Matematika Finansial, Optimal Consumption and Portfolio Strategies

1. OPTIMAL CONSUMPTION AND
PORTFOLIO STRATEGIES
1
Jurusan Matematika –
FMIPA
Universitas Negeri
Makassar

2. 2
Lampiran: Bukti
Prinsip
Pemrograman
Dinamis
Hubungan
Preferensi dan
Fungsi Utilitas
Diskrit Waktu –
Maksimalisasi
Utilitas
Maksimalisasi
Utilitas dalam
Waktu Kontinyu
Pendekatan
Dualitas/
Martingale
untuk
Maksimalisasi
Utilitas
Biaya Transaksi
Ketidaklengkapa
n dan Informasi
Asymetric
MATERI PEMBAHASAN

3. Dengan menggunakan persamaan pada model Diskrit-Time
maka kita dapat mengetahui kemungkinan pengeluaran
tambahan di luar pasar keuangan. Adapun persamaan
matematisnya yakni:
3

4. Dalam strategi portofolio. Strategi dapat diterima jika
tak negatif (untuk alasan ekonomi yang jelas), proses
disesuaikan; yaitu harus ditentukan dari informasi yang
tersedia pada saat kekayaan terminal yang sesuai
memenuhi dimana kebangkrutan tidak diperbolehkan.
Berikut swadana kondisi dipenuhi:
4

5. Cara untuk membandingkan pilihan-pilihan konsumsi yang
berbeda-beda yang kemudian menghasilkan sifat-sifat
prefensi konsumen. Yakni:
 Completeness (Kelengkapan)
 Transitivity (Transitivitas)
 Monotonicity (Kemonotonan)
 Convexity (Kecembungan)
5

6. Diferensiabilitas tidak diperlukan untuk alasan ekonomi,
tetapi untuk alasan teknis, dalam rangka memecahkan
masalah optimasi investor. Berikut contoh umum dari fungsi
utilitas yang sering digunakan dalam model keuangan:
 Logarithmic utility:
 Power Utility:
 Exponential utility:
 Quadratic utility:
6

7. Dalam kasus periode tunggal, tujuan Taf untuk
memaksimalkan nilai:
Dimana U1 dan U2 adalah dua fungsi utilitas.
Dalam kasus cakrawala tak terbatas, T = ∞
7

8. Periode tunggal
Metode Lagrangian:
8

9. Untuk menentukan proporsi yang optimal kekayaan yang akan
diasetkan dapat dipertimbangkan dengan menggunakan
model periode tunggal sebagai berikut:
Dimana merupakan portfolio weight dan sebanding dengan
perbedaan antara pengembalian yang diharapkan dari saham
relatif.
9

10. Dalam hal penyelesaian model multiperiod dapat
menggunakan prinsip pemrograman dinamis, atau
persamaan Bellman sebagai berikut:
Selanjutnya untuk mengetahui proporsi kekayaan yang
diinvestasikan dalam keamanan berisiko pada saat t, maka
dapat digunakan:
10

11. Untuk strategi portofolio diberikan (belum tentu
optimal) kami memperkenalkan terkait utilitas yang
diharapkan
Misalkan bahwa strategi portofolio adalah bentuk
umpan balik
untuk beberapa fungsi deterministik
11

12. Dalam hal Taf juga peduli tentang konsumsi dan akan
menghadapi masalah optimasi sebagai berikut:
Selain memaksimalkan atas proses portofolio , Taf juga
harus memilih proses konsumsi yang optimal untuk negara .
12

13. Hamilton Jacobi-Bellman-parsial (HJB PDE)
di mana kita asumsikan bahwa kondisi awal adalah
, yaitu, Taf dimulai dengan dolar di waktu . Supremum
adalah mengambil alih semua portofolio diterima.
13

14. Pemrograman dinamis adalah pendekatan standar untuk memecahkan
masalah maksimisasi utilitas. Baru-baru ini, pendekatan lain telah
dikembangkan dalam keuangan dan berlandaskan pada konsep
matematika untuk memecahkan masalah keuangan tersebut. Hal ini
didasarkan pada hubungan antara harga / lindung nilai surat berharga
dan solusi optimal untuk masalah maksimisasi utilitas. Kami hadir
pertama kali dalam model periode tunggal sederhana binomial.
14

