1. Order dariElemen Definisi: Misal(G, ) adalahsebaranggrup. Misal a adalahsebarangelemendari G. Untuksuatubilanganbulatterkecil m yang memenuhiam= e (e adalahelemenidentitasdiG) maka m dikatakansebagaiorderdari a, dandituliskansebagaia = m. Dalamkasusini, jikatidakada m yang memenuhiam= e, kitakatakanbahwa a berorder infinite atau nol. Contoh : (1) Diberikangrup modulo 6 denganoperasijumlahatau (M6, +) M6= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } Elemenidentitasadalah 0 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 maka1 = 6 2 + 2 + 2 = 0 maka2 = 3 3 + 3 = 0 maka3 = 2 4 + 4 + 4 = 0 maka4 = 3 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 0 maka5 = 6 dan0 = 1

2. Diberikangrup (K , x ) dengan K = { i, -i, 1, -1 } Dengan membuat Tabel Cayley berikut maka kita mudah menentukan order masing-masing elemen Elemenidentitasadalah 1 ix i x i x i = 1 makai= 4 (-i) x (-i) x (-i) x (-i) = 1 maka-i = 4 (-1) x (-1) = 1 maka-1 = 2 dan1 = 1

3. 3. Diberikan (Z, +) adalahgrup. Padagrupini, elemenidentitasadalah 0 dan0 = 1 Apabilakitaperhatikanelemen-elemendi Z selain 0, makatidakadabilangan bulatpositif n (atausebanyak n) yang memenuhi n x a = 0 atau yang memenuhia + a + … + a = 0 (sebanyak n). Olehkarenanya, elemenselain 0 beroder infinite atau 0. Jadipadagrup (Z, +), tidakadaelemendi Z selain 0 yang beroder finite. Grup(Z, +) disebutsebagaigrup Torsion bebas. (tidakadaelemenpadagruptersebut yang beroder finite kecualiel. identitas). 4. Grup(Q –{0} , x) ; Q – {0} adalahhimp. bilanganrasional yang tidakmemuat 0. Elemenidentitasdari Q – {0} adalah 1 dan1 = 1 Apabilakitaperhatikanelemen -1 pada Q - {0} maka-1 = 2. Akantetapielemen-elemenselain 1 dan –1 pada Q – {0} beroderinfinteatau 0, karenatidakadabilanganbulatpositifterkecil n yang memenuhia = 1. Jadielemen 1 beorder 1 danelemen –1 berorder 2, akantetapisetiapelemen yang lain (kecuali 1 dan –1) adalahberorder infinite. Akibatnya(Q – {0}, x ) disebutmixed group.

4. Teorema 7 : Padagrup finite (terhingga), order darisetiapelemenadalah finite (terhingga) Bukti: Misal(G, ) adalahgrup. Misal a  G dan e  G adalahelemenidentitas. KarenaG tertutupterhadapoperasi o maka a a, a a a, dstadalahtermuat diG. Jugaelemen-elemen a, a2, … , ak, … , ahtidaksemuanyadapatberbeda. Misal ak= ahdengan k > h maka ak(a-h) = ah(a-h) ak-h= e akibatnyaa = k – h karenak > h maka k – h adalahbilanganbulatpositif. Misalk – h = m maka m adalahbilanganbulatpositifterhinggasedemikian hingga am= e. Akibatnyaa m. Order dari a adalah finite dan a adalahsebarangelemendari G, makaorder darigrup finite adalah finite. Teorema 8 : Order elemendarisuatugrupadalahselalusamadengan order dariinversnya. Bukti: Misal(G, ) adalahgrup, makaakankitatunjukkanbahwaa = a-1 untuksetiap a  G.

5. Andaikana = m dana-1 = n ( m  n ) a = m berartiam= e ( e = elemenidentitasdi G) sehingga (am )-1 = e a-m = e (a-1 )m= e iniberartia-1 m atau n  m Begitu pula a-1 = n berarti(a-1 )n= e (an )-1= e [(an )-1 ]-1= e-1 an = e Ini menujukkanbahwaa n atau m  n Karena m  n dan n  m maka m = n. Kontradiksidenganpengandaian. Jadia = a-1.

6. Teorema 9: Misal(G, ) adalahgrup. Untuksetiapa,b G makaa = b a b-1 Bukti: Misala = m maka m adalahbilanganbulatpositifterkecil yang memenuhi am= e ( e = elemenidentitasdi G) Selanjutnya (b a b-1)m= (b a b ) (b a b ) … (b a b ) Sebanyakm (b a b-1 )m= b a ( b b-1) a ( b b-1) a … a b-1 = b a e a e … a b-1 = b a a a … a b-1 = b amb-1 = b e b-1………….. (karena a = e ) = b b-1 = e

7. karena(b a b-1) = e dan m adalahbilanganbulatpositifterkecilmaka b a b  = m. Teorema 10 : Misal(G, ) adalahgrupmakaa b  = b a ,  a, b  G Bukti : Misal e adalahelemenidentitasdi G maka (a b ) = ( a b ) e ………… sifatidentitasdi G = ( a b ) (a a-1) ………. .. Ingat( a a-1) = e = a ( b a ) a-1 ………… assosiatifdi G akibatnyaa b = a (b a) a-1…….. (i) menurutteorema 9 makaa (b a) a-1= b a ……… (ii) dari (i) dan (ii) diperolehbahwaa b = b a

8. Teorema 11: Jikaa  G dana = n dan e adalahidentitasdi G berlakubahwauntuksuatu bilanganbulatpositif m denganam = e jikahanyajika n adlhpembagidari m Bukti : ( ) Misal(G, ) adalahgrup. Akanditunjukkanbahwaa  G danam= n yang berartian= e  n pembagidari m a  G dana = n danam = e maka m  n , untuksuatubilbulat m untukm = n makajelas n pembagidari m untukm > n makaberdasarkanalgoritmapembagianbahwaterdapat bilanganbulat q dan r sedemikianhingga m = q.n + r ; 0  r  n selanjutnyaam = e aqn+r = e (aqn) ar = e (an)qar = e eqar = e ar = e

9. r adalahbilanganbulat non negatif yang sedemikanhingga 0  r  n dan ar= e. Karena n adalahbilanganbulatpositifterkecilmaka r belumtentupositif. Akibatnyar = 0 sehingga m = qn. Iniberartibahwa n adalahpembagidari m. () akanditunjukkanbahwaa  G, a = n , m adalahbilanganbulatpositifdan n m am= e Bukti : n m maka m = qn , untuksuatubilanganbulatpositif q Akibatnyaam= anq am= (an)q am= eq am= e …………… terbukti Teorema 12: Misal(G, ) adalahgrup. Misal a  G dana = n , jika (p,n) = 1 makaap = n Bukti : a = n makaan= e ;(e = elemenidentitas) (an)p= ep

10. a np = e (ap)n = e berartiap n karena m  n makaap= m …………. (i) karena (p , n ) = 1 makadapatdituliskansebagaipq + mn = 1 (q,m Z) selanjutnya a = a a = aqp+mn a = aqpamn a = (ap)q(an)m a = (ap)qem a = (ap)qe a = (ap)q dan am= [(ap)q ]m am= (ap)qm

11. am = [(ap)q ]m am = eq………….. (lihat (i) ap= m atauapm= e) am = e karenan adalahbilanganbulatpositifterkecil yang memenuhian= e dantidak ada bilanganbulatpositif m yang lebihkecildari n ygmemenuhiam= e berartim n . Akibatnyam = n substitusipadabagian 1 makadiperolehap= n