1. MOVIMIENTO
EN LÍNEA
RECTA
Toda misión lograda del nansbordador es-
pacial t~rmina coo un brev~ periodo de
movimiento rectilineo para detenerse en
la pista. Esta nave, no más gronde que un
jel comercial ordinario, toca tierra a más
de 350 km/h. Incluso con un paracaidas de
arrostre que le ayuda a frenar, la veloz nave
necesita hasta 3 km para detenerse.
¿Es correcto decir que el trans-
bordador espacial está acelerando
cuando frena hasta detenerse?
.......
; Cómo describimos el movimiento de unjer de combate lanzado. desde la
~ cubierta de un portaaviones? Cuando lanzamos una pelota verticalmen-
te, ¿qué tanto sube? Cuando se nos resbala un vaso de la mano, ¿cuánto tiempo te-
nemos para atraparlo antes de que choque con el piso? Éste es el tipo de preguntas
que aprenderá a contestar en este capítulo. Iniciamos nuestro estudio de la fisica
con la mecánica, el estudio de las relaciones entre: fuerza, materia y movimiento.
El objetivo de este capítulo y el siguiente es J.sarrollar métodos generales para
describir el movimiento. La parte de la mecánica que describe el movimiento es la
cillemárica. Después estudiaremos [a dinámica, o sea la relación entre el movi-
miento y sus causas.
En este capítulo estudiaremos el movimiento más simple: una partícula que
viaja en línea recta. A menudo usaremos una particula para modelar un cuerpo en
movimiento, si efectos tales como la rotación o el cambio de forma no son impor-
tantes. Para describir el movimiento de una partícula; introduciremos las cantidades
fisicas velocidad y acelerodón, que en fisica tienen dermic;:iones sencillas, aunque
son más precisas y un poco distintas de las empleadas en el lenguaje cotidiano. Si
se fija bien en las definiciones, trabajará mejor con estas y otras cantidades fisi·
cas importantes.
40
•

2. 2.1 I Desplazamiento, tiempo y velocidad media 41
Un aspeclo imponante de las definiciones de velocidad y aceleración en física
es que son vecrores. Como vimos en el capítulo 1, esto implica que tienen magni-
tud y dirección. Aquí nos interesa sólo el movimiento rectilíneo, por lo que no ne·
cesitaremos aÍln IOda el álgebra vectorial, pero en el capitulo 3 incluiremos en
nuestro estudio el movimiento en tres dimensiones, por ello será indispensable
usar vectores.
Un caso especial imponante del movimiento rectilíneo es cuando la acelera·
ción es constante, situación que encontraremos con frecuencia al esmdiar fisica.
Un ejemplo es el movimiento de un cuerpo que cae libremente. Deduciremos
ecuaciones sencillas para describir el movimiento con aceleración constante.
También consideraremos situaciones en las que la aceleración varía durante el
movimiento. En estos casos habrá que integrar para describir el movimiento. (Si
no ha estudiado integración aún, esta sección es opcional.)
2.1 I Desplazamiento, tiempo y velocidad media
Suponga que una piloto de autos de arrancones conduce su auto por una pista rec-
Ia. Para esmdiar esle movimiento, necesitamos un sistema de coordenadas para
describir la posición del auto. Decidimos que el eje x yace a lo largo de la trayec·
toria recta del auto, con el origen O en la línea de salida (Fig. 2.1). Describiremos
la posición del auto en ténninos de la de un punto representativo, digamos su ex-
tremo delantero. Así, representamos todo el aulO con ese punto y lo tratamos co-
mo una partícula.
Una forma Íltil de describir el movimiento del frente del auto -es decir, el de
la partícula- es en términos del cambio en la posición de la panícula (o sea, el
cambio en su coordenada x) a lo largo de un intervalo de tiempo. Supongamos que
1.0 s después del arranque el frente del auto está en PI' a 19 ID del origen, y 4.0 s
,
después del arranque está en P z, a 277 m del origen. El desplazamiento de la par·
tícula es un vector que apunta de PI a Pz (véase la sección 1.7). La figura 2.1
muestra que este vector apunta a 10 largo del ejex. La componente x del desplaza!
miento es simplemente el cambio en el valor de x (277 m - 19 m) = 258 m, que·
hubo en un lapso de (4.0 s - 1.0 s) = 3.0 s. Definimos la velocidad media del au-
to durante este tiempo como una cantidad vectorial cuya componente x es el cam·
bio en x dividido entre el intervalo de tiempo: (258 m)/(3.0 s),. 86 mIs. En
general, la velocidad media depende del intervalo de tiempo escogido. Durante un
lapso de 3.0 s antes del arranque, la velocidad media fue cero, porque el auto es-
taba en reposo en la línea de salida y tuvo desplazamiento cero.
Generalicemos el concepto de velocidad media. En el tiempo ti' el auto está en ;
PI' con coordenada x]> y en rz está en P2 con coordenadax2' El desplazamiento en el
intervalo de t, a t2 es el vector de PI a P2, con componente x (xz - Xl) Y compo-
nentes y y z iguales a cero. La componente x del desplazamiento del auto es el
cambio en la coordenada X, que abreviamos así:
(2.1)
~
1
P, -O- Ox P,
O. ------- -- J~ ,
t , x
,
_x,..j x'.,_x,_Ox------l~ ,
,
,
• """"'"'
2.1 Posiciones de un auto de arrancones en dos instantes durante su rttOrrido.

3. 42 CAPfTOLO 2 I Movimiento en línea recta
a:1III1!lI1!I1:I ~ no es el producto de A y r. es un solo símbolo que significa ~el
cambio en la cantidad X·. Siempre usaremos la letra griega mayúscula .ó. (-del-
ta-) para representar un cambio en una cantidad, calculada restando el valor
inicial al final. Asimismo, el intervalo de t) a tI es Al, el cambio en la cantidad 1:
6/ = /2 - /1 (tiempo final menos tiempo inicial).
Ahora podemos definir la componente x de la velocidad media con mayor pre·
cisión: es la componente x del desplazamiento, a.., dividida entre el intervalo til
en el que ocurre el desplazamienlo. Representamos esta cantidad con el simbolo
umed.... donde el subíndice "med" indica un valor medio y el subíndice x indica que
se trata de la componente x:
Xl - XI ó'x
vmed
•.x
= - - - -ó,t
tI - ti
- ( velocidad media, movimiento reclilineo) (2.2)
Enel ejemplo anterior teníamos XI = 19 m,x] =277 m, ti "" 1.0 s y tI =4.0 s,
así que la ecuación (2.2) da
277 m - 19 m 258 !TI
um«l "" "" - - - = 86 mIs
·X 4.0s LOs 3.0s
La velocidad media del auto es posiliva. Esto significa que, durante el inttrva-
lo, la coordenada:r aumentó y el aUlo se movió en la dirección +:r (a la derecha en
la Fig. 2.1). Si una partícula se mueve en la dirección:r negativa durante un inter-
valo de tiempo, su velocidad media en ese lapso es negativa. Por ejemplo, suponga
que la camioneta de unjuez se mueve hacia la izquierda junto a la pista (Fig. 2.2). La
camioneta esta en XI"" 277 m en tI ,. 16.0 s, yen x] = 19 m en t] :: 25.0 s. Enton-
ces, !il=(l9 m - 277 ro) = -258 m y .6.t-(25.0s - 16.0 s) ::9.05, y la com-
ponente x de la velocidad media es Vme.» ==. A..x /At = (-258 m)/(9.0 s) = -29 mis.
Siempre que x es positiva y aumenta o es negativa y se hace menos negativa, la
partícula se mueve en la dirección +x y Vme<..:< es positiva (Fig. 2.1). Siempre que x
es positiva y disminuye, o es negativa y se hace más negativa, la partícula se mue-
ve en la dirección -x y VmtJ_.x es negativa (Fig. 2.2).
IIlllllgl!!!~No sucumba a la tentación de pensar que una velocidad media po-
sitiva implica movimiento a la derecha, como en la figura 2.1, y una velocidad
negativa implica movimiento a la izquierda, como en la figura 2.2. Tales conclu-
siones sólo son correctas si la dirección +x es hacia la derecha, como escogimos
en ambas figuras. Igualmente podrlamos haber decidido que la dirección +.1" es
P, .x P,
x
o
X2~( -'2- XI - ax I
I
" ,1 ,
I
MUDA LJ.J:CADA
2.2 Posiciones de In camioneta de un juez en dos instantes durnnte su movimiento. Los
•
puntos PI y PI abor. se refieren al movimiento de la camioneta, por 10 que son diferentes
de los de la figurn 2.1. La componente x del desplazamiento de la camioneta es negativa,
así que V-s..x es negativa.
l

