore
Demonstratie; Continuare.
,
Fie un oarecare ciclu hamiltonian ˆ G + xy:
ın
p, v1 , v2 , ..., vn−2 , q, p.

(2)

Observ˘m c˘ dac˘ vi este adiacent cu p atunci vi−1 nu poate fi adiacent
a
a
a
cu q; ˆ caz contrar ciclul:
ın
p, v1 , v2 , vi−1 , q, vn−2 , vn−3 , vn−4 , ..., vi , p
este hamiltonian ˆ G.
ın

p

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

v1

vi−1 vi

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

vn−2 q

B˘lti, 2013
a,

18 / 32
Teorema Ore
Demonstratie; Continuare.
,
Fie un oarecare ciclu hamiltonian ˆ G + xy:
ın
p, v1 , v2 , ..., vn−2 , q, p.

(2)

Observ˘m c˘ dac˘ vi este adiacent cu p atunci vi−1 nu poate fi adiacent
a
a
a
cu q; ˆ caz contrar ciclul:
ın
p, v1 , v2 , vi−1 , q, vn−2 , vn−3 , vn−4 , ..., vi , p
este hamiltonian ˆ G.
ın

p

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

v1

vi−1 vi

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

vn−2 q

B˘lti, 2013
a,

18 / 32
Teorema Ore

Demonstratie; Continuare.
,
Din cele de mai sus reiese c˘, ˆ
a ıntrucˆ ˆ G sˆ d(p) vˆ
ıt ın
ınt
ırfuri adiacente cu p,
trebuie s˘ fie cel putin d(p) + 1 vˆ
a
ırfuri neadiacente cu q.
,
Asadar
,
d(p) + d(q) ≤ d(p) + (n − d(p) − 1)
=n−1

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

19 / 32
Teorema Ore

Demonstratie; Continuare.
,
Din cele de mai sus reiese c˘, ˆ
a ıntrucˆ ˆ G sˆ d(p) vˆ
ıt ın
ınt
ırfuri adiacente cu p,
trebuie s˘ fie cel putin d(p) + 1 vˆ
a
ırfuri neadiacente cu q.
,
Asadar
,
d(p) + d(q) ≤ d(p) + (n − d(p) − 1)
=n−1

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

19 / 32
Conditii suficiente
,
Teorem˘ (Dirac)
a
Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si δ(G) ≥ n , atunci G este
a
,
2
Hamilton.
Teorema Dirac poate fi demonstrat˘ ca un corolar al teoremei Ore.
a
Dar istoric, ˆ ıi a fost publicat˘ acest˘ teorem˘ si doar peste cˆ, iva ani a
ıntˆ
a
a
a ,
ıt
fost publicat˘ teorema Ore.
a
Pe de alt˘ parte ambele teoreme sˆ generalizate de urm˘toarea teorem˘:
a
ınt
a
a

Teorem˘ (Pos´)
a
a
Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice k,
a
,
1 ≤ k ≤ n−1 , num˘rul de vˆ
a
ırfuri cu grad mai mica sau egal cu k nu ˆ
ıntrece
2
k.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

20 / 32
Conditii suficiente
,
Teorem˘ (Dirac)
a
Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si δ(G) ≥ n , atunci G este
a
,
2
Hamilton.
Teorema Dirac poate fi demonstrat˘ ca un corolar al teoremei Ore.
a
Dar istoric, ˆ ıi a fost publicat˘ acest˘ teorem˘ si doar peste cˆ, iva ani a
ıntˆ
a
a
a ,
ıt
fost publicat˘ teorema Ore.
a
Pe de alt˘ parte ambele teoreme sˆ generalizate de urm˘toarea teorem˘:
a
ınt
a
a

Teorem˘ (Pos´)
a
a
Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice k,
a
,
1 ≤ k ≤ n−1 , num˘rul de vˆ
a
ırfuri cu grad mai mica sau egal cu k nu ˆ
ıntrece
2
k.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

20 / 32
Conditii suficiente
,
Teorem˘ (Dirac)
a
Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si δ(G) ≥ n , atunci G este
a
,
2
Hamilton.
Teorema Dirac poate fi demonstrat˘ ca un corolar al teoremei Ore.
a
Dar istoric, ˆ ıi a fost publicat˘ acest˘ teorem˘ si doar peste cˆ, iva ani a
ıntˆ
a
a
a ,
ıt
fost publicat˘ teorema Ore.
a
Pe de alt˘ parte ambele teoreme sˆ generalizate de urm˘toarea teorem˘:
a
ınt
a
a

Teorem˘ (Pos´)
a
a
Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice k,
a
,
1 ≤ k ≤ n−1 , num˘rul de vˆ
a
ırfuri cu grad mai mica sau egal cu k nu ˆ
ıntrece
2
k.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

20 / 32
Conditii suficiente
,
Teorem˘ (Dirac)
a
Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si δ(G) ≥ n , atunci G este
a
,
2
Hamilton.
Teorema Dirac poate fi demonstrat˘ ca un corolar al teoremei Ore.
a
Dar istoric, ˆ ıi a fost publicat˘ acest˘ teorem˘ si doar peste cˆ, iva ani a
ıntˆ
a
a
a ,
ıt
fost publicat˘ teorema Ore.
a
Pe de alt˘ parte ambele teoreme sˆ generalizate de urm˘toarea teorem˘:
a
ınt
a
a

Teorem˘ (Pos´)
a
a
Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice k,
a
,
1 ≤ k ≤ n−1 , num˘rul de vˆ
a
ırfuri cu grad mai mica sau egal cu k nu ˆ
ıntrece
2
k.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

20 / 32
Conditii necesare
,
Teorem˘
a
Dac˘ un graf bipartit cu bipartitia {X , Y } este hamiltonian atunci
a
,
|X | = |Y |; dac˘ graful este semi-hamiltonian atunci ||X | − |Y || ≤ 1.
a

Demonstratie.
¸
Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }.
,
Presupunem c˘ G contine un lant hamiltonian:
a
,
,
v1 , v2 , ..., vn .
Dac˘ v1 ∈ X atunci v2 ∈ Y , v3 ∈ X , v4 ∈ Y etc.
a

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

21 / 32
Conditii necesare
,
Teorem˘
a
Dac˘ un graf bipartit cu bipartitia {X , Y } este hamiltonian atunci
a
,
|X | = |Y |; dac˘ graful este semi-hamiltonian atunci ||X | − |Y || ≤ 1.
a

Demonstratie.
¸
Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }.
,
Presupunem c˘ G contine un lant hamiltonian:
a
,
,
v1 , v2 , ..., vn .
Dac˘ v1 ∈ X atunci v2 ∈ Y , v3 ∈ X , v4 ∈ Y etc.
a

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

21 / 32
Conditii necesare
,
Teorem˘
a
Dac˘ un graf bipartit cu bipartitia {X , Y } este hamiltonian atunci
a
,
|X | = |Y |; dac˘ graful este semi-hamiltonian atunci ||X | − |Y || ≤ 1.
a

