Os sólidos platônicos foram estudados pelos antigos gregos como Pitágoras e Teeteto e foram proeminentes na filosofia de Platão. Existem apenas cinco sólidos platônicos devido às restrições sobre a soma dos ângulos internos nos vértices.

1. Os sólidos Platônicos

2. História
Os sólidos platônicos são conhecidos desde a
antiguidade. Foram encontradas pequenas peças de
pedra arredondadas, esculpidas pelos povos neolíticos
que habitavam a região da atual Escócia que já era uma
representação de suas propriedades.

3. História
Os antigos gregos estudaram
os sólidos platônicos à
exaustão. Algumas fontes
históricas (como Proclo)
creditam a Pitágoras sua
descoberta.Outras evidências
sugerem que ele apenas
conheceu o tetraedro, o
hexaedro (cubo) e o
dodecaedro.

4. História
Nesse caso, a descoberta do octaedro e do icosaedro
foram atribuídas a outro matemático grego: Teeteto,
amigo de Platão. De qualquer forma, foi Teeteto quem
deu uma descrição matemática outros poliedros
regulares convexos.

5. História
Os sólidos Platônicos são
proeminentes na filosofia de
Platão, como o próprio nome
já diz. Platão tratou deles no
diálogo de sua autoria
entitulado Timeu onde ele os
associa com cada um dos
quarto elementos clássicos
(terra, ar, água e fogo).

6. As chamas do fogo parecem afiadas e
pontiagudas, como um tetraedro. Este,
portanto, representa o fogo.

7. O ar é feito do octaedro ; seus componentes
minúsculos são tão suaves que quase
podemos sentir.

8. Água, o icosaedro, parece fluir pela mão de
quem tentar agarrá-lo, como se ele é fosse
feito de minúsculas bolinhas.

9. Por contraste, um sólido altamente nãoesférico como o hexaedro – o cubo –
representa a terra. O cubo, por seu formato,
é o responsável pela solidez do mundo
terrestre.

10. O quinto sólido platônico, o dodecaedro, é
muito obscuramente tratado por Platão: "...
o deus usou para organizar as constelações
de todo o céu ".
Aristóteles, posteriormente, acrescentou um quinto
elemento, Aither ( éter em latim) e postulou que os céus
foram feitos deste elemento , mas ele não tinha nenhum
interesse em combinar isso com o quinto sólidos de
Platão.

11. Por excêntrica e
fantástica que esta
teoria possa parecer a
nós, nos séculos XVI e
XVII foi levada a sério.
Mesmo que não fosse
completamente aceita,
como quando Johanes
Kepler começou suas
buscas sobre a ordem
matemática no mundo à
sua volta. Os desenhos
reproduzidos na figura
são ilustrações do
próprio Kepler sobre a
teoria atómica de
Platão.

12. Propriedades
•
Em geometria um sólido platônico é um
poliedro convexo onde:
1. Todas as faces são polígonos congruentes e regulares
2. O mesmo número de arestas encontra-se em todos os
vértices

13. Atividades
Clique no ícone do programa
Poly

14. Tetraedro
Observe um tetraedro no Poly, e responda:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Quantas Faces ele possui?
Quantas Arestas ele possui?
Quantos Vértices ele possui?
Quantos Vértices por face ele possui?
Quantos Encontros de faces em cada vértice
ele possui?
Qual polígono compõe as faces desse sólido?

15. Hexaedro (Cubo)
Observe um cubo no Poly, e responda:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Quantas Faces ele possui?
Quantas Arestas ele possui?
Quantos Vértices ele possui?
Quantos Vértices por face ele possui?
Quantos Encontros de faces em cada vértice
ele possui?
Qual polígono compõe as faces desse sólido?

16. Octaedro
Observe um octaedro no Poly, e responda:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Quantas Faces ele possui?
Quantas Arestas ele possui?
Quantos Vértices ele possui?
Quantos Vértices por face ele possui?
Quantos Encontros de faces em cada vértice
ele possui?
Qual polígono compõe as faces desse sólido?

17. Dodecaedro
Observe um dodecaedro no Poly, e
responda:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Quantas Faces ele possui?
Quantas Arestas ele possui?
Quantos Vértices ele possui?
Quantos Vértices por face ele possui?
Quantos Encontros de faces em cada vértice
ele possui?
Qual polígono compõe as faces desse sólido?

18. Icosaedro
Observe um tetraedro no Poly, e responda:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Quantas Faces ele possui?
Quantas Arestas ele possui?
Quantos Vértices ele possui?
Quantos Vértices por face ele possui?
Quantos Encontros de faces em cada vértice
ele possui?
Qual polígono compõe as faces desse sólido?

19. Relação de Euler em poliedros
regulares
Verifique se nos sólidos platônicos
também se cumpre a relação de Euler!
F + V – A = 2 ou F + V = A + 2
onde V é o número de vértices, A é o número de
arestas e F é o número de faces.

20. Por que não há mais sólidos
platônicos?
Como já foi dito, os gregos já haviam
provado que só podem haver 5 sólidos
com as propriedades dos sólidos
platônicos. A chave para essa
demonstração está no fato de que os
ângulos internos dos polígonos que se
encontram em um vértice do poliedro
devem somar menos que 360º .

21. Assim...
• Tetraedro: 3 triângulos em
um vértice: 3 x 60 = 180 graus
• Octaedro: 4 triângulos em
um a vértice: 4 x 60 = 240
graus

22. • Icosaedro: 5 triângulos
•
•
em um vértice: 5 x 60 =
300 graus
Cubo: 3 quadrados em
um vértice: 3 x 90 = 270
graus
Dodecaedro: 3
pentágonos em um
vértice: 3 x 108 = 324
graus

23. Acompanhe nas planificações do
Poly e...
1. Responda: Por que a soma
dos ângulos não pode ser
igual a 360?
2. E se tentássemos fazer um
poliedro de:
•
•
•
•
6 triângulos por vértice:
4 quadrados por vértice:
4 pentágonos por vértice:
3 hexágonos por vértice:
Conseguiríamos? Por que?

24. Investigue mais sobre o tema:
Na internet:
• http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid#
History (em inglês)
• http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com
(em português)
• http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/mathsolid/mathso
(em inglês)

25. Até a próxima!!