15. Model ini merupakan model pasar saham (trading) dengan satu periode
(one time step) dengan kata lain pada model ini hanya terdapat dua
waktu trading yaitu pada saat t=0 dan t =1. Seperti telah dibahas
sebelumnya, maka pada akhir periode yaitu pada saat t = 1 pergerakan
harga saham hanya ada dua kemungkinan yaitu harga saham naik
sebesar u dengan peluang sebesar p atau harga saham turun sebesar d
dengan peluang sebesar (1 – p).
Misalkan menyatakan harga saham pada saat t = 0 , maka pada akhir
periode S (0), dapat berubah menjadi S(1) .
15

16. Kami pertama menyajikan cara yang informal untuk menemukan solusi
optimal. Mengabaikan nilai yang diharapkan,membedakan dalam
ekspresi terhadap X(T) dan pengaturan yang sama derivatif nol, kita
mendapatkan: U’(X (T)) = λZ (T). Dimana X (T) untuk kekayaan terminal
yang optimal. Yang menunjukkan bahwa
fungsi invers dari U’ utilitas marjinal, persamaan terakhir menjadi
16

17. TEOREMA 4.2 Jika M adalah suatu proses martingale disesuaikan dengan
informasi yang dihasilkan oleh Proses gerak Brown W, maka ia memiliki
representasi dalam bentuk :
untuk beberapa φ proses disesuaikan. Secara khusus,
Dari teorema diatas, kita peroleh:
17

18. Ada dua kasus utama, berbeda dalam jenis perdagangan Taf harus
dilakukan ketika hal ini terjadi:
Jika biaya transaksi adalah sebanding dengan jumlah yang ditransfer,
ketika portofolio mendapat proporsi jauh dari 70% pada saham,
katakanlah di atas 78%, Taf perdagangan Seharusnya hanya sedikit
sehingga untuk mendapatkan sedikit lebih dekat ke 70%, katakanlah
kembali ke 78%;
Jika biaya transaksi adalah tetap terlepas dari ukuran transaksi, ketika
Proporsi portofolio mendapat saham taf perdagangan jauh dari 70%
sehingga harus mendapatkan semua cara kembali ke 70%.
18

19. Dari kendala anggaran individu yang dimulai dengan x kekayaan awal dan
membeli saham δ dari keamanan berisiko, kita mendapatkan:
Ini memiliki bentuk yang lazim: penyelenggaraan optimal saham sebanding
dengan syarat diharapkan pengembalian saham dan berbanding terbalik
dengan (bersyarat) varians, disesuaikan oleh tingkat penghindaran risiko.
Dalam kasus sederhana, ketika kedua S (1) dan Y biasanya didistribusikan,
kita dapat menghitung secara eksplisit ekspektasi bersyarat dan variansi.
19

20. Kita sekarang mempertimbangkan model kontinu-waktu
di mana μ melayang saham adalah proses acak diberikan. Taf tidak
mengamati nilainya pada t tapi mengetahui distribusi probabilitas nya. Taf
mengamati harga saham dan, melalui mereka, belajar lebih banyak dan lebih
lanjut tentang nilai μ seiring berjalannya waktu.
20

21. Mari kita perhatikan apa yang terjadi pada nilai S jika dimasukkan,
maka persamaan yang didapatkan
Ini adalah proses inovasi yang terkenal dari teori penyaringan.
21

22. Kita asumsikan dengan mensibtusikan tipe markovian
dengan anggapan ekspektasi bersyarat yaitu Informasi
yang diberikan hingga waktu t+iT , hanya tergantung pada
nilai-nilai variabel dalam model acak pada waktu
t+i(termasuk (t+i)), dan bukan pada nilai-nilai massa
lalu dari variabel acak pada waktu pada waktu-waktu
sebelumnya yaitu t+1
22

23. 23
Terima
kasih