4. 2.1 I Desplazanrienlo. tiempo y velocidad media 43
hacia la izquierda, con el origen en la llegada. Entonces, el auto habría tenido
velocidad media negativa, y el vehículo, positiva. En casi todos los problemas,
podremos escoger la dire<ci6n del eje de coordenadas. Una vez tomada la de<i-
si6n, debera tomarse en cuenta al interpretar los signos de v..o-~ y otras cantida-
des que describen el movimiento.
En el movimiento rectilíneo normalmente llamaremos a d.T el desplazamiento
y a urned-~ la velocidad media, pero no olvide que éstas son realmente las compo-
nentes.t de cantidades vectoriales que, en este caso especial, sólo lienen componen-
tes x. En el capitulo 3, los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración
tendrán dos o tres componentes distintas de cero.
La figura 2.3 es una gráfica de la posición del auto de arrancones en función
del tiempo, es decir, una gráfica X-l. La curva de la figura !lO representa la trayec-
toria del auto; ésta es una linea recta, como se ve en la figura 2.1. Más bien, la grá-
fica es una forma de representar cómo cambia la posición del auto con el tiempo.
Los puntos rotulados PI y P2 corresponden a los puntos PI y P2 de la trayectoria
del auto. La línea PiP2 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catelo ver-
tical 6.x = X2 - Xl Ycateto horizontal 6.t = t2 - tI' Asi, la velocidad media del au-
to u..,..¡..,- = O.x/dl es igual a la pendiente de la linea PIP2, es decir, el cociente del
cateto venical d.r y el cateto horizontal !lt.
La velocidad media depende sólo del desplazamiento total d.T =X2 - Xl que se
da durante el intervalo 111 = t2 - t lo no en los pormenores de lo que sucede dentro •
de ese intervalo. Un segundo auto podria haber pasado por el punto PI de la figura
2.1 en el mismo instante ti que el primero, rebasando a éste, para después reven-
tar el motor y bajar la velocidad, pasando por P2 en el mismo instante 12 que el pri-
mer auto. Ambos aUlas tienen el mismo desplazamiento en el mismo lapso, así
que tienen la misma velocidad media.
Si expresamos la distancia en metros y el tiempo en segundos, la velocidad me-
dia se mide en metros por segundo (mis). Otras unidades de velocidad comunes
son kilómetros por hora (km/h), pies por segundo· (ftls), millas por hora (milh) y
nudos (1 nudo = 1 milla náuticalh::lll 6080 ftIh). La tabla 2.1 muestra algunas mag-
nitudes típicas de velocidad.
x (m)
400
Tabla 2.1 Magnitudes t¡picas de velocidad
300
Reptar de caracol 10-3 mis Movimiento aleatorio de moléculas de aire 500 mis
Pasetlvigoroso 2 mis Avión más rápido 1000 mis
"
200
Hombre mas nl.pido 11 mis Satélite de comunicación en órbita ]000 mis
Leopardo en carrera ]5 mis Electrón en un atomo de hidrógeno 2 X J(fmls
100
Automóvil más rápido ]41 mis Luz que viaja en el vacío ]X]o'mls
Un camión viaja al oeste desde el punto A hasta el B, una distancia dc 60 km. Un 2.3 La posición de un auto de arrancones
auto viaja al este desde el punto A hasta el e, una distancia de 30 km, se da la vuelo en función del tiempo. La velocidad media
v..... entre los puntos PI y Pl de la figura
ta, y viaja al oeste hasta el punto B. El camión y el auto salen deA simultáneamen- 2.1 es la pendiente de la linea PrP2' Esta lío
te y llegan a B simultáneamente. Explique por qué el auto y el camión tienen la nea sube hacia la derecha, por lo que la ..
misma vel~idad media. pendiente es positiva y tJlD<d-~ es positiva.
• N. del E. En este texto se usa la abreviatum ft cuando se relaciona con la distancia en pies. Porejemplo,
1 ft x lb-1.3561.

5. 44 e ... pfT U LO 2 I MovimicnlO en línea recta
2.2 I Velocidad instantánea
Hay ocasiones en que la velocidad media es 10 (mico que necesitamos saber acero
ca del movimiento de una partícula. Por ejemplo, una carrera en pista recta es en
realidad una competencia para determinar quién tuvo la magnitud de velocidad
media, Vnxd-x> más grande. Se entrega el premio al competidor que pudo recorrer
el desplazamicnlo Jlx de la linea de salida a la de meta en el más corto intervalo
de tiempo, !i.t (Fig. 2.4).
Sin embargo, la velocidad media de una partÍcula durante un intervaJo de tiempo
no nos dice con que rapidez, o en que dirección, la partícula se estaba moviendo en
un instante dado del intervalo. Para describir el movimiento con mayor detalle, ne-
cesitamos definir la velocidad en cualquier instante específico o punto específico •
del camino. Ésta es la velocidad instantánea, y debe deímirse con cuidado.
La palabra instante tiene un significado un poco distinto en física que en el len-
guaje cotidiano. Podemos decir "duró un instante" para referimos a algo que du-
ró un intervalo muy corto, pero en fisica un instante no tiene duración; es un solo
valor de tiempo.
Para obtener la velocidad instantánea del auto de la figura 2.1 en el punto P¡,
2.4 El ganador de una carrera de natación imaginamos mover el segundo punto P2 cada vez más cerca a PI. Calculamos la
de 50 En es el nadador cuya velocidad media velocidad media Vm<d-I = tuI!!'t para estos desplazamientos y lapsos cada vez más
!icne mayor magnitud es decir. el nadador cortos. Tanto 6.x como dt se hacen muy pequeños, pero su cociente no necesaria-
que cubre el desplazamiento al" de 50 m mente lo hace. En el lenguaje del cálculo, el limite de ilxlilt cuando ilt se acerca
en el tiempo transcurrido 61 más corto.
a cero es la del"ivada de x respecto a t y se escribe dxldt. Úl velocidad instantánea
es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo se acerca a O; es
igual a la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo. Usamos el sím-
bolo VI' sin "med" en el subíndice, para la velocidad instantánea en el eje x:
v = lím dx = d:r (velocidad instantánca, movimiento rectilíneo) (2.3)
I <l.1-0!i.! dt
Siempre suponemos que !i.t es positivo, as! que VI tiene el mismo signo alge-
braico que dx. Si el eje +x apunta a la derecha, como en la figura 2.1, un valor po-
sitivo de VI indica que x aumenta y el movimiento es a la derecha; una VI negativa
indica que x disminuye y el movimiento es a la izquierda. Un cuerpo puede tener
x positivo y VI negativa, o al reves; x nos dice d6nde está el cucrpo, VI nos dice có-
mo se mueve (Fig. 2.5).
La velocidad instantánea, igual que la media, es una cantidad vectorial. La
ecuación (2.3) define su componente x, que puede ser positiva o negativa. En el
movimiento rectilíneo, las demás componentes de la velocidad instantánea son ce-
2.5 Incluso al avanzar, la velocidad instan-
ro, y en este caso llamaremos a VI simplemente velocidad instantánea. (En el ca-
tánea de este ciclista puede ser negativa: si
está viajando en la dirección -x. En cual- pitulo 3 veremos el caso general en el que la velocidad instantinea puede tener
quier problema, nosotros decidimos cual componentes x, y y z disüntas de cero.) Al usar el término "velocidad", siempre
dirección es positiva y cuál es negativa. nos referiremos a la velocidad instantánea, no a la media, a menos que se diga otra
cosa.
CUIDADO Los términos "velocidad" y "rapidez" se usan indistintamente en el lenguaje
cotidiano, pero tienen diferente significado en fisica. Rapidez denota distancia
recorrida dividida entre tiempo, bajo un régimen medio o instanuineo. Usaremos
el símbolo v sin subíndice para denotar la rapidez instantánea, que mide la celeri-
dad con que se mueve una partícula; la velocidad instantánea mide con que rapi-
dez y en qué dirección se mueve. Por ejemplo, una partícula con velocidad

