Projeto de estruturas de concreto pretensado

PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONRETO PROTENDIDO

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................ 7
2. DESCRIÇÃO DO ELEMENTO ESTRUTURAL .................................................................................... 7
2.1- Nome do elemento............................................................................................................................. 7
2.2- Função e relação com outros elementos dos sistemas ....................................................................... 7
2.3- Dados da seção transversal e da seção longitudinal .......................................................................... 8
2.3.1- Pré-dimensionamento da altura da seção ................................................................................... 8
2.4- Ações sobre o elemento ..................................................................................................................... 8
3. DESCRIÇÃO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO E MONTAGEM ................................................... 8
3.1- Fôrmas ............................................................................................................................................... 9
3.2- Armaduras ....................................................................................................................................... 10
3.3- Concretagem.................................................................................................................................... 11
3.3.1- Dosagem................................................................................................................................... 12
3.3.2- Lançamento do concreto .......................................................................................................... 12
3.3.3- Adensamento do concreto ........................................................................................................ 13
3.3.4- Cura .......................................................................................................................................... 13
3.3.5- Injeção de Bainhas e arremates de extremidades ..................................................................... 14
3.3.6- Posicionamento das bainhas e armadura e pós-tração.............................................................. 16
3.3.7- Transporte interno à fábrica ..................................................................................................... 16
3.3.8- Estocagem ................................................................................................................................ 17
3.3.9- Transporte externo à fábrica..................................................................................................... 17
3.3.10 Montagem e fixação dos elementos......................................................................................... 18
3.3.11 Tipo e nível protensão utilizado e seus parâmetros ................................................................. 18
4. MATERIAIS ........................................................................................................................................... 19
4.1 Concreto............................................................................................................................................ 19
4.1.1 Resistência à compressão aos j dias de idade ............................................................................ 19
4.1.2 Resistência à tração aos j e 28 dias de idade.............................................................................. 20
4.1.3 Módulo de Elasticidade ............................................................................................................. 21
4.2 Aço de protensão (armadura ativa) ................................................................................................... 22
4.2.1 Cuidados com a estocagem e características as armaduras ativa............................................... 22
4.2.1 Formas de apresentação............................................................................................................. 22
5. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E MECÂMINCAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL ............. 23

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5.1 Seção bruta........................................................................................................................................ 23
5.2 Seção homogeneizada ....................................................................................................................... 24
5.2.1 Caracteristicas da seção homogeneizada ................................................................................... 24
6. TENSÕES E ESFORÇOS DEVIDO ÀS AÇÕES PERMANENTES E VARIÁVEIS .......................... 26
6.1 Peso próprio, acessórios, utilização e sobrecarga ............................................................................. 26
6.2 Tensões e módulo de resistência ....................................................................................................... 26
6.3 Tensões devido à ação permanente da protensão.............................................................................. 27
7. RECÁLCULO DAS CARACTERISTICAS GEOMÉTRICAS seção homogeinizada (αe = 15) ........... 27
8. RECÁLCULO TENSÕES E ESFORÇOS (ações permanentes e variáveis: αe = 15)........................... 28
8.1 Peso próprio, acessórios, utilização e sobrecarga ............................................................................. 28
8.2 Tensões e módulo de resistência ....................................................................................................... 29
8.3 Tensões devido à ação permanente da protensão.............................................................................. 29
9. ESTIMATIVA DA FORÇA DE PROTENSÃO..................................................................................... 30
9.1 Tensões limites nos cabos mobilizadas pela protensão (NBR-6118/2003) ...................................... 30
9.2 Verificação simplificada do concreto (NBR-6118/2003) ................................................................. 30
9.3 Combinações de ações ...................................................................................................................... 30
9.3.1 Combinação quase permanente (estado limite de descompressão) ........................................... 31
9.3.2 Combinações freqüentes (estado limite de formação de fissuras) ............................................. 31
9.4 Força no nível de prontesão limitada ................................................................................................ 32
9.4.1 ELS- Formação de fissuras........................................................................................................ 32
9.4.2 ELS- Descompressão................................................................................................................. 32
9.5 Cálculo da armadura ativa................................................................................................................. 32
10. PERDAS DE PROTENSÃO................................................................................................................. 32
10.1 Perdas instantâneas ......................................................................................................................... 33
10.1.1 Perdas por encurtamento imediato do concreto....................................................................... 33
10.1.2 Perdas por atrito....................................................................................................................... 34
10.2 Perdas retardadas (progressivas) ..................................................................................................... 34
10.2.1 Retração, fluência e relaxação ................................................................................................. 34
10.2.1.1 Retração do concreto ........................................................................................................ 35
10.2.1.2 Fluência do concreto ........................................................................................................ 36
10.2.1.3 Verificação do processo aproximado ............................................................................... 37
10.2.1.4 Cálculo da perda de protensão devido à fluência e retração e relaxação do aço .............. 38
11. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS ......................................................................................................... 39
11.1 Introdução ....................................................................................................................................... 39

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11.2 Estado limite último devido à solicitações normais........................................................................ 39
11.2.1 Domínio de deformações......................................................................................................... 39
11.2.2 Hipóteses de cálculo ................................................................................................................ 40
11.2.2.1 Verificação da viga protendida no estado limite ultimo................................................... 42
11.2.3 Estado Limite último de ruptura no ato da protensão .............................................................. 46
11.2.3.1 Verificação simplificada do concreto............................................................................... 46
11.3 Estados limites últimos devido a solicitações tangenciais .............................................................. 48
11.3.1 Cálculo da resistência .............................................................................................................. 48
11.3.2 Método de cálculo utilizado: modelo II................................................................................... 49

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LISTAS DE FIGURAS

FIGURA 1- SEÇÃO TRANSVERSAL .................................................................................................................. 8
FIGURA 2 – SEÇÃO LONGITUDINAL ............................................................................................................... 8
FIGURA 3 - SUGESTÃO PARA A ESCOLHA DO TIPO DE FORMA: ................................................................... 10
A)

FORMA DE MADEIRA, SE A VIBRAÇÃO FOR INTERNA .......................................................................... 10

B)

FÔRMAS METÁLICAS, COM O FUNDO SOBRE APOIOS ELÁSTICOS, SE A VIBRAÇÃO FOR EXTERNA ...... 10

FIGURA 4 – SERVIÇOS DE MONTAGEM DE ARMADURAS (PASSIVA E ATIVA) SOBRE O BERÇO DE
CONCRETAGEM ................................................................................................................................... 11

FIGURA 5 – ÁREA COBERTA PARA PREPARAÇÃO PRÉVIA DE CABOS E BAINHAS ......................................... 11
FIGURA 6 – TRANSPORTE INTERNO A FÁBRICA ........................................................................................... 16
FIGURA 7 – ESTOCAGEM ............................................................................................................................. 17
FIGURA 8– MONTAGEM E FIXAÇÃO À ESTRUTURA...................................................................................... 18
FIGURA 9- DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO ...................................................................................................... 40
FIGURA 10- HIPÓTESES DE CÁLCULO .......................................................................................................... 41

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LISTAS DE SIMBOLOS

L: comprimento do vão da viga
h: altura da seção da viga
d: altura útil para em relação a armadura passiva
fck: resistência característica do concreto à compressão aos 28 dias
fckj:resistência característica do concreto aos j dias
fct: resistência à tração direta
fct, m: resistência à tração direta média
fct, sup: resistência à tração direta superior
fct, inf: resistência à tração direta inferior
Eci: Modulo de deformação tangente inicial
Esc: Módulo de elasticidade secante
Ep: modulo de elasticidade do aço (fios e cordoalhas)
Ii: momento de inércia da seção i
Ai: área da seção i
Wa: taxa mecânica da alma
fptk: resistência característica do aço
fptd: resistência característica do aço de cálculo
fytk: tensão de ruptura do aço
ρ: taxa geométrica estimada
αe: relação entre os módulos de elasticidade do aço e concreto
W: módulo de resistência
inf: inferior
sup: superior
σp: tensão da protensão
σpi: tensão limite (para a força aplicada pelo equipamento de transferêcia) do aço
Pi: força de transferência (força máxima aplicada pelo equipamento de tração)
P ∞ : força de protensão limitada estimada
Ap : área de aço de protensão
σcg: Tensão total no concreto devido a protensão no C.G. da armadura ativa
σcp: Tensão total no concreto devido devido a carga permanente no C.G. da armadura ativa
x: abscissa do ponto onde se calcula ΔP, medida a partir da ancoragem, em metros

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Σα: é a soma dos ângulos de desvios entre a ancoragem e o ponto de abscissa x, em radianos
μ: coeficiente de atrito aparente entre o cabos e a bainha
k: coeficiente de perda por metro
t: idade fictícia do concreto
Δtef, j: periodo em dias, em qual, a temperatura média diária do ambiente
φa(t, t0): coeficiente de fluência rápida

ϕ f ∞ : valor final do coeficiente de deformação lenta:
ϕ1c : coeficiente dependente da umidade
ϕ 2c : coeficiente dependente da espessura fictícia
βf (t) ou βf (t0): Coeficiente relativo a retração, no instante t ou t0
hfic: espessura fictícia da peça
Uar: perímetro em contato com o ar
ε2s: coeficiente dependente da espessura fictícia da peça
ε1s: coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente e da concistêcia do concreto

ϕ d ∞ : valor final do coeficiente de deformação lenta irreversível, função da idade do concreto
βd: coeficiente relativo à deformação lenta reversível

ε ∞ : valor final da retração
cs
φ(t, t0):coeficiente de fluência
σc,pog: é a tensão no concreto adjacente ao cabo resultante, positiva se de compressão, em megapascal
γp: coeficiente de ponderação das ações no estado limite último
γg: coeficiente de ponderação das ações no estado limite último para ações permanentes e combinação
normal;
γq: coeficiente de ponderação das ações no estado limite último para ações variáveis e combinação normal;
ψ0: coeficiente de ponderação das ações no estado limite último para cargas acidentais

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1. INTRODUÇÃO
A protensão pode ser definida como a indução de um estado especial de tensões e deformações com o
objetivo de melhorar o comportamento estrutural de uma peça. A protensão pode ser obtida através de
deslocamentos dos apoios ou pro pré-alongamento nas armaduras. Em ambos os casos, ocorrem efeitos
importantes de retração e fluência no concreto. Por permitir um melhor controle desses efeitos, o método
utilizado hoje em dia em concreto protendido é o de introdução da protensão através de armaduras.
As estruturas de concreto protendido podem ser pré ou pós-tracionadas. As peças pré-fabricadas são
normalmente pré-tracionada, onde o concreto é moldado sobre a fôrma já contendo o aço tracionado
contra os blocos de ancoragem externos à peça. Na pós-tração, o aço somente é tracionado após a
moldagem e secagem da peça em concreto, contra a própria peça. As bainhas normalmente são injetadas
com grout após a protensão, para permitir aderência entre o concreto e a armadura, e proteger esta ultima
contra a corrosão. A tendência moderna, no entanto, é de estarem combinados os dois tipos de protensão
nas diversas obras.
Nos dias de hoje, grande parte das pontes em concreto são protendidas. Realmente, o concreto protendido
reina entre as estruturas de pontes de grandes vãos. O fato de protender as obras traz inúmeras vantagens,
entre elas, ganho de resistência e rigidez (devido ao controle da fissuração), o que permite o alcance de
maiores vãos.