Demonstratie.
¸
Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }.
,
Presupunem c˘ G contine un lant hamiltonian:
a
,
,
v1 , v2 , ..., vn .
Dac˘ v1 ∈ X atunci v2 ∈ Y , v3 ∈ X , v4 ∈ Y etc.
a

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

21 / 32
Conditii necesare
,
Teorem˘
a
Dac˘ un graf bipartit cu bipartitia {X , Y } este hamiltonian atunci
a
,
|X | = |Y |; dac˘ graful este semi-hamiltonian atunci ||X | − |Y || ≤ 1.
a

Demonstratie.
¸
Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }.
,
Presupunem c˘ G contine un lant hamiltonian:
a
,
,
v1 , v2 , ..., vn .
Dac˘ v1 ∈ X atunci v2 ∈ Y , v3 ∈ X , v4 ∈ Y etc.
a

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

21 / 32
Conditii necesare
,

Demonstratie; Continuare.
,
Asadar X = {v1 , v3 , ...} (vˆ
ırfurile cu indice impar) si Y = {v2 , v4 , ...}
,
,
(vˆ
ırfurile cu indice par).
Rezult˘ c˘, dac˘ n este par atunci |X | = |Y | = n ; dac˘ n este impar
a a
a
a
2
atunci |X | = n+1 , iar |Y | = n−1 .
2
2
ˆ ambele cazuri diferenta dintre |X | si |Y | este cel mult 1.
In
,
,
Dac˘ G contine un ciclu hamiltonian si v1 ∈ X , atunci vn ∈ Y ; adic˘ n
a
a
,
,
este par si |X | = |Y |.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

22 / 32
Conditii necesare
,

Demonstratie; Continuare.
,
Asadar X = {v1 , v3 , ...} (vˆ
ırfurile cu indice impar) si Y = {v2 , v4 , ...}
,
,
(vˆ
ırfurile cu indice par).
Rezult˘ c˘, dac˘ n este par atunci |X | = |Y | = n ; dac˘ n este impar
a a
a
a
2
atunci |X | = n+1 , iar |Y | = n−1 .
2
2
ˆ ambele cazuri diferenta dintre |X | si |Y | este cel mult 1.
In
,
,
Dac˘ G contine un ciclu hamiltonian si v1 ∈ X , atunci vn ∈ Y ; adic˘ n
a
a
,
,
este par si |X | = |Y |.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

22 / 32
Conditii necesare
,

Demonstratie; Continuare.
,
Asadar X = {v1 , v3 , ...} (vˆ
ırfurile cu indice impar) si Y = {v2 , v4 , ...}
,
,
(vˆ
ırfurile cu indice par).
Rezult˘ c˘, dac˘ n este par atunci |X | = |Y | = n ; dac˘ n este impar
a a
a
a
2
atunci |X | = n+1 , iar |Y | = n−1 .
2
2
ˆ ambele cazuri diferenta dintre |X | si |Y | este cel mult 1.
In
,
,
Dac˘ G contine un ciclu hamiltonian si v1 ∈ X , atunci vn ∈ Y ; adic˘ n
a
a
,
,
este par si |X | = |Y |.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

22 / 32
Conditii necesare
,

Demonstratie; Continuare.
,
Asadar X = {v1 , v3 , ...} (vˆ
ırfurile cu indice impar) si Y = {v2 , v4 , ...}
,
,
(vˆ
ırfurile cu indice par).
Rezult˘ c˘, dac˘ n este par atunci |X | = |Y | = n ; dac˘ n este impar
a a
a
a
2
atunci |X | = n+1 , iar |Y | = n−1 .
2
2
ˆ ambele cazuri diferenta dintre |X | si |Y | este cel mult 1.
In
,
,
Dac˘ G contine un ciclu hamiltonian si v1 ∈ X , atunci vn ∈ Y ; adic˘ n
a
a
,
,
este par si |X | = |Y |.
,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

22 / 32
Secvente de grade hamiltoniene
,

Definitie
,
a
O secvent˘ (a1 , a2 , ..., an ) de numere naturale se numeste hamiltonian˘
,a
dac˘ orice graf pe n vˆ
a
ırfuri cu secventa de grade mai mare sau egal˘
a
,
punctual decˆ (a1 , a2 , ..., an ) este hamiltonian.
ıt
O secvent˘ (b1 , b2 , ..., bn ) de numere naturale este mai mare sau egal˘
a
,a
punctual decˆ alt˘ secvent˘ (a1 , a2 , ..., an ) [de numere naturale], dac˘
ıt a
a
a
,
bi ≥ ai , 1 ≤ i ≤ n.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

23 / 32
Secvente de grade hamiltoniene
,

Definitie
,
a
O secvent˘ (a1 , a2 , ..., an ) de numere naturale se numeste hamiltonian˘
,a
dac˘ orice graf pe n vˆ
a
ırfuri cu secventa de grade mai mare sau egal˘
a
,
punctual decˆ (a1 , a2 , ..., an ) este hamiltonian.
ıt
O secvent˘ (b1 , b2 , ..., bn ) de numere naturale este mai mare sau egal˘
a
,a
punctual decˆ alt˘ secvent˘ (a1 , a2 , ..., an ) [de numere naturale], dac˘
ıt a
a
a
,
bi ≥ ai , 1 ≤ i ≤ n.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

23 / 32
Conditii suficiente si necesare
,
,

Teorem˘ (Chv´tal)
a
a
a
O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale, n ≥ 3, este hamiltonian˘
,a
dac˘ si numai dac˘
a ,
a
di ≤ i ⇒ dn−1 ≥ n − i,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

∀i <

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

n
.
2

B˘lti, 2013
a,

24 / 32
Secvente de grade semi-hamiltoniene
,
Definitie
,
O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale se numeste
,a
semi-hamiltonian˘ dac˘ orice graf pe n vˆ
a
a
ırfuri cu secventa de grade mai
,
mare sau egal˘ punctual decˆ (d1 , d2 , ..., dn ) este semi-hamiltonian.
a
ıt

Corolar
O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale, n ≥ 2 si
,a
,
0 ≤ d1 ≤ d2 ≤ ... ≤ dn < n este semi-hamiltonian˘ dac˘ si numai dac˘
a
a ,
a
di < i ⇒ dn+1−i ≥ n − i,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

∀i ≤

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

n
.
2

B˘lti, 2013
a,

25 / 32
Secvente de grade semi-hamiltoniene
,
Definitie
,
O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale se numeste
,a
semi-hamiltonian˘ dac˘ orice graf pe n vˆ
a
a
ırfuri cu secventa de grade mai
,
mare sau egal˘ punctual decˆ (d1 , d2 , ..., dn ) este semi-hamiltonian.
a
ıt

Corolar
O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale, n ≥ 2 si
,a
,
0 ≤ d1 ≤ d2 ≤ ... ≤ dn < n este semi-hamiltonian˘ dac˘ si numai dac˘
a
a ,
a
di < i ⇒ dn+1−i ≥ n − i,

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

∀i ≤

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

n
.
2

B˘lti, 2013
a,

25 / 32
ˆ
Inchiderea [unui graf]