6. 2.2 I Velocidad instantánea 45
instantánea Ux = 25 mis y otra con V x = -25 mis se mueven en direcciones opues-
tas con la misma rapidez instantánea de 25 mis. La rapidez instantánea es la mag·
nirud de la velocidad instantánea, así que no puede ser negativa.
A la rapidez media, sin embargo, no es la magnitud de la velocidad
media. Cuando Alexander Popov estableció un récord mundial en 1994 nadan-
do 100.0 rn en 46.74 s, su rapidez media fue de (100.0 rnY(46.74 s) '"' 2.139 mis. Sin
embargo, como nadó dos vueltas en una alberca de 50 m, terminó en el punto
de donde partió, con un desplazamiento total de cero ¡y una velocidad media de
cero! Tanto la rapidez media como la instantánea son escalares, no vectores,
porque no contienen información de dirección.
•
Ejemplo
2.1 Velocidades media e instantánea
Un leopardo acecha 20 m al este del escondite de un observador
(Fig. 2.6). En 1· O, el leopardo ataca a un antilope en un daro 50 m
lE!!l3l1llI
al este del observador. El leopardo corre en linea recIa. Un análi- IDENTIFICAR: Este problema requiere usar las definiciones de des-
sis posterior de la gmbación fe'ela que, durante los primeros 2.0 s plazamiento, velocidad media y velocidad instantánea. El uso de las
del ataque, la coordenada x del leopardo varia con el tiempo se- dos primeras implica álgebra; la última requiere cálculo para derivar.
gún la ecuación x· 20 m + (5.0 mls1 )t1 . (Las unidades de los nú- PLANTEAR: La figura 2.6 muestra el movimicnto dellel:lpardo. Para
meros 20 y 5.0 deben ser las mostradas para que la expresión sea analizar estc problema, usamos la ecuación (2.1) del desplazamien-
dimensionalmente congruente.) a) Obtenga el desplazamiento to, la ccuaci6n (2.2) de la velocidad h1edia y la ecuación (2.3) de la
dclleopardo entre ti '" 1.0 s y 12 • 2.0 s. b) Calcule la velocidad velocidad instantánea.
media en dicho intervalo. c) Calcule la velocidad instantánea en
t. - 1.0 s tomando 6t "'0.1 s,luego.6.r = 0.01 s, luego 6t=0.001 s. EJECUTAR: a) En ti = 1.0 s, la posición del leopardo XI es
d) Deduzca una expresión general pamla velocidad instantánea en XI = 20m + (5.0 m/s1)(1.0 s)! = 25m
función del tiempo, y con ella calcule lJx en t - 1.0 s y t = 2.0 s.
En t2 = 2.0 s, su posición.1'2 es
X! = 20m + (5.0ml~)(2.0S}2 = 40m
Escoodite
'-0 '-1.05 '-2.05
l:I<-:~--=~~=~~_'-o_-m=~=~-_=-~-=-~_)"f=~~-50~O>-~~====== . ,=======~-.I---X
==~x_. .
2.6 Leopardo agazapado que ataca a un antílope. Los animales no están
a la misma escala que el eje.

7. 46 CAPíTULO 2 I Movimienloen línea recta
El desplazamiento en eSle intervalo es Al disminuir tll,la velocidad media se acerca a 10.0 mis, y conclui·
6.x = Xl - XI = 40 m - 25 ro = 15 m mos que la velocidad inslanllÍnea en 1- 1.0 s es de 10.0 mis.
d) Obtenemos la velocidad inslanlanea en función delliempo deri·
b) La velocidad media durante este intervalo es vando la expresión de x respecto a l. Para cualquier n, la derivada de
X2-XI 40m-2Sm 15m 1
M
es nI M- I , así que la derivada de I! es 2/. Por tanto,
Umtd-~ = - - - '" = - - = 15 mIs
(] - '¡ 2.0s - LOs LOs
e) Con :ir = 0.1 s, el intervalo es de ti '" 1.0 s a /1 - l.l s. En [l. la
posición es
En I - 1.0 s, v~ - 10 mis, como vimos en la parte (c). En 1- 2.0 s,
X2 = 20 m + (5.0 mls1 )( 1.1 s}l "" 26.05 ro v~'" 20 mis.
La velocidad media en este intervalo es
EVALUAR: Nuestros resultados muestran que el leopardo aumentó
26.05 ro - 25 ro
u-... = 1.1 s 1.0 s 10.5 mis su rapidez de I '" O(cuando estaba en reposo) a 1- 1.0 s (v~ '" 10 mis)
al'" 2.0 s (u~ '"' 20 mfs). EsIO es lógico; el leopardo sólo cubrió 5 m
Siga este modelo para calcular las velocidades medias de los inter· durante el intervalo de t - Oa t = 1.0 s, pero cubrió 15 m durante el
valos de 0.01 s Y0.001 s. Los multados son 10.05 mis y 10.005 mis. intervalo de I '" 1.0 s a I - 2.0 s.
AcI'!v
Obtención de la velocidad en una gráfica x-t
Phys es La velocidad de una partícula también puede obtenerse de la gráfica de la posi-
ción de la panícula en función delliempo. Suponga que queremos conocer la ve-
1.1 Análisis del movimiento con locidad del auto de la figura 2.1 en PI' Al acercarse P2 a PI' el punto P2 de la
diagramas gráfica x-t de la figura 2.3 se acerca a PI' Esto se muestra en las figuras 2.7a y
2.Th, donde la velocidad media se calcula en intervalos dr cada vez más cortos.
En el límite /1t -+ O, ilustrado en la figura 2.7c, la pendiente de la Iíneap!P2 es
igual a la de la linea tangente a la curva en el punto PI' En IIna gráfica de posición
enfllnción del tiempo paro movimiento rectilíneo, la velocidad ínstantánea en
cualquier plinto es igllal a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.
Si la tangente a la curva x-t sube hacia la derecha, como en la figura 2.7c, su
pendiente es positiva, la velocidad es positiva, y el movimiento es en la direceión_
+x. Si la tangente baja a la derecha, la pendiente y la velocidad son negativas y el
movimiento es en la dirección -x. Si la tangente es horizontal, la pendiente y la
¡ velocidad son cero. La figura 2.8 ilustra las tres posibilidades.
x (m) x (m) x(m)
400 400
I1r-2.05
.:il- 1:K) m
.},/'" 1.05
J1x-55m
"'" 160m
v~· 4.05
300 u-... = 75 mis 300 v_~ = jjmfs 300 '" 40mts
200 200 200
100 100 100
p,
-f-c"l"'===:L-~~-1 (s)
3 4 , O 2 3 4 , / (s)
, 3 4 , r (s)
,.) lb) 'o)
2,7 (a) y (b) Al calcular la velocidad media Urned-z en intervalos cada vez más cortos, su
valor se acerca a la velocidad Lnstantánea. (e) La velocidad instantánea u. en un tiempo
dado es igual a la pendiente de la tangente a la eurva x-/ en ese tiempo. Obtenernos dicha
pendiente dividiendo cualquier intervalo vertical (con unidades de dislancia) sobre la tan-
gente entre el intervalo horizontal correspondiente (con unidades de tiempo).