2. DESCRIÇÃO DO ELEMENTO ESTRUTURAL
2.1- Nome do elemento
Viga pré-moldada protendida com aderência posterior e protensão limitada, produzida em canteiros de
obra-de-arte especiais (VPMP), da disciplina de Estruturas de Concreto Protendido.
2.2- Função e relação com outros elementos dos sistemas
A VPMP é um dos componentes estruturais de uma passarela, para a transposição de pedestre da BR-101.
Vide figura 8.

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2.3- Dados da seção transversal e da seção longitudinal
2.3.1- Pré-dimensionamento da altura da seção
O pré-dimensionamento foi com base na relação vão/altura (L/h), que pode variar entre 12 e 22. Logo,
temos:

L 1200
L 1200
0,5454 = 55 cm ≤ h ≤
=
=
= 100 cm . Escolhendo o limite superior, temos h =
12
12
22
22

100 cm. Portanto as dimensões finais estão indicas figura abaixo:
Figura 1- Seção transversal

60

20

120

20

60

20
35
20
25

100

Dimensões em centímetros

Figura 2 – Seção longitudinal

2.4- Ações sobre o elemento

Ações permanentes: peso próprio e acessórios (0,4 KN/m²)
Ações variáveis: utilização (2,0 KN/m²) e sobrecarga ou acidental (2,5 KN/m²)

3. DESCRIÇÃO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO E MONTAGEM

A fabricação da VPMP compreende basicamente as fases relativas aos serviços de montagem das
armaduras (passiva e ativa), montagem das fôrmas, concretagem (dosagem, mistura, transporte,

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lançamento, adensamento e cura), desforma, protensão dos cabos, injeção de bainhas e arremates de
extremidades.
Os serviços mencionados devem ser executados com controle de qualidade, segundo procedimentos
previamente definidos e de acordo com as normas técnicas vigentes, respeitando-se as definições contidas
no projeto e suas especificações.
A seguir, são destacados aspectos considerados importantes para a melhoria da qualidade na fabricação de
VMPS, considerando alguns relativos: às formas, abordando o tipo de forma, seu dimensionamento e a
montagem das mesmas; às armaduras passiva e ativa, incluindo a protensão dos cabos; à concretagem,
relativamente ao lançamento, ao adensamento e à cura; e à injeção de bainhas e arremates de
extremidades.
3.1- Fôrmas

O tipo de forma a ser utilizado é de fundamental importância para a fabricação de uma VPMPS com a
qualidade desejada. Feita a escolha segundo critérios estéticos, considerando a aparência ou a
uniformidade com obras existentes, ou critérios econômicos, considerando o aproveitamento de formas
utilizadas em uma outra obra, por exemplo, ou o número de reutilizações, às formas devem ser
corretamente projetadas e dimensionadas, conforme se esclarecerá a seguir.
Ao tratar dos tipos a serem escolhidos para a fabricação de vigas, as escolhas das mesmas deve estar
vinculada ao tipo de vibração a ser feita sugerindo que, para um pequeno número de vigas (inferior a 40,
por exemplo), sejam utilizadas formas de madeira, devendo a vibração ser feita por meio de vibrador de
imersão, alertando ser indispensável à abertura de um grande número de janelas no talão, a fim de
facilitar sua concretagem. Caso contrário, uma sugestão, pode ser a utilização de fôrmas metálicas, que
permitem a vibração pelo fundo e pelas laterais da fôrma, ressaltando que o metal vibra melhor que a
madeira e que é possível reduzir a espessura da alma da viga devido à não utilização de vibradores de
imersão. Vale salientar, ainda, que neste caso, a vibração se dá com o uso de vibradores dispostos nas
laterais e que o fundo da fôrma se apóia sobre apoios elásticos (borracha). A figura seguir mostra
esquematicamente as duas situações.

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Figura 3 - Sugestão para a escolha do tipo de forma:
a)

Forma de madeira, se a vibração for interna

b) Fôrmas metálicas, com o fundo sobre apoios elásticos, se a vibração for externa

Por outro lado, se a velocidade de concretagem for mais baixa, o concreto endurecido de fundo da viga
contribuirá para reduzir o empuxo que atuará nas laterais das fôrmas, pois o empuxo efetivamente atuante,
que é uma pressão hidrostática modificada, é função da densidade, da velocidade de lançamento do
concreto, de sua temperatura, do uso de aditivos retardadores e das vibrações decorrentes do método de
adensamento utilizado.
Referindo-se a desmoldagem de elementos pré-moldados, a NBR-9062 recomenda que as fôrmas devem
apresentar as condições para facilitar essa operação, sem danifica-los, como previsão de ângulos de saídas,
livre remoção das laterais e cantos chanfrados ou arredondados. Já a NBR-7187, referindo-se à qualidade
da forma, recomenda que, salvo indicações em contrários, todos os cantos externos aparentes dos
elementos a serem concretados devem ser dotados de chanfros em forma de triângulo isósceles, com lados
iguais medindo 2 cm de modo a eliminar arestas vivas, pois estas ficam mais expostas à: penetração de
fluidos e de gases, variações térmicas, lembrando ainda que as arestas vivas são as mais sujeitas a danos
devido à abrasão e impactos.
3.2- Armaduras

As armaduras ativas e passivas são montadas sobre o próprio berço da concretagem conforme,
pode-se notar, na figura 4. A figura 5 mostra área coberta para preparação dos cabos e bainhas,
em área protegida, seja a mais recomendável, é comum que o corte de cordoalhas (fornecidas em
bobinas) e emendas de bainhas seja feito no próprio local, concomitantemente à execução dos
serviços de montagem de armadura passiva.

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Figura 4 – Serviços de montagem de armaduras (passiva e ativa) sobre o berço de concretagem

Figura 5 – Área coberta para preparação prévia de cabos e bainhas

A NBR-7187, ao referir-se particularmente à exatidão e à solidez da montagem das armaduras de
protensão, alerta que qualquer irregularidade no seu traçado pode criar empuxos em vazio capazes de
provocar desordens no concreto ou na fissuração. Contudo a curvatura dos cabos de protensão faz com
que a armadura tensionada exerça uma pressão radial sobre o concreto – empuxo, e que, quando o
concreto pela sua espessura ou resistência não oferece condições de equilibrar esse empuxo, diz-se que a
protensão está exercendo um “empuxo no vazio”, exigindo medidas, como disposição de armadura, para
evitar rupturas ou danos. Assim, ao ser constatada a ocorrência de alguma não-conformidade, deve-se
comunica-la imediatamente ao projetista para a verificação e orientação pertinentes.
3.3- Concretagem

A concretagem sem dúvidas é o processo responsável por grande parte da qualidade da estrutura como um
todo, pois ela também pode ser a causa de grandes patologias na estrutura pela maneria artesanl realizadas
nos canteiros de obra como um todo. A seguir apresentaremos alguns aspectos intervenientes deste
processo.

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3.3.1- Dosagem

A dosagem do concreto, visando a obtenção de um concreto com a qualidade e características
especificadas, deve levar em conta o adequado proporcionamento dos materiais que o constituem;
cimento, agregado graúdo, agregado miúdo, água e eventualmente, aditivos, o que requer a participação de
técnicos com larga experiência nesse campo. Para se alterar a resistência à compressão, é necessário atuar
sobre o grau de hidratação, por meio de mudanças do tipo de cimento (composição química ou
características físicas), alterando nas condições de cura (idade, umidade e temperatura) e emprego de
aditivos aceleradores ou retardadores ou atuar sobre a relação água/cimento, por meio de mudança do tipo
de cimento (finura ou composição química), mudança dos agregados (textura, dimensão, granulometria e
absorção de água) e emprego de aditivos redutores de água ou superplastificantes. Entretanto, se trata de
uma equação teórica, cuja aplicação tem finalidade mais didática, no sentido de contribuir para o
entendimento de estrutura interna do concreto, do que para obtenção de parâmetros práticos de aplicação
direta.
Em relação o uso de aditivos, a NBR-7197 estabelece que os mesmo podem ser utilizados com o objetivo
de melhorar a trabalhabilidade, reduzir a relação água/cimento ou obter um concreto com maior
compacidade e impermeabilidade. Entretanto, alerta que tais aditivos quando empregados em concreto de
argamassa ou pasta em contato com a armadura de protensão, inclusive a calda de injeção, não devem
conter ingredientes que possam provocar corrosão do aço. Nesse sentido são proibidos aditivos que
contenham cloreto de cálcio ou qualquer outro halogeneto.
3.3.2- Lançamento do concreto

A fim de se evitar a segregação à mistura, é importante que o lançamento do concreto seja realizado em
camadas, definidas por meio de um prévio e adequado plano de concretagem, que deve definir os pontos
de lançamento, em função do comprimento da peça, o que, também, ajuda a evitara ocorrência de outros
defeitos e retrabalhos, que ocorrem com o lançamento em camada única, além de possibilitar a revibração
da camada subjacente. O concreto deve ser depositado o mais próximo possível de cada camada em
processo de lançamento, utilizando-se dispositivos adequados para tal fim ou mesmo aberturas nas laterais
das fôrmas.

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3.3.3- Adensamento do concreto

o adensamento deve ser associar o uso de vibradores externos, com vibradores de imersão com pequeno
diâmetro de garrafa, o qual deve ser função das distâncias livres entre barras e cabos das armaduras ativas
e passivas. É importante aliar a orientação dos fabricantes de fôrmas metálicas e de vibradores com os
procedimentos constantes da literatura técnica sobre o assunto, de forma a se realizar um adequado
adensamento, sem comprometer a aderência das armaduras e sem causar segregação do concreto ou deixar
vazios em sua massa.
Em face dos efeitos benéficos de uma revibração no concreto recém-lançado, quanto à obtenção de maior
compacidade e resistência, recomenda-se que seja avaliada a possibilidade da adoção desse procedimento
que resultará na produção de um concreto com maior durabilidade. A seguir temos um quadro que ilustra
a redução da resistência em relação ao teor de vazios no concreto.
Quadro 1- Efeitos dos vazios sobre a resistência do concreto

3.3.4- Cura

a cura é a operação final na produção do concreto, cujo objetivo, é o de evitar a retração hidráulica que
ocorre nas primeiras idades, quando ainda não foi desenvolvida resistência suficiente para evitar a
formação de fissuras. Enfatizando ser a cura uma das etapas mais importantes para o desenvolvimento da
resistência e da durabilidade de concreto, recomendam a cura úmida, por ser o processo mais indicado
para a aplicação, pela facilidade de aplicação e pela sua eficiência, além de favorecer a dissipação
superficial da temperatura que se desenvolve na massa de concreto devida a hidratação do cimento. Em
geral a cura úmida resulta num concreto menos poroso do que quando se usa um método de cura que
apenas proteja contra a secagem. Além disso, em agradecimentos sob temperaturas altas, recomenda a
cura úmida como sendo a mais conveniente, ressaltando que a mesma deve se dar, sem interrupção, por
um período mínimo de 7 dias.
Enquanto não adquirir endurecimento satisfatório, NBR-14931 estabelece que o concreto deverá ser
adequadamente protegido contra agentes prejudiciais, tais como mudanças bruscas de temperatura,
secagem prematura, chuva forte, água torrencial e agente químicos, bem como contra choques e vibrações

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de intensidade tal que possa causar fissuração na massa do concreto ou prejudicar a sua aderência às
armaduras.
Referindo-se à proteção contra a secagem prematura, que deve ocorrem pelo menos durantes 7 dias
primeiros após o lançamento do concreto, aumentando esse mínimo quanto a natureza do cimento o exigir,
a NBR-14931 recomenda a realização de cura, mantendo-se a superfície umedecida ou protegendo-a com
uma película impermeável. Esclarece, ainda que o endurecimento do concreto pode ser antecipado por
meio de tratamento técnico adequado e devidamente controlado, desde que sejam adotadas medidas de
proteção contra a secagem.
O PCI – MNL 133-97, ao recomendar procedimentos para o cálculo da deformação por retração ,
apresenta, para o caso de cura úmida, valores do coeficiente de retração a serem utilizados como fatores de
correção, tomando como referência um valor unitário correspondente a uma cura pelo período de 7 dias,
conforme mostra a tabela abaixo.
Tabela 1- Fator de correção para o cálculo de deformação por retração
considerando o período inicial de cura

Ao analisar a tabela 1, constata-se a importância da duração da cura úmida para a redução das
deformações por retração.
3.3.5- Injeção de Bainhas e arremates de extremidades

A injeção dos cabos de protensão com calda de cimento, também chamada de calda de injeção, deve ser
realizada o mais rapidamente possível após a protensão dos cabos, e ter como objetivos:
a) Assegurar a aderência mecânica entre o concreto e as armaduras de protensão, em toda sua
extensão;
b) Garantir proteção mínima contra a corrosão dos aços, evitando a infiltração de agentes corrosivos
e constituindo um meio passivo, sem elementos agressivos.

