1. Dokumen tersebut membahas tentang konsep-konsep penting dalam teori grup, yaitu centralizers, normalizers, center, dan stabilizers. Centralizers, normalizers, dan center merupakan subgrup-subgrup penting dalam suatu grup yang merefleksikan struktur grup tersebut. Stabilizers merupakan konsep yang berkaitan dengan aksi grup.

1. Centralizers, Normalizers, Center, Stabilizers Centralizers Misal ( G ,  ) adalah grup, dan misal A  G dengan A   Centralizers A di G dilambangkan dengan CG(A) adalah himpunan elemen-elemen di G yang komutatif dengan semua elemen A. CG(A) = { g  G  g  a = a  g , a A } karena g  a  g-1 = a jika dan hanya jika g  a = a  g maka centralizers tersebut dapat dinyatakan pula sebagai CG(A) = { g  G  g  a  g-1 = a , a G } Selanjutnya centralizers A di G adalah subrgup dari G. Untuk itu kita cukup menunjukkan bahwa CG(A)   dan x,y  CG(A) maka x  y-1  CG(A). Karena I a = a  I ,  a  A maka I  CG(A), dengan demikian CG(A)  . Asumsikan bahwa x  CG(A) berarti xG  x  a  x-1 = a ,  a  A , dan y  CG(A) berarti yG  y  a  y-1 = a ,  a  A. Kemudian xG dan yG maka x  y-1  G ................... (Karena G adlh grup)

2. Kita akan tunjukkan dulu bahwa ada y-1 CG(A) yaitu y  CG(A) maka y  a  y-1 = a ,  a  G y-1  (y  a  (y-1))  y = y-1  a  y (y-1  y)  a  (y-1)  y ) = y-1  a  y I  a  I = y-1  a  y a = y-1  a  y a = y-1  a  (y-1)-1 Ini berarti y-1 CG(A) . Selanjutnya ( x  y-1)  a  (x  y-1)-1 = ( x  y-1)  a  ((y-1)-1  x-1 ) .............. Idempoten = ( x  y-1)  a  ( y  x-1 ) ............... Sifat Invers = x  ( y-1  a  y )  x-1 ............... assosiatif = x  a  x-1 ............... y  CG(A) ( x  y-1)  a  (x  y-1)-1 = a ............... x  CG(A) Dengan demikian x  y-1 CG(A) . Jadi CG(A)  G

3. Contoh 1 : Diberikan (M6 , +) adalah grup, dengan M6 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } Jika A = { 0 , 2 , 4 } maka carilah CM6(A) ? Jawab : Dari contoh 2 jelas bahwa (M6 , +) adalah grup Abelian maka CG(A) = G Contoh 2 : Diberikan grup Dihedral-6 yaitu D6 = {1, r, r2, s, sr, sr2 } Jika B = { r, sr } maka tentukan CD6(B)

4. Jawab : Dengan menggunakan tabel berikut 2. Center dari grup G Misal ( G ,  ) adalah grup. Center G dilambangkan dengan Z(G) adalah himpunan elemen-elemen di G yang komutatif dengan semua elemen G. Z(G) = { g  G  g  a = a  g , a G } Perhatikan kembali center A di grup G yaitu CG(A) = { g  G  g  a = a  g , a A } Bila A kita ganti dengan G maka menjadi CG(G) = { g  G  g  a = a  g , a G } Ini sama dengan Z(G). Dengan demikian dapat dikatakan bahwa center dari G adalah centralizers G di G, atau Z(G) = CG(G)