8. 2.3 I Aceleración media e instantánea 47
Movimiento de
, gr.if>ea .>:-/ l.l particula
Á pendicnte positi"l.. movimioento en
así que V x >0 ladi~+Á
/", ""o • 11 .. I ,
B pendienle posiliv, movimicnto en la O
E
mayor. asi que V x > O , ,
• ,
d~6n +.>:más
e pendienlc cero,
rtpido que cn A
instanlll:neamente
'. •
O
I ''O ,
así que l/x = O •
D pendiente negativa. " """'" en
movimiento
'c O
,
así que II x < O la dirección -.>:
'D I~ X
O
E pendiente negaliva movimiento en la
menor. así que lI x < O dirección -xmás .~ , •
lento que en D " O
(.)
lb)
2,8 (a) La gráfica x-t del movimiento de una panícula dada. La pendiente de la langente
en cualquier punlo es igual a la velocidad en ese puma. (b) Diagrama de movimiento que
muestra la posición y velocidad de la partícula en los cinco inslanles rotulados en el dia-
grama x-t. La panícula se acelera entre A y D, luego sc frena entre D y e, donde se detie-
ne momentáneamente. Luego a-anza en la dirección -x, acelerando entre ey D Y
frenando enlre D y E.
Observe que en la figura 2.8 se muestra el movimiento de una partícula de dos
formas. La figura 2.8a es una gráficax-l, y la 2.8b es un ejemplo de diagrama de
movimiento que muestra la posición de la partícula en diversos instanles, como , Q
cuadros de un filme o video del movimienlO de la particula,junto con flechas que
representan la velocidad de la panícula en cada instante. Ambas representaciones
ayudan a enlender el movimienlo, y las usaremos a menudo en este capítulo. Re-
comendamos dibujar una gráfica x-( y un diagrama de movimiento como parte de
la resolución de cualquier problema de movimiento.
La figura 2.9 es una gráficac.-r del movimiento de una partícula. ¿En cuál de los
puntos P, Q, R YS es positiva la velocidad v x ? ¿En cuáles es negativa? ¿En cuáles
es cero? ¿En qué punto es máxima la rapidez? 2.9 Gráficax-t para una partícula.
2.3 I Aceleraci6n media e instantánea
Si la velocidad de un cuerpo cambia con el tiempo, decimos que el cuerpo tiene
una aceleración. Así como la velocidad describe la tasa de cambio de posición con
el tiempo, la aceleración describe la lasa de cambio de la velocidad con el tiempo.
La aceleración tambien es una cantidad vectorial. En el movimiento reclilineo, su
única componenle distinta de OeSla sobre el eje en el que se da el movimiento.
Aceleración media
Consideremos otra vez el movimiento de una panícula en el eje x. Supongamos
que, en el tiempo t b la partícula esta en el punto P t Y tiene una componente x de
velocidad (instantánea) VIx, Yen un instante posterior /2 está en P2 y tiene la com-
ponente x de velocidad V2x' Así, la componente x de la velocidad cambia en .ó.v, =
U2x - vlxenel inlervalo.ó.r= (2 - /1'

9. 48 CAPfTULO 2 I Movimienloenlínearecla
DeHnimos la aceleración media, 0mcd-x. de la partícula al moverse de PI a P2
como un vector cuya componente x es .1.u... el cambio en la componenlexde la ve-
locidad, dividido entre el intervalo de tiempo at:
(2.4)
(aceleración media, movimiento rectilíneo)
En el movimiento rectilíneo, normalmente llamaremos a Qmed-... aceleración media,
recordando que en realidad es la componente x del vector de aceleración media. (Ve-
remos otras componentes del vector de aceleración media en el capitulo 3.)
Si expresamos la velocidad en metros por segundo y elliempo en segundos, la
aceleración media está en metros por segundo por segundo, o (rn/s)/s. Esto suele
escribirse m1s 2 y se lee "metros por segundo al cuadrado",
¡No confunda aceleración (on velocidad! la velocidad describe el
cambio de la posición de un objeto con el tiempo; nos dice con qué rapidez y en
qué dirección se mueve el objeto. La aceleración describe cómo cambia la velo·
cidad con el tiempo; es decir, nos dice cómo cambian la rapidez y la dirección del
movimiento. Podrla ser útil recordar la frase Naceleración es a velocidad como
velocidad es a posición N •
Ejemplo
2.2 Aceleración media
Una aslronaUla sale de un transbordador espacial en órbita para tos inicial y final de cada intervalo es la aceleración media a"""", •
probar una unidad personal de maniobras; mientras se mueve en lí- ~vJat para el intervalo. Los valores de aDOd-.l se grafican en la par-
nea recta, su compañera a bordo mide su velocidad cada 2.0 s a par- te baja de [a figura. Para cada intervalo, tenemos
tir del instante I "" 1.0 s:
'. '. ti.. (mis)
1.5 ..........
l.0 s 0.8 mis 9.0s -0.4 mis
3.0s 1.2 mis Il.0s -1.0 mis ~ ~-."",
1.0 ~_-t,ó,tI. I
5.0s 1.6 mis 13.0 s -1.6 mis ,ó" I
7.0s 1.2 mis 15.0 s -0.8 mis 0.5 ,
I
O f-+---f---'~---+---'-----~ t (s)
=~:~ ~ ¿'JI,'
Calcule la aceleración media y diga si la rapidez aumenta o dis-
minuye para cada uno de estos intervalos: a) ti - 1.0 s a t1 '" 3.0 5;
b) ti • 5.0 s a t~ "" 7.0 s; e) ti ·9.0 s at~ .. 11.05; d) ti .. 13.0 s a tI
5
- 15.0s. -1.5 "
I I ,
__ -1
I I I I
I I I I
ll!l!!l!mlI GfI'l<d..{mls1) : : : : :
I I I I I I
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Usamos la definición de aceleración 0.5 I I :: L...-..J
media, ecuación (2.4), para detenninar el valor de Qmed-x a partir del
cambio de velocidad en cada intervalo de tiempo. Determinamos O f------~---+-_..;.-,',+---~ I (s)
L..----' "
SI-......J ~ IS
el cambio de rapidez en cada intervalo recordando que la rapidez v -O.S
es la magnitud de la velocidad instantánea vx '
2.10 La pendiente de la línea que conecta dos puntos en una grá.
EJECUTAR: La pane superior de la figura 2. 1Ografica la velocidad fica de velocidad contra tiempo (arriba) es la aceleración media
en función del tiempo. La pendiente de la linea que conecta los pun- entre esos dos punlOS (abajo).

