1) O documento discute métodos para avaliar se dados satisfazem a suposição de normalidade, necessária para alguns métodos estatísticos.
2) São apresentados procedimentos como gráficos de distribuição, Q-Q plots e testes estatísticos para verificar a normalidade univariada e bivariada dos dados.
3) Caso os dados não sejam normais, devem ser usadas técnicas apropriadas para dados não-normais ou realizadas transformações nos dados visando normalizá-los.
2. Alguns métodos de Inferência Estatística partem do pressuposto de normalidade dos dados. A qualidade das inferências feitas por estes métodos depende de quão próxima é a população em estudo da normal multivariada. Procedimentos para verificação de dados que apresentam desvios da suposição de normalidade se fazem necessários.
3. PROBLEMA: As observações Xi parecem violar a suposição de normalidade? Sugestão: verificar se as distribuições marginais do vetor aleatório parecem normais; se os diagramas de dispersão das variáveis tomadas duas a duas têm uma aparência elíptica; se existem observações discrepantes (outliers) que mereçam ser verificadas.
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7. São de fato um gráfico do quantil amostral versus quantil esperado sob normalidade (podem ser usados para validar outras distribuições diferentes da normal).
8. Quando a configuração de pontos no gráfico se aproxima de uma reta, a suposição de normalidade é sustentável.
9. A normalidade é suspeita se houver pontos que se desviam do comportamento linear.
10. A forma como os pontos se desviam do comportamento linear pode fornecer pistas sobre a natureza da não normalidade das observações.
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12. PASSOS NA CONSTRUÇÃO DO Q-Q plot Para uma distribuição normal padrão, podemos obter os quantis q(i)tais que P(Z≤ q(i))=(i-0,5)/n. A idéia será olhar os pontos (q(i),x(i)) com a mesma probabilidade acumulada (i-0,5)/n. Se os dados, de fato, provêm de uma normal, os pares serão aproximadamente linearmente relacionados, pois o quantil esperado sob normalidade é aproximadamente σ q(i)+μ, com σ representando o desvio-padrão e μ a média da distribuição.
13. Usando o R para a construção do Q-Q plot No R temos a função ppoints(n) que gera o vetor de valores (i-0,5)/n, para i variando de 1 a n. Para gerar os quantis esperados sob normalidade usaremos a função qnorm(p), que retorna o quantil cuja probabilidade acumulada é p. (Quando não especificamos nada além de p, o R retorna quantis da N(0,1)). A função usada para ordenar um vetor de números no R é a função sort(x).
16. Os dados estão organizados de tal modo que as colunas de 4 a 8 representam medidas morfológicas de caranguejos de duas espécies (linha 1 a 100 uma espécie e de 101 a 200 a outra).
17. Também há a divisão por gênero (macho e fêmea) tal que as 50 primeiras linhas de cada espécie são do gênero macho e, as restantes, do gênero fêmea.
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20. Avaliação da normalidade das distribuições marginais Uma medida quantitativa para auxiliar na avaliação do Q-Q plot é calcular a correlação rQ entre os quantis esperados e o vetor observado ordenado. A hipótese de normalidade é rejeitada ao nível de significância α se rQobtido for menor que um valor apropriado. Por exemplo, ao nível de significância de 5% amostras de tamanho 50, a hipótese deve ser rejeitada se rQ for inferiro a 0,9768.
48. Avaliando compostos lineares Para avaliar os compostos sugeridos no slide anterior, primeiro devemos obter os n valores correspondentes a tais compostos. Por simplicidade, consideraremos apenas o primeiro grupo. A verificação para os demais grupos fica como um exercício. Primeiro vamos obter a decomposição espectral de S1 fazendo DES1=eigen(S1). DES1 receberá dois objetos: o vetor de autovalores em ordem decrescente de magnitude e a matriz ortogonal na qual as colunas são os autovetores correspondentes.
63. Avaliação da Normalidade bivariada Além disso, vimos que se , então A grosso modo, devemos esperar que cerca de 50% das observações caiam na região (no elipsóide) Assim um procedimento útil, embora não exato, é comparar as proporções de pontos dentro de um contorno com a proba- bilidade teórica correspondente.
64. Avaliação da Normalidade bivariada Um método um pouco mais formal para julgar a normalidade bivariada é baseado no quadrado da distância generalizada Esse procedimento não é limitado ao caso p=2, pode ser usado. para p>2.
65. Avaliação da Normalidade bivariada Quando a população é de fato normal multivariada e ambos n e n-p são maiores que 25 ou 30, cada uma das distâncias generalizadas quadradas devem comportar-se segundo uma distribuição de qui-quadrado com p graus de liberdade. Apesar dessas distâncias não serem independentes ou terem distribuição exata de Qui-quadrado, é útil construir um gráfico como se fossem. O gráfico resultante é chamado gráfico qui-quadrado.
66. Construção do gráfico qui-quadrado 1. Ordene as distâncias quadradas amostrais obtendo 2. Construa o gráfico de dispersão dos pontos: representando o 100(i-0,5)/n quantil da distribuição de qui-quadrado com p graus de liberdade. A nuvem de pontos deve se ajustar a uma reta. Um padrão diferente sugere falta de normalidade
67. Verificando a normalidade bivariada dos dados em crabs Para começar devemos calcular as distâncias quadradas. Para isso vamos definir a matriz de dados x=matrix(0,200,5) e fazer x1=x[1:50,1:5]. Em seguida vamos calcular o vetor de médias m1=matrix(0,1,5) // for (i in 1:5){m1[i]=mean(x1[,i])} e a matriz de covariância amostral S1=cov(x1). Defina o vetor que receberá as distâncias quadradas: dquad1=matrix(0,50) e faça for (i in 1:50){dquad1[i]=(x1[i,]-m1)%*%solve(S1)%*%t(x1[i,]-m1)}
70. A figura a seguir mostra os gráficos obtidos para os quatro grupos.
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73. 1) Usar técnicas estatísticas apropriadas para dados não-normais, após verificar a distribuição plausível para os dados (Poisson, Gamma,etc.)
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79. Porém, não há garantias de que mesmo a melhor escolha de λ produzirá um conjunto de dados transformados que seja adequado à suposição de normalidade.
80. Os resultados obtidos por uma transformação selecionada de acordo com esse procedimento devem ser cuidadosamente examinados para possíveis violações da suposição de normalidade.