Definitie
,
Fiind dat un graf G, numim ˆ
ınchiderea lui G, notat˘ prin cl(G), graful
a
obtinut prin aplicarea recursiv˘ a urm˘torului algoritm:
a
a
,
1. orice dou˘ vˆ
a ırfuri neadiacente u si v cu d(u) + d(v) ≥ n se unesc
,
printr-o muchie;
2. pasul anterior se aplic˘ atˆ timp cˆ exist˘ astfel de vˆ
a ıta
ıt
a
ırfuri.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

26 / 32
ˆ
Inchiderea
v1
u0

u1

v2

v1
v0

u0

u1

v2

v3

v3

G; |G| = 6

d(v1 ) + d(v3 ) ≥ 6
v1

u0

u1

v0

v2

v1
v0

u0

u1

v2

v0

v3

v3

d(u1 ) + d(v1 ) ≥ 6

d(u1 ) + d(v3 ) ≥ 6

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

27 / 32
ˆ
Inchiderea
v1
u0

u1

v2

v1
v0

u0

u1

v2

v0

v3

v3

d(u0 ) + d(v2 ) ≥ 6

d(u1 ) + d(v0 ) ≥ 6

v1
u0

u1

v2

v0

cl(G)

v3
d(v2 ) + d(v0 ) ≥ 6

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

28 / 32
ˆ
Inchiderea

u

u

v

x

v

x

z

y

z

y

G; |G| = 5

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

cl(G)

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

29 / 32
Conditii suficiente si necesare
,
,

Teorem˘ (Bondy-Chv´tal)
a
a
Un graf G este hamiltonian dac˘ si numai dac˘ cl(G) este hamiltonian.
a ,
a

Corolar
Dac˘ ˆ
a ınchiderea unui graf G este graf complet atunci G este hamiltonian.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

30 / 32
Conditii suficiente si necesare
,
,

Teorem˘ (Bondy-Chv´tal)
a
a
Un graf G este hamiltonian dac˘ si numai dac˘ cl(G) este hamiltonian.
a ,
a

Corolar
Dac˘ ˆ
a ınchiderea unui graf G este graf complet atunci G este hamiltonian.

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

30 / 32
Graful liniilor
Graful liniilor al unui grafului G este graful L(G) pe E(G) ˆ care dou˘
ın
a
vˆ
ırfuri sˆ vecine dac˘ si numai dac˘ muchiile corespunz˘toare ˆ G sˆ
ınt
a ,
a
a
ın
ınt
vecine.
f
e
e
g

f

g
G

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

L(G)

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

31 / 32
Graful liniilor
Graful liniilor al unui grafului G este graful L(G) pe E(G) ˆ care dou˘
ın
a
vˆ
ırfuri sˆ vecine dac˘ si numai dac˘ muchiile corespunz˘toare ˆ G sˆ
ınt
a ,
a
a
ın
ınt
vecine.
f
e
e
g

f

g
G

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

L(G)

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

31 / 32
Graful liniilor

Orice ciclu eulerian din G se transform˘ ˆ
a ıntr-un ciclu hamiltonian ˆ L(G).
ın

Teorem˘
a
Dac˘ un graf G este eulerian atunci graful liniilor L(G) este hamiltonian.
a

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

32 / 32
Graful liniilor

Orice ciclu eulerian din G se transform˘ ˆ
a ıntr-un ciclu hamiltonian ˆ L(G).
ın

Teorem˘
a
Dac˘ un graf G este eulerian atunci graful liniilor L(G) este hamiltonian.
a

R. Dumbr˘veanu (USARB)
a

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

B˘lti, 2013
a,

32 / 32

Contenu connexe

Tendances (20)

Factorii geoecologici
Factorii geoecologiciFactorii geoecologici
Factorii geoecologici
 
Seceta si desertificare
Seceta si desertificareSeceta si desertificare
Seceta si desertificare
 
Temperatura aerului si precipitatiile
Temperatura aerului si precipitatiileTemperatura aerului si precipitatiile
Temperatura aerului si precipitatiile
 
Parameciul
ParameciulParameciul
Parameciul
 
Fractii
FractiiFractii
Fractii
 
Moluste
MolusteMoluste
Moluste
 
Chimia in gospodarie
Chimia  in  gospodarieChimia  in  gospodarie
Chimia in gospodarie
 
Clasa 7
Clasa 7Clasa 7
Clasa 7
 
Www.power point.ro 1932-franta
Www.power point.ro 1932-frantaWww.power point.ro 1932-franta
Www.power point.ro 1932-franta
 
Amfibieni
AmfibieniAmfibieni
Amfibieni
 
Prezentare Pi
Prezentare PiPrezentare Pi
Prezentare Pi
 
Boli ale sistemlui circulator la om
Boli ale sistemlui circulator la omBoli ale sistemlui circulator la om
Boli ale sistemlui circulator la om
 
Reptile
ReptileReptile
Reptile
 
Hazardele hidrologice
Hazardele hidrologiceHazardele hidrologice
Hazardele hidrologice
 
Sectiunea de aur
Sectiunea de aurSectiunea de aur
Sectiunea de aur
 
Adolescenta
Adolescenta Adolescenta
Adolescenta
 
Mitologia greacă
Mitologia greacăMitologia greacă
Mitologia greacă
 
Rebus
RebusRebus
Rebus
 
Sistemul educational finlandez
Sistemul educational finlandezSistemul educational finlandez
Sistemul educational finlandez
 
India dinu ionut marian power point
India dinu ionut marian power point India dinu ionut marian power point
India dinu ionut marian power point
 

Plus de Radu Dumbrăveanu

About extensions of mappings into topologically complete spaces
About extensions of mappings into topologically complete spacesAbout extensions of mappings into topologically complete spaces
About extensions of mappings into topologically complete spacesRadu Dumbrăveanu
 
Structuri discrete - Curs5: Calculul propozițional
Structuri discrete - Curs5: Calculul propoziționalStructuri discrete - Curs5: Calculul propozițional
Structuri discrete - Curs5: Calculul propoziționalRadu Dumbrăveanu
 
Structuri discrete - Curs3: Relații
Structuri discrete - Curs3: RelațiiStructuri discrete - Curs3: Relații
Structuri discrete - Curs3: RelațiiRadu Dumbrăveanu
 
Structuri discrete - Curs1: Mulțimi
Structuri discrete - Curs1: MulțimiStructuri discrete - Curs1: Mulțimi
Structuri discrete - Curs1: MulțimiRadu Dumbrăveanu
 
Curs 6: Cuplaje; Factorizări
Curs 6: Cuplaje; FactorizăriCurs 6: Cuplaje; Factorizări
Curs 6: Cuplaje; FactorizăriRadu Dumbrăveanu
 
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operații
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; OperațiiCurs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operații
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; OperațiiRadu Dumbrăveanu
 
Curs 1: Grafuri; Introducere
Curs 1: Grafuri; IntroducereCurs 1: Grafuri; Introducere
Curs 1: Grafuri; IntroducereRadu Dumbrăveanu
 
Metode de autentificare în moodle
Metode de autentificare în moodleMetode de autentificare în moodle
Metode de autentificare în moodleRadu Dumbrăveanu
 
Experiences of Moodle Administration
Experiences of Moodle AdministrationExperiences of Moodle Administration
Experiences of Moodle AdministrationRadu Dumbrăveanu
 

Plus de Radu Dumbrăveanu (17)

What is git?
What is git?What is git?
What is git?
 