10. 2.3 1 Aceleración media e instantánea 49
a) aad-~'" (1.2 mis - 0.8 mls)/(3.0 s - 1.0 s): 0.2 mlr. La rapi- EVALUAR: Si la aceleración tiene la misma dirección (mismo sig-
dez (magnitud de la velocidad instantánea) aumenta de 0.8 mis a no) que la velocidad inicial. como en los intervalos a y c. la astro-
.2 mis. nauta se mueve más rápidamenle; cuando tiene la dirección opllesla
b) ame<l_~ = (1.2 mis - 1.6 mls)/(7.0 s - 5.0 $): -0.2 mlsl . La ra- (signo opuesto) como en los intervalos b y d se frena. Al moverse
pidez disminuye de 1.6 mis a 1.2 mis. en la dirección negativa con rapidez creciente (intervalo e), su velo-
e) ame<l_x "" [-l.O mis - (-0.4 m/s»)/[ll.O s - 9.0 s] = -0.3 mls l . cidad disminuye algebraicamente (se hace más negativa) y su ace·
La rapidez aumenta de 0.4 mis a 1.0 mis. leración es negativa, pero cuando se mueve en la dirección negativa
d) a"'e<l-x = [-0.8 mis - (-1.6 mls)]I[l5.0 s - 13.0 s] ~ 0.4 mls 2• con rapidez decreciente (intervalo d), su velocidad aumenta alge.
La rapidez disminuye de 1.6 mis a 0.8 mis. braicameDle (se hace menos negativa) y su aceleración es positiva.
Aceleración instantánea
Ya podemos definir la aceleración instantánea con el mismo procedimiento que
seguimos para la velocidad. Considere este caso: un piloto acaba de entrar en la
recta final del Grand Prix; llega al punto PI en el inslante ti con velocidad lIb' y
pasa el punto P2 , más cerca de la meta, en t 2 con velocidad vlt (Fig. 2.11).
o - " ~"," .. "
-=~.~_ x 2.11 Vehículo Grand Prix en dos pUDIOS
de la recta.
Para definir la aceleración instantánea en PI> tomamos el segundo punto P2 ca·
da vez más cerca de PI de modo que la aceleración media se calcule en intervalos •
cada vez más COrlos. La aceleración instantánea es el límile de la aceleración me·
dia cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, la
aceleración instantánea es la rasa instantánea de cambio de la velocidad con el
tiempo. Asi,
. 6.u x dv~
a = hm--~­ (2.5)
~ ~ .... I) 6.( dt
(aceleración instantánea, movimiento rectilíneo)
Observe que la ecuación (2.5) es realmente la definición de la componente x del
vector aceleración; en el movimiento rectilíneo, las demás componentes son cero.
La aceleración instantánea desempeña un papel fundamental en las leyes de la
mecánica. En adelame. al hablar de "aceleración". nos referiremos a la acelera·
ción instantánea, no a la media.
Ejemplo
2.3 Aceleraciones media e instantánea
Suponga que la velocidad Ux del auto de la figura 2.l1 en el tiempo (Las unidades de los números 60 y 0.50 deben ser las indicadas pa-
I está dada por ra que la expresión sea dimensionalmente congruente.) a) Calcule
el cambio de velocidad entre tI - 1.0 s y /2 = 3.0 s. b) Calcule la ace·
leración media en el intervalo. e) Obtenga la aceleración instantá-

11. 2.3 I Aceleración media e instantánea 49
a) Q.-... = (1.2 mfs - 0.8 mfs)l(3.0 s - 1.0 s) - 0.2 mls1 . La rapi. EVALUAR: Si la aceleración tiene la misma dirección (mismo sig-
dez (magnitud de la velocidad instantánea) aumenta de 0.8 mfs a no) que la velocidad inicial, como en Jos intervalos a y e, la astro-
1.2 mis. nauta se mueve mis rápidamente; cuando liene la dirección opuesta
b) a-.,.. - (1.2 mis - 1.6 mls)l(7.0 s - 5.0 s) = -0.2 mls 2. La ra- (signo opuesto) como en los intervalos b y d, se frena. Al moverse
pidez disminuye de 1.6 mis a 1.2 mis. en la dirección negativa con rapidez creciente (intervalo e), su velo-
e) Q-.. .. [-1.0 mis - (-0.4 mls>Y{ll.O s - 9.0 s] = -0.3 rn/!l, cidad disminuye algebraicamente (se hace más negativa) y su ace·
La rapidez aumenta de 0.4 mis a 1.0 mis. leración es negativa, pero cuando se mueve en la dirección negativa
d) Q_ -1-0.8 mis - (-1.6 m1s>Y115.0 s - 13.0 s] = 0.4 m1s l , con rnpidez decreciente (intervalo d), su velocidad aumenta alge-
La rapidez disminuye de 1.6 mis a 0.8 mis. brnlcamente (se bace menos negativa) y su acelernción es posiliva.
•
Aceleración instantánea
Ya podemos definir la aceleraclón instantánea con el mismo procedimiento que
seguimos para la velocidad. Considere este caso; un piloto acaba de enlrar en la
recta final del Grand Prix; llega al punto PI en el instante ' 1 con velocidad Vlv Y
pasa el punto P2, más cerca de la meta, en t2 con velocidad Vlr (Fig. 2.11).
I~~,!!!!~~~""~,!!!!!!!",,=";,, ~' -
011- PI
~ ~ ' ' ' " "~", , !l! ! ! ' ' = ": :'~'
Pz
x 2.11 Vehiculo Gran<! Prix en dos puntos
de la recta.
Para definir la aceleración instantánea en PI> tomamos el segundo punto P2 ca-
da vez más cerca de PI de modo que la aceleración media se calcule en intervalos
cada vez mas conos. La aceleración instantánea es el limire de la aceleración me-
dia cl/ando el intervalo de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, la
aceleración instantánea es la tasa instantánea de cambio de la velocidad con el
tiempo. Así,
. .6.u" dv"
a = hm-~­ (2.5)
" ~-o dt dt
(aceleración instantánea, movimiento rectilíneo)
Observe que la ecuación (2.5) es realmente la definición de la componente x del
vector aceleración; en el movimiento rectilíneo, las demás componemes son cero.
La aceleración instanlánea desempei'ia un papel fundamental en las leyes de la
mec:anica. En adelante, al hablar de "aceleración", nos referiremos a la acelera-
ción instantánea, no a la media.
EJemplo
2.3 Aceleraciones media e instantánea
Suponga que la velocidad v.. del auto de la figuro 2.11 en el tiempo (Las unidades de los numeros 60 y 0.50 deben ser las indicadas pa-
I está dada por ra que la expresión sea dimensionalmente congruente.) a) Calcule
el cambio de 'elocidad enlTe /1 .. 1.0 s Y'2" 3.0 S. b) Calcule la ace·
leración media en el intervalo. c) Obtenga la aceleración instantá-

12. 50 CAPfTULO 2 1 Movimiento en línea recIa
oea en ti" 1.0 S tomando como ~t 0.1 s, después 0.01 s y luego Durante el intervalo de 1I - 1.0 s a 12 = 3.0 s, la velocidad y la ace·
0.00 s. d) Deduzca una expresión para la aceleración instantánea leración media tienen el mismo signo (positivo en este caso) y el
en cualquier instante y úsela parn obtener la aceleración en t = 1.0 s auto acelera.
yt=3.0s. c)Cuando~I-0.l $,l z -1.1 sy
v1< ::: 60 mis + (0.50 mislH 1.1 S)2 = 60.605 mis
lI!l!!mI ó.v. = 0.105 mis
IDENTIFICAR: Esle ejemplo es análogo al ejemplo 2.1 de la 5e(;-
ción 2.2. (Recomendamos repasar ese ejemplo.)Ahi, calculamos la a = 6ux = 0.105 mis = 1.05 mJs2
velocidad media en inlervalos cada 'U más cortos considerando el -..., 61 0.1 s
cambio en el desplazamiento, y obtuvimos la velocidad instantánea Repita este modelo con 61 = 0.01 s y ~1 - 0.001 s; los rt:Sultados
diferenciando la posición en función del tiempo. En este ejemplo. son Q-..., - 1.005 mls2 y a...,.¡.~ = 1.0005 mI-r
respa:tivamente. Al
determinaremos la aceleración media considerando cambios de ve- T't'ducirse 6/, la aceleraclón media se acerca a 1.0 rnJSl. Concluimos
locidad en un intervalo de tiempo. Asimismo, obtendremos la ace- que la aceleración inslantitnea en 1" 1.0 s es 1.0 mlr. •
leración instantóneo diferenciando la velocidad en función del d) La aceleración instantánea es a~ - dv/dl, la derivada de una
liempo. constante es cero y la derivada de r2 es 21. Con esto, obtenemos
PLANTEAR: Usaremos la ecuación (2.4) de la aceleración media y Q = dv~ = !!....[60 mis + (0.50 mlrf)r]
la ecuación (2.5) de la aceleración instantanea. ~ dr dI
= (O.50ml,')(2t) = (1.0ml,')t
EJECUTAR: a) Primero obtenemos la velocidad en cada instante
sustituyendo I en la ecuación. En el instante 11 = 1.0 S, Cuandor-I.Os,
Vlx = 60 mis + (0.50 mls l )( 1.0 S)2 = 60.5 mis
En el instante 1z - 3.0 s.
Cuando 1"" 3.0 s,
Ul< = 60 mis + (0.50mlsl(3.0sP = 64.5 mis
a~ = (1.0mlsl)(3.0s) = 3.0m/s:!.
El cambio en la velocidad, 6ux , es
EVALUAR: Observe que ninguno de los valores que obtuvimos en
6v x = Vl< - u b = 64.5 mis - 60.5 mJs = 4.0 mis
la pane (d) es igual a la aceleración media obtenida en (b). La ace-
El intervalo de tiempo es 61 '"' 3.0 s - 1.0 s - 2.0 s. leración instantánea del auto varia con el tiempo. Los ingenieros
b) La aceleración media durante este intervalo es automotrices llaman a la tasa dc cambio de la aceleración con el
tiempo el "tirón".
_ vlr - v lx _ 4.0 mis _ 2
U ........ - - - 2 - 2.0 mis
O
1¡ 1, . S
Obtención de la aceleración de una gráfica v,,-t o x-t
Interpretamos las velocidades media e instantánea en términos de la pendiente de
una curva de posición contra tiempo. Igualmente, podemos entender mejor los
conceptos de aceleración media e instantánea graficando la velocidad instantá-
nea u~ en el eje vertical y el tiempo I en el horizontal, o sea, una gráfica v~-t
(Fig. 2.12). Los puntos rotulados PI y P2 corresponden a los puntos PI y Pz de la
figura 2.11. La aceleración media amed-,r = tJ.ujtJ.I durante este intervalo es la pen-
diente de la linea PIPZ' Al acercarse Pz a PI en la figura 2.11, pz se acerca a PI en
la figura 2.12 y la pendiente de la IíneapIP2 se acerca a la pendiente de la tangen·
te a la curva en el punto PI' Así, en una gráfica de velocidad en función delliem-
po, la aceleración instantánea en cualquier punlo es igual a la pendiente de la
langeme de la cun'Q en ese puma. En la figura 2.12 la aceleración instamánea va-
ría con el tiempo.
El sígno algebraico de la aceleración por sí solo no nos dice si el cuerpo está
acelerando o frenando; hay que comparar los signos de la velocidad y la acelera-
ción. Si u" y a" tienen el mismo sígno, el cuerpo está acelerando; si ambas son po-