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Calda de injeção como o material resultante da mistura conveniente de cimento, água e, eventual, aditivos,
que se destina ao preenchimento de bainhas ou dutos de armaduras de protensão de peças de concreto
protendido, estabelecendo que o cimento a ser utilizado deve ser o Portland comum ou outro tipo, desde
que o teor de cloro proveniente de cloretos seja no máximo a 0,10% e o teor de enxofre proveniente de
sulfetos seja no Maximo igual a 0,20 %. Além disso, condiciona que a água a ser utilizada deve ser isenta
de teores prejudiciais de substância estranhas e que, o uso de aditivos, que não podem conter componentes
que por si ou em reação com os matériais de calda sejam capazes de atacar o aço, fica subordinado à
realização de ensaios que comprovem melhorias das qualidades da calda.
Para que a calda de injeção cumpra efetivamente os seus objetivos, além da correta seleção dos materiais
componentes apropriados e de uma cuidadosa operação de injeção, é recomendado que sejam feitos
estudos prévios da calda, que incluem o estabelecimento de um adequado programa de injeção, a
realização de ensaios de laboratórios e de campo e, quando dor o caso, de ensaios de injeção em cabostestes, em escala real. Os ensaios recomendados compreendem a determinação de índice de fluidez, vida
útil, índice de exsudação e expansão (quando for utilizado aditivo expansor) e resistência à compressão, a
serem realizados conforme métodos normalizados.
Após a injeção, com calda já endurecida, são cortadas as mangueiras utilizadas na operação e feitos os
acabamentos finais nas extremidades das VPMPs. Após a injeção as peças não devem ser submetidas a
esforços ou vibrações que possam vir a prejudicar a integridade da calda, esclarecendo que, quando essa
integridade não for comprovada por meio de ensaios, a calda deve apresentar uma resistência mínima de
10 MPa.
Os arremates de extremidades da VPMPs podem se limitar ao procedimento dos inchos de ancoragens ou
uma pequena complementação das extremidades das vigas, dependendo das dimensões e da quantidade
das placas de ancoragem. De uma maneira ou de outra, convém lembrar que, sendo a região dos apoios
uma zona sujeita a umidade freqüente, os concretos ou argamassas utilizados devem ser especialmente
dosados e lançados, de forma a se constituírem em tampões impermeáveis e, conseqüentemente, em
efetiva proteção às ancoragens dos cabos protendidos. Considera-se que, sob condições semelhantes, a
influência do concreto na corrosão de peças pós-tracionadas com cabos injetados é menor do que no caso
de peças pré-tracionadas, pois, no caso da pós-tração, os cabos protendidos ficam protegidos dentro das
bainhas e isolados do concreto ao redor. Assim, a presença de íons de cloro, por exemplo, e a redução da
alcalinidade do concreto, terão em efeito menor do que em peças pós-tracionadas com cabos injetados.
Entretanto, enfatizando que a região da ancoragem é uma das mais susceptíveis à corrosão em peças póstracionadas, recomendam o uso de um concreto de boa qualidade e ótimo cobrimento como requisitos para
uma adequada proteção das bainhas. Citando sugestões, registram que a estanqueidade nos cabos pode ser
conseguida com o uso de bainhas plásticas e que, em ambientes agressivos, o cobrimento do concreto

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recomendado nas extremidades dos cabos seja no mínimo de 50 mm. Além disso, é conveniente chamar
atenção para o fato de que, entre a argamassa de preenchimento dos nichos e o concreto ao redor, não
devem ocorrer fissuras de retração, que, uma vez existindo, permitem o acesso de umidade capaz de
deflagrar um processo corrosivo nas armaduras.
3.3.6- Posicionamento das bainhas e armadura e pós-tração

O posicionamento das bainhas é realizado durante o processo de montagem das formas da peça. Após o
lançamento do concreto as cordoalhas são introduzidas no interior das bainhas. Endurecido o concreto, os
cabos são tracionados com auxilio de macacos hidráulicos. Ancora-se o cabo na própria peça com
sistemas capazes de garantir o seu correto posicionamento.
3.3.7- Transporte interno à fábrica

O transporte interno à fábrica é feito através de pontes rolantes, inçando-se a peça em pontos estratégicos
de forma não provocar esforços diferentes daqueles previstos em projeto. Como a viga é projetada para
trabalhar bi-apoiada, deve ser içada pela extremidade. Vide figura 6.
Figura 6 – Transporte interno a fábrica

Foto - içamento

Página 16


3.3.8- Estocagem

A estocagem pode ser feita utilizando-se travessas como suporte e que deverão estar posicionadas como os
apoios da peça em serviço. Vide figura 7.
Figura 7 – Estocagem

3.3.9- Transporte externo à fábrica

O transporte externo à fábrica é feito através de carretas, respeitando-se as recomendações do item 2.5
quanto ao içamento. Como o local da obra é de fácil acesso, o tamanho da peça é em função somente da
limitação da carroceria do caminhão transportador. Deve-se também respeitar o limite de carga imposto
pelo do DNER, no caso de transporte em grande lote, de acordo com o quadro abaixo, (maiores
informações consultar site do DNER ou DNIT).
Valores máximos (DNER)

RSRS

5 tf

RSRD

10 tf

ETD

17 tf

ETT

25,5 tf

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3.3.10 Montagem e fixação dos elementos

Na montagem deve-se também respeitar as recomendações do item 2.5. A viga deve ficar apoiada sobre
aparelhos de neoprene, sendo, portanto, parte integrante do sistema estrutural abaixo. Vide figura 8.
Figura 8– Montagem e fixação à estrutura

Neoprene
Neoprene
Pliar

3.3.11 Tipo e nível protensão utilizado e seus parâmetros

Como o nível de protensão é limitada e o tipo é pós-tração, temos os seguintes parâmetros de acordo com
NBR-6118/2003 (tabelas: 6.1, 7.1,e 7.2):
•

Classe de agressividade ambiental: III

•

Agressividade: Forte

•

Classificação geral do tipo do ambiente para efeito de projeto: Industrial (passagem de veículos)

•

Risco de deteriorização da estrutura: Grande

•

Relação água/cimento em massa: ≤ 50

•

Classe do concreto: ≥ C30

•

Cobrimento da armadura: ≥ 45mm

•

Exigências relativas à fissuração e combinação das ações: ELS-F: combinação freqüente
ELS-D: combinação quase permanente

A protensão no nível limitado foi melhor solução, pois, a passarela encontra-se numa área de intenso fluxo
de veículos, lançando compostos ou substâncias químicas agressivas (SO2, H2S, CO2...) diretamente sobre
a estrutura, que dependendo de várias variáveis, podem acelerar o processo de corrosão tanto do concreto
como da armadura.

Página 18


4. MATERIAIS

As estruturas de concreto devem atender aos requisitos mínimos de qualidade, classificados na NBR6118/2003, durante sua cosntrução e serviço. A durabilidade e segurança da estrutura é diretamente
proporcional à qualidade

dos materiais de construção, principalmente em relação aos materiais

componente da estrutura. A seguir apresentaremos as propriedade dos materiais empregados na estrutura
da VPMP.
4.1 Concreto
4.1.1 Resistência à compressão aos j dias de idade

De acordo com a NBR-6118/2203, a resistência a compressão do concreto aos j dias é dada pela seguinte
expressão: f ckj = β1 ⋅ f ck .Onde: β1 = e

⎧ s⋅⎡1− ( 28 / t ) 1 2 ⎤ ⎫
⎨ ⎢
⎥⎬
⎦⎭
⎩ ⎣

; t = nº de dias de idade; concreto classe C30 (fck = 30

MPa). Para as características e propriedades do cimento, temos o seguinte quadro:

Fonte: ABCP

NBR 5736 – Cimento Portland Pozolânico
NBR 5735 – Cimento Portland de Alto-forno
Os tipos de cimento supra-especificados são os que melhor atendem às exigências para a estrutura em
questão. De acordo com a NBR-61180/2003, temos: s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV.

Página 19


•

Resistência à compressão do concreto aos 7 dias:
β1 = e

•

⎧ 0 ,38⋅⎡1− ( 28 / 7 ) 1 2 ⎤ ⎫
⎨
⎢
⎥⎬
⎣
⎦⎭
⎩

⎧ 0 , 38⋅⎡1− ( 28 / 10 ) 1 2 ⎤ ⎫
⎨
⎢
⎥⎬
⎣
⎦⎭

β1 = e ⎩
•

= 0,68 ⇒ f ckj = 0,68 × 30 = 20,5 MPa

= 0,77 ⇒ f ckj = 0,77 × 30 = 23,2 MPa

⎧ 0 , 38⋅⎡1− ( 28 / 21) 1 2 ⎤ ⎫
⎨
⎢
⎥⎬
⎣
⎦⎭

β1 = e ⎩

= 0,94 ⇒ f ckj = 0,94 × 30 = 28,2 MPa

Supondo que precisaremos de pelo menos de 75% da resistência à compressão do concreto, a protensão
poderá ser aplicada nos 10 primeiros dias de idade, imediatamente após a concretagem da peça. Logo
temos; fck, 10 = 23,2 MPa.
4.1.2 Resistência à tração aos j e 28 dias de idade

•

Resistência à tração do concreto aos 7 dias:
2

f ckj = 20,5 MPa; temos : f ct, m = 0,3 ⋅ 3 f ckj = 0,3 × 3 20,5 2 = 2,24 MPa
f ctj, inf = 0,7 ⋅ f ct, m = 0,7 × 2,24 = 1,57 MPa
f ctj, sup = 1,3.f ct, m = 1,3 × 2,24 = 2,91 MPa

•

2

f ctj, inf = 0,7 ⋅ f ct, m = 0,7 × 2,44 = 1,70 MPa
f ctj, sup = 1,3.f ct, m = 1,3 × 2,24 = 3,17 MPa

•

2

f ctj, inf = 0,7 ⋅ f ct, m = 0,7 × 2,77 = 1,94 MPa
f ctj, sup = 1,3.f ct, m = 1,3 × 2,24 = 3,60 MPa

Página 20


•

2

f ckj = 30 MPa; temos : f ct, m = 0,3 ⋅ 3 f ckj = 0,3 × 3 30 2 = 2,89 MPa
f ctj, inf = 0,7 ⋅ f ct, m = 0,7 × 2,89 = 2,02 MPa
f ctj, sup = 1,3.f ct, m = 1,3 × 2,89 = 3,75 MPa