About extensions of mappings into topologically complete spaces
About extensions of mappings into topologically complete spacesAbout extensions of mappings into topologically complete spaces
About extensions of mappings into topologically complete spaces
 
Structuri discrete - Curs5: Calculul propozițional
Structuri discrete - Curs5: Calculul propoziționalStructuri discrete - Curs5: Calculul propozițional
Structuri discrete - Curs5: Calculul propozițional
 
Structuri discrete - Curs3: Relații
Structuri discrete - Curs3: RelațiiStructuri discrete - Curs3: Relații
Structuri discrete - Curs3: Relații
 
Structuri discrete - Curs1: Mulțimi
Structuri discrete - Curs1: MulțimiStructuri discrete - Curs1: Mulțimi
Structuri discrete - Curs1: Mulțimi
 
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientateCurs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
 
Curs 8: Grafuri planare
Curs 8: Grafuri planareCurs 8: Grafuri planare
Curs 8: Grafuri planare
 
Curs 7: Colorare
Curs 7: ColorareCurs 7: Colorare
Curs 7: Colorare
 
Curs 6: Cuplaje; Factorizări
Curs 6: Cuplaje; FactorizăriCurs 6: Cuplaje; Factorizări
Curs 6: Cuplaje; Factorizări
 
Curs 5: Conexitate
Curs 5: ConexitateCurs 5: Conexitate
Curs 5: Conexitate
 
Curs 4: Arbori
Curs 4: ArboriCurs 4: Arbori
Curs 4: Arbori
 
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operații
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; OperațiiCurs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operații
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operații
 
Curs 1: Grafuri; Introducere
Curs 1: Grafuri; IntroducereCurs 1: Grafuri; Introducere
Curs 1: Grafuri; Introducere
 
GNU Parallel și GNU Stow
GNU Parallel și GNU StowGNU Parallel și GNU Stow
GNU Parallel și GNU Stow
 
Metode de autentificare în moodle
Metode de autentificare în moodleMetode de autentificare în moodle
Metode de autentificare în moodle
 
Experiences of Moodle Administration
Experiences of Moodle AdministrationExperiences of Moodle Administration
Experiences of Moodle Administration
 