13. 2.3 I Aceleración media e instantánea 51
,
,
Pendiente de la Ifnea ,
,
p,p, = aceleración ,
media :tJc-<-Vb=ll.V~
,
,
,
, 2.12 Gnífica I),-f del movimiento de la
lit
/2 - ti '"' I
c.._~-------- ---- 1 figura 2.11. La aceleración media entre
ti y f2 es igual a la pendíente de la líl),ea
Pendiente de la tangente'" aceleración instantánea en P J
, PiP2' La aceleración instantánea en PI es
o igual a la pendiente de la tangente en PI'
sitivas, el cuerpo se mueve en la dirección positiva con rapidez creciente. Si am-
bas son negativas, el cuerpo se mueve en la dirección negativa con velocidad ca-
da vez más negativa, y la rapidez aumenta. Si Vx y Qx tienen signos opuestos, el
cuerpo está frenando. Si Ux es positiva y Qx negativa, el cuerpo se mueve en direc-
ción positiva con rapidez decreciente; si v" es negativa y Gx positiva, el cuerpo se
mueve en dirección negaTiva con velocidad cada vez menos negativa, y está fre-
nando. La figura 2.13 ilustra estas posibilidades.
Frecuentemente podemos llamar desaceleración a una reducción de rapidez.
Dado que esto puede implicar a", positiva o negativa, dependiendo del signo de v""
evitaremos este término.
Movimiento
Gráfica V",-I de la partícula
A u.. <O; se mueve en la
pendiente positiva. dirección -x.
así que a.. > O frenando
e 8 u.. - O; instantáneamente en
pendiente positiva. reposo. a punto de
así que a.. > O moverse en la
V~I
e v.. >O;
dirección + x
se mueve en la
1.. := --"""*.------
O - ••-'"••
O
<
pendiente cero, dirección +x,
asíquea.. =O con máxima rapidez
D instantáneamente en
" 0' negativa,
pendiente reposo. a punto de
así que a .. <O moverse en la
dirección -x I
O
E V..< O; se mueve en la .4-
pendiente negativa. dirección -x, _ _ _ _ _JI_••-""-.~- •
así que a.. < O acelerando O
(.) (b)
2.13 (a) Gráfica V,-t del movimiento de una partícula (un movimiento distinto que en la
Fig. 2.8). La pendiente de la tangente en cualquierpuno es igual a la aceleración en ese
punto. (b) Diagrama de movimiento que muestra la posición, velocidad y aceleración de
la partícula en los instantes rotulados en la gráfica [i,-I. Las posiciones son congrucntes
con la gráfica; por ejemplo, de f~ a t R la velocidad es negativa, así que en tB la particula
está en un valor más negativo de x que en fA"

14. 52 CAPfTULO 2 I Movimiento en línea recta
Movimiento de la
Gráficax-I panícula
A pendiente positiva. se mueve en la
curvatura hacia arriba. dirección +.1'.
-"
asíqueux>O,ax>O acelerando
B pendiente positiva. se mueve en la
O • u ., I
dirección +x, ( .. =
curvatura cero,
asíquev x >O, ax =0 la rapidez no cambia
[) "
E a=O
¡
e pendiente cero, instantáneamente en
curvatura hacia abajo, reposo. la velocidad " [)
" • "
asíquevx=O,ax<O cambia de + a - I
,-". O
'e O
• "
D se mueve en la
pendiente negativa.
curvatura cero, dirección -x. (1=0
I • v
" •
E
asíqucVx<O,ax=Q la rapidez no cambia
pendiente negativa. se mueve en la
[)
• "
v "" a
....
curvatura hacia arriba. dirección -x,
asíqueux<O,ax>O Frenando
" O "
lb)
2.14 (a) La misma gráficax-t de la figura 2.8a. La velocidad es igual a ¡a pendiente de la
gráfica, y la aceleración está dada por su concavidad o curvatura. (b) Diagrama de movi-
miento que muestra la posición, velocidad y aceleración de la particula en cada uno de los
instantes rotulados en la gráfica x-t.
También podemos obtener la aceleración de un cuerpo a partir de una gráfica
de su posición con el tiempo. Dado que ax = dv)dt y V x = dx/dt, podemos escribir
a -du, - - - -d'x
- d - (dx) (2.6)
X-dt-dtdt-dr-
Es decir, ax es la segunda derivada de x respecto a t. La segunda derivada de una
función se relaciona directamente con la concavidad o curvatura de la gráfica de
la función. Donde la curva x-t es cóncava hacia arriba, la aceleración es positiva y
V x aumenta; donde la curva es cóncava hacia abajo, la aceleración es negativa y v"
disminuye. Donde la gráfica x-t no tiene curvatura, como en un punto de infle-
xión, la aceleración es cero y V x es constante. Estas tres posibilidades se ilustran
en la figura 2.14. La curvatura de una gráfica ;r-t nos dice qué signo tiene la acele·
ración. Esta técnica es menos útil para detenninar valores numéricos de la acelera-
ción, porque es dificil medir con exactitud la curvatura de una gráfica.
Examine otra vez la gráfica x-t de la figura 2.9 al final de la sección 2.2. ¿En cuá-
les de los puntos P, Q, R YS es positiva la aceleración ax ? ¿En cuáles es negativa?
¿En cuáles parece ser cero? Compare la aceleración en cada punto con la veloci-
dad V x en ese punto y decida si la rapidez está aumentando, disminuyendo o se
mantiene constante.
2.4 I Movimiento con aceleración constante
El movimiento acelerado más sencillo es el rectilíneo con aceleración constante.
En este caso, la velocidad cambia al mismo ritmo todo el tiempo. Se trata de una
situación muy especial, pero común en la Naturaleza: como veremos en la sección
que sigue, un cuerpo que cae tiene aceleración constante si los efectos del aire no

