1. 3. UKURAN LOKASI DAN DISPERSI
Pada bab II telah dijelaskan bahwa melalui tabel, diagram, atau grafik dapat
diperoleh informasi mengenai gambaran umum dari suatu data secara visual.
Gambaran umum dari suatu data dapat di informasikan juga secara numerik, yaitu
mengunakan ukuran lokasi (pemusatan) dan dispersi (penyebaran) dari data.
3.1. Ukuran Lokasi
Ukuran lokasi sekumpulan data adalah nilai yang representatif bagi
keseluruhan nilai data atau dapat menggambarkan distribusi data itu, khususnya
dalam hal letaknya (lokasinya). Nilai tersebut dihitung dari keseluruhan data
bersangkutan sehingga cenderung terletak diurutan tengah atau pusat setelah data
diurutkan menurut besarnya. Oleh karena itu, nilai tunggal tersebut sering
dinamakan ukuran tendensi sentral (measures of central tendency) atau ukuran
nilai sentral (measures of central value).
Beberapa ukuran lokasi yang akan dibicarakan adalah mean, mean terbobot,
median, kuartil dan modus.
3.1.1 Mean dan Mean Terbobot
MEAN/ RATAAN
Merupakan pembagian antara jumlahan nilai dari keseluruhan data dengan
banyaknya data
2. Data Tidak Berkelompok
Misalkan :
Ada sekumpulan data x1, x 2 ,..., x n , maka MEAN/ Rataannya dapat ditulis:
n
xi
i 1
x
n
CONTOH :
Berikut adalah penghasilan 5 orang nelayan setiap bulannya 750.000, 800.000,
800.000, 850.000, 900.000, 1000.000.
Berapa rata-rata penghasilan mereka ?
Jawab :
x : penghasilan nelayan
n
xi
i 1 750.000+800.000+800.000+850.000+900.000+ 1.000.000
x
n 5
= 860.000,-
Jadi, rata-rata penghasilan nelayan tiap bulannya adalah Rp. 860.000,-
MEAN DAN MEAN TERBOBOT
Misalkan v1, v2, ... , vk adalah himpunan k nilai dan w1, w2, ..., wk bobot yang
diberikan kepada nilai-nilai itu maka mean terbobot adalah :
w1v1 w1v 2 ... w1v k
v
w1w 2 ... w k
k
w i vi
i 1
v k
wi
i 1
3. CONTOH :
Misalkan seorang mahasiswa mengambil 3 matakuliah, yaitu: matakuliah X
dengan 3 sks dan memperoleh nilai A = 4 (w1 = 3, v1 = 4) dan mata kuliah Y
dengan 2 sks dan memperoleh nilai D = 1 (w2 = 2, v2 = 1) serta mata kuliah Z
dengan 1 sks dan memperoleh nilai B = 3 (w3 = 1, v3 = 3).
Maka indeks prestasinya (IP) adalah:
3x 4 2 x1 1x 3 17
v 2,83
3 2 1 6
Data Berkelompok
Mean yang diperoleh merupakan mean terbobot dengan nilai bobotnya adalah
nilai frekuensinya.
Rumus MEAN/ Rataan, secara umum dapat ditulis:
k k
fi x i fi x i
i 1 i 1
x k
n
fi
i 1
dimana :
x i : Data/ Nilai tengah kelas ke-i
f i : Frekuensi data kelas ke-I
n : Banyaknya data
k : Banyaknya Kelas
CONTOH :
Berikut data tinggi badan (cm) 50 mahasiswa F SAINTEK yang disajikan dalam
tabel distribusi frekuensi berikut:
4. Tabel 3.1
Perhitungan mean tinggi badan 50 mahasiswa F SAINTEK
Rata-rata tinggi badan 50 mahasiswa tersebut adalah:
k
fi x i
i 1 8732
x k
50
fi
i 1
174, 64
CARA LAIN
Untuk mencari nilai mean data berkelompok dapat dicari dengan cara
transformasi. :
ui = (xi - a) / c
dimana : xi : titik tengah interval kelas ke-i
a : sembarang harga titik tengah interval kelas
(biasanya yang memiliki frekuensi terbanyak)
c : lebar interval kelas
sehingga Rumus MEAN/ RATAAN adalah:
k k
fi u i fi u i
i 1 i 1
x cu a , dengan u k
n
fi
i 1
5. Lihat lagi, contoh tinggi badan sebelumnya.
Tabel 3.2
Perhitungan mean tinggi badan 50 mahasiswa F SAINTEK
cara transformasi
Dari tabel di atas:
k
fi u i
i 1 6
u 0,12
n 50
sehingga
x a cu
= 175+3(- 0,12)
= -0,36 + 175 = 174,64
Jadi, rata-rata tinggi badan 50 mahasiswa adalah: 174,64 cm
3.1.2 Median
Median adalah nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data, setelah
data tersebut diurutkan menurut besarnya .
6. Data Tidak Berkelompok
Langkah-langkah:
1. Urutkan data menurut besarnya (biasanya: kecil ke besar)
2. Tentukan lokasi median
n 1
Median terletak pada data ke
2
CONTOH
1. Berikut adalah data tinggi badan (cm) 5 orang mahasiswa (data telah
diurutkan dari yang terkecil)
165 167 168 170 171
n 1 5 1
Median terletak pada data ke 3
2 2
Jadi, median = 168
2. Berikut adalah data berat badan (kg) 8 orang mahasiswa
64 60 46 51 55 48 42 58
Data tersebut harus diurutkan:
42 46 48 51 55 58 62 64
n 1 8 1
Median terletak pada data ke 4,5
2 2
{antara data ke-4 dan ke-5}
data _ ke 4 data _ ke 5
Jadi, median
2
51 55
53
2
7. Data Berkelompok
Median dihitung dengan cara interpolasi dan menganggap bahwa data
tersebar merata dalam interval itu
RUMUS :
n
2 F
Median Md L md c
f md
dengan:
Lmd : batas bawah interval median
n : banyak data
F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval median
fmd : frekuensi interval median
c : lebar interval
CONTOH :
Untuk data tinggi badan (cm) 50 mahasiswa F SAINTEK.
Tentukan Mediannya
Pembahasan:
Tabel 3.2
Perhitungan Median tinggi badan 50 mahasiswa F SAINTEK
8. n 50
Pertama-tama tentukan kelas interval median : 25
2 2
Tampak median terletak pada interval 173,5 – 176,5. Sehingga dapat
ditentukani:
Lmd : 173,5 F : 21
fmd : 11 c :3
25 21
Md 173,5 3 175, 4
11
Jadi Mediannya adalah 175,4
3.1.3 Kuartil
Kuartil dari sekumpulan data adalah nilai-nilai yang membagi empat secara
sama dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya.
Ada 3 nilai KUARTIL, yaitu:
• K1 : Kuartil Bawah
• K2 : Kuartil Tengah (MEDIAN)
• K3 : Kuartil Atas
Gambar 3.1
Ilustrasi tentang posisi 3 (tiga) nilai kuartil
9. Data Tidak Berkelompok
Langkah-langkah:
1. Urutkan data menurut besarnya (biasanya: kecil ke besar)
2. Tentukan K2 / Median {Lihat cara menghitung Median)
3. Bagi data menjadi 2 kelompok sama besar
4. Tentukan K1 berdasarkan data kelompok bawah dan K3 berdasarkan data
kelompok atas
CONTOH 1.
1. Berikut adalah data tinggi badan (cm) 7 orang mahasiswa
160 165 167 168 170 170 171
Tentukan : Nilai Kuartilnya?
Pembahasan
K2 = Median = 168
Data dibagi menjadi 2 : 160 165 167
170 170 171
Jadi K1 = 165 dan K3 =170
2. Berikut adalah data berat badan (kg) 8 orang mahasiswa (setelah
diurutkan) :
42 46 48 51 55 58 62 64
Pembahasan
K2 = Median = 53
Data dibagi menjadi 2 : 42 46 48 51
55 58 62 64
10. Data Berkelompok
RUMUS
n
4 F
K1 LK1 c
f K1
n
2 F
Md L md c
f md
3n4 F
K3 L K3 c
f K3
Dimana:
LK1 : batas bawah interval Kuartil I
Lmd : batas bawah interval median
LK2 : batas bawah interval Kuartil III
n : banyak data
F : jumlah frekuensi interval- interval sebelum interval Kuartil
fK1 : frekuensi interval Kuartil I
fmd : frekuensi interval median
fK3 : frekuensi interval Kuartil III
c : lebar interval
Catatan : Interval Kuartil adalah interval dimana Kuartil itu berada.