Presentation
PresentationPresentation
Presentation
 

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

  • 1. Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton Teoria grafurilor Radu Dumbr˘veanu a Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti a, Facultatea de Stiinte Reale , , Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a a ¸ ¸ Distribuire-ˆ ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0) ¸ a B˘lti, 2013 a, R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 1 / 32
  • 2. Problema postasului chinez , , Pentru prima dat˘ problema a fost publicat˘ de matematicianul chinez a a Mei-Ko Kwan (1962). De aici si denumirea problemei. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 2 / 32
  • 3. Problema postasului chinez , , Pentru prima dat˘ problema a fost publicat˘ de matematicianul chinez a a Mei-Ko Kwan (1962). De aici si denumirea problemei. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 2 / 32
  • 4. Ciclu Euler; Graf Euler Un ciclu simplu, dintr-un graf conex, care contine toate muchiile grafului , se numeste ciclu Euler (sau ciclu eulerian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Euler se numeste graf Euler (sau , , , graf eulerian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: ˆ In a a a ıntr-un ciclu eulerian nu este , permis˘ repetitia muchiilor, dar se pot repeta vˆ a ırfurile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 3 / 32
  • 5. Ciclu Euler; Graf Euler Un ciclu simplu, dintr-un graf conex, care contine toate muchiile grafului , se numeste ciclu Euler (sau ciclu eulerian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Euler se numeste graf Euler (sau , , , graf eulerian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: ˆ In a a a ıntr-un ciclu eulerian nu este , permis˘ repetitia muchiilor, dar se pot repeta vˆ a ırfurile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 3 / 32
  • 6. Ciclu Euler; Graf Euler Un ciclu simplu, dintr-un graf conex, care contine toate muchiile grafului , se numeste ciclu Euler (sau ciclu eulerian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Euler se numeste graf Euler (sau , , , graf eulerian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: ˆ In a a a ıntr-un ciclu eulerian nu este , permis˘ repetitia muchiilor, dar se pot repeta vˆ a ırfurile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 3 / 32
  • 7. Ciclu Euler; Graf Euler Un ciclu simplu, dintr-un graf conex, care contine toate muchiile grafului , se numeste ciclu Euler (sau ciclu eulerian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Euler se numeste graf Euler (sau , , , graf eulerian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: ˆ In a a a ıntr-un ciclu eulerian nu este , permis˘ repetitia muchiilor, dar se pot repeta vˆ a ırfurile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 3 / 32
  • 8. Exemple v1 u0 u1 v2 v1 u0 v0 u1 v3 v2 v0 v3 Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) nu este Euler, iar al doilea este Euler. v1 u0 u1 v2 v0 v3 Ciclul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este eulerian. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 4 / 32
  • 9. Exemple v1 u0 u1 v2 v1 u0 v0 u1 v3 v2 v0 v3 Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) nu este Euler, iar al doilea este Euler. v1 u0 u1 v2 v0 v3 Ciclul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este eulerian. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 4 / 32
  • 10. Exemple v1 u0 u1 v2 v1 u0 v0 u1 v3 v2 v0 v3 Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) nu este Euler, iar al doilea este Euler. v1 u0 u1 v2 v0 v3 Ciclul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este eulerian. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 4 / 32
  • 11. Lant Euler; Graf semi-Euler , ˆ Intr-un graf conex, un lant simplu care contine toate muchiile grafului se , , numeste lant Euler (sau lant eulerian). , , , Un graf care contine cel putin un lant Euler se numeste graf semi-Euler , , , , (sau graf semi-eulerian). Un lant eulerian se mai numeste traseu eulerian. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 5 / 32
  • 12. Lant Euler; Graf semi-Euler , ˆ Intr-un graf conex, un lant simplu care contine toate muchiile grafului se , , numeste lant Euler (sau lant eulerian). , , , Un graf care contine cel putin un lant Euler se numeste graf semi-Euler , , , , (sau graf semi-eulerian). Un lant eulerian se mai numeste traseu eulerian. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 5 / 32
  • 13. Lant Euler; Graf semi-Euler , ˆ Intr-un graf conex, un lant simplu care contine toate muchiile grafului se , , numeste lant Euler (sau lant eulerian). , , , Un graf care contine cel putin un lant Euler se numeste graf semi-Euler , , , , (sau graf semi-eulerian). Un lant eulerian se mai numeste traseu eulerian. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 5 / 32
  • 14. Exemple v1 u0 u1 v2 v1 u0 v0 u1 v3 v2 v0 v3 Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) nu este semi-Euler, iar al doilea este semi-Euler. v1 u0 u1 v2 v0 v3 Lantul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este semi-eulerian. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 6 / 32
  • 15. Exemple v1 u0 u1 v2 v1 u0 v0 u1 v3 v2 v0 v3 Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) nu este semi-Euler, iar al doilea este semi-Euler. v1 u0 u1 v2 v0 v3 Lantul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este semi-eulerian. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 6 / 32
  • 16. Exemple v1 u0 u1 v2 v1 u0 v0 u1 v3 v2 v0 v3 Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) nu este semi-Euler, iar al doilea este semi-Euler. v1 u0 u1 v2 v0 v3 Lantul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este semi-eulerian. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 6 / 32
  • 17. Conditie necesar˘ si suficient˘ a , a , Teorem˘ (Euler) a Un graf conex este eulerian dac˘ ¸i numai dac˘ oricare vˆ al s˘u are as a ırf a gradul par. Teorem˘ a Un graf conex este semi-eulerian dac˘ ¸i numai dac˘ cel mult dou˘ vˆ as a a ırfuri ale sale au grad impar. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 7 / 32
  • 18. Conditie necesar˘ si suficient˘ a , a , Teorem˘ (Euler) a Un graf conex este eulerian dac˘ ¸i numai dac˘ oricare vˆ al s˘u are as a ırf a gradul par. Teorem˘ a Un graf conex este semi-eulerian dac˘ ¸i numai dac˘ cel mult dou˘ vˆ as a a ırfuri ale sale au grad impar. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 7 / 32
  • 19. Eulerizare Grafurile care nu sˆ euleriene pot fi transformate ˆ grafuri euleriene. ınt ın Dublˆ unele muchii existente putem face ca toate vˆ ınd ırfurile s˘ aib˘ grad a a par. Graful obtinut va fi eulerian. Iar procedeul de dublare a muchiilor cu , scopul de a obtine un graf eulerian se numeste eulerizare. , , Nu este permis ad˘ugare de muchii ˆ a ıntre vˆ ırfurile care nu-s vecine; este permis doar dublarea muchiilor existente. O euleriazare se numeste bun˘ dac˘ contine num˘rul minim de muchii noi. a a a , , Num˘rul minim de muchii necesare pentru eulerizarea unui graf G se a numeste num˘rul de eulerizare si se noteaz˘ ecc(G). a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 8 / 32
  • 20. Eulerizare Grafurile care nu sˆ euleriene pot fi transformate ˆ grafuri euleriene. ınt ın Dublˆ unele muchii existente putem face ca toate vˆ ınd ırfurile s˘ aib˘ grad a a par. Graful obtinut va fi eulerian. Iar procedeul de dublare a muchiilor cu , scopul de a obtine un graf eulerian se numeste eulerizare. , , Nu este permis ad˘ugare de muchii ˆ a ıntre vˆ ırfurile care nu-s vecine; este permis doar dublarea muchiilor existente. O euleriazare se numeste bun˘ dac˘ contine num˘rul minim de muchii noi. a a a , , Num˘rul minim de muchii necesare pentru eulerizarea unui graf G se a numeste num˘rul de eulerizare si se noteaz˘ ecc(G). a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 8 / 32