Como havíamos definido no item 4.1.1, isto é pelo menos 75% da resistência à compressão do concreto,
sendo protensão aplicada nos 10 primeiros dias após a concretagem da peça, temos: fct10, inf = 1,70 MPa.
4.1.3 Módulo de Elasticidade

Módulo de elasticidade secante:
Utilização:
a) na análise estrutural do projeto;
b) utilizado na verificação dos estados limites de serviços;
c) na avaliação da seção transversal de um elemento.
Modulo de deformação tangente inicial:
Utilização:
a) utilizado no cálculo das perdas de protensão.
•

Módulo de elasticidade aos 7 dias:
Modulo de deformação tangente inicial: Eci = 5600 ⋅ f ckj = 5600 × 20,5 = 25.355 MPa
Módulo de elasticidade secante: Ecs = 0,85 ⋅ Eci = 0,85 × 25.355 = 21.551 MPa

•


•


Página 21


•

Modulo de deformação tangente inicial: Eci = 5600 ⋅ f ckj = 5600 × 30 = 30.672 MPa

4.2 Aço de protensão (armadura ativa)

De modo geral as exigencias referentes às disposições construtivas das armaduras protendidas são mais
rigorosas que aquelas relativas às armaduras passivas. No concreto protendido os níveis de tensões são
mais elevados que no concreto armado clássico e, usualmente, as maiores tensões ocorrem durante o
próprio ato de protensão. Além disto, os esforços de protensão têm caracter quase determinístico e
freqüentemente são aplicados quando o concreto tem relativamente poucos dias de idade
4.2.1 Cuidados com a estocagem e características as armaduras ativa

•

Estocar em área coberta, ventilada sobre piso de cimento ou tablado de madeira (desde que não
tenha contato direto com o solo);

•

cobrir com lona plástica, para evitar a corrosão eletroquímica ou química;

•

Altura máxima dos rolos = 2 metros

•

NBR-7483: cordoalhas para concreto protendido

•

Ep = 200 GPa

4.2.1 Formas de apresentação

Para este projeto, escolhemos essa armadura, presente no mercado brasileiro, e de fonte de uma das
maiores empresas do mercado de aço para concreto armado e protendido. Vide quadro abaixo.

Fonte: Belgo-Mineira

Página 22


5. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E MECÂMINCAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL
5.1 Seção bruta

Área da seção bruta = 11.600 cm²
Cálculo do centro de gravidade:

y XG =

∫ yd
∫d

A

A

A1 = 5.600 cm²
A2 = 2.200 cm²
A3 = 800 cm²
A4 = 3000 cm²

=

∑ Ai ⋅ yi
∑ Ai

5.600 ×10 + 2.200 × 47,5 + 800 × 68,33 + 3.000 × 87,5
11.600
= 41,18 cm

y XG =
y XG

Referêncial
41,18
yXG = 41,18cm

Cálculo do momento de inércia:

280 × 20 3
+ 5.600 × (41,18 − 10) 2 = 5.630.944 cm 4
12
⎡ ⎛ 20 × 55 3 ⎞⎤
2
4
I 2 = ⎢2 × ⎜
⎜ 12 ⎟⎥ + 2.200 × (27,5 − 21,18) = 642.456 cm
⎟
⎠⎦
⎣ ⎝
I1 =

2
⎡ ⎛ 20 × 20 3 ⎞⎤
20 × 1 ⎞
4
⎟⎥ + 800 × ⎛ 55 − 21,18 −
I 3 = ⎢4 × ⎜
⎜
⎟ = 607.620 cm
⎜ 36 ⎟
3 ⎠
⎝
⎢ ⎝
⎠⎥
⎣
⎦
⎛ 60 × 25 3 ⎞
2
4
⎟
I4 = 2 × ⎜
⎜ 12 ⎟ + 3.000 × (55 − 21,18 + 12,5) = 6.592.877 cm
⎝
⎠

IT =

∑I

i

= 13.473.897 cm 4

Página 23


5.2 Seção homogeneizada

Estimativa do Ap

⎡
0,89 ⋅ h f ⋅ (b f − b ) ⎤
0,89 × 20 × (280 − 40 ) ⎤
⎡
2
A P = ρ a ⎢b ⋅ d +
⎥ = 0,005 × ⎢40 × 90 +
⎥ = 73,4 cm
Wa
0,3855
⎣
⎦
⎦
⎣
ρ a = 0,5% (adotado);
b f = 2,80 m;
E p = 200.000 MPa;
Ecs = 26.071 MPa
Taxa mecânica da alma : Wa =

b

ρ a ⋅ f ptd
f cd

1900
1,15
= 38,55%
30
1,4

0,5 ×
=

b

hf

Taxa geométrica estimada:
d
Ap

Ap

ρ=

73,4
= 0,63%
11.600 − 73,4

bf

5.2.1 Caracteristicas da seção homogeneizada

A rigor, a avaliação das tensões e deformações numa peça estrutural composta por dois materiais com
propriedades físicas diferentes deve ser feita a partir da compatibilização dos materiais.
Nos casos de estruturas de concreto armado ou protendido e estruturas mistas, deve-se transformar um dos
materiais em uma porção equivalente do outro.
No caso de peças de concreto armado/protendido, usualmente converte-se a armadura numa porção
equivalente de concreto.
A transformação da armadura numa quantidade equivalente de concreto é feita multiplicando-se a área de
aço AP pela relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto αe. Como EP, em geral, é maior
que Ecs, ao se multiplicar AP x αe, tem-se um aumento da seção transversal. Se a armadura ativa é
excêntrica, o baricentro da seção homogeneizada se desloca da posição original em direção ao baricentro
da armadura ativa. Isso resulta na diminuição das tensões, uma vez que σ =

M
N
e σ=
.
A
W

Página 24


Conclui-se, então, que utilizar as propriedades originais da seção (sem efetuar a homogeneização) é um
procedimento conservador e aceitável, uma vez que o aumento da seção em geral é pouco significativo.
Neste caso, obtém-se tensões ou pouco maiores nos bordos da seção, o que eventualmente, pode levar ao
dimensionamento de mais armadura e, ou, de um concreto mais resistente. Logo temos:

Ep

200.000
= 7,67 ⇒ A p = 73,4 cm 2
Ecs
26.071
⇒ A 5 = (α e − 1) ⋅ A p = (7,67 − 1) × 73,4
αe =

A5

A5

=

logo, temos : A 5 = 489 cm 2


Referêncial
43,15

y XG =
y XG =

∫
∫d

yd A
A

=

yXG = 43,15 cm

∑
∑ Ai

Ai ⋅ yi

5.600 × 10 + 2.200 × 47,5 + 800 × 68,33 + 3.000 × 87,5 + (7,67 − 1)× 73,4 × 90
= 43,15 cm
12.089


280 × 203
+ 5.600 × (43,15 − 10) 2 = 6.340.632 cm 4
12
⎡ ⎛ 20 × 553 ⎞⎤
2
4
⎟
I 2 = ⎢2 × ⎜
⎜ 12 ⎟⎥ + 2.200 × (27,5 − 23,15) = 592.212 cm
⎢ ⎝
⎠⎥
⎣
⎦
I1 =

2
⎡ ⎛ 20 × 203 ⎞⎤
20 × 1 ⎞
4
⎟⎥ + 800 × ⎛ 55 − 23,15 −
⎜
I3 = ⎢ 4 × ⎜
⎜
⎟ = 560.693 cm
36 ⎟⎥
3 ⎠
⎝
⎢ ⎝
⎠⎦
⎣

⎛ 60 × 253 ⎞
2
4
⎟
I4 = 2 × ⎜
⎜ 12 ⎟ + 3.000 × (55 − 23,15 + 12,5) = 6.057.017 cm
⎠
⎝

I5 = (7,67 − 1) × 73,4 × (90 − 43,15) = 1.074.585 cm 4
2

IT =

∑I

i

= 14.629.142 cm 4

I homogeinizada
I bruta

=

14.730673
= 1,08
13.473.897

Página 25


6. TENSÕES E ESFORÇOS DEVIDO ÀS AÇÕES PERMANENTES E VARIÁVEIS
6.1 Peso próprio, acessórios, utilização e sobrecarga

Dados da seção:

Momentos:

(12 − 3)
⎧
⎪M (X = L/4 ) = 92,6 × 3 × 2 = 1.250,1 KNm
⎪
(L − x ) = ⎪M
(12 − 6) = 1.666,8 KNm
M (X ) = q ⋅ x ⋅
⎨ (X = L/2 ) = 92,6 × 6 ×
2
2
⎪
(12 − 9) = 1.250,1 KNm
⎪
⎪M (X =3L/4 ) = 92,6 × 9 × 2
⎩

L = 12 m;
A = 11.600 cm²
γc = 25 KN/m³
Acessórios = 0,8 KN/m²
Utilização = 2,0 KN/m²
Sobrecarga = 2,5 KN/m²

g = A.γc = 1,16 x 25 + (12 x 0,8) = 38,6 KN/m
q = 12 x (2,0 + 2,5) + 38,6 = 92,6 KN/m
6.2 Tensões e módulo de resistência

Módulo de resistência:

Tensões Máximas (fibras inferiores):

Winf =

Ih
14.730.673
=
= 259.114 cm 3
y inf
56,85

Wsup =

Ih
14.730.673
=
= −366.890 cm 3
− 40,15
y sup

( )

1.250,1
⎧
L
⎪σ inf 4 = 0,259114 = 4,82 MPa
⎪
M (x ) ⎪
1.666,8
σ g, inf (x ) =
= ⎨σ inf L =
= 6,43 MPa
2 0,259114
Winf ⎪
⎪
1.250,1
= 4,82 MPa
⎪σ inf 3L 4 =
0,259114
⎩

( )

( )

Tensões Máximas (fibras superiores):

( )

1.250,1
⎧
L
⎪σ Sup 4 = − 0,366890 = −3,41 MPa
⎪
M (x ) ⎪
1.666,8
= ⎨σ Sup L =
= −4,54 MPa
σ g, Sup (x ) =
2 − 0,366890
WSup ⎪
⎪
1.250,1
= −3,41 MPa
⎪σ Sup 3L 4 =
− 0,366890
⎩

( )

( )

Página 26


6.3 Tensões devido à ação permanente da protensão

Como foi escolhido um cabo reto, os momentos fletores decorrente da força de protensão não se alteram
ao longo da abscissa do cabo. Portanto temos:
Dados da seção:

y = 43,15 cm

A = 11.600 cm²
Winf = 259.114 cm 3

e p = 46,85 cm

Wsup = -366.890 cm³
ep = 30,35 cm
Tensões Protensão:
σ p, inf =

− P∞ P∞ ⋅ e p − P∞ P∞ 0,4685
−
=
−
= −2,67 P∞ [MPa ]
A
Winf
1,16 0,259114

σ p, sup =

− P∞ P∞ e p − P∞ P∞ 0,4685
−
=
−
= 0,52P∞ [MPa ]
A
WSup 1,16 - 0,366890

7. RECÁLCULO DAS CARACTERISTICAS GEOMÉTRICAS seção homogeinizada (αe = 15)

De acordo com NBR-6118/2003, todos as características geométricas deverão ser recalculadas, com:
αe = 15: para carregamentos frequentes ou quase permanentes, como é o caso deste projeto.

