3. Linguagens Regulares
● O estudo das linguagens regulares é abordado
usando os seguintes formalismos:
➔ Autômato Finito. Trata-se de um formalismo
operacional ou reconhecedor, sendo basicamente,
um sistema de estados finitos;
➔ Expressão Regular. Trata-se de um formalismo
denotacional, também considerado gerador, o qual
é definido a partir de conjuntos (linguagens)
básicos e das operações de concatenação e de
união;
➔ Gramática Regular. Trata-se de um formalismo
axiomático ou gerador o que, como o nome indica,
é uma gramática, mas com restrições de forma das
regras de produção.
Aspectos Teóricos da Computação 3/26
4. Expressão Regular
● Toda linguagem regular pode ser descrita por uma
expressão denominada Expressão Regular.
● Uma expressão regular é definida a partir de
conjuntos básicos (linguagens) e operações de
concatenação e de união.
● As expressões regulares são consideradas
adequadas para a comunicação humano x humano e,
principalmente, para a comunicação humano x
máquina.
● A expressão regular é a maneira mais compacta e
mais simples de descrever conjuntos regulares, e é
usada com essa finalidade em construção de
compiladores, editores, sistemas operacionais,
protocolos, etc.
Aspectos Teóricos da Computação 4/26
5. Expressão Regular, Linguagem Gerada
Uma Expressão Regular (frequentemente abreviada por ER) sobre um alfabeto ∑ é indutivamente
definida como segue:
a) Base de Indução.
a.1) A expressão :
Ø é expressão regular e denota a linguagem vazia.
a.2) A expressão:
ε é uma expressão regular e denota a linguagem que contém
exclusivamente a palavra vazia: {ε}
a.3) Para qualquer símbolo x Є ∑, a expressão:
X é uma expressão regular e denota a linguagem que contém
exclusivamente a palavra constituída pelo símbolo x: {x}
b) Passo de Indução. Se r e s são expressões regulares e denotam a linguagem R e S,
respectivamente, então:
b.1) União. A expressão (r+s) é expressão regular e denota a linguagem R U S
b.2) Concatenação. A expressão (rs) é expressão regular e denota a linguagem: R S = {uv | u Є
R e v Є S}
b.3) Concatenação sucessiva. A expressão (r*) é expressão regular e denota a linguagem R*
Se r é uma expressão regular, a correspondente linguagem denotada é dita a Linguagem Gerada
por r, sendo representada por:
L(r) ou GERA(R)
Aspectos Teóricos da Computação 5/26
6. Expressão Regular, Linguagem Gerada
A omissão de parênteses em uma ER é usual, respeitando
as seguintes convenções:
● A concatenação sucessiva tem precedência sobre a
concatenação e a união;
● A concatenação tem precedência sobre a união.
Aspectos Teóricos da Computação 6/26
7. Expressão Regular
Detalhando a linguagem gerada pela expressão (a+b)*(aa+bb),
vale que:
● a e b denotam {a} e {b}, respectivamente
● a + b denota {a} U {b} = {a,b} (Lembre-se que o elemento
vazio também está aqui.)
● (a+b)* denota {a,b}*
● aa e bb denotam {a}{a} = {aa} e {b}{b} = {bb},
respectivamente
● (aa + bb) denota {aa} U {bb} = {aa,bb}
● (a+b)*(aa+bb) denota {a,b}*{aa,bb}
Portanto, GERA((a+b)*(aa+bb)) correponde à seguinte linguagem:
{aa,bb,aaa,abb,baa,bbb,aaaa,aabb,abaa,abbb,baaa,babb,bbaa,bb
bb,...}
Aspectos Teóricos da Computação 7/26
8. Exemplo: Expressão Regular
Expressão Regular Linguagem Gerada
aa Somente a palavra aa
ba* Todas as palavras que iniciam por b, seguido por
zero ou mais a's
(a+b)* Todas as palavras sobre {a,b}
(a+b)*aa(a+b)* Todas as palavras contendo aa como subpalavra
a*ba*ba* Todas as palavras contendo exatamente dois b's
(a+b)*(aa+bb) Todas as palavras que terminam com aa ou bb.
(a+ε)(b+ba)* Todas as palavras que não possuem dois a
consecutivos.