CONTOH :
Untuk data tinggi badan (cm) 50 mahasiswa F SAINTEK.
Tentukan Kuartilnya.
PEMBAHASAN
K2 atau Median telah di hitung dan diperoleh 175,4
11. KUARTIL BAWAH (K1)
Tabel 3.3
Perhitungan Kuartil bawah (K1) tinggi badan
n 50
Tentukan Interval Kuartil bawah (K1) 12,5
4 4
K1 terletak pada interval 167,5 – 170,5. Sehingga dapat dicari:
LK1 : 167,5 F :6
fK1 : 7 c :3
12,5 6
K1 167,5 3 170,3
7
Jadi Kuartil bawahnya adalah 170,3
KUARTIL ATAS (K3)
Tabel 3.4
Perhitungan Kuartil bawah (K1) tinggi badan
12. 3n 3*50
Tentukan Interval Kuartil Atas (K3) 3
4 4
K3 terletak pada interval 176,5 – 179,5. Sehingga dapat dicari:
LK3 : 176,5 F : 32
fK3 : 7 c :3
37,5 32
K1 176,5 3 178,9
7
Jadi Kuartil atasnya adalah 178,9
PENTING!
Cara mencari kurtil (K1, K2, K3) dapat diterapkan untuk mencari desil (nilai
yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar) atau persentil (nilai
yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama besar)
3.1.4 Modus
Modus dari sekumpulan data adalah nilai yang sering muncul atau nilai
yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam kumpulan data itu.
Data Tidak Berkelompok
CONTOH
1. Dari data tinggi badan (cm) 7 orang mahasiswa (data telah diurutkan dari
yang terkecil)
160 165 167 168 170 170 171
Modusnya adalah 170
Karena 170 muncul 2 x, sedangkan yang lainnya 1x
13. 2. Perhatikan data nilai Kuis Metode Statistik di bawah ini.
Tabel 3.5
Distribusi nilai kuis Metode statistik
Modusnya adalah 8.
Karena 8 memiliki frekuensi terbesar, yaitu 16
Data Berkelompok
RUMUS
a
Mod L mo c
a b
dengan :
Lmo : batas bawah interval modus
a : beda frekuensi antara interval modus dengan interval sebelumnya
b : beda frekuensi antara interval modus dengan interval sesudahnya.
c : lebar interval Interval modus
CONTOH :
Untuk data tinggi badan (cm) 50 mahasiswa F SAINTEK.
Tentukan Modusnya.
PEMBAHASAN :
14. Tabel 3.6
Perhitungan Modus tinggi badan
Interval Kelas Modus adalah 173,5 – 176,5. Sehingga dapat dicari:
Lmo : 173,5 a :3
b :4 c :3
3
Mod 173,5 3 174,8
3 4
Jadi Modusnya adalah 174,8
3.2. Ukuran Dispersi
Beberapa distribusi dapat mempunyai mean, median dan modus yang sama,
namun bentuk distribusinya sangat berbeda. Dengan demikian diperlukan ukuran
dispersi atau ukuran deviasi terhadap pusat datanya. Ukuran dipersi digunakan
untuk melihat besarnya sebaran data. Beberapa ukuran dispersi yang akan
dibicarakan: jangkauan, deviasi rata-rata, variansi dan deviasi standar.
15. 3.2.1 Rentang
Rentang adalah selisih data terbesar dan terkecil.
Notasi: R
CONTOH
Berikut adalah data tinggi badan (cm) 7 orang mahasiswa
160 165 167 168 170 170 171
Maka jangkauan/ rentangnya adalah :
R = Data terbesar – Data terkecil
= 171 – 160
= 11
3.2.2 Deviasi rata-rata
Deviasi rata-rata adalah harga rata-rata penyimpangan tiap data terhadap
meannya. Besar perbedaaan antara data dan meannya adalah harga mutlaknya.