15. 1
2.4 I Movimiento con aceleración constante 53
son importantes. Lo mismo sucede con un cuerpo que se desliza por una pendien-
le o sobre una superficie horizontal áspera. El movimiento rectilíneo con acelera-
ción casi constante se da también en la tecnología, como cuando unjer de combate
es lanzado con catapulta desde un portaaviones.
o~
--
•
,,1••
""- ,
En esta sección deduciremos ecuaciones clave parn el movimiento rectilineo con
aceleración constante que nos permitirán resolver una amplia gama de problemas.
La figura 2.15 es un diagrama de movimiento que muestra la posición, veloci-
, . fU
t = UI
O
"
--
,,'-••••- - - - - - - ,
•
"'--~."":'._-- _ ,
O
_
~
dad y aceleración en cinco instantes distintos de una partícula que se mueve con r-3~t~'----.,"" •• ,
aceleración Constante. Las figuras 2.16 y 2.17 representan el movimiento con las O
~
gráficas. Puesto que la aceleración a r es constante, la gráfica Qr~t (aceleración t=4Af 1 IV. :c
contra tiempo) de la figura 2.16 es una línea horizontal. La gráfica de velocidad con- O
tra tiempo tiene pendiente conStante porque la aceleración es constante; por tanto,
2.15 Diagrama de movimiento para una.
es una línea recta (Fig. 2.17).
panícula que se mueve en línea recta eo la
Si la aceleración es constante, es fácil deducir ecuaciones para:c y u en función dirección +.1' con aceleración posiliva cons-
del tiempo. Comencemos con la velocidad. En la ecuación (2.4) podemos sustituir tante Qro Se muestran la posición, veloci-
la aceleración media amed-r por la aceleración constante (instantánea) a; dad y aceleración en cinco instantes
equiespaciados. La velocidad cambia lo
Vh - Vb mismo en cada intervalo porque la acelera-
a• = (2.7) ción es constante. La posición cambia en
'1 1I diferentes cantidades en intervalos iguales
Sean ahora rl = OY11 cualquier instante arbitrario posterior l. Simbolizamos con Va.
porque la velocidad está cambiando.
la componente:cde la velocidad en el instante inicial 1-0; la componente:c de la ve-
locidad en el instante posterior 1 es vr . Entonces, la ecuación (2.7) se convierte en
o
'.
(sólo con aceleración constante) (2.8)
Podemos interpretar la ecuación como sigue. La aceleración a r es la tasa cons- '.r---.....-
tame de cambio de velocidad, o sea, el cambio en la velocidad por unidad de tiem-
po. Elténnino a..,t es el producto del cambio en la velocidad por unidad de tiempo,
ar , y el intervalo de tiempo 1; por tamo, es el cambio 10lal de la velocidad desde el o
instante inicial I = Ohasta un instante f posterior. La velocidad v" en cualquier ins-
2.16 Gráfica aceleración-tiempo (a..-t) pa-
tante 1 es entonces la velocidad inicial va. (en 1= O) más el cambio en la velocidad
ra movimiento rectilíneo con aceleración
a..,t. Gráficamente, podemos considerar la altura V r de la gráfica de la figura 2.17 positiva constante aro
en un instante 1 como la suma de dos segmentos: uno con longitud VIb: igual a la
velocidad inicial y otro con longitud a..,t igual al cambio de velocidad durante el
intervalo l. La gráfica de velocidad en función del tiempo es una linea recta con
pendiente a r que interseca el eje vertical (eje u) en unr.
Otra interpretación de la ecuación (2.8) es Que el cambio de velocidad vr - v(Ir
de la partícula entre 1 = O Yun ( posterior es igual al área bajo la gráfica ar-I entre lIr -----------
esos dos instantes. En la figura 2.16, el área bajo la curva ar-I es el rectángulo verde
con lado vertical a~ y lado horizontal l. El área del rectángulo es a..,t, que por la ecua-
ción (2.8) es igual al cambio en velocidad V" - VIh- En la sección 2.6 veremos que
aun si la aceleración no es constante, el cambio de velocidad durante un intervalo es
igual al área bajo la curva ar -', aunque en tal caso la ecuación (2.8) no es válida.
Queremos ahora deducir una ecuación para la posición x de una partícula que o
se mueve con aceleración constante. Para ello usamos dos expresi<?nes para la ve-
2.17 Gráfica velocidad-tiempo (uz·r) para
locidad media umed-r en el intervalo de , = Oa cualquier t posterior. La primera pro- movimiento rectilíneo con aceleración po-
viene de la definición de v-o-r , ecuación (2.2), que se cumple sea constante o no sitiva constante aro La ...elociclad inicial u..
la aceleración. La posición inicial es la posición en 1 = O, denotada con :Co. La po- tambien es positi'3.

16. í
54 CAPÍTULO 2 I MovimienlOenlínearecta
sición en el (posterior es simplemente x. Así, para el intervalo ~t = f - OYel des-
Act¡"V plazamiento correspondiente llx = x - xo, la ecuación (2.2) da
PHyscs x - Xo
u.... ~-- (2.9)
1.1 Análisis del movimiento con I
diagramas También podemos obtener otra expresión para lJ""'d_.. que es válida sólo si a es
constante, de modo que [a gráfica V[f sea una línea recta (como en la Fig. 2.17) Y
1.2 Análisis del movimiento con
gráficas la velocidad cambie a ritmo constante. En este caso, la velocidad media en cual-
quier intervalo es sólo el promedio de las velocidades al principio y al final del in-
1.3 Predicción de un movimiento con
base en gréficas tervalo. Para el intervalo de Oa l,
1.4 Predicción de un movimiento con Vil.< + fJx •(2.10)
base en ecuaciones fJmed-x = (sólo con aceleración constante)
2
1.5 Estrategias para resolver (Esto no se cumple si la aceleración varia y la gnifica ux·t es una curva, como en
problemas de cinemática la Fig. 2.13). También sabemos que, con aceleración constante, la velocidad ux en un
1.6 Esquiador en competencia de instante l está dada por la ecuación (2.8). Sustituyendo esa expresión por fJ x en la
descenso ecuación (2.10),
1
vrned·x = "2(VQx + vil.< + a;)
1
= VO:r + "2axl (s610 con aceleración constante) (2.11)
Por último, igualamos las ecuaciones (2.9) y (2.11) Ysimplificamos el resultado:
I x - Xo
vil.< + -axt = --- o
2 I
II
I
(sólo con aceleración constame) (2.12)
Esta ecuación dice que, en el instante inicial l = O, una partícula está en Xo y tiene
velocidad u¡a; su nueva posición x en un 1posterior es la suma de tres ténninos: su
posición inicial xo, más la distancia vn./ que recorreria si su velocidad fuera cons-
tante y una distancia adicional !axl 2 causada por el cambio de velocidad.
Así como el cambio de velocidad de la partícula es igual al área bajo la gráfi-
ca 0x-t, el desplazamiento -es decir, el cambio de posición- es igual al área
bajo la gráfica Vx·f. Específicamente, el desplazamiento x - Xo de la panícula en-
tre t = OYcualquier instanle 1 posterior es igual al área bajo la curva vx·t entre esos
dos instantes. En la figura 2.17 el área se dividió en un rectángulo oscuro con
lado venical VO:r Y lado horizontall y un triángulo rectángulo claro con lado verti-
cal axt y lado horizontal t. El área del rectangulo es v(hI, y la dellriangulo,
! (o;) (t) = 101, así que el área total bajo la curva es
I
x - Xo = Uful + '2a;2
lo que concuerda con la ecuación (2.12).
El desplazamiento durante un intervalo siempre puede obtenerse del área bajo
la curva vx·t, incluso si la aceleración no es constante, aunque en tal caso la ecua-
ción (2.12) no es válida. (Demostraremos esto en la sección 2.6.)
Podemos comprobar si las ecuaciones (2.8) y (2.12) son congruentes con el su-
puesto de aceleración constanle derivando la ecuación (2.12). Obtenemos
dx
ti =-=tI
xdrU<·t
+at