  • 21. Eulerizare Grafurile care nu sˆ euleriene pot fi transformate ˆ grafuri euleriene. ınt ın Dublˆ unele muchii existente putem face ca toate vˆ ınd ırfurile s˘ aib˘ grad a a par. Graful obtinut va fi eulerian. Iar procedeul de dublare a muchiilor cu , scopul de a obtine un graf eulerian se numeste eulerizare. , , Nu este permis ad˘ugare de muchii ˆ a ıntre vˆ ırfurile care nu-s vecine; este permis doar dublarea muchiilor existente. O euleriazare se numeste bun˘ dac˘ contine num˘rul minim de muchii noi. a a a , , Num˘rul minim de muchii necesare pentru eulerizarea unui graf G se a numeste num˘rul de eulerizare si se noteaz˘ ecc(G). a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 8 / 32
  • 22. Eulerizare Grafurile care nu sˆ euleriene pot fi transformate ˆ grafuri euleriene. ınt ın Dublˆ unele muchii existente putem face ca toate vˆ ınd ırfurile s˘ aib˘ grad a a par. Graful obtinut va fi eulerian. Iar procedeul de dublare a muchiilor cu , scopul de a obtine un graf eulerian se numeste eulerizare. , , Nu este permis ad˘ugare de muchii ˆ a ıntre vˆ ırfurile care nu-s vecine; este permis doar dublarea muchiilor existente. O euleriazare se numeste bun˘ dac˘ contine num˘rul minim de muchii noi. a a a , , Num˘rul minim de muchii necesare pentru eulerizarea unui graf G se a numeste num˘rul de eulerizare si se noteaz˘ ecc(G). a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 8 / 32
  • 23. Eulerizare v1 u0 u1 v2 v0 v3 Graful de mai sus, nefiind Euler, poate fi eulerizat ˆ felulurile urm˘toare: ın a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 9 / 32
  • 24. Eulerizare v1 u0 u1 v2 v0 v3 Graful de mai sus, nefiind Euler, poate fi eulerizat ˆ felulurile urm˘toare: ın a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 9 / 32
  • 25. Eulerizare v1 u0 u1 v2 v0 v3 Graful de mai sus, nefiind Euler, poate fi eulerizat ˆ felulurile urm˘toare: ın a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 9 / 32
  • 26. Problema Comis-Voiajorului R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 10 / 32
  • 27. Ciclu Hamilton; Graf Hamilton Un ciclu elementar, dintr-un graf conex, care contine toate vˆ ırfurile , grafului se numeste ciclu Hamilton (sau ciclu hamiltonian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Hamilton se numeste graf , , , Hamilton (sau graf hamiltonian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: un ciclu hamiltonian trebuie In a a a , treac˘ prin toate vˆ a ırfurile grafului, dar nu si prin toate muchiile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 11 / 32
  • 28. Ciclu Hamilton; Graf Hamilton Un ciclu elementar, dintr-un graf conex, care contine toate vˆ ırfurile , grafului se numeste ciclu Hamilton (sau ciclu hamiltonian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Hamilton se numeste graf , , , Hamilton (sau graf hamiltonian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: un ciclu hamiltonian trebuie In a a a , treac˘ prin toate vˆ a ırfurile grafului, dar nu si prin toate muchiile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 11 / 32
  • 29. Ciclu Hamilton; Graf Hamilton Un ciclu elementar, dintr-un graf conex, care contine toate vˆ ırfurile , grafului se numeste ciclu Hamilton (sau ciclu hamiltonian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Hamilton se numeste graf , , , Hamilton (sau graf hamiltonian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: un ciclu hamiltonian trebuie In a a a , treac˘ prin toate vˆ a ırfurile grafului, dar nu si prin toate muchiile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 11 / 32
  • 30. Exemple v1 u0 u1 v2 u v0 v z v3 x y Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) este Hamilton, iar al doilea nu este Hamilton. v1 u0 u1 v2 v0 v3 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 12 / 32
  • 31. Exemple v1 u0 u1 v2 u v0 v z v3 x y Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) este Hamilton, iar al doilea nu este Hamilton. v1 u0 u1 v2 v0 v3 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 12 / 32
  • 32. Exemple v1 u0 u1 v2 u v0 v z v3 x y Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) este Hamilton, iar al doilea nu este Hamilton. v1 u0 u1 v2 v0 v3 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 12 / 32
  • 33. Ciclu Hamilton; Graf Hamilton Evident, grafurile Cn sˆ hamiltoniene, pentru orice n; grafurile Kn sˆ ınt ınt hamiltoniene pentru n ≥ 3. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 13 / 32
  • 34. Lant Hamilton; Graf semi-Hamilton , ˆ Intr-un graf conex, un lant elementar care contine toate vˆ ırfurile grafului se , , numeste lant Hamilton (sau lant hamiltonian). , , , Un graf care contine cel putin un lant Hamilton se numeste graf , , , , semi-Hamilton (sau graf semi-hamiltonian). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 14 / 32
  • 35. Exemple u v x z y Graful de mai sus este semi-hamiltonian. u v z R. Dumbr˘veanu (USARB) a x y Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 15 / 32
  • 36. Exemple u v x z y Graful de mai sus este semi-hamiltonian. u v z R. Dumbr˘veanu (USARB) a x y Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 15 / 32
  • 37. Exemple u v x z y Graful de mai sus este semi-hamiltonian. u v z R. Dumbr˘veanu (USARB) a x y Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 15 / 32
  • 38. Conditii suficiente , Teorem˘ (Ore) a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice dou˘ vˆ a a ırfuri , neadiacente u si v avem , d(u) + d(v) ≥ n, (1) atunci G este Hamilton. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 16 / 32
  • 39. Teorema Ore Demonstratie. ¸ Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘. a a Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ a a ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei a , ıns˘ ˆ a nu este hamiltonian. Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ a ınt ırfuri) alegem graful cu cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G. a a Fie p si q dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de ın , , maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian. Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din a a a , G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G. ın ın ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 17 / 32
  • 40. Teorema Ore Demonstratie. ¸ Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘. a a Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ a a ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei a , ıns˘ ˆ a nu este hamiltonian. Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ a ınt ırfuri) alegem graful cu cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G. a a Fie p si q dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de ın , , maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian. Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din a a a , G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G. ın ın ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 17 / 32
  • 41. Teorema Ore Demonstratie. ¸ Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘. a a Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ a a ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei a , ıns˘ ˆ a nu este hamiltonian. Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ a ınt ırfuri) alegem graful cu cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G. a a Fie p si q dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de ın , , maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian. Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din a a a , G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G. ın ın ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 17 / 32
