1. Curs 9: Grafuri orientate
Teoria grafurilor
Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti
a,
Facultatea de Stiinte Reale
,
,
Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a
a
¸
¸
Distribuire-ˆ
ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0)
¸
a
B˘lti, 2013
a,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
1/1

2. Graf orientat; Arce
Definitie
,
Un graf orientat este o pereche G = (V , E) de multimi unde E este o
,
multime de perechi ordonate de elemente din V .
,
Elementele multimii V se numesc vˆ
ırfurile grafului G; elementele multimii
,
,
E se numesc arcele grafului G.
Multimea arcelor este o submultime a produsului cartezian V × V .
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
2/1

3. Reprezentarea grafic˘
a
v
x
u
z
y
G = ({u, v, x, y, z}, {(u, v), (u, x), (u, y), (u, z)})
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
3/1

4. Reprezentarea grafic˘
a
v
x
u
z
y
H = (V , E) unde V = {u, v, x, y, z}, E = {vx, xy, zy, vz}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
4/1

5. Grade
Gradul exterior al vˆ
ırfului v se noteaz˘ d + (v) ¸i este egal cu num˘rul de
a
s
a
arce care au ca extremitate initial˘ pe v.
¸ a
Gradul interior al vˆ
ırfului v se noteaz˘ d − (v) ¸i este egal cu num˘rul de
a
s
a
arce care au ca extremitate final˘ pe v.
a
Se numeste succesor al vˆ
ırfului v oirce vˆ la care ajunge un arc care iese
ırf
,
din vˆ
ırful v
Se numeste predecesor al vˆ
ırfului vˆ orice vˆ la care intr˘ un arc in
ırf
ırf
a
,
vˆ
ırful v
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
5/1

6. Grade
v
x
u
z
y
Succesorul vˆ
ırfului x este y; predecesorul lui x este v.
Grade interioare si exterioare: d − (x) = d + (x) = 1; d − (y) = 2 si
,
,
d + (y) = 0.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
6/1

7. Drum; Circuit
Se numeste drum ˆ
¸
ıntr-un graf orientat o secvent˘ de vˆ
¸a
ırfuri v1 , v2 , ..., vn ,
astfel ˆ ıt pentru oricare dou˘ vˆ
ıncˆ
a ırfuri consecutive vi ¸i vi+1 exist˘ arcul
s
a
(vi , vi+1 ).
Un drum ˆ
ınchis, ˆ
ınceputul si sfˆ , itul coincid, se numeste circuit.
ırs
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
7/1

8. Drum vs Lant; Circuit vs ciclu
,
v1
v4
v2
v0
v3
Drum de la v0 la v3 : (v0 , v1 , v2 , v3 ).
Lant care nu este drum: (v1 , v2 , v4 ).
,
ˆ general nu exist˘ drumuri care s˘ se termine ˆ v4 .
In
a
a
ın
Cicuit: v1 , v2 , v3 , v1 .
Ciclu, dar nu si circuit: v0 , v1 , v3 , v0 .
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
8/1

9. Secvente infinite de vˆ
ırfuri
,
Lemma
a
ırfuri (v0 , v1 , ...) astfel ˆ ıt
ıncˆ
Dac˘ un digraf contine o secvent˘ infinit˘ de vˆ
a
,
,a
vi−1 vi este un arc pentru orice i > 0, atunci G contine un circuit.
,
v2
v1
v3
v7
v0
v4
v5
v6
Exemplu de secventa infinit˘ cu prorietatea c˘ vi−1 vi este un arc pentru orice i:
a
a
,
(v0 , v1 , ..., v5 , v6 , v0 , v1 , ..., v5 , v6 , ...).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
9/1