17. 2.4 I Movimiento con aceleración conslanle 55
que es la ecuación (2.8). Diferenciando otra vez, tenemos simplemente
Act¡"v
du.
-~a
dI •
Physcs
1.8 Los cinturones de seguridad
como era de esperar. salvan vidas
En muchos problemas, es útil tener una relación entre posición, velocidad y
1.9 Frenado con derrape
aceleración que no incluya el tiempo. Para obtenerla, despejamos I en la ecuación
(2.8), susliruimos la expresión resultante en la ecuación (2.12) y simplificamos: 1.11 Auto arranca y luego se para
1.12 Resolución de problemas con
dos vehlculos
1.13 Auto alcanza a camión
1.14 Cómo evitar un choque ~or atrás
Transferimos el termino Xo al miembro izquierdo y multiplicamos la ecuación JXlr 2ax :
2a.(x - xo) = 2u(lru~ - 2uo} + u} - 2u(lrv" + va}
Por último, al simplificar obtenemos
(sólo con aceleraci6n constante) (2.13)
Podemos obtener una relación más útil igualando dos expresiones para U...o.:r>
ecuaciones (2.9) y (2.10) y multiplicando por t. Obtenemos
u.)
x-.xo=
l u", +
2
I (s610 con aceleración constante) (2.14)
Observe que la ecuación (2.14) no contiene la aceleración O". Esta ecuación es util
cuando 0x es constante pero se desconoce su valot.
Las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) Y(2.14) son las ecuaciones delmovimien-
to CO/1 aceleración conslollte. Con ellas, podemos resolver cualquier problema de
cinemática que implique movimiento rectilineo de una partícula con aceleración
constante.
La figura 2.18 es una gráfica de la coordenada x en función del tiempo para
movimiento con aceleración conslante; es decir, es la gráfica de la ecuación
(2.12); la grafica x-f para aceleración constante siempre es una parábola. La cur-
va interseca el eje vertical (x) en xl), la posición en f = O. La pendiente de la tan- Pendienle '" ti"
gente en t - Oes VQn la velocidad inicial, y la pendiente de la tangente en cualquier
t es la velocidad u" en ese instante. La grafica de la figura 2.18 es cóncava hacia
arriba. La pendiente y la velocidad aumentan conlinuamente, así que la acelera-
ción es positiva. Si o" es negativa, la gráfica x·t es una parábola cóncava hacia abajo. "'o
I...e..--r PendieDte ., Vo.
~
En el caso particular de movimiento con aceleración constante ilustrado en la ,
figura 2.15 y graficado en las figuras 2.16, 2.17 Y2.18, los valores de Xo. uQr Y o"
son positivos. Vuelw a dibujar las figuras para los casos en que una, dos o las lTes o
cantidades son negativas.
2.18 Gnifica de posición contra tiempo
Un caso especial de movimiento con aceleración constante se da cuando la ace- (X+/) para movimienlo m;tilineo con acele-
leraci6n es cero. La velocidad es conSlante, y las ecuaciones del movimiento se ración constante. Esta gráfica se refiere al
convierten sencillamente en mismo movimiento que las figuras 2.15.
2.16 Y2.17. En esle caso, la posición ini·
u" = UOJ: = constante cial xI), la velocidad inicial un. y la acelera-
x= Xo +'u"t ción o" son positivas.

18. 56 CAPÍTUL02 I Movimienloen línea recia
Estrategia para
resolver problemas Movimiento con aceleración constante
IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: En casi lodos los pro- está la partícula cuando tiene cierta velocidad (o sea,
blemas de movimiento reclilíneo, podrá usar las ecuaciones de cuánto vale x cuando f)~ tiene ese valor)? El ejemplo 2.4
aceleración constante, aunque a veces se topará coo situaciones pregunta "¿Dónde está el motociclista cuando su veloci-
en las que la aceleración no es constante. En tales casos. necesi- dad es de 25 mis'!' En símbolos, esto es "¿Cuánto vale x
tará otra estrategia (véase sección 2.6). cuando v~ .. 25 mis?"
4. Haga una lista de las cantidades como x, xo, v,,, !Jo.. a~ y t.
PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos: En general, algunas serán conocidas y otras no. Escriba
l. Es preciso decidir al abordar un problema dónde está el los valores de las conocidas y decida cuáles de las varia-
origen de las coordenadas y cual dirección es positiva. El cri- bles son las incógnitas. No pase por aito información im-
terio suele ser la comodidad. Lo más fiícil suele ser colo- plicita. Por ejemplo, "un auto está parado ante un
• car la partícula en el origen en t - O; así,.l:o - O. Siempre semaforo" implica va. = O.
es útil un diagrama de movimiento que muestre estas de-
cisiones y algunas posiciones posteriores de la particula. EJECUTAR la solución: Escoja una ecuación de las ecuaciones
2. Recuerde que la dirección positiva del eje detennina auto- (2.8), (2.12), (2.13) Y(2.14) que contenga sólo una de las incóg-
máticamente las direcciones positivas de la velocidad y la nitas. Despeje la incógnita usando sólo símbolos, sustituya los
aceleración. Si x es positiva a la derecha del origen, u~ y o" valores conocidos y calcule el valor de la incógnita. A veces ten-
también son positivas hacia la derecha. drá que resolver dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.
3. Primcro replantee el problema con palabras y luego tra-
duzca su descripción a símbolos y ecuaciones. ¿Cuando EVALUAR la respuesta: Examine sus resultados para 'er si son
llega la partícula a cierto PUnlO (cuánto vale t)1 ¿DQnde lógicos. ¿Eslin dentro del intervalo general esperado de valores?
Ejemplo
2.4 Cálculos de aceleración constante
Un motociclista que viaja al este cruza una pequeña ciudad de lowa posición"inicial es "1l- 5.0 m y la velocidad inicial es [la.. 15 mis.
y acelera apenas pasa el letrero que marca el1imite de la ciudad La aceleración constante es as. 4.0 mls 2. Las variables desconoci·
(Fig. 2.19). Su aceleración constante es de 4.0 mls1 . En r- O, esta a das en la parte (a) son: los valores de la posición x y la velocidad v~
5.0 m al este del letrero, moviéndose al este a 15 mis. a) Calcule su en el instante posterior t =< 2.0 s; la incógnita en la parte (b) es el va-
posición y velocidad en t - 2.0 s. b) ¿Dónde está el motociclista lor dex cuando Us '" 25 mis.
cuando su velocidad es de 25 mis?
EJECUTAR: a) Podemos hallar la posición en I • 2.0 s usando la
El!!IiI':'IlI ecuación (2.12) que da la posición x en función del tiempo t:
IDENTIFICAR: El enunciado del problema nos dice explicitamente
que la aceleración es constante, así que podemos usar las ecuacio- I ,
x=r·+u(lo +-at·
.,. 2~
nes para aceleración constante.
PLANTEAR: Tomamos el letrero como origen de coordenadas (x = = 5.0m + (15m1s)(2.0s) + ~(4.0m/s2)(2.0sF
O) Ydecidimos que el eje +x apunta al este (Fig. 2.19). En t - 0, la = 43 m
Podemos hallar la velocidad en ese instante con la ecuación (2.8),
que da la 'elocidad u.. en función del tiempo t:
v~ '= uQr + a,,1
'= 15 mis + (4.0 mI¡){20 s) '= 23 mis
x (este) b) Para la solución de la parte (a), vemos quc la velocidad es v. '"
o ·'0 25 mis en un instante posterior a 2.0 s y a más de 43 m del letrero.
,-O Por la ecuación (2.13), tenemos
~.19 Motociclista viajando con aceleración constante. V~2 '= V(lol + 2aAx - "1l)