  • 42. Teorema Ore Demonstratie. ¸ Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘. a a Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ a a ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei a , ıns˘ ˆ a nu este hamiltonian. Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ a ınt ırfuri) alegem graful cu cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G. a a Fie p si q dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de ın , , maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian. Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din a a a , G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G. ın ın ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 17 / 32
  • 43. Teorema Ore Demonstratie. ¸ Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘. a a Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ a a ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei a , ıns˘ ˆ a nu este hamiltonian. Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ a ınt ırfuri) alegem graful cu cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G. a a Fie p si q dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de ın , , maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian. Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din a a a , G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G. ın ın ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 17 / 32
  • 44. Teorema Ore Demonstratie. ¸ Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘. a a Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ a a ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei a , ıns˘ ˆ a nu este hamiltonian. Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ a ınt ırfuri) alegem graful cu cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G. a a Fie p si q dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de ın , , maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian. Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din a a a , G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G. ın ın ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 17 / 32
  • 45. Teorema Ore Demonstratie; Continuare. , Fie un oarecare ciclu hamiltonian ˆ G + xy: ın p, v1 , v2 , ..., vn−2 , q, p. (2) Observ˘m c˘ dac˘ vi este adiacent cu p atunci vi−1 nu poate fi adiacent a a a cu q; ˆ caz contrar ciclul: ın p, v1 , v2 , vi−1 , q, vn−2 , vn−3 , vn−4 , ..., vi , p este hamiltonian ˆ G. ın p R. Dumbr˘veanu (USARB) a v1 vi−1 vi Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton vn−2 q B˘lti, 2013 a, 18 / 32
  • 46. Teorema Ore Demonstratie; Continuare. , Fie un oarecare ciclu hamiltonian ˆ G + xy: ın p, v1 , v2 , ..., vn−2 , q, p. (2) Observ˘m c˘ dac˘ vi este adiacent cu p atunci vi−1 nu poate fi adiacent a a a cu q; ˆ caz contrar ciclul: ın p, v1 , v2 , vi−1 , q, vn−2 , vn−3 , vn−4 , ..., vi , p este hamiltonian ˆ G. ın p R. Dumbr˘veanu (USARB) a v1 vi−1 vi Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton vn−2 q B˘lti, 2013 a, 18 / 32
  • 47. Teorema Ore Demonstratie; Continuare. , Fie un oarecare ciclu hamiltonian ˆ G + xy: ın p, v1 , v2 , ..., vn−2 , q, p. (2) Observ˘m c˘ dac˘ vi este adiacent cu p atunci vi−1 nu poate fi adiacent a a a cu q; ˆ caz contrar ciclul: ın p, v1 , v2 , vi−1 , q, vn−2 , vn−3 , vn−4 , ..., vi , p este hamiltonian ˆ G. ın p R. Dumbr˘veanu (USARB) a v1 vi−1 vi Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton vn−2 q B˘lti, 2013 a, 18 / 32
  • 48. Teorema Ore Demonstratie; Continuare. , Din cele de mai sus reiese c˘, ˆ a ıntrucˆ ˆ G sˆ d(p) vˆ ıt ın ınt ırfuri adiacente cu p, trebuie s˘ fie cel putin d(p) + 1 vˆ a ırfuri neadiacente cu q. , Asadar , d(p) + d(q) ≤ d(p) + (n − d(p) − 1) =n−1 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 19 / 32
  • 49. Teorema Ore Demonstratie; Continuare. , Din cele de mai sus reiese c˘, ˆ a ıntrucˆ ˆ G sˆ d(p) vˆ ıt ın ınt ırfuri adiacente cu p, trebuie s˘ fie cel putin d(p) + 1 vˆ a ırfuri neadiacente cu q. , Asadar , d(p) + d(q) ≤ d(p) + (n − d(p) − 1) =n−1 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 19 / 32
  • 50. Conditii suficiente , Teorem˘ (Dirac) a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si δ(G) ≥ n , atunci G este a , 2 Hamilton. Teorema Dirac poate fi demonstrat˘ ca un corolar al teoremei Ore. a Dar istoric, ˆ ıi a fost publicat˘ acest˘ teorem˘ si doar peste cˆ, iva ani a ıntˆ a a a , ıt fost publicat˘ teorema Ore. a Pe de alt˘ parte ambele teoreme sˆ generalizate de urm˘toarea teorem˘: a ınt a a Teorem˘ (Pos´) a a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice k, a , 1 ≤ k ≤ n−1 , num˘rul de vˆ a ırfuri cu grad mai mica sau egal cu k nu ˆ ıntrece 2 k. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 20 / 32
  • 51. Conditii suficiente , Teorem˘ (Dirac) a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si δ(G) ≥ n , atunci G este a , 2 Hamilton. Teorema Dirac poate fi demonstrat˘ ca un corolar al teoremei Ore. a Dar istoric, ˆ ıi a fost publicat˘ acest˘ teorem˘ si doar peste cˆ, iva ani a ıntˆ a a a , ıt fost publicat˘ teorema Ore. a Pe de alt˘ parte ambele teoreme sˆ generalizate de urm˘toarea teorem˘: a ınt a a Teorem˘ (Pos´) a a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice k, a , 1 ≤ k ≤ n−1 , num˘rul de vˆ a ırfuri cu grad mai mica sau egal cu k nu ˆ ıntrece 2 k. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 20 / 32
  • 52. Conditii suficiente , Teorem˘ (Dirac) a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si δ(G) ≥ n , atunci G este a , 2 Hamilton. Teorema Dirac poate fi demonstrat˘ ca un corolar al teoremei Ore. a Dar istoric, ˆ ıi a fost publicat˘ acest˘ teorem˘ si doar peste cˆ, iva ani a ıntˆ a a a , ıt fost publicat˘ teorema Ore. a Pe de alt˘ parte ambele teoreme sˆ generalizate de urm˘toarea teorem˘: a ınt a a Teorem˘ (Pos´) a a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice k, a , 1 ≤ k ≤ n−1 , num˘rul de vˆ a ırfuri cu grad mai mica sau egal cu k nu ˆ ıntrece 2 k. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 20 / 32
  • 53. Conditii suficiente , Teorem˘ (Dirac) a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si δ(G) ≥ n , atunci G este a , 2 Hamilton. Teorema Dirac poate fi demonstrat˘ ca un corolar al teoremei Ore. a Dar istoric, ˆ ıi a fost publicat˘ acest˘ teorem˘ si doar peste cˆ, iva ani a ıntˆ a a a , ıt fost publicat˘ teorema Ore. a Pe de alt˘ parte ambele teoreme sˆ generalizate de urm˘toarea teorem˘: a ınt a a Teorem˘ (Pos´) a a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice k, a , 1 ≤ k ≤ n−1 , num˘rul de vˆ a ırfuri cu grad mai mica sau egal cu k nu ˆ ıntrece 2 k. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 20 / 32
  • 54. Conditii necesare , Teorem˘ a Dac˘ un graf bipartit cu bipartitia {X , Y } este hamiltonian atunci a , |X | = |Y |; dac˘ graful este semi-hamiltonian atunci ||X | − |Y || ≤ 1. a Demonstratie. ¸ Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }. , Presupunem c˘ G contine un lant hamiltonian: a , , v1 , v2 , ..., vn . Dac˘ v1 ∈ X atunci v2 ∈ Y , v3 ∈ X , v4 ∈ Y etc. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 21 / 32
  • 55. Conditii necesare , Teorem˘ a Dac˘ un graf bipartit cu bipartitia {X , Y } este hamiltonian atunci a , |X | = |Y |; dac˘ graful este semi-hamiltonian atunci ||X | − |Y || ≤ 1. a Demonstratie. ¸ Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }. , Presupunem c˘ G contine un lant hamiltonian: a , , v1 , v2 , ..., vn . Dac˘ v1 ∈ X atunci v2 ∈ Y , v3 ∈ X , v4 ∈ Y etc. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 21 / 32
  • 56. Conditii necesare , Teorem˘ a Dac˘ un graf bipartit cu bipartitia {X , Y } este hamiltonian atunci a , |X | = |Y |; dac˘ graful este semi-hamiltonian atunci ||X | − |Y || ≤ 1. a Demonstratie. ¸ Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }. , Presupunem c˘ G contine un lant hamiltonian: a , , v1 , v2 , ..., vn . Dac˘ v1 ∈ X atunci v2 ∈ Y , v3 ∈ X , v4 ∈ Y etc. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 21 / 32