A5

A5

Ep

200.000
= 7,67 ⇒ A p = 73,4 cm 2
Ecs 26.071
⇒ A 5 = (α e − 1) ⋅ A p = (15 − 1) × 73,4
αe =

=

logo, temos : A 5 = 1.027 cm 2


y XG =

∫ yd
∫d

A

A

y XG =

=

∑ Ai ⋅ yi
∑ Ai

5.600 × 10 + 2.200 × 47,5 + 800 × 68,33 + 3.000 × 87,5 + (15 − 1) × 73,4 × 90
= 43,15 cm
12.627

Página 27



280 × 20 3
+ 5.600 × (43,15 − 10) 2 = 6.340.632 cm 4
12
⎡ ⎛ 20 × 55 3 ⎞⎤
2
4
⎟
I 2 = ⎢2 × ⎜
⎜ 12 ⎟⎥ + 2.200 × (27,5 − 23,15) = 592.212 cm
⎢ ⎝
⎠⎥
⎣
⎦
2
3 ⎤
⎡ ⎛ 20 × 20 ⎞
20 × 1 ⎞
4
⎟⎥ + 800 × ⎛ 55 − 23,15 −
I 3 = ⎢4 × ⎜
⎜
⎟ = 560.693 cm
⎜ 36 ⎟
3 ⎠
⎝
⎢ ⎝
⎠⎥
⎣
⎦

I1 =

⎛ 60 × 25 3
I4 = 2 × ⎜
⎜ 12
⎝

⎞
⎟ + 3.000 × (55 − 23,15 + 12,5)2 = 6.057.017 cm 4
⎟
⎠

I 5 = (15 − 1) × 73,4 × (90 − 43,15) = 2.255.502 cm 4
2

IT =

∑I

i

= 15.764.456 cm 4

I homogeinizada
I bruta

=

15.764.459
= 1,17
13.473.897

Referêncial
43,15
yXG = 43,15 cm

8. RECÁLCULO TENSÕES E ESFORÇOS (ações permanentes e variáveis: αe = 15)
8.1 Peso próprio, acessórios, utilização e sobrecarga

Dados da seção:

L = 12 m;
A = 11.600 cm²
γc = 25 KN/m³
Acessórios = 0,8 KN/m²
Utilização = 2,0 KN/m²

Momentos:

(12 − 3)
⎧
⎪M (X = L/4 ) = 92,6 × 3 × 2 = 1.250,1 KNm
⎪
(L − x ) = ⎪M
(12 − 6) = 1.666,8 KNm
M (X ) = q ⋅ x ⋅
⎨ (X = L/2 ) = 92,6 × 6 ×
2
2
⎪
(12 − 9) = 1.250,1 KNm
⎪
⎪M (X =3L/4 ) = 92,6 × 9 × 2
⎩

Sobrecarga = 2,5 KN/m²
g = A.γc = 1,16 x 25 + (12 x 0,8) = 38,6 KN/m
q = 12 x (2,0 + 2,5) + 38,6 = 92,6 KN/m

Página 28


8.2 Tensões e módulo de resistência

Módulo de resistência:

Tensões Máximas (fibras inferiores):

Winf =

Ih
15.764.459
=
= 277.299 cm 3
y inf
56,85

Wsup =

Ih
15.764.459
=
= −392.639 cm 3
− 40,15
y sup

( )

1.250,1
⎧
L
⎪σ inf 4 = 0,277299 = 4,51 MPa
⎪
M (x ) ⎪
1.666,8
= ⎨σ inf L =
= 6,02 MPa
σ g, inf (x ) =
2 0,277299
Winf ⎪
⎪
1.250,1
= 4,51 MPa
⎪σ inf 3L 4 =
0,277299
⎩

( )

( )

Tensões Máximas (fibras superiores):

( )

1.250,1
⎧
L
⎪σ Sup 4 = − 0,392639 = −3,18 MPa
⎪
M (x ) ⎪
1.666,8
σ g, Sup (x ) =
= ⎨σ Sup L =
= −4,24 MPa
2 − 0,392639
WSup ⎪
⎪
1.250,1
= −3,18 MPa
⎪σ Sup 3L 4 =
− 0,392639
⎩

( )

( )

8.3 Tensões devido à ação permanente da protensão

Como foi escolhido um cabo reto, os momentos fletores decorrente da força de protensão não se alteram
ao longo da abscissa do cabo. Portanto temos:
Dados da seção:

y = 43,15 cm

A = 11.600 cm²
Winf = 277.299 cm 3

e p = 46,85 cm

Wsup = -392.639 cm³
ep = 30,35 cm
Tensões Protensão:
σ p, inf =

σ p, sup

− P∞ P∞ ⋅ e p − P∞ P∞ 0,4685
−
=
−
= −2,55P∞ [MPa ]
A
Winf
1,16 0,277299

− P∞ P∞ e p − P∞ P∞ 0,4685
=
−
=
−
= 0,33P∞ [MPa ]
A
WSup 1,16 - 0,392639

OBS: Para efeito didático utilizaremos

αe = 7,67.

Página 29


9. ESTIMATIVA DA FORÇA DE PROTENSÃO

A força de transferência pode ser deduzida do valor da força máxima de protensão como:
P0(x) = Pi – ΔP0(x)
onde: ΔP0(x): perda imediata da protensão decorrente do encurtamente do concreto
Já a força no cabo, em um instante (t), pode ser calculada a partir da força de transferência:
Pt(x) = P0(x) + ΔPt(x)
Logo: Pi ( x ) =

Pt ( x )
; com ΔP(x) = ΔP0(x) + ΔPt(x)
1 − ΔP ( x )

9.1 Tensões limites nos cabos mobilizadas pela protensão (NBR-6118/2003)

Durante as operações da protensão, a força de tração na armadura não deve superar os valores decorrentes
da limitação das tensões no aço (sistema de pós-tração):

Ápos o término das operações de protensão, as verificações de segurança devem ser feitas de acordo com:
9.2 Verificação simplificada do concreto (NBR-6118/2003)

•

A tensão de máxima de protensão, na seção de concreto, não deve ultrapassar 70% do fckj;

•

A tensão de máxima de tração máxima no concreto, não deve ultrapassar 1,2fctm correspondente
ao fckj especificado.

9.3 Combinações de ações

As combinações das ações e o nível de protensão estão expressas nos seguintes quadros:

Página 30


Quadro: combinação das ações

Combinação quase permanente de serviço: Fd = Fgi, k + ψ2j.Fqj, k (todas as ações variáveis são

consideradas com seus valores quase permanentes ψ2.Fqk).
Combinação freqüente de serviço: Fd = Fgi, k + ψ1.Fq1, k + ψ2j.Fqj, k (a ação principal Fq1 é tomada com seu

valor freqüente ψ2.Fqk).
Quadro Resumo das Ações [MPa]
Carregamento
Protensão
Posição

σg,inf

a = L/4
a = L/2
a = 3L/4

σg,sup

σp,inf

σp,sup

4,82

-3,41

-2,67 P∞

0,52 P∞

6,43

-4,54

-2,67 P∞

0,52 P∞

4,82

-3,41

-2,67 P∞

0,52 P∞

9.3.1 Combinação quase permanente (estado limite de descompressão)

σd = σg + σp + ψ2σq

(ψ2 = 0,4)

σd,inf = 6,43 – 2,67 P∞ + 0,4 x 0 = 6,43 - 2,67 P∞
σd,sup = -4,54 + 0,52 P∞ + 0,4 x 0 = -4,54 + 0,52 P∞
9.3.2 Combinações freqüentes (estado limite de formação de fissuras)

σd = σg + σp + ψ2σq

(ψ2 = 0,6)

σd,inf = 6,43 – 2,67 P∞ + 0,4 x 0 = 6,43 - 2,67 P∞
σd,sup = -4,54 + 0,52 P∞ + 0,4 x 0 = -4,54 + 0,52 P∞

Página 31


9.4 Força no nível de prontesão limitada
9.4.1 ELS- Formação de fissuras

σ d, inf ≤ α ⋅ f ctj, inf ⇒ (combinação frequente) α = 1,2⎫
⎪
⎬ ⇒ 6,43 − 2,67 ⋅ P∞ ≤ 1,2 ×1,70 ⇒ P∞ ≥ 1.644KN
f ctj, inf = 0,7 ⋅ f ct, m = 0,7 × 2,44 = 1,70 MPa
⎪
⎭
9.4.2 ELS- Descompressão
σ d, inf < 0 ⇒ 6,43 − 2,67 ⋅ P∞ < 0 ⇒ P∞ ≥ 2.408KN

Logo, o valor estimado da força de protensão limitada é P∞ = 2.408 KN
9.5 Cálculo da armadura ativa

Para P∞ = 2.408 KN e pós-tração com armadura RB e admitindo 25% de perdas, temos:

⎧0,74 ⋅ f ptk = 0,74 × 190 = 140,6 KN/cm 2
⎪
(Tensão Limite no aço) σ pi ≤ ⎨
2
⎪0,82 ⋅ f ytk = 0,82 × 171 = 140,2 KN/cm
⎩
(Força de transferência) Pi =

P∞
P
2.408
3.210
=
= 3.210 KN ⇒ A pestimado = i =
= 22,89 cm 2
1 − perdas 1 − 0,25
σ pi 140,2

Para cordoalha CP 190 RB 3x5,0, temos uma área = 0,665 cm²/cordoalha. Portanto, temos: 35 cordoalhas,
dando um Apefetiva = 23,4 cm². Devido à simetria utilizaremos, 36 cordoalhas, que dará um Ap = 23,94 cm².
10. PERDAS DE PROTENSÃO

Infelizmente, a intensidade da força aplicada pelo equipamento de protensão no instante de tração das
armaduras não é o valor efetivo instalado durante sua vida útil. Há uma queda na tensão de protensão que
atua na peça durante sua vida útil, e pode ser dividida em dois grupos: perdas instantaneas e perdas
progressivas.
Os principais fatores das perdas de protensão, para o sistema pós-tração, são:
Perdas instantâneas:
Atrito bainha-armadura;
Deformação elástica do concreto (na transferência).

Página 32


Perdas Retardadas (progressivas)
Fluência (deformação lenta) do concreto;
Retração do concreto;
Relaxação do aço.
10.1 Perdas instantâneas

No caso com aderência posterior, normalmente o macaco trabalha apoiado diretamente na peça, de forma
que tanto o alongamento do aço e o encurtamento do concreto ocorrem simutaneamente.
10.1.1 Perdas por encurtamento imediato do concreto

Como o elemento estrutural deste é pós-tracionado, a protensão sucessiva de cada um dos “n” cabos,
provoca uma deformação imediata no concreto, e conseqüentemente, um afrouxamento dos cabos
anteriores protendidos, tem-se necessário, segundo a NBR-61180/2003, o cálculo desta perda de
protensão. Portanto temos:

⎞⎤
⎟⎥
e
e
⎟⎥
2⋅n
2⋅n
⎠⎦
⎡⎛ 3.210 3.210 × 46,85 2 ⎞ ⎛ 166.680 × 46,85 ⎞⎤
⎛ 36 − 1 ⎞
2
⎟
Δσ p = ⎜
× 7,67 × ⎢⎜
⎟
⎜ 12.627 + 14.730.673 ⎟ + ⎜ 14.730.673 ⎟⎥ = 4,84 KN / cm
⎝ 2 × 36 ⎠
⎠⎥
⎢⎝
⎠ ⎝
⎣
⎦
Δσ p
Pi
3.210
4,84
Δσ p = 4,84 KN/cm 2 ⇒ σ p =
=
= 134,08 KN/cm 2 ⇒
=
= 0,036 = 3,6%
A pefetiva 23,94
σp
134,08
Δσ p