Aspectos Teóricos da Computação 8/26
9. Expressão Regular → Linguagem Regular
Por definição, uma linguagem regular é regular
se, e somente se, é possível construir um
autômato finito (determinístico, não determinístico
ou de movimentos vazios) que reconheça essa
linguagem. Assim, dada uma expressão regular r
qualquer é possível construir um autômato finito.
Aspectos Teóricos da Computação 9/26
10. Expressão Regular Autômato Finito Correspondente
a a
b b
a* ε
ε a ε
ε
aa
a ε a
bb Єε b ε b
aa+bb a ε a
ε ε
ε ε
b ε b
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11. ER convertida para Autômato
a*(aa+bb)
a ε a
ε ε
ε
ε a ε
ε ε ε
b ε b
Aspectos Teóricos da Computação 11/26
12. Gramática Regular
Gramáticas Lineares
Seja G={V,T,P,S} uma gramática. Sejam A e B elementos de V e w uma palavra de T*.
Então G é uma Gramática Linear se todas as suas produções encontram-se em uma e
em somente uma das seguintes formas:
a) Gramática Linear à Direita (abreviada por GLD). Todas as regras de produção são da
forma:
A → wB ou A→w
b) Gramática Linear à Esquerda (abreviada por GLE). Todas as regras de produção são
da forma:
A → Bw ou A→w
c) Gramática Linear Unitária à Direita (abreviada por GLUD). Todas as regras de
produção são como na gramática linear à direita e, adicionalmente:
|w| <= 1
d) Gramática Linear Unitária à Esquerda (abreviada por GLUE). Todas as regras de
produção são como na gramática linear à esquerda e, adicionalmente:
|w| <=1
Aspectos Teóricos da Computação 12/26
13. Gramática Regular
Note-se que, nas gramáticas lineares, o lado direito de uma produção é constituído por,
no máximo, uma variável. Adicionalmente, esta variável, se existir, sempre antecede
(linear à esquerda) ou sucede (linear à direita) qualquer sub-palavra (eventualmente
vazia) de terminais.
Aspectos Teóricos da Computação 13/26
14. Equivalência das Gramáticas Regulares
Seja L uma linguagem. Então:
L é gerada por uma GLD se, e somente se,
L é gerada por uma GLE se, e somente se,
L é gerada por uma GLUD se, e somente se,
L é gerada por uma GLUE
● Ou seja, as diversas formas das gramáticas
lineares são formalismos equivalentes.
Aspectos Teóricos da Computação 14/26
15. Gramática Regular
Uma gramática G é dita uma Gramática Regular,
eventualmente abreviada GR, se G é uma
gramática linear.
Aspectos Teóricos da Computação 15/26
16. Linguagem Gerada
Seja G=(V, T, P, S) uma gramática. A Linguagem
Gerada pela gramática G, denotada por:
L(G) ou GERA(G)
É tal que:
L(G) = {w є T* | S → +w}
Aspectos Teóricos da Computação 16/26
17. Exemplo: Gramática Regular: a(ba)*
A linguagem a(ba)* é gerada pelas seguintes gramáticas regulares:
(a) Linear à Direita. G=({S,A}, {a,b}, P, S), e P possui as seguintes
regras de produção
S → aA
A → baA | ε
(b) Linear à Esquerda. G=({S}, {a,b}, P, S), e P possui as seguintes
regras de produção
S → Sba | a
(c)Linear Unitária à Direita. G=({S,A,B}, {a,b}, P, S), e P possui as
seguintes regras de produção
S → aA
A → bB | ε
B → aA
(d)Linear Unitária à Esquerda. G=({S,A}, {a,b}, P, S), e P possui as
seguintes regras de produção
S → Aa | a
A → Sb
Aspectos Teóricos da Computação 17/26
18. Gramática Regular: (a+b)*(aa+bb)
A linguagem (a+b)*(aa+bb) é gerada pelas
seguintes gramáticas regulares:
(a) Linear à Direita. G=({S,A}, {a,b}, P, S), e P
possui as seguintes regras de produção
S → aS | bS | A
A → aa | bb
(b) Linear à Esquerda. G=({S}, {a,b}, P, S), e P
possui as seguintes regras de produção
S → Aaa | Abb
A → Aa | Ab | ε
Aspectos Teóricos da Computação 18/26
19. Gramática Linear à Esquerda e Linear à Direita
Suponha |w| >= 1. Se uma gramática tiver
simultaneamente produções do tipo A → wB
(linear à direita) e do tipo A → Bw (linear a
esquerda), então a correspondente linguagem
gerada poderá não ser regular, ou seja, esta não
é uma gramática regular.