  • 57. Conditii necesare , Teorem˘ a Dac˘ un graf bipartit cu bipartitia {X , Y } este hamiltonian atunci a , |X | = |Y |; dac˘ graful este semi-hamiltonian atunci ||X | − |Y || ≤ 1. a Demonstratie. ¸ Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }. , Presupunem c˘ G contine un lant hamiltonian: a , , v1 , v2 , ..., vn . Dac˘ v1 ∈ X atunci v2 ∈ Y , v3 ∈ X , v4 ∈ Y etc. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 21 / 32
  • 58. Conditii necesare , Demonstratie; Continuare. , Asadar X = {v1 , v3 , ...} (vˆ ırfurile cu indice impar) si Y = {v2 , v4 , ...} , , (vˆ ırfurile cu indice par). Rezult˘ c˘, dac˘ n este par atunci |X | = |Y | = n ; dac˘ n este impar a a a a 2 atunci |X | = n+1 , iar |Y | = n−1 . 2 2 ˆ ambele cazuri diferenta dintre |X | si |Y | este cel mult 1. In , , Dac˘ G contine un ciclu hamiltonian si v1 ∈ X , atunci vn ∈ Y ; adic˘ n a a , , este par si |X | = |Y |. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 22 / 32
  • 59. Conditii necesare , Demonstratie; Continuare. , Asadar X = {v1 , v3 , ...} (vˆ ırfurile cu indice impar) si Y = {v2 , v4 , ...} , , (vˆ ırfurile cu indice par). Rezult˘ c˘, dac˘ n este par atunci |X | = |Y | = n ; dac˘ n este impar a a a a 2 atunci |X | = n+1 , iar |Y | = n−1 . 2 2 ˆ ambele cazuri diferenta dintre |X | si |Y | este cel mult 1. In , , Dac˘ G contine un ciclu hamiltonian si v1 ∈ X , atunci vn ∈ Y ; adic˘ n a a , , este par si |X | = |Y |. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 22 / 32
  • 60. Conditii necesare , Demonstratie; Continuare. , Asadar X = {v1 , v3 , ...} (vˆ ırfurile cu indice impar) si Y = {v2 , v4 , ...} , , (vˆ ırfurile cu indice par). Rezult˘ c˘, dac˘ n este par atunci |X | = |Y | = n ; dac˘ n este impar a a a a 2 atunci |X | = n+1 , iar |Y | = n−1 . 2 2 ˆ ambele cazuri diferenta dintre |X | si |Y | este cel mult 1. In , , Dac˘ G contine un ciclu hamiltonian si v1 ∈ X , atunci vn ∈ Y ; adic˘ n a a , , este par si |X | = |Y |. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 22 / 32
  • 61. Conditii necesare , Demonstratie; Continuare. , Asadar X = {v1 , v3 , ...} (vˆ ırfurile cu indice impar) si Y = {v2 , v4 , ...} , , (vˆ ırfurile cu indice par). Rezult˘ c˘, dac˘ n este par atunci |X | = |Y | = n ; dac˘ n este impar a a a a 2 atunci |X | = n+1 , iar |Y | = n−1 . 2 2 ˆ ambele cazuri diferenta dintre |X | si |Y | este cel mult 1. In , , Dac˘ G contine un ciclu hamiltonian si v1 ∈ X , atunci vn ∈ Y ; adic˘ n a a , , este par si |X | = |Y |. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 22 / 32
  • 62. Secvente de grade hamiltoniene , Definitie , a O secvent˘ (a1 , a2 , ..., an ) de numere naturale se numeste hamiltonian˘ ,a dac˘ orice graf pe n vˆ a ırfuri cu secventa de grade mai mare sau egal˘ a , punctual decˆ (a1 , a2 , ..., an ) este hamiltonian. ıt O secvent˘ (b1 , b2 , ..., bn ) de numere naturale este mai mare sau egal˘ a ,a punctual decˆ alt˘ secvent˘ (a1 , a2 , ..., an ) [de numere naturale], dac˘ ıt a a a , bi ≥ ai , 1 ≤ i ≤ n. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 23 / 32
  • 63. Secvente de grade hamiltoniene , Definitie , a O secvent˘ (a1 , a2 , ..., an ) de numere naturale se numeste hamiltonian˘ ,a dac˘ orice graf pe n vˆ a ırfuri cu secventa de grade mai mare sau egal˘ a , punctual decˆ (a1 , a2 , ..., an ) este hamiltonian. ıt O secvent˘ (b1 , b2 , ..., bn ) de numere naturale este mai mare sau egal˘ a ,a punctual decˆ alt˘ secvent˘ (a1 , a2 , ..., an ) [de numere naturale], dac˘ ıt a a a , bi ≥ ai , 1 ≤ i ≤ n. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 23 / 32
  • 64. Conditii suficiente si necesare , , Teorem˘ (Chv´tal) a a a O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale, n ≥ 3, este hamiltonian˘ ,a dac˘ si numai dac˘ a , a di ≤ i ⇒ dn−1 ≥ n − i, R. Dumbr˘veanu (USARB) a ∀i < Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton n . 2 B˘lti, 2013 a, 24 / 32
  • 65. Secvente de grade semi-hamiltoniene , Definitie , O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale se numeste ,a semi-hamiltonian˘ dac˘ orice graf pe n vˆ a a ırfuri cu secventa de grade mai , mare sau egal˘ punctual decˆ (d1 , d2 , ..., dn ) este semi-hamiltonian. a ıt Corolar O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale, n ≥ 2 si ,a , 0 ≤ d1 ≤ d2 ≤ ... ≤ dn < n este semi-hamiltonian˘ dac˘ si numai dac˘ a a , a di < i ⇒ dn+1−i ≥ n − i, R. Dumbr˘veanu (USARB) a ∀i ≤ Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton n . 2 B˘lti, 2013 a, 25 / 32
  • 66. Secvente de grade semi-hamiltoniene , Definitie , O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale se numeste ,a semi-hamiltonian˘ dac˘ orice graf pe n vˆ a a ırfuri cu secventa de grade mai , mare sau egal˘ punctual decˆ (d1 , d2 , ..., dn ) este semi-hamiltonian. a ıt Corolar O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale, n ≥ 2 si ,a , 0 ≤ d1 ≤ d2 ≤ ... ≤ dn < n este semi-hamiltonian˘ dac˘ si numai dac˘ a a , a di < i ⇒ dn+1−i ≥ n − i, R. Dumbr˘veanu (USARB) a ∀i ≤ Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton n . 2 B˘lti, 2013 a, 25 / 32
  • 67. ˆ Inchiderea [unui graf] Definitie , Fiind dat un graf G, numim ˆ ınchiderea lui G, notat˘ prin cl(G), graful a obtinut prin aplicarea recursiv˘ a urm˘torului algoritm: a a , 1. orice dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente u si v cu d(u) + d(v) ≥ n se unesc , printr-o muchie; 2. pasul anterior se aplic˘ atˆ timp cˆ exist˘ astfel de vˆ a ıta ıt a ırfuri. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 26 / 32
  • 68. ˆ Inchiderea v1 u0 u1 v2 v1 v0 u0 u1 v2 v3 v3 G; |G| = 6 d(v1 ) + d(v3 ) ≥ 6 v1 u0 u1 v0 v2 v1 v0 u0 u1 v2 v0 v3 v3 d(u1 ) + d(v1 ) ≥ 6 d(u1 ) + d(v3 ) ≥ 6 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 27 / 32
  • 69. ˆ Inchiderea v1 u0 u1 v2 v1 v0 u0 u1 v2 v0 v3 v3 d(u0 ) + d(v2 ) ≥ 6 d(u1 ) + d(v0 ) ≥ 6 v1 u0 u1 v2 v0 cl(G) v3 d(v2 ) + d(v0 ) ≥ 6 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 28 / 32
  • 70. ˆ Inchiderea u u v x v x z y z y G; |G| = 5 R. Dumbr˘veanu (USARB) a cl(G) Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 29 / 32
  • 71. Conditii suficiente si necesare , , Teorem˘ (Bondy-Chv´tal) a a Un graf G este hamiltonian dac˘ si numai dac˘ cl(G) este hamiltonian. a , a Corolar Dac˘ ˆ a ınchiderea unui graf G este graf complet atunci G este hamiltonian. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 30 / 32
  • 72. Conditii suficiente si necesare , , Teorem˘ (Bondy-Chv´tal) a a Un graf G este hamiltonian dac˘ si numai dac˘ cl(G) este hamiltonian. a , a Corolar Dac˘ ˆ a ınchiderea unui graf G este graf complet atunci G este hamiltonian. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 30 / 32
  • 73. Graful liniilor Graful liniilor al unui grafului G este graful L(G) pe E(G) ˆ care dou˘ ın a vˆ ırfuri sˆ vecine dac˘ si numai dac˘ muchiile corespunz˘toare ˆ G sˆ ınt a , a a ın ınt vecine. f e e g f g G R. Dumbr˘veanu (USARB) a L(G) Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 31 / 32
  • 74. Graful liniilor Graful liniilor al unui grafului G este graful L(G) pe E(G) ˆ care dou˘ ın a vˆ ırfuri sˆ vecine dac˘ si numai dac˘ muchiile corespunz˘toare ˆ G sˆ ınt a , a a ın ınt vecine. f e e g f g G R. Dumbr˘veanu (USARB) a L(G) Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 31 / 32
  • 75. Graful liniilor Orice ciclu eulerian din G se transform˘ ˆ a ıntr-un ciclu hamiltonian ˆ L(G). ın Teorem˘ a Dac˘ un graf G este eulerian atunci graful liniilor L(G) este hamiltonian. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 32 / 32
  • 76. Graful liniilor Orice ciclu eulerian din G se transform˘ ˆ a ıntr-un ciclu hamiltonian ˆ L(G). ın Teorem˘ a Dac˘ un graf G este eulerian atunci graful liniilor L(G) este hamiltonian. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 32 / 32