(n − 1) ⋅ α
=

(

⋅ σ cp + σ cg

) = (n − 1) ⋅ α

2
⎡⎛ P
⎜ i + Pi ⋅ e p
⋅⎢
Ih
⎢⎜ A h
⎣⎝

⎞ ⎛ M ⋅ ep
⎟+⎜
⎟ ⎜ Ih
⎠ ⎝

Onde:
σcg: Tensão total no concreto devido a protensão no C.G. da armadura ativa
σcp: Tensão total no concreto devido devido a carga permanente no C.G. da armadura ativa
Pi = 3.210 KN
ep = 46,85 cm
Ah = 12.627 cm²
Ih = 14.730.673 cm4
nº de cordoalhas = 35
M = 166.680 KN.cm

Página 33


10.1.2 Perdas por atrito

As perdas por atrito podem ocorrer, tanto em trechos retos quanto em região de mudança de direção.
Como neste projeto tratamos de trechos retilíneos, as perdas são decorrentes da presença de sinuosidade
não intensionais do cabo, chamado de ondulações parasita, que são causados por:
•

Reigidez insuficiente

•

Defeitos na montagem dos cabos

•

Insuficiencia dos pontos de amarração

•

Empuxo do concreto fresco

Portanta a perda por atrito écalculada pela seguinte expressão:

ΔP(X )
Pi

= 1− e

[−μ⋅∑ α + k⋅x ]

= 1 − e 0, 2×0, 01×12 = 0,024 = 2,4%

Onde:
x: abscissa do ponto onde se calcula ΔP, medida a partir da ancoragem, em metros
Σα: é a soma dos ângulos de desvios entre a ancoragem e o ponto de abscissa x, em radianos
Cabo reto Σα = 0 rad
μ: coeficiente de atrito aparente entre o cabos e a bainha
μ = 0,2 (entre fios liso e cordoalhas e bainha metálica, NBR-6118/2003)
k: coeficiente de perda por metro
k = 0,01.μ =0,01 x 0,2 = 0,002
10.2 Perdas retardadas (progressivas)

Na perda de protensão progressivas os fenômenos associados são a retração e a fluência no concreto e a
relaxação da armadura ativa.
10.2.1 Retração, fluência e relaxação

O efeito real da retração a da fluência no concreto apresenta uma elevada complexidade de representação;
sob condições especiais, algumas estratégias mais simples são sugeridas para lidar com esses fenômenos.
A NBR-6118/2003 sugere três procedimentos:
•

Processo simplificado

•

Processo aproximado

Página 34


•

Método geral

O processo simplificado, utilizado neste projeto, está sobre as seguintes condições (NBR-6118/2003):
•

A concretagem e a protensão devem ser executadas em fase suficientemente próximas;

•

Espaçamento dos cabos pequenos para validar o conceito de cabo resultante.

•

Retração não difira em mais de 25% do valor [-8 x 10-5 φ( ∞ , to)].
Dados:
Umidade relativa do ar: U = 70% (ao ar livre)
Temperatura média diária do ambiente: Ti = 28ºC
Tempo inicial: t0 = 7 dias
Tempo final: tf = 3.000 dias (aproximadamente 8 anos)
Fluência com cimento ARI → α = 3
Perímetro em contato com o ar: Uar = 1193 cm
Área da seção transversal: A = 11.600 cm²

10.2.1.1 Retração do concreto

Valor da retração entre os instantes t0 e t:
ε cs ( t , t 0 ) = ε ∞ [β s ( t ) − Bs( t 0 )] = −2,69 × 10 −4 [0,95 − 0,03] = −2,54 × 10 −4
cs

t: idade fictícia do concreto:
t0 = α

∑
i

t=α

∑
i

Ti + 10
Δt ef, j = 1 ⋅
30

Ti + 10
Δt ef, j = 1 ⋅
30

∑
i

∑
i

28 + 10
× 10 = 13 dias
30

28 + 10
× 3000 = 3800 dias
30

onde:
α: coeficiente que depende da velocidade de endurecimento do concreto (tabela 32- anexo A; NBR6118/2003) ;
Δtef, j: periodo em dias, em qual, a temperatura média diária do ambiente.
γ: coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente:

Para U ≤ 90% - tabela 31 da NBR - 6118/2003 Anexo A ⇒ γ = 1 + e (7,8-0,1⋅U ) = 1 + e (−7,8+0,1×70 ) = 1,45

Página 35


hfic: espessura fictícia da peça:

γ ⋅ 2 ⋅ A 1,45 × 2 × 11.600
=
= 28,19 cm = 0,282 m
U ar
1193

h fic =
Onde:

A: área da seção transversal
Uar: perímetro em contato com o ar
ε2s: coeficiente dependente da espessura fictícia da peça:

⎛ 33 + 2 ⋅ h fic
ε 2s = ⎜
⎜ 20,8 + 3 ⋅ h
fic
⎝

⎞ ⎛ 33 + 2 × 28,19 ⎞
⎟=⎜
⎟
⎟ ⎜ 20,8 + 3 × 28,19 ⎟ = 0,84
⎠
⎠ ⎝

ε1s: coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente e da concistêcia do concreto:
⎛
⎛
U
U2 ⎞
70
70 2 ⎞
⎟ × 10 − 4 = ⎜ 6.16 −
⎟ × 10 − 4 = 3,2 × 10 − 4
ε1s = ⎜ 6.16 −
+
+
⎜
⎟
⎜
484 1590 ⎠
484 1590 ⎟
⎝
⎝
⎠
βs(t) ou βs(t0): Coeficiente relativo a retração, no instante t ou t0
βs(t) = 0,95 (determinado pela figura A.3 do anexo A da NBR 6118:2003)
βs(t0) = 0,03 (determinado pela figura A.3 do anexo A da NBR 6118:2003)

ε ∞ : valor final da retração:
cs
∞
ε cs = ε1s ⋅ ε 2s = −3,2 × 10 −4 × 0,84 = −2,69 × 10 −4

10.2.1.2 Fluência do concreto

φ(t, t0):coeficiente de fluência

ϕ(t, t 0 ) = ϕ a + ϕ f∞ ⋅ [β f (t ) − β f (t 0 )] + ϕ ∞ ⋅ β d = 0,184 + 2,9 × (1 − 0,04) + 0,4 × 0,996 = 3,36
d
t0 = α

∑
i

t=α

∑
i

Ti + 10
Δt ef, j = 3 ⋅
30

Ti + 10
Δt ef, j = 3 ⋅
30

∑
i

∑
i

28 + 10
× 10 = 48 dias
30

28 + 10
× 3000 = 11.400 dias
30

Onde:
α: coeficiente que depende da velocidade de endurecimento do concreto (tabela 32- anexo A; NBR6118/2003);

Página 36


Δtef, j: periodo em dias, em qual, a temperatura média diária do ambiente.
φa(t, t0): coeficiente de fluência rápida:

⎛
f (t ) ⎞
ϕ a ( t , t 0 ) = 0,8⎜1 − c 0 ⎟ = 0,8.(1 − β1 ) = 0,8 × (1 − 0,77 ) = 0,184
⎜ f (t ) ⎟
c ∞ ⎠
⎝
⎧ 0 , 38⋅⎡1− ( 28 / 10 ) 1 2 ⎤ ⎫
⎨
⎥⎬
⎢
⎦⎭
⎣

β1 = e ⎩

= 0,77 (item 4.1.1)

ϕ f ∞ : valor final do coeficiente de deformação lenta:
ϕ f∞ = ϕ1c .ϕ 2 c = 2 × 1,45 = 2,9

ϕ1c : coeficiente dependente da umidade
ϕ1c = 4,45 − 0,035 ⋅ U = 4,45 − 0,035 × 70 = 2 (considerando abatimento de 5 a 9 cm)
ϕ 2c : coeficiente dependente da espessura fictícia:
ϕ 2c =

42 + h fic 42 + 28,19
=
= 1,45
20 + h fic 20 + 28,19

βf (t) ou βf (t0): Coeficiente relativo a retração, no instante t ou t0
βf (t) = 1,00 (determinado pela figura A.3 do anexo A da NBR 6118:2003)
βf (t0) = 0,04 (determinado pela figura A.3 do anexo A da NBR 6118:2003)

ϕ d ∞ : valor final do coeficiente de deformação lenta irreversível, função da idade do concreto.
ϕ d ∞ = 0,4
βd: coeficiente relativo à deformação lenta reversível em função do tempo (t – t0) docorrido após o
carregamento
βd =

t − t 0 + 20 11400 − 7 + 20
=
= 0,996
t − t 0 + 70 11400 − 7 + 70

10.2.1.3 Verificação do processo aproximado

1,25.[-8 . 10-5 . φ(∞,t0)] =1,25 x 8 x 10-5 x 3,36 = -3,36 x 10-4
0,75.[-8 . 10-5 . φ(∞,t0)] =0,75 x 8 x 10-5 x 3,36 = -2,016 x 10-4

Página 37


-3,36 x 10-4 < εcs = -2,54 x 10-4 < -2,016 x 10-4
Portanto, a perda de protensão pode ser calculada pelo método aproximado.
10.2.1.4 Cálculo da perda de protensão devido à fluência e retração e relaxação do aço

Como na peça será utilizado aço de relaxação baixa (RB), temos:

Δσ p ( t ∞ , t 0 )
σ p0

= 7,4 +

αp
18,7

[ϕ(t ∞ , t 0 )]1,07 ⋅ (3 + σ c,p0g ) = 7,4 + 7,67 × 3,361,07 × (3 + 2,02) = 14,93%
18,7

Onde:
αe =

Ep
Ecs

=

200.000
= 7,67
26.071

σc,pog: é a tensão no concreto adjacente ao cabo resultante, positiva se de compressão, em megapascal.

(

σ c.pog = σ cp − σ cg

)

2
⎡⎛ P
P ⋅e
⎢⎜ i + i p
=
Ih
⎢⎜ A h
⎣⎝

⎞ ⎛ M ⋅ ep
⎟+⎜
⎟ ⎜ Ih
⎠ ⎝

⎞⎤ ⎡⎛ 3.210 3.210 × 46,85 2
⎟⎥ = ⎢⎜
⎟⎥ ⎜ 12.627 + 14.730.673
⎠⎦ ⎢⎝
⎣

⎞ ⎛ 166.680 × 46,85 ⎞⎤
⎟−⎜
⎟ ⎝ 14.730.673 ⎟⎥
⎠⎥
⎠
⎦

σ c.pog = 0,202 KN/cm 2 = 2,02 MPa

Em resumo o total de perdas está descrito no quadro abaixo:

TIPO DE PERDA
Ancoragem
Deformação imediata do concreto
Atrito dos cabos
Retraçã, Fluência e relaxação
TOTAL

%
0,00%
3,40%
2,40%
14,93%
20,73%

P∞ = Pi.(1- perdas) = 3210 . (1- 0,2073) = 2544,6 KN
Verificações:

ELS- Formação de fissuras:

σ d, inf ≤ α ⋅ f ctj, inf ⇒ (combinação frequente) α = 1,2⎫
⎪
⎬ ⇒ 6,43 − 2,67 ⋅ 2,5446 ≤ 1,2 × 1,70
f ctj, inf = 0,7 ⋅ f ct, m = 0,7 × 2,44 = 1,70 MPa
⎪
⎭
ELS- Descompressão:
σ d, inf < 0 ⇒ 6,43 − 2,67 ⋅ 2,5446 < 0