10. Secvente infinite de vˆ
ırfuri
,
Demonstratie.
¸
Graful G are un num˘r finit de vˆ
a
ırfuri; reiese c˘ ˆ secvent˘ sˆ vˆ
a ın
, a ınt ırfuri care
se repet˘.
a
Fie c˘ vi = vj pentru un careva i < j si toti vk , i < k < j sˆ diferiti (nu
a
ınt
,
,
,
se repet˘ ˆ acest diapazon).
a ın
Atunci vi , vi+1 , ..., vj este un ciclu ˆ G.
ın
Analog putem demonstra urm˘toarea lem˘:
a
a
Lemma
Dac˘ un digraf contine o secvent˘ infinit˘ de vˆ
a
a
ırfuri (v0 , v1 , ...) astfel ˆ ıt
ıncˆ
,
,a
vi+1 vi este un arc pentru orice i ≥ 0, atunci G contine un circuit.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
10 / 1

11. Surse si destinatii
,
,
Teorem˘
a
Un digraf f˘r˘ circuite contine cel putin un vˆ f˘r˘ succesori ¸i cel putin
aa
¸
ırf a a
s
¸
un vˆ f˘r˘ predecesori.
ırf a a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
11 / 1

12. Surse si destinatii
,
,
Demonstratie.
¸
Presupunem c˘ G nu contine vˆ
a
ırfuir f˘r˘ succesori.
aa
,
Alegem v0 ˆ baza presupunerii acesta are cel putin un succesor; alegem
ın
,
unul din ei, de exemplu v1 .
Pentru v1 este valabil˘ aceeasi presupunere, deci putem alege succserotul
a
,
v2 s.amd.m.d.
,
Dar atunci lema spune c˘ graful are circuite; Contradictie.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
12 / 1

13. Drumuri; Num˘r cromatic
a
Teorem˘
a
Orice graf orientat G contine un drum elementar de lungimea χ(G) − 1.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
13 / 1

14. Conexitate tare
ˆ
Intr-un digraf dou˘ vˆ
a ırfuri se numesc tare conexe dac˘ exist˘ un drum de
a
a
la primul vˆ spre al doilea si invers.
ırf
,
Un digraf este tare conex dac˘ orice dou˘ vˆ
a
a ırfuri sˆ tare conexe.
ınt
Vom considera c˘ orice vˆ este tare conex cu el ˆ asi.
a
ırf
ıns˘ ,
Un digraf este conex dac˘ ˆ
a ıntre orice dou˘ vˆ
a ırfuri exist˘ un lant.
a
,
ˆ
Intr-un digraf care nu este tare conex putem evidentia componente tari
,
[conexe].
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
14 / 1

15. Grafuri orientate remarcabile
Graf orientat complet pe n vˆ
ırfuri este graful ˆ care ˆ
ın
ıntre orice dou˘
a
vˆ
ırfuri exist˘ un arc.
a
ˆ general pe n vˆ
In
ırfuri putem construi mai multe grafuri complete.
Un graf orientat se numeste antisimetric dac˘ pentru oricare dou˘ vˆrfuri
¸
a
a a
din graf u ¸i v dac˘ exist˘ arcul (u, v), atunci nu exist˘ arcul (v, u).
s
a
a
a
Un graf orientat complet ¸i antisimetric se numeste graf turneu.
s
¸
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
15 / 1

16. Digraf asimetric; Turneu
v1
v2
v1
v0
v2
v3
v0
v3
Primul digraf este un turneu; al doilea nu este antisimetric si respectiv nu
,
poate fi turneu.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
16 / 1

17. Grafuri orientate remarcabile
Notatiile pentru grafurile remarcabile neorientate r˘mˆ aceleasi doar c˘
a ın
a
,
,
prefixate cu “D”;
Digraful circuit: DCn .
Digraful drum: DPn .
Digraful complet: DKn .
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
17 / 1

18. Orient˘ri
a
Un graf neorientat poate fi transformat ˆ
ıntr-un digraf asociind fiec˘rei
a
muchii o directie.
,
Acest proces se numeste orientare a grafului.
,
Dac˘ un graf neorientat are m muchii acesta poate orientat ˆ 2m moduri;
a
ın
ın
ınt
ˆ general printre aceste 2m digrafuri unele sˆ izomorfe.
O problem˘ practic˘ ˆ cazul orientarii grafurilor este de a orienta astfel
a
a ın
ıncˆ
a
ˆ ıt digraful rezultat s˘ fie tare conex.
O astfel de orientare se numeste orientare tare.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
18 / 1