Por exemplo, a linguagem a seguir não é regular:
{ anbn | n є N }
Entretanto, é possível desenvolver uma
gramática, com produções lineares à direita e à
esquerda, que gera esta linguagem.
Aspectos Teóricos da Computação 19/26
20. Gramática Regular → Linguagem Regular
Se L é uma linguagem gerada por uma gramática regular, então L é uma linguagem
regular.
Prova: Por indução
Para mostrar que uma linguagem é regular, é suficiente construir um autômato finito que
a reconheça.
Suponha G=(V,T,P,S) uma gramática linear unitária à direita. Tipo da Transição
Então o AFNε : M=( ∑, Q,δ,q0, F) Produção Gerada
Tal que: (suponha qf não pertence a V): A→ε δ(A,ε) = qf
∑=T
A→a δ(A,a) = qf
Q = V U {qf}
F = {qf} A→B δ(A,ε) = B
q0 = S A → aB δ(A,a) = B
δ é construída como ilustrado na tabela (Suponha A e B variáveis e a terminal) simula as
derivações de G, ou seja:
ACEITA(M) = GERA(G)
A demonstração que, de fato, ACEITA(M) = GERA(G) é por indução no número de
derivações. (Vamos omitir essa demonstração mas ela pode ser vista na página 77 do
livro texto.)
Aspectos Teóricos da Computação 20/26
21. Exemplo: Construção de um AFNε a partir de uma
gramática regular
Considere a seguinte gramática linear unitária à direita,
G=({S,A,B},{a,b},P,S) onde P é tal que:
S → aA
A → bB | ε
B → aA
O AFNε que reconhece a linguagem gerada pela gramática G é:
5 minutos para fazer.
Aspectos Teóricos da Computação 21/26
22. Exemplo: Construção de um AFNε a partir de uma
gramática regular
Considere a seguinte gramática linear unitária à direita,
G=({S,A,B},{a,b},P,S) onde P é tal que:
S → aA
A → bB | ε
B → aA
O AFNε que reconhece a linguagem gerada pela gramática G é:
M = ({a,b}, {S,A,B,qf},δ,S,{qf})
Produção Transição
S → aA δ(S,a) = A S a A ε qf
A → bB δ(A,b) = B
A→ε δ(A,ε) = qf b a
B → aA δ(B,a) = A
B
Aspectos Teóricos da Computação 22/26
23. Construção de uma Gramática Regular a partir de um
AFD
Considere o autômato finito determinístico:
M = ({a,b,c}, {q0,q1,q2},δ,q0,{q0,q1,q2})
q0 b q1 c q2
a b c
A gramática correspondente regular construída é?
5 minutos.
Aspectos Teóricos da Computação 23/26
24. Construção de uma Gramática Regular a partir de um
AFD
Considere o autômato finito
determinístico:
M = ({a,b,c}, {q0,q1,q2},δ,q0,
{q0,q1,q2})
Transição Produção
q0 b q1 c q2 - S → q0
a b c - q0 → ε
- q1 → ε
A gramática correspondente - q2 → ε
regular construída é? δ(q0,a)=q0 q0 → aq0
δ(q0,b)=q1 q0 → bq1
G = ({q0,q1,q2,S}, {a,b,c}, P,S) δ(q1,b)=q1 q1 → bq1
onde P é dado pela tabela: δ(q1,c)=q2 q1 → cq2
δ(q2,c)=q2 q2 → cq2
Aspectos Teóricos da Computação 24/26
25. Ler
● Seçao 3.6 do livro.
Aspectos Teóricos da Computação 25/26
26. Exercícios
1. (Exercício 3.7 do livro) Desenvolva expressões regulares que gerem as seguintes linguagens sobre
∑ = {a,b}:
(a) {w | w tem no máximo um par de a como subpalavra e no máximo um par de b como subpalavra.
(b) {w | qualquer para de a antecede qualquer par de b}
(c) {w | w não possui aba como subpalavra}
2. Descreva em palavras as linguagens geradas pelas seguintes expressões regulares:
(a) (aa+b)*(a+bb)
(b) (b+ab)*(ε +a)
(c) (aa +bb + (aa+bb) (ab+ba)(aa+bb))*
Aspectos Teóricos da Computação 26/26