Página 38


11. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
11.1 Introdução

No cálculo de peças de concreto armado, o dimensionamento é feito considerando os estados limites
últimos e posteriormente são verificados os estados limites de utilização. Já no caso do cálculo de peças de
concreto protendido, o dimensionamento é feito considerando os estados limites de utilização, e
posteriomente, são verificados os estados limites últimos. Assim, diurante a fase de dimensionamento, são
empregados no cálculo os valores característicos das ações e das resistências dos materiais, ou seja, sem
coeficientes de ponderação. Para a verificação dos estados limites últimos são então aplicados os
coeficientes de ponderação tanto sobre as cargas como sobre as resistências, obtendo-se assim seus valores
de cálculo.
Os tipos de ruptura que ocorrem nas vigas protendidas com cabos aderentes são os mesmo que ocorrem
nas vigas de concreto armado. Assim, para as peças de concreto protendido, com aderência inicial ou
posterior, o cálculo deve ser feito confrome as indicações, da NBR-6118/2003.
O dimensionamento da armadura passiva no concreto protendido é feito semelhante ao utilizado para as
peças de concreto armado. No estágio de ruptura, a armadura protendida funciona como uma armadura de
tração, de maneira identica a armaduras das peças de concreto armado. A diferença principal consiste no
pré-alongamento da armadura protendida, ou seja, a deformação do aço devido a protensão. O
alongamento da armadura ativa devido à flexão da peça deve ser somado ao pré-alongamento, ou
alongamento inicial.
É importante notar que, sem o alongamento prévio devido à protensão, não seria possível utilizar os aços
tipo CP como armadura passiva em peças de concreto armado. Se, parte do alongamento que o aço é
capaz de sofre não fosse aplicada previamente através da protensão, a zona comprimida do concreto não
resistiria às deformações que lhe seriam impostas pela rotação da seção.
11.2 Estado limite último devido à solicitações normais
11.2.1 Domínio de deformações

Os domínios de deformações estabelecem as possíveis posições da seção transversal no instante da
ruptura, conforme o tipo de solicitação atuante.
Nas vigas subarmadas e normalmente armadas, a ruptura tem início devido o alçongamento excessivo das
armaduras ativa e passiva, acompanhado de fissuração da viga. Com o aumento gradativo do

Página 39


carregamento, as deformações e a fissuração aumentam, redundando em elevação da linha neutra, redução
da área de concreto comprimido e consequente aumento das tensões de compressão no concreto. Quando a
tensão de compressão atinge o valor da resistência do concreto, este é esmagado provocando o colapso da
viga. Esse mecanismo de ruptura apresenta uma grande vantagem, qual seja, que as flechas e as fissuras,
decorrentes do alongamento da armadura, se mostram bastante visíveis alertando sobre a aproximação do
colapso (comportamento dúctil). Obviamente é de grande interesse, no prjeto de estruturas de concreto,
dimensionar as vigas de maneira que tenham ruptura dúctil. A figura abaixo expressa o domínio de
deformações para melhor entender este mecanismo.
Figura 9- Domínios de deformação

Nas vigas superarmadas, ou seja, com elevadas quantidades de armação, o concreto da zona comprimida
da seção é esmagado antes que o aço atinga o limite de escoamento. Nesses casos ocorre a chamada
ruptura brusca, sem aviso, o que é, evidentemente, indesejável do ponto de vista da segurança da estrutura.
Em vez da carga de colapso, adota-se como estado limite último um estado de deformação (anterior ao
colapso), para qual a viga já pode ser considerada inutilizada (vide figura 10). O dimensionamento deve
ser feito de tal maneira que a deformação da seção permaneça no domínio 3 (dominio das peças
normalmente armadas), ou seja, com εcd = 0,35% e εyd ≤ εsd ≤ 1,0%.
11.2.2 Hipóteses de cálculo

Para as peças de concreto protendido, com aderencia inicial ou posterior, o cálculo deve ser feito, em
relação ao estado limite último de ruptura ou de alongamento plástico excessivo, tomando-se como
situação inicial o estado de neutralização. Considera-se que o estado limite último de alongamento plástico

Página 40


excessivo é atingido quando o alongamento da armadura mais tracionada alcança o valor de 1,0%, medido
a partir do estado convencional de neutralização.
As hióteses de cálculo são as seguintes:
•

As seções permaneçam planas após a deformação;

•

Adimite-se aderência integral entre o aço e o concreto. Logo, as deformações dos dois materiais
na região de contato são consideradas iguais;

•

O alongamento máximo permitido convencional para os aços é de 1,0% a fim de se evitar
deformações plasticas excessivas. É importante lembrar que nas peças de concreto protendido esse
alongamento máximo é contado a partit do estado convencional de neutralização;

•

O diagrama tensão-deformação do concreto é o de parábola retângulo poden ser substituido por
um diagrama retangular simplificado, de altura igual a 0,8x. Vide figura 10.

Figura 10- Hipóteses de cálculo

Situação de equilíbrio:

Página 41


11.2.2.1 Verificação da viga protendida no estado limite ultimo

•

Seção da viga protendida:
60

20

120

20

60

20
35
20
25

e p = 46,85 cm

10 cm

60

60

•

6 cm

Dados dos materiais:

fck = 30 MPa
Ecs = 26071 MPa
Ep = 200.000 MPa
Aço CA-50 → εyd = 0,407%
Aço CP 190 RB (3 x 5 mm)
•

Carregamento:

Ações permanentes: g = A.γc + Acessórios = 1,16 x 25 + (12 x 0,8) = 38,6 KN/m
Ações variáveis: q1(cargas de utilização) = 12 x 2,0 = 24 KN/m
q2(cargas acidentais) = 12 x 2,5 = 30 KN/m
•

Dados da protensão:

Armadura de protensão:(36 cordoalhas Ap = 23,94 cm²). O nº de cordoalhas foi arredondado para
o número par inteiro mais próximo, em virtude da simetria da peça.
Força de protensão: P∞ = 2544,6 KN
Posição da armadura ativa: ep = 46,85 cm
•

Dimensões e propriedades da seção trasnversal:

L = 12 m
Ah = 12.627 cm²
αe =

Ep
Ecs

=

200.000
= 7,67
26.071

ycg = 43,15 cm

Página 42


yinf = 56,85 cm
Ih = 14.730.673 cm4
Winf = 259.114 cm³
•

Esforços:

g ⋅ L2 38,6 × 12 2
=
= 694,8 KN.m
8
8
⎫
q ⋅ L2 30 × 12 2
= 2
=
= 540 KN.m⎪
⎪
8
8
⎬ ⇒ M q = M q1 + M q2 = 540 + 432 = 972 KN.m
2
2
q1 ⋅ L
24 × 12
=
=
= 432 KN.m ⎪
⎪
8
8
⎭

Mg =
M q2
M q1

•

Valor de cálculo da força de protensão:

Pd = γp × P∞ = 0,9 × 2544,6 = 2.299,14 KN (coeficiente de ponderação das ações no estado limite
último para ações normais, protensão e situação favorável, tabela 11.1 NBR-6118/2003).
•

Cálculo do pré-alongamento:

Tensão no concreto ao nível da armadura de protensão:
σ cpd1

Pd ⋅ e 2 2.299,14 2.299,14 × 46,85 2
Pd
p
=
+
=
+
= 0,3425 KN/cm 2
Ih
12.627
14.730.673
Ah

Pnd = Pd + α e ⋅ A p ⋅ σ cpd1 = 2.299,14 + 7,67 × 23,94 × 0,3425 = 2.362,03KN
ε pn =

•

Pnd
2.362,03
=
= 4,93 × 10 −3 = 0,5%
E p ⋅ A p 20.000 × 23,94

Resistência ao momento fletor:

No cálculo da capacidade resistente de vigas protendidas, a solicitação é considerada como uma
solicitação interna. Logo a seção estará submetida à flexão simples. Geralmente apenas as seções
decorrentes dos hiperestáticos de protensão são consideradas como uma solicitação externa. De
acordo com a NBR-6118/2003 a carga de cálculo para a combinação última é:
M d = γ g × M g + γ q ( M q1 + ψ 0 × M q 2 ) =
M d = 1,4 × 694,8 + 1,4 × (432 + 0,7 × 540) = 2106,72KNm

Página 43


onde : γg é o coeficiente de ponderação das ações no estado limite último para ações permanentes
e combinação normal;
γq é o coeficiente de ponderação das ações no estado limite último para ações variáveis e
combinação normal;
ψ0 é o coeficiente de ponderação das ações no estado limite último para cargas acidentais
⇒ Cálculo da altura mínima da linha neutra para que a seção suporte o momento fletor de

cálculo atuante:
M d = R cc ⋅ z = 0,8 ⋅ x ⋅ b ⋅ 0,85 ⋅ f cd ⋅ (d p − 0,4 ⋅ x )
21.067,2 = 0,8 ⋅ x ⋅ 120 ⋅ 0,85 ⋅ 2,14 ⋅ (90 − 0,4 ⋅ x )
21.067,2 = 15716,16 ⋅ x − 69,85 ⋅ x 2
69,85 ⋅ x 2 − 15716,16 ⋅ x + 21.067,2 = 0 ⇒ x 2 − 225x + 3016,06 = 0
x=

225 ± (225) 2 − 4 × 3016,06
2

⇒ x = 14,32 cm

⇒ Resultante da força de compressão no concreto

R cc = 0,8 ⋅ x ⋅ 120 ⋅ 0,85 ⋅ 3 / 1,4 ⇒ R cc = 0,8 ⋅ 14,32 ⋅ 120 ⋅ 0,85 ⋅ 2,14
R cc = 2500,62KN

0,35
14,32
90 95

εp
εs

Δε p
0,35
⇒ Δε p = 1,85%
=
14,32 90 − 14,32
Δε p > 1%

⇒ Como Δεp = 1,85% (limitação da deformação igual a 1%), teremos que adicionar uma

armadura passiva e limitar a sua deformação em 1%, refazendo os cálculos temos:

0,35
x
90 97

εp
εs

0,35
1
=
⇒
x
90 − x
31,5 − 0,35x = x ⇒ x = 23,33 cm

Página 44


Para x = 23,33 cm, tem-se que:

M d = R cc ⋅ Z = 0,8 ⋅ x ⋅ b ⋅ 0,85 ⋅ f cd ⋅ (d p − 0,4 ⋅ x )
R cc = 0,8 × 23,33 × 120 × 0,85 × 2,14 = 4.074 KN
M d = 4074 × (90 − 0,4 × 23,33) = 328641 KN.cm = 3.286,41 KNm
Deformação total da armadura ativa

ε pt = Δε p + ε pn ⇒ ε pt = 1% + 0,5% = 1,5%
Da tabela abaixo, tem-se que: para; ε pt = 1,5% ⇒ σ p = 157KN / m 2

σ pd =

157
= 136,52 KN / m 2 ( tensão de cálculo) . Logo;
1,15

R pd = σ pd × A p = 136,52 × 23,94 = 3268,3KN ⇒ R pd < R cc = 4074 KN; a seção não está em equilíbrio

Página 45


Para que a seção esteja em equilíbrio, é necessário que:
R cc = R pd + R sd ⇒ R sd = 4074 − 3268,3
R sd = 805,7 KN
R st = A s × f y st ∴ A s =

R st
805,7
=
× 1,15 = 18,5 cm 2 ⇒ 10φ16.0 → A s = 20cm 2
f y st (Aço CA - 50 )
50

M d , mín = 0,8 ⋅ Wsup ⋅ f ctk , sup = 0,8 × 0,36689 × 3,75 × 10 3 = 1.100,67 KN.m < M d

Taxa de armadura mínima absoluta:
ρ=

As
20
=
= 1,7 × 10 −3 > ρ mín = 1,5 × 10 −3 (taxa mínima respeitada)
A c 11.600

(

)