5. Contoh 3 : Diberikan (M6 , +) adalah grup, dengan M6 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } Carilah Z(M6) ? Jawab : Operasi penjumlahan bersifat komutatif di M6 Karena untuk sebarang g  M6 berlaku g + a = a + g ,  a  M6 sehingga Z(M6) = M6 Contoh 4 : Diberikan grup Dihedral-3 yaitu D3 = {1, r, r2, s, sr, sr2 } Tentukan Z(D6) ? Jawab : 1  D6 dan 1 o x = x o 1 untuk setiap x  D6 sehingga 1 Z(D6) r  D6 dan r o x  x o r untuk setiap x  D6 sehingga r  Z(D6) r2 D6 dan r2 o x  x o r2 untuk setiap x  D6 sehingga r2  Z(D6) s  D6 dan s o x  x o s untuk setiap x  D6 sehingga s  Z(D6) sr  D6 dan sr o x  x o sr untuk setiap x  D6 sehingga sr  Z(D6) sr2 D6 dan sr2 o x  x o sr2 ,  x  D6 sehingga sr2  Z(D6) Jadi Z(D6) = { 1 }

6. Selanjutnya kita dapat menunjukkan bahwa Z(G)  G. Yaitu dengan syarat cukup dan perlu bagi subgrup seperti berikut Z(G)  G Z(G)   x, y  Z(G) maka x  y-1  Z(G) I  G berlaku I a = a  I ,  a  G maka I  Z(G), berarti Z(G)  . x  Z(G) berarti xG  x  a = a  x ,  a  G y  Z(G) berarti yG  y  a = a  y ,  a  G maka (x  y-1)  a = x  (y-1  a) ..... assosiatif = x  (a  y-1) ..... y-1  Z(G) = (x  a)  y-1 ..... assosiatif = (a  x)  y-1 ..... x  Z(G) = a  (x  y-1)

7. Catatan : 3. Normalizers Misal ( G ,  ) adalah grup. Didefinisikan g  A  g-1 = { g  a  g-1  a  A } Normalizers A di G dilambangkan dengan NG(A) = { g  G g  A  g-1 = A }. Jadi, dapat kita katakan bahwa normalizer A di G adalah himpunan unsur di yang memenuhi g  a  g-1  A. Contoh : Diberikan grup Dihedral-6 yaitu D6 = {1, r, r2, s, sr, sr2 } Jika A = { r, sr } maka Carilah ND6(A) ? Jawab : Perhatikan tabel berikut. Selanjutnya kita perhatikan bila (G ,  ) adalah grup abelian. Karena g  G komutatif dengan semua unsur di G sehingga berlaku g  a = a  g ,  a  G maka Z(G) = G atau g  a  g-1 = a ,  a  G maka CG(G) = G begitu pula jika A  G dan A   maka CG(A) = G

8.  A  A  A  A  A  A Jadi ND6(A) = { 1 } Selanjutnya kita perhatikan jika ( G ,  ) adalah grup abelian maka NG(A) = G. Ini karena g  A  g-1 = A ( g  A  g-1 )  g = A  g ( g  A )  ( g-1  g ) = A  g ( g  A )  I = A  g g  A = A  g Sedangkan untuk setiap a  A berlaku g  a = a  g ,  g  G maka NG(A) = G

9. Selanjutnya sama dengan Centralizer dan center, maka suatu normalizers A di G adalah subgrup dari G atau NG(A)  G. Untuk menunjukkan ini maka cukup ditunjukkan bahwa (i) NG(A)  , dan (ii) untuk suatu x , y  NG(A) maka x  y-1  NG(A) (syarat perlu dan cukup bagi subgrup). Bukti ini diserahkan untuk latihan pembaca. 4. Stabilizers Suatu fakta bahwa CG(A), Z(G) dan NG(A) adalah subgrup-subgrup dari G , maka dapat dideduksi sebagai kasus khusus pada aksi grup (group actions), yang mengindikasikan bahwa struktur G yang direfleksikan oleh suatu himpunan pada aksi yang dikenakan padanya, seperti berikut : Jika ( G ,  ) adalah grup yang beraksi pada himpunan S dan misal x adalah unsur yang tetap di S, maka Stabilizers dari x di G adalah himpunan Gx = { g  G  g  x = x } Kita dapat menunjukkan pula bahwa Gx G (subgrup dari G) seperti halnya centralizers dan yang lainnya. (bukti diserahkan untuk latihan pembaca).