19. Orient˘ri tari
a
Teorem˘
a
Un graf conex G are o orientare tare dac˘ si numai dac˘ orice muchie
a ,
a
apartine la cel putin un ciclu.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
19 / 1

20. Turnee
ˆ cazul cˆ avem o competitie sportiv˘ ˆ care fiecare participant trebuie
In
ınd
a ın
,
s˘ joace cu toti ceilalti participanti si rezultatul fiec˘rui joc este cˆ, tig sau
a
a
ıs
,
,
, ,
pierdere; acesta poate fi modelat˘ printr-un digraf.
a
Participantii reprezent˘m prin vˆ
a
ırfuri, iar dac˘ x a cˆ, tigat jucˆ cu y
a
ıs
ınd
,
ducem un arc de xy.
Pentru n participanti avem un graf orientat complet si asimetric; care se
,
,
numeste turneu.
,
Gradul exterior al unui vˆ este num˘rul de cˆ, tiguri al acestui participant.
ırf
a
ıs
Dac˘ avem arcul xy spunem c˘ x domin˘ y.
a
a
a
Un turneu este reductibil dac˘ multimea vˆ
a
ırfurilor poate fi partitionat˘ ˆ
a ın
,
,
dou˘ submultimi nevide X si Y astfel ˆ ıt fiecare vˆ din X domin˘
a
ıncˆ
ırf
a
,
,
fiecare vˆ din Y .
ırf
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
20 / 1

21. Turnee
Teorem˘
a
Un turneu este ireductibil dac˘ si numai dac˘ este tare conex.
a ,
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
21 / 1

22. Turnee
Demonstratie.
¸
Presupunem c˘ G este un turneu reductibil si fiecare vˆ din X domin˘
a
ırf
a
,
fiecare vˆ din Y .
ırf
Atunci nici un vˆ din X nu este accesibil din Y (nu exist˘ drum din Y
ırf
a
spre X ), deci G nu este tare conex.
Presupunem c˘ G nu este tare conex; fie dou˘ vˆ
a
a ırfuri u si v astfel ˆ ıt v
ıncˆ
,
nu este accesibil din u.
Not˘m prin X multimea tuturor vˆ
a
ırfurilor care nu-s accesibile din u.
,
Si prin Y multimea vˆ
ırfurilor care-s accesibile din u.
,
,
Atunci X si Y nu sˆ vide deoarece u ∈ X si v ∈ Y ; X ∩ Y = ∅ si
ınt
,
,
,
X ∪ Y = V (G).
ˆ plus orice vˆ din X domin˘ orice vˆ din Y . Deci G este reductibil.
In
ırf
a
ırf
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
22 / 1

23. Turnee
Corolar
Orice vˆ dintr-un turneu ireductibil apartine unui circuit de lungimea 3.
ırf
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
23 / 1

24. Turnee; Drum Hamilton
Un drum Hamilton este drum elementar care contine toate vˆ
ırfurile
,
digrafului
Teorem˘
a
Orice turneu contine un drum Hamilton.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
24 / 1

25. Turnee; Drum Hamilton
Demonstratie.
¸
Fie dat un turneu pe n vˆ
ırfuri; adic˘ un DKn .
a
ˆ baza unei teoreme anterioare ˆ DKn exist˘ un drum elementar de
In
ın
a
lungimea χ(DKn ) − 1.
Acesta este drumul Hamilton c˘utat deoarece χ(DKn ) = n − 1.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
25 / 1

26. Turnee; Circuit Hamilton
Teorem˘
a
Orice vˆ ˆ
ırf ıntr-un turneu tare conex pe n vˆ
ırfuri, n ≥ 3, apartine unui
,
circuit de lungimea k pentru orice 3 ≤ k ≤ n.
Corolar
Orice turneu tare conex contine un circuit Hamilton.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 9: Grafuri orientate
B˘lti, 2013
a,
26 / 1