M d = R cc ⋅ d p − 4 ⋅ x + R sd ⋅ z 2 ⇒ 328.640 ≤ 4.074 × (90 − 0,4 × 23,33) + 805,7 × z 2
z 2 ≥ 0,0017 cm
90 + 0,0017 ≤ d ≤ 100 − 4,5 ⇒ Portanto, 90 cm ≤ d ≤ 95,5 cm

11.2.3 Estado Limite último de ruptura no ato da protensão

Além das hipóteses básicas apresentadas acima devem ser respeita das seguintes condições suplementares:
•

Considera-se como resistência caracteristica do concreto fckj aquela à idade fictícia j (em dias);

•

Para esta verificação, adtimitem os seguintse valores para os coeficientes de ponderação, com as
cargas que efetivamente atuarem nesta ocasião:

γc = 1,2; γf = 0,9 (condições favoráveis); γs = 1,15 e γps= 1,1
11.2.3.1 Verificação simplificada do concreto

•

Dados gerais:

P ∞ =2544,6kN
ep=46,85cm
C30
CP190RB
Ações permanentes: g = A.γc + Acessórios = 1,16 x 25 + (12 x 0,8) = 38,6 KN/m
Ações variáveis: q1(cargas de utilização) = 12 x 2,0 = 24 KN/m
q2(cargas acidentais) = 12 x 2,5 = 30 KN/m

Página 46


•

Características mecânicas e geométricas:

Ep=200GP
Ecs =26071Mpa
αe=7,67
ycg = ysup = 43,15
Ah = 12.627 cm²
yinf = 56,85 cm
Ih = 14.730.673 cm4
Winf = 259.114 cm³
Wsup = -366.890 cm³
dadot = 96 cm (ditância do bordo superior até o centro de gravidade da armadura passiva)
•

Esforços:

x = L/2

Mg = 694,8 KNm

Mq1 = 540 KNm
Mq2 = 432 KNm
x = [0,L]

Np = - P∞ = - 2.554,6 KN
Mp = Np x ep = - 2544,6 x 0,4685 = - 1.192,14 KNm

•

Tensões:

x=

L
2

x=

L
2

Mg
⎧
694,8 × 10 −3
σ g, inf =
=
= 2,68 MPa
⎪
Winf 259.114 × 10 −6
⎪
⇒⎨
Mg
694,8 × 10 −3
⎪σ
=
= −1,89 MPa
g, sup =
⎪
Wsup − 366.890 × 10 −6
⎩
Mq
⎧
972 × 10 −3
=
= 3,7 MPa
⎪σ g, inf =
Winf 259.114 × 10 −6
⎪
⇒⎨
Mq
972 × 10 −3
⎪σ
=
= −2,6 MPa
g, sup =
⎪
Wsup − 366.890 × 10 −6
⎩

Mp
N p − 1.192,14 × 10 −3 2.554,6 × 10 −3
⎧
σ p, inf =
+
=
−
= −6,62 MPa
⎪
Winf A h
259.114 × 10 −6
12.627 × 10 − 4
⎪
x = [0, L] ⇒ ⎨
Mp
N p − 1.192,14 × 10 −3 2.554,6 × 10 −3
⎪σ
=
+
=
−
= 1,23 MPa
⎪ p, sup Wsup A h − 366.890 × 10 −6 12.627 × 10 − 4
⎩

Página 47


•

Combinações para compressão do concreto no ato da protensão:

x = L / 2:
σd,inf. = γf . σg,inf + γp . σp,inf = 1,0 x (2,68+3,7) + 1,1 x (-6,62) = -0,9 MPa
Seção crítica:
σlim. = 0,7 x fckj = 0,7 x 23,2 → σlim. = 16,24 MPa
Módulo: σd,inf. < σlim. → 0,90 < 16,24 (satisfeita a resistência)
•

Combinações para tração do concreto no ato da protensão

x = L / 2:
σd,sup. = γf . σg,sup + γp . σp,sup = 1,0 x (-1,89-2,60) + 1,1 x 1,23 = -3,14 MPa
x = [0,L]
σd,sup. = γf . σg,sup + γp . σp,sup = 0 + 1,1 x 1,23 = 1,35 MPa
Seção crítica:
2

f ckj = 30 MPa; temos : f ct, m = 0,3 ⋅ 3 f ckj = 0,3 × 3 30 2 = 2,89 MPa

σlim. = 1,2 x fctm = 1,2 x 2,89 → σlim. = 3,47 MPa
Módulo: σd,sup. < σlim. → 3,14 < 3,47 (para que a combinação fosse satisfeita, tivemos que alterar a
idade de protensão para j = 28 dias, devido o valor de fct, m).
11.3 Estados limites últimos devido a solicitações tangenciais

A protensão longitudinal em peças de concreto protendido produz tensões normais de compressão que
contribuem para a redução das tensões principais de tração, fazendo com que estas fiquem mais inclinadas
em relação ao eixo da peça. Como consequência, as fissuras de cisalhamento se formam com menor
inclinação de que nas peças de concreto armado.
A inclinação das bielas comprimidas fica entre 25 e 35º, menos inclinadas que as de 45º da analogia
clássica da treliça. Não obstante, nas regiões de carags concentradas ou sob apoios intermediários de vigas
contínuas, por exemplo surgem fissuras de cisalhamento em forma de leque e, nesses casos acabam
surgindo, fissuras de 45º.
11.3.1 Cálculo da resistência

A resistência do elemento estrutural à força cortante, numa determinada seção transversal, deve ser
satisfatória quando verificadas simultaneamente as seguintes condições:

Página 48


•

VSd ≤ VRd2

•

VSd ≤ VRd3 = VC + VSW

Onde:
VSd: força cortante solicitante de cálculo, na seção:
VRd2: força cortante resistente de cálculo, relativa a ruína das diagonais comprimidas de concreto.
VRd3 = Vc + VSW: força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal, onde VC é
parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça e VSW a parcela
resistida pela armadura transversal.
11.3.2 Método de cálculo utilizado: modelo II

O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de θ em relação ao eixo longitudinal do elemento
estrutural, com variável livremente entre 30º e 45º. Admite ainda que a parcela complementar VC sofra
redução com o aumento de VSd.
Hipóteses do modelo II
•
•

Inclinação das bielas de compressão 30º < θ < 45º

•

Inclinação dos estribos α ≥ 45º.

•
•

Banzos paralelos

Admitindo-se: θ = 35º e α = 90º

Esforços de cálculo:

M d = M sd = γ g × M g + γ q (M q1 + ψ 0 × M q 2 ) = 1,4 × 694,8 + 1,4 × (432 + 0,7 × 540) = 2106,72KN.m
VSd = γ g ⋅ VSg + γ g ⋅ .VSq1 + γ q ⋅ ψ 0 ⋅ VSq2 ⋅ γ q .P∞ .senθ
VSd = 1,4 × 231,6 + 1,4 × 144 + 1,4 × 0,7 × 180 = 740,04 KN

Onde:
M q2 = 5.400 KN.cm⎫
⎪
⎬ ⇒ M q = M q1 + M q2 = 5.400 + 4.320 = 9720 KN.cm
M q1 = 432 KN.cm ⎪
⎭
12
Vs g = 38,6 × = 231,6KN
2
12
Vs q1 = 24 × = 144KN
2
12
Vs q2 = 30 × = 180KN
2

Página 49


(

)

Winf
+ γ P .P∞ .e P
A
259.114
M 0 = (0,9.0,0 + 0,9 × 2544,6 ) ×
+ 0,9 × 2.544,6 × 46,85 = 164.312,8 KN.cm
11.600
M 0 = γ p .P∞ + γ f .N g + q ⋅

•

Verificação da compressão diagonal do concreto (modelo II, θ = 35º e α = 90º)
VRd2 = 0.54 . α V ⋅ f cd ⋅ bw ⋅ d ⋅ sen 2 θ ⋅ (cot gα + cot gθ )

VRd2 = 0,54 × 0,88 × 2,14 × 120 × 97 × sen 2 35º×(cot g90º + cot g35º ) = 5.561,6KN

VSd ≤ VRd2 → 740,04 ≤ 5.561

(resistência da biela verificada)

Onde:
bW: base da peça, noc caso em questão é igua a 2 vezes 20
d: altura útil da seção
fcd é a resistência de cálculo à compressão do concreto.
αV = 1 – fck/250 = (1 – 30/250)
α é a inclinação inclinação dos estribos.
•

Parcela da força absorvida pela armadura transversal
⎛A
VSW = ⎜ SW
⎝ S
⎛A
VSW = ⎜ SW
⎝ S

•

⎞
⎟ ⋅ 0,9 ⋅ d ⋅ f yWd ⋅ (cotgα + cot gθ) ⋅ sen α
⎠
500
⎞
⎛A ⎞
× ( cot g90º + cot g35º ) × sen 90º = 542,07 ⋅ ⎜ SW ⎟ [ΜΝ ]
⎟ × 0,9 × 97 ×
1,15
⎠
⎝ S ⎠

Parcela da força absorvida pelos mecanismos de treliça

VC0 = 0,6 ⋅ f ctd ⋅ b W ⋅ d = 0,6 × 0,7 × 2,89 × 0,6 × 0.97 = 706,43 KN
f ctm = 2,89 MPa
VC = VC1 x (1 + M0/MSd.máx) < 2 x VC1, na flexo-compressão, com:
VC1 = VC0 se VSd ≤ VC0
Interpolação linear para valores intermediários:

⎛ V − VSd
Vc1 = ⎜ Rd 2
⎜V −V
c0
⎝ Rd 2

⎞
⎛ 5.561,6 − 740,04 ⎞
⎟ ⋅ Vc 0 = ⎜
⎜
⎟
⎟ × 706,43 = 701,54KN
⎟
⎝ 5.561,6 − 706,43 ⎠
⎠

⎛
M0
Vc = Vc1 ⎜1 +
⎜
M sd , máx
⎝

⎞
⎟ = 701,54 × ⎛1 + 1.643,1,8 ⎞ = 1.248,72KN < 2 × 701,54 = 1.403,08KN
⎜
⎟
⎜
⎟
2.106,72 ⎟
⎝
⎠
⎠

Página 50


•

Condições para segurança no ELU
⎧
⎪V
Vsd ≤ ⎨ RD 2
⎪VRD 3 = VSW + VC1
⎩

⎛ A SW
⎜
⎜ A
⎝ S
•

⎧5.561
⎪
⇒ 740,04 ≤ ⎨
⎛ A SW
⎪VRD3 = 542,07 ⋅ ⎜ A
⎜
⎝ S
⎩

⎞
⎟ + 701,54
⎟
⎠

⎞ 740,04 − 701,54
⎟≥
≥ 7,1 × 10 − 4 m
⎟
542070
⎠

Armadura transversal mínima

ρ sw =

A sw
f
≥ 0,2 ctm
b w .s. sen α
f ywk

A sw
f
2,89
≥ 0,2 ctm .b w . sen α = 0,2 ×
.0,6. sen 90º = 6,93 × 10 −4 m
s
f ywk
500
s = 100 cm
•

ASW ≥6,93cm2/m

22Ø6.3c/4,5

Espaçamento máximo

⎧0,6 ⋅ d = 300mm, se Vd = 0,67 ≤ VRd2
Longitudinal: S máx = ⎨
⎩0,3 . d = 200mm, se Vd > 0,67 ≥ VRd2
Vsd
740,04
≥
= 0,13
VRd2 5.561

smáx = 300 mm > s = 45 mm

Espaçamento longitudinal verificado

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