Data tidak berkelompok
Misalnya x1, x2, ... , xn adalah sekumpulan data dengan mean , maka deviasi rata-
ratanya adalah :
n
xi x
i 1
DR =
n
CONTOH
Dari data berat badan (kg) 8 orang mahasiswa
64 60 46 51 55 48 42 58
16. PEMBAHASAN
Misalkan : X = Berat Badan
Mean data di atas adalah 53
Tabel 3.7
Perhitungan deviasi standar
50
Jadi DR = 6, 25
8
Data berkelompok
RUMUS
k
fi x i x k
i 1
DR = , dimana : n = fi
n i 1
dengan
xI : titik tengah inteval kelas ke-i
fI : frekuensi interval kelas ke-i
n : banyak data
17. CONTOH :
Dari data tinggi badan (cm) 50 mahasiswa F SAINTEK
Tabel 3.8
Perhitungan deviasi standar data rata-rata berkelompok
224,88
Berdasarkan tabel di atas diperoleh DR = 4,50
50
3.2.3 Variansi dan Deviasi Standar
VARIANSI (S2)
Variansi sampel didefinisikan sebagai jumlah kuadrat deviasi terhadap mean
sampel dibagi n – 1.
Notasi: S2
Data Tidak berkelompok
RUMUS
k
1
s2 xi x 2
n 1 i 1
atau
k k 2
2 1 2 1
s x i xi
n 1 i 1 n i 1
18. CONTOH
Dari data berat badan (kg) 8 orang mahasiswa
64 60 46 51 55 48 42 58
PEMBAHASAN
Misalkan : X = Berat Badan
Mean data di atas adalah 53
Tabel 3.9
Perhitungan deviasi standar data berkelompok
1
Berdasarkan tabel di atas diperoleh s2 398 8,12
50 1
DEVIASI STANDAR (S)
Deviasi standar didefinisikan sebagai akar dari variansi s s2
CONTOH
Untuk contoh data berat badan (kg) 8 orang mahasiswa di atas, telah dihitung S2 =
8,12
Jadi s s2 8,12 2,85
19. Data berkelompok
RUMUS
k
1
s2 fi x i x 2
n 1 i 1
atau
n k 2
2 1 2 1
s fi x i fi x i
n 1 i 1 n i 1
CONTOH :
Dari data tinggi badan (cm) 50 mahasiswa F SAINTEK
Tabel 3.10
Perhitungan variansi data berkelompok
Berdasarkan tabel di atas dengan mengunakan rumus pertama, maka variansinya :
k
1
s2 fi x i x 2
n 1 i 1
1
1487,52 30,56
50 1
Dan Standar deviasinya :
s s2 30,56 5,51
20. CARA LAIN
Seperti halnya dengan mencari nilai mean data berkelompok.
Kita juga dapat mencari nilai variansi dapat dicari dengan cara transformasi.
ui = (xi - a) / c
dimana : xi : titik tengah interval kelas ke-i
a : sembarang harga titik tengah interval kelas
(biasanya yang memiliki frekuensi terbanyak)
c : lebar interval kelas
sehingga Rumus VARIANSI (S2) adalah:
s2 c2 u 2
k
1
dimana : s 2
u fi u i u 2
n 1 i 1
atau dapat juga ditulis:
n k 2
1 1
s2 f i u i2 fi u i
n 1 i 1 n i 1
CONTOH
Dari contoh di atas, dengan mengambil nilai a = 175
Tabel 3.11
Perhitungan variansi data berkelompok dengan cara lain
21. Berdasarkan tabel di atas dengan mengunakan rumus transformasi, maka
variansinya :
n k 2
2 1 2 1
s fi u i fi u i
n 1 i 1 n i 1
1 1 2
1494 18 30,36
50 1 50
Jadi, variansi adalah: 30,36 dan Standar deviasinya adalah 5,51
3.3. Latihan
1. Berdasarkan data berat badan pada PR bab II (Lihat jawaban a. Tabel distribusi
frekuensi).
Tentukan :
a. Mean
b. Median dan
c. Modus
2. Perhatikan data berikut :
2;2;3;5;8;2;9;4;9;4;2;4;4;2;6;4
Tentukan kuartil (K1,K2,K3) dan Modusnya