Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad como espacios de probabilidad, eventos y funciones de probabilidad. Define un espacio de probabilidad como una tripleta (L, E, P) donde L es un espacio muestral, E es un conjunto de subconjuntos de eventos y P es una función de probabilidad. Explica estos conceptos con un ejemplo de lanzar una moneda y posibles funciones de probabilidad. Luego cubre conceptos como probabilidad condicional y la regla de Bayes.

1. Probabilidad y Estad´
ıstica
Conceptos b´sicos, probabilidad condicional, regla de la cadena
a
y regla de Bayes
Dr. H´ctor Avil´s
e e
Ingenier´ en Tecnolog´ de la Informaci´n
ıa ıas o
Universidad Polit´cnica de Victoria
e
Cd. Victoria Tamaulipas
Enero-Abril 2012

2. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Contenido
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Probabilidad condicional
Probabilidad total y la regla de Bayes
H. Avil´s
e UPV
2/71

3. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Contenido
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Probabilidad condicional
Probabilidad total y la regla de Bayes
H. Avil´s
e UPV
3/71

4. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
“La probabilidad no es m´s que sentido com´n reducido a c´lculos”
a u a
Pierre Sim´n Laplace 1749 - 1827.
o
Teor´ anal´
ıa ıtica de probabilidad, 1820.
H. Avil´s
e UPV
4/71

5. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
La probabilidad tiene que ver con la posibilidad o verosimilitud
de la ocurrencia de eventos
H. Avil´s
e UPV
5/71

6. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
La probabilidad tiene que ver con la posibilidad o verosimilitud
de la ocurrencia de eventos
Frases como “Estoy casi seguro que llover´ hoy” o “Tenemos
a
un 90% de probabilidad de ganar el juego” son comunes en
nuestro lenguaje cotidiano
H. Avil´s
e UPV
5/71

7. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
La probabilidad tiene que ver con la posibilidad o verosimilitud
de la ocurrencia de eventos
Frases como “Estoy casi seguro que llover´ hoy” o “Tenemos
a
un 90% de probabilidad de ganar el juego” son comunes en
nuestro lenguaje cotidiano
Desafortunadamente, declaraciones as´ suelen no tener m´s
ı a
sustento que nuestra propia creencia
H. Avil´s
e UPV
5/71

8. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
La probabilidad tiene que ver con la posibilidad o verosimilitud
de la ocurrencia de eventos
Frases como “Estoy casi seguro que llover´ hoy” o “Tenemos
a
un 90% de probabilidad de ganar el juego” son comunes en
nuestro lenguaje cotidiano
Desafortunadamente, declaraciones as´ suelen no tener m´s
ı a
sustento que nuestra propia creencia
Con la teor´ de probabilidad podemos sistematizar tales
ıa
afirmaciones a trav´s de un conjunto de axiomas o reglas de
e
operaci´n, un espacio muestral y eventos con probabilidades
o
relacionadas a ellos
H. Avil´s
e UPV
5/71

9. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
H. Avil´s
e UPV
6/71

10. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
L es un espacio muestral no vac´
ıo
H. Avil´s
e UPV
6/71

11. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
L es un espacio muestral no vac´
ıo
E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto,
E podr´ ser el conjunto potencia de L)
ıa
H. Avil´s
e UPV
6/71

12. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
L es un espacio muestral no vac´ ıo
E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto,
E podr´ ser el conjunto potencia de L)
ıa
P es una funci´n que retorna valores de probabilidad para los
o
eventos en E en el intervalo [0, 1]. (Si la probabilidad de un
evento es 0, ´ste nunca ocurre; si es 1, ocurre con toda
e
seguridad)
H. Avil´s
e UPV
6/71

13. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
L es un espacio muestral no vac´ ıo
E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto,
E podr´ ser el conjunto potencia de L)
ıa
P es una funci´n que retorna valores de probabilidad para los
o
eventos en E en el intervalo [0, 1]. (Si la probabilidad de un
evento es 0, ´ste nunca ocurre; si es 1, ocurre con toda
e
seguridad)
Sea A ∈ E , 0 ≤ P(A) ≤ 1
H. Avil´s
e UPV
6/71

14. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
L es un espacio muestral no vac´ ıo
E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto,
E podr´ ser el conjunto potencia de L)
ıa
P es una funci´n que retorna valores de probabilidad para los
o
eventos en E en el intervalo [0, 1]. (Si la probabilidad de un
evento es 0, ´ste nunca ocurre; si es 1, ocurre con toda
e
seguridad)
Sea A ∈ E , 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(L) = 1
H. Avil´s
e UPV
6/71

15. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
L es un espacio muestral no vac´ ıo
E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto,
E podr´ ser el conjunto potencia de L)
ıa
P es una funci´n que retorna valores de probabilidad para los
o
eventos en E en el intervalo [0, 1]. (Si la probabilidad de un
evento es 0, ´ste nunca ocurre; si es 1, ocurre con toda
e
seguridad)
Sea A ∈ E , 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(L) = 1
P(∅) = 0
H. Avil´s
e UPV
6/71

16. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
H. Avil´s
e UPV
7/71

17. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
H. Avil´s
e UPV
7/71

18. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son
a a
A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento
a a
“el resultado es sol” (B = {sol})
H. Avil´s
e UPV
7/71

19. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son
a a
A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento
a a
“el resultado es sol” (B = {sol})
Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones:
o
H. Avil´s
e UPV
7/71

20. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son
a a
A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento
a a
“el resultado es sol” (B = {sol})
Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones:
o
1 P1 (A) = 0.5 y P1 (B) = 0.5, P1 (∅) = 0, P1 (A ∪ B) = 1, o
´
H. Avil´s
e UPV
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21. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son
a a
A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento
a a
“el resultado es sol” (B = {sol})
Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones:
o
1 P1 (A) = 0.5 y P1 (B) = 0.5, P1 (∅) = 0, P1 (A ∪ B) = 1, o
´
2 P2 (A) = 0.7 y P2 (B) = 0.3, P2 (∅) = 0, P2 (A ∪ B) = 1, o
´
H. Avil´s
e UPV
7/71

22. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son
a a
A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento
a a
“el resultado es sol” (B = {sol})
Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones:
o
1 P1 (A) = 0.5 y P1 (B) = 0.5, P1 (∅) = 0, P1 (A ∪ B) = 1, o
´
2 P2 (A) = 0.7 y P2 (B) = 0.3, P2 (∅) = 0, P2 (A ∪ B) = 1, o
´
3 P3 (A) = 0.4 y P3 (B) = 0.6, P3 (∅) = 0, P3 (A ∪ B) = 1, o
´
H. Avil´s
e UPV
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23. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son
a a
A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento
a a
“el resultado es sol” (B = {sol})
Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones:
o
1 P1 (A) = 0.5 y P1 (B) = 0.5, P1 (∅) = 0, P1 (A ∪ B) = 1, o
´
2 P2 (A) = 0.7 y P2 (B) = 0.3, P2 (∅) = 0, P2 (A ∪ B) = 1, o
´
3 P3 (A) = 0.4 y P3 (B) = 0.6, P3 (∅) = 0, P3 (A ∪ B) = 1, o
´
4 ...
H. Avil´s
e UPV
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24. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Las unicas restricciones para especificar E es que no sea vac´
´ ıo,
sea cerrado bajo complemento y uni´n (e.g., {sol} = {´guila}
o a
y ({sol} ∪ {´guila}) = {sol, ´guila})
a a
H. Avil´s
e UPV
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25. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Las unicas restricciones para especificar E es que no sea vac´
´ ıo,
sea cerrado bajo complemento y uni´n (e.g., {sol} = {´guila}
o a
y ({sol} ∪ {´guila}) = {sol, ´guila})
a a
En la pr´ctica frecuentemente podemos omitir la definici´n de
a o
E si se precisan los eventos de inter´s
e
H. Avil´s
e UPV
8/71

26. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Las unicas restricciones para especificar E es que no sea vac´
´ ıo,
sea cerrado bajo complemento y uni´n (e.g., {sol} = {´guila}
o a
y ({sol} ∪ {´guila}) = {sol, ´guila})
a a
En la pr´ctica frecuentemente podemos omitir la definici´n de
a o
E si se precisan los eventos de inter´s
e
En algunos problemas pr´cticos s´lo conoceremos las
a o
probabilidades para eventos simples; sin embargo, el resto se
puede inferir
H. Avil´s
e UPV
8/71

27. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Las unicas restricciones para especificar E es que no sea vac´
´ ıo,
sea cerrado bajo complemento y uni´n (e.g., {sol} = {´guila}
o a
y ({sol} ∪ {´guila}) = {sol, ´guila})
a a
En la pr´ctica frecuentemente podemos omitir la definici´n de
a o
E si se precisan los eventos de inter´s
e
En algunos problemas pr´cticos s´lo conoceremos las
a o
probabilidades para eventos simples; sin embargo, el resto se
puede inferir
En el ejemplo anterior siendo A y B exhaustivos
colectivamente (es decir, A ∪ B = L) y disjuntos entre s´
ı
(A ∩ B) = ∅, se tiene que
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1 = P(L)
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e UPV
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28. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Hay tres formas b´sicas para asignar probabilidades (i.e., para
a
definir P):
H. Avil´s
e UPV
9/71

29. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Hay tres formas b´sicas para asignar probabilidades (i.e., para
a
definir P):
Por enfoque frecuentista, de estimaci´n, o experiencia, cuando
o
se ha observado que un suceso B ha ocurrido mB veces de un
total de m repeticiones (i.e., P(B) = mB )
m
H. Avil´s
e UPV
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30. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Hay tres formas b´sicas para asignar probabilidades (i.e., para
a
definir P):
Por enfoque frecuentista, de estimaci´n, o experiencia, cuando
o
se ha observado que un suceso B ha ocurrido mB veces de un
total de m repeticiones (i.e., P(B) = mB )
m
Por enfoque cl´sico o a priori cuando un suceso A puede
a
ocurrir de nA formas de un total de n maneras posibles en el
espacio muestral (i.e., P(A) = nnA )
H. Avil´s
e UPV
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31. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Hay tres formas b´sicas para asignar probabilidades (i.e., para
a
definir P):
Por enfoque frecuentista, de estimaci´n, o experiencia, cuando
o
se ha observado que un suceso B ha ocurrido mB veces de un
total de m repeticiones (i.e., P(B) = mB )
m
Por enfoque cl´sico o a priori cuando un suceso A puede
a
ocurrir de nA formas de un total de n maneras posibles en el
espacio muestral (i.e., P(A) = nnA )
De manera subjetiva (i.e., suposici´n o creencia personal)
o
H. Avil´s
e UPV
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32. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Como ejemplo del enfoque frecuentista, se dice que un
matem´tico adinerado pidi´ a sus trabajadores lanzar
a o
monedas miles de veces, cayendo “sol” aproximadamente la
mitad de las veces
H. Avil´s
e UPV
10/71

33. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Como ejemplo del enfoque frecuentista, se dice que un
matem´tico adinerado pidi´ a sus trabajadores lanzar
a o
monedas miles de veces, cayendo “sol” aproximadamente la
mitad de las veces
Si elegimos el m´todo cl´sico, que caiga “cara” es uno de dos
e a
resultados posibles del espacio muestral, entonces su
probabilidad es 1 = 0.5
2
H. Avil´s
e UPV
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34. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Como ejemplo del enfoque frecuentista, se dice que un
matem´tico adinerado pidi´ a sus trabajadores lanzar
a o
monedas miles de veces, cayendo “sol” aproximadamente la
mitad de las veces
Si elegimos el m´todo cl´sico, que caiga “cara” es uno de dos
e a
resultados posibles del espacio muestral, entonces su
probabilidad es 1 = 0.5
2
En el mismo ejemplo, las opciones 2 y 3 se eligieron por
suposici´n (la moneda podr´ no ser “justa”)
o ıa
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35. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
En general, al definir un espacio de probabilidad creamos un
modelo matem´tico cuya precisi´n y utilidad debe contrastarse con
a o
la realidad
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36. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Para cualquier n´mero de sucesos A1 , A2 , ..., An donde cada
u
Ai ∈ E y ∀i=j Ai ∩ Aj = ∅,
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An )
H. Avil´s
e UPV
12/71

37. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Para cualquier n´mero de sucesos A1 , A2 , ..., An donde cada
u
Ai ∈ E y ∀i=j Ai ∩ Aj = ∅,
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An )
Si adem´s son exhaustivos colectivamente, es decir,
a
(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = L, entonces
P(A1 ∪A2 ∪...∪An ) = P(L) = P(A1 )+P(A2 )+...+P(An ) = 1
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38. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Para cualquier n´mero de sucesos A1 , A2 , ..., An donde cada
u
Ai ∈ E y ∀i=j Ai ∩ Aj = ∅,
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An )
Si adem´s son exhaustivos colectivamente, es decir,
a
(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = L, entonces
P(A1 ∪A2 ∪...∪An ) = P(L) = P(A1 )+P(A2 )+...+P(An ) = 1
Si A1 ⊂ A2 , entonces P(A1 ) ≤ P(A2 ) y
P(A2 − A1 ) = P(A2 ) − P(A1 )
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12/71

39. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Para cualquier n´mero de sucesos A1 , A2 , ..., An donde cada
u
Ai ∈ E y ∀i=j Ai ∩ Aj = ∅,
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An )
Si adem´s son exhaustivos colectivamente, es decir,
a
(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = L, entonces
P(A1 ∪A2 ∪...∪An ) = P(L) = P(A1 )+P(A2 )+...+P(An ) = 1
Si A1 ⊂ A2 , entonces P(A1 ) ≤ P(A2 ) y
P(A2 − A1 ) = P(A2 ) − P(A1 )
P(A ) = 1 − P(A)
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40. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Si A y B son dos sucesos cualesquiera (v´lido para cuando son
a
o no disjuntos), entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
H. Avil´s
e UPV
13/71

41. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Si A y B son dos sucesos cualesquiera (v´lido para cuando son
a
o no disjuntos), entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B)
−P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C )
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e UPV
13/71

42. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Si A y B son dos sucesos cualesquiera (v´lido para cuando son
a
o no disjuntos), entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B)
−P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C )
Para dos sucesos A y B, P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B )
H. Avil´s
e UPV
13/71

43. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Si A y B son dos sucesos cualesquiera (v´lido para cuando son
a
o no disjuntos), entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B)
−P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C )
Para dos sucesos A y B, P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B )
Generalizando, si un suceso A puede resultar en uno de los
sucesos mutuamente excluyentes A1 , A2 , ..., An entonces
P(A) = P(A ∩ A1 ) + P(A ∩ A2 ) + ... + P(A ∩ An )
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e UPV
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44. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado:
H. Avil´s
e UPV
14/71

45. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado:
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
H. Avil´s
e UPV
14/71

46. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado:
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Podemos definir los eventos simples A1 , A2 , A3 , ... como los
eventos en que resulte 1, 2, 3..., respectivamente
H. Avil´s
e UPV
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47. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado:
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Podemos definir los eventos simples A1 , A2 , A3 , ... como los
eventos en que resulte 1, 2, 3..., respectivamente
Siguiendo el modelo cl´sico, cada resultado es 1 de 6 posibles,
a
as´ P(A1 ) = 1 , P(A2 ) = 1 , P(A3 ) = 6 , ...
ı 6 6
1
H. Avil´s
e UPV
14/71

48. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado:
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Podemos definir los eventos simples A1 , A2 , A3 , ... como los
eventos en que resulte 1, 2, 3..., respectivamente
Siguiendo el modelo cl´sico, cada resultado es 1 de 6 posibles,
a
as´ P(A1 ) = 1 , P(A2 ) = 1 , P(A3 ) = 6 , ...
ı 6 6
1
Ya que s´lo un evento puede ocurrir a la vez (i.e.,
o
A1 , A2 , A3 , ... son disjuntos) y su uni´n produce L,
o
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A6 ) = P(L) =
P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(A6 ) = 1 + 1 + ... + 1 = 1
6 6 6
H. Avil´s
e UPV
14/71

49. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado:
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Podemos definir los eventos simples A1 , A2 , A3 , ... como los
eventos en que resulte 1, 2, 3..., respectivamente
Siguiendo el modelo cl´sico, cada resultado es 1 de 6 posibles,
a
as´ P(A1 ) = 1 , P(A2 ) = 1 , P(A3 ) = 6 , ...
ı 6 6
1
Ya que s´lo un evento puede ocurrir a la vez (i.e.,
o
A1 , A2 , A3 , ... son disjuntos) y su uni´n produce L,
o
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A6 ) = P(L) =
P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(A6 ) = 1 + 1 + ... + 1 = 1
6 6 6
Recordar: A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A6 implica que puede ocurrir A1 , ´ A2 , ´ A3 ...
o o
H. Avil´s
e UPV
14/71

50. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un evento B es “que resulte un n´mero impar”, el
u
subconjunto relacionado es {1, 3, 5} (i.e., 1 o 3 ´ 5) y
´ o
P(B) = P(A1 ∪ A3 ∪ A5 ) = P(A1 ) + P(A3 ) + P(A5 ) =
1 1 1 3 1
6 + 6 + 6 = 6 = 2
H. Avil´s
e UPV
15/71

51. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un evento B es “que resulte un n´mero impar”, el
u
subconjunto relacionado es {1, 3, 5} (i.e., 1 o 3 ´ 5) y
´ o
P(B) = P(A1 ∪ A3 ∪ A5 ) = P(A1 ) + P(A3 ) + P(A5 ) =
1 1 1 3 1
6 + 6 + 6 = 6 = 2
1 1
Ya que A1 ⊂ B, entonces P(A1 ) = 6 < P(B) = 2 y
1
P(B − A1 ) = P(B) − P(A1 ) = 2 − 1 = 2
6 6
H. Avil´s
e UPV
15/71

52. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un evento B es “que resulte un n´mero impar”, el
u
subconjunto relacionado es {1, 3, 5} (i.e., 1 o 3 ´ 5) y
´ o
P(B) = P(A1 ∪ A3 ∪ A5 ) = P(A1 ) + P(A3 ) + P(A5 ) =
1 1 1 3 1
6 + 6 + 6 = 6 = 2
1 1
Ya que A1 ⊂ B, entonces P(A1 ) = 6 < P(B) = 2 y
1
P(B − A1 ) = P(B) − P(A1 ) = 2 − 1 = 2
6 6
Si el evento es “que el resultado sea cualquier n´mero excepto
u
el 2”, A2 = {1, 3, 4, 5, 6} y su probabilidad es
5
P(A2 ) = P(L − A2 ) = P({1, 3, 4, 5, 6}) = 6
H. Avil´s
e UPV
15/71

53. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Consideremos nuevamente el evento B ´ {1, 3, 5}, y el evento
o
A1 = {1}. Ambos conjuntos son no disjuntos,
(B ∩ A1 ) = {1}. Por tanto, la probabilidad de
P(B ∪ A1 ) = P(B) + P(A1 ) − P(B ∩ A1 ) = 3 + 6 − 6 = 3
6
1 1
6
H. Avil´s
e UPV
16/71

54. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Consideremos nuevamente el evento B ´ {1, 3, 5}, y el evento
o
A1 = {1}. Ambos conjuntos son no disjuntos,
(B ∩ A1 ) = {1}. Por tanto, la probabilidad de
P(B ∪ A1 ) = P(B) + P(A1 ) − P(B ∩ A1 ) = 3 + 6 − 6 = 3
6
1 1
6
Para P(B ∪ A1 ∪ A3 ) = P(B) + P(A1 ) + P(A3 ) − P(B ∩ A1 )
−P(A1 ∩ A3 ) − P(A3 ∩ B) + P(B ∩ A1 ∩ A3 ) =
3 1 1 1 1 3
6 + 6 + 6 − 6 −0− 6 +0= 6
H. Avil´s
e UPV
16/71

55. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Consideremos nuevamente el evento B ´ {1, 3, 5}, y el evento
o
A1 = {1}. Ambos conjuntos son no disjuntos,
(B ∩ A1 ) = {1}. Por tanto, la probabilidad de
P(B ∪ A1 ) = P(B) + P(A1 ) − P(B ∩ A1 ) = 3 + 6 − 6 = 3
6
1 1
6
Para P(B ∪ A1 ∪ A3 ) = P(B) + P(A1 ) + P(A3 ) − P(B ∩ A1 )
−P(A1 ∩ A3 ) − P(A3 ∩ B) + P(B ∩ A1 ∩ A3 ) =
3 1 1 1 1 3
6 + 6 + 6 − 6 −0− 6 +0= 6
Si A = {1, 2} ´ “el resultado es 1 ´ 2” y B = {2, 4, 6},
o o
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B ) = P({1}) + P({2}) = 2 6
H. Avil´s
e UPV
16/71

56. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejercicios
a
Considere el experimento aleatorio “lanzar un dado dos veces”
Describa gr´ficamente su espacio muestral
a
Asigne probabilidades iguales a cada salida
Describa los conjuntos de los siguientes eventos: a) A ´ “el
o
resultado en el primer lanzamiento es 1”, B ´ “el resultado en
o
el segundo lanzamiento es 5”, C ´ “la suma de ambos
o
resultados es 6” y D ´ “ambos n´meros son iguales”, E ´
o u o
“salga 7 u 11”
Calcule P(A), P(B), P(C ) y P(D), P(C ∪ A) ,
P(A ∪ D ∪ B), P(E )
H. Avil´s
e UPV
17/71

57. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejercicios
a
Considere el experimento aleatorio “Sacar una ficha de una
bolsa que contiene 3 fichas marcadas con una X, 1 ficha con
una carita feliz y 4 fichas de carita triste”. Calcule la
probabilidad de elegir: a) una ficha X, b) una ficha de carita
feliz y c) una ficha de carita triste, d) que no sea una X, y e)
que sea de X o carita triste
Un ni˜o est´ jugando con 5 cubos numerados del 1 al 5. Si
n a
los coloca al azar en fila: a) ¿Cu´l es la probabilidad de que el
a
n´mero resultante sea menor a 20,000?, b) ¿Cu´l es la
u a
probabilidad de que resulte mayor de 40,000?
H. Avil´s
e UPV
18/71

58. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejercicios
a
Un examen consta de 10 preguntas y 10 respuestas dadas. a)
¿Cu´l es la probabilidad de contestar correctamente el examen
a
si las respuestas se eligen de manera aleatoria? b) Si la
primera pregunta se respondi´ bien ¿Cu´l es la probabilidad
o a
de sacar bien el resto del examen?
De una baraja inglesa de 52 cartas (13 valores y 4 palos) se
extraen todas las cartas marcadas con tr´boles. Si las cartas
e
restantes est´n ordenadas al azar y se toma una de ellas: a)
a
¿Cu´l es la probabilidad de que la carta sea del palo de
a
diamantes? b) ¿Cu´l es la probabilidad de que la carta sea de
a
corazones y con valor mayor o igual a 10?, c) ¿Cu´l es la
a
probabilidad si se considera tambi´n que sea un as de pica?
e
H. Avil´s
e UPV
19/71

59. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
En resumen, para definir un espacio de probabilidad se
requiere:
H. Avil´s
e UPV
20/71

60. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
En resumen, para definir un espacio de probabilidad se
requiere:
Un espacio muestral
H. Avil´s
e UPV
20/71

61. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
En resumen, para definir un espacio de probabilidad se
requiere:
Un espacio muestral
Un conjunto de eventos posibles (definidos todos en el espacio
muestral)
H. Avil´s
e UPV
20/71

62. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
En resumen, para definir un espacio de probabilidad se
requiere:
Un espacio muestral
Un conjunto de eventos posibles (definidos todos en el espacio
muestral)
La funci´n de probabilidad para los eventos de dicho conjunto
o
H. Avil´s
e UPV
20/71

63. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
En resumen, para definir un espacio de probabilidad se
requiere:
Un espacio muestral
Un conjunto de eventos posibles (definidos todos en el espacio
muestral)
La funci´n de probabilidad para los eventos de dicho conjunto
o
Si las probabilidades de eventos compuestos por dos o m´s
a
eventos simples no son dadas, se pueden calcular mediante
operaciones definidas en la teor´ probabilidad
ıa
H. Avil´s
e UPV
20/71

64. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Contenido
x Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Probabilidad condicional
Probabilidad total y la regla de Bayes
H. Avil´s
e UPV
21/71

65. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Maths in neon at Autonomy in Cambridge
http://www.flickr.com/photos/mattbuck007/3676624894/
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e UPV
22/71

66. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
H. Avil´s
e UPV
23/71

67. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia):
o
H. Avil´s
e UPV
23/71

68. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia):
o
Que llueva si no pague mi recibo de luz
H. Avil´s
e UPV
23/71

69. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia):
o
Que llueva si no pague mi recibo de luz
Encontrar hoy una moneda en el camino ya que hace calor en
Tabasco
H. Avil´s
e UPV
23/71

70. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia):
o
Que llueva si no pague mi recibo de luz
Encontrar hoy una moneda en el camino ya que hace calor en
Tabasco
Que a una persona cualquiera le guste la pizza cuando a otra
le gusta el pollo rostizado
H. Avil´s
e UPV
23/71

71. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia):
o
Que llueva si no pague mi recibo de luz
Encontrar hoy una moneda en el camino ya que hace calor en
Tabasco
Que a una persona cualquiera le guste la pizza cuando a otra
le gusta el pollo rostizado
Al lanzar dos dados, el n´mero que sale en un dado no afecta
u
el resultado de otro
H. Avil´s
e UPV
23/71

72. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia):
o
Que llueva si no pague mi recibo de luz
Encontrar hoy una moneda en el camino ya que hace calor en
Tabasco
Que a una persona cualquiera le guste la pizza cuando a otra
le gusta el pollo rostizado
Al lanzar dos dados, el n´mero que sale en un dado no afecta
u
el resultado de otro
...
H. Avil´s
e UPV
23/71

73. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
H. Avil´s
e UPV
24/71

74. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo
e
H. Avil´s
e UPV
24/71

75. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo
e
Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el
segundo tiempo
H. Avil´s
e UPV
24/71

76. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo
e
Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el
segundo tiempo
Que repruebe un examen dado que no estudi´ e
H. Avil´s
e UPV
24/71

77. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo
e
Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el
segundo tiempo
Que repruebe un examen dado que no estudi´ e
Que se ponche una llanta de un coche si ´sta tiene 10 a˜os de
e n
uso
H. Avil´s
e UPV
24/71

78. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo
e
Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el
segundo tiempo
Que repruebe un examen dado que no estudi´ e
Que se ponche una llanta de un coche si ´sta tiene 10 a˜os de
e n
uso
Enfermarse del est´mago al comer fuera del metro Quevedo
o
(no recomendable)
H. Avil´s
e UPV
24/71

79. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo
e
Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el
segundo tiempo
Que repruebe un examen dado que no estudi´ e
Que se ponche una llanta de un coche si ´sta tiene 10 a˜os de
e n
uso
Enfermarse del est´mago al comer fuera del metro Quevedo
o
(no recomendable)
...
H. Avil´s
e UPV
24/71

80. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
En probabilidad se puede modelar el efecto que tiene la
ocurrencia de un evento A sobre posibilidad de ocurrencia de
otro evento B (i.e., las circunstancias A en las que ocurre B)
H. Avil´s
e UPV
25/71

81. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
En probabilidad se puede modelar el efecto que tiene la
ocurrencia de un evento A sobre posibilidad de ocurrencia de
otro evento B (i.e., las circunstancias A en las que ocurre B)
A esto se le conoce como probabilidad condicional (siempre
que A y B est´n definidos en el mismo espacio probabil´
e ıstico)
H. Avil´s
e UPV
25/71

82. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
En probabilidad se puede modelar el efecto que tiene la
ocurrencia de un evento A sobre posibilidad de ocurrencia de
otro evento B (i.e., las circunstancias A en las que ocurre B)
A esto se le conoce como probabilidad condicional (siempre
que A y B est´n definidos en el mismo espacio probabil´
e ıstico)
La probabilidad condicional se representa como P(B|A), i.e.,
la probabilidad de (que ocurra) B dado (que ha sucedido) A
H. Avil´s
e UPV
25/71

83. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
En probabilidad se puede modelar el efecto que tiene la
ocurrencia de un evento A sobre posibilidad de ocurrencia de
otro evento B (i.e., las circunstancias A en las que ocurre B)
A esto se le conoce como probabilidad condicional (siempre
que A y B est´n definidos en el mismo espacio probabil´
e ıstico)
La probabilidad condicional se representa como P(B|A), i.e.,
la probabilidad de (que ocurra) B dado (que ha sucedido) A
Cuando la ocurrencia de A no afecta la ocurrencia de B,
entonces se dice que B es independiente (o no depende)
estad´
ısticamente de A
H. Avil´s
e UPV
25/71

84. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra
A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B)
H. Avil´s
e UPV
26/71

85. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra
A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B)
Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la
ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es
dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A
H. Avil´s
e UPV
26/71

86. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra
A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B)
Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la
ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es
dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A
P(A∩B)
En este caso, P(B|A) = P(A) donde P(A) > 0
H. Avil´s
e UPV
26/71

87. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra
A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B)
Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la
ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es
dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A
P(A∩B)
En este caso, P(B|A) = P(A) donde P(A) > 0
P(A ∩ B) ´ P(A ∧ B) ´ P(A, B), es la probabilidad conjunta
o o
de A y B, i.e., que sucedan “los dos”
H. Avil´s
e UPV
26/71

88. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra
A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B)
Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la
ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es
dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A
P(A∩B)
En este caso, P(B|A) = P(A) donde P(A) > 0
P(A ∩ B) ´ P(A ∧ B) ´ P(A, B), es la probabilidad conjunta
o o
de A y B, i.e., que sucedan “los dos”
P(A) es conocida como probabilidad marginal de A
H. Avil´s
e UPV
26/71

89. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra
A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B)
Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la
ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es
dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A
P(A∩B)
En este caso, P(B|A) = P(A) donde P(A) > 0
P(A ∩ B) ´ P(A ∧ B) ´ P(A, B), es la probabilidad conjunta
o o
de A y B, i.e., que sucedan “los dos”
P(A) es conocida como probabilidad marginal de A
A la P(B|A) se le llama la probabilidad posterior de B dado A
H. Avil´s
e UPV
26/71

90. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Probabilidad
a
condicional
Un evento A cualquiera est´ implicitamente condicionado al
a
espacio muestral L, as´ P(A|L) = P(A∩L) = P(A) = P(A)
ı P(L) 1
H. Avil´s
e UPV
27/71

91. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
P(B|A) = P(A∩B) indica que cuando un evento A sucede, la
P(A)
probabilidad del evento B es la raz´n de P(A ∩ B) con
o
respecto a P(A)
H. Avil´s
e UPV
28/71

92. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
¿Qu´ pasa con P(B|A), si como se muestra el ´rea (A, B)
e a
aumenta?
H. Avil´s
e UPV
29/71

93. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
¿Qu´ pasa con P(B|A), si como se muestra el ´rea (A, B)
e a
aumenta?
Entonces P(B|A) aumentar´ tambi´n!
a e
H. Avil´s
e UPV
29/71

94. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Si P(A ∩ B) = ∅, entonces P(B|A) = P(A|B) = 0
H. Avil´s
e UPV
30/71

95. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Si B ⊂ A, entonces P(A|B) = 1
H. Avil´s
e UPV
31/71

96. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Un hecho importante de la probabilidad condicional es
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)
H. Avil´s
e UPV
32/71

97. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Un hecho importante de la probabilidad condicional es
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)
Sin embargo, es com´n que P(A|B) = P(B|A)
u
H. Avil´s
e UPV
32/71

98. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Por otro lado, si B y A son independientes estad´
ısticamente
(i.e., P(B|A) = P(B)), se tiene que P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
H. Avil´s
e UPV
33/71

99. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Por otro lado, si B y A son independientes estad´
ısticamente
(i.e., P(B|A) = P(B)), se tiene que P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
N´tese que la interpretaci´n intuitiva de P(B|A) y P(A ∩ B),
o o
es similar y son proporcionales por un factor P(A)
H. Avil´s
e UPV
33/71

100. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Por otro lado, si B y A son independientes estad´
ısticamente
(i.e., P(B|A) = P(B)), se tiene que P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
N´tese que la interpretaci´n intuitiva de P(B|A) y P(A ∩ B),
o o
es similar y son proporcionales por un factor P(A)
De cu´l de las dos cantidades se disponga depender´ del
a a
problema
H. Avil´s
e UPV
33/71

101. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 1
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja y despu´s tomar otra
e
bolita roja si hay reemplazo en el experimento?
H. Avil´s
e UPV
34/71

102. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 1
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja y despu´s tomar otra
e
bolita roja si hay reemplazo en el experimento?
Considere dos eventos A = “Sacar una bola roja en el primer
intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”
H. Avil´s
e UPV
34/71

103. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 1
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja y despu´s tomar otra
e
bolita roja si hay reemplazo en el experimento?
Considere dos eventos A = “Sacar una bola roja en el primer
intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”
P(A) = 3 y si hay reemplazo, P(B|A) = P(B) = 3
7 7
H. Avil´s
e UPV
34/71

104. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 1
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja y despu´s tomar otra
e
bolita roja si hay reemplazo en el experimento?
Considere dos eventos A = “Sacar una bola roja en el primer
intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”
P(A) = 3 y si hay reemplazo, P(B|A) = P(B) = 3
7 7
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 3 × 3 = 49
7 7
9
H. Avil´s
e UPV
34/71

105. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 2
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja primero y despu´s otra
e
roja si no hay reemplazo en el experimento?
H. Avil´s
e UPV
35/71

106. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 2
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja primero y despu´s otra
e
roja si no hay reemplazo en el experimento?
Considere los eventos A = “Sacar una bola roja en el primer
intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”
H. Avil´s
e UPV
35/71

107. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 2
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja primero y despu´s otra
e
roja si no hay reemplazo en el experimento?
Considere los eventos A = “Sacar una bola roja en el primer
intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”
P(A) = 3 y si no hay reemplazo, P(B|A) = 6
7
2
H. Avil´s
e UPV
35/71

108. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 2
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja primero y despu´s otra
e
roja si no hay reemplazo en el experimento?
Considere los eventos A = “Sacar una bola roja en el primer
intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”
P(A) = 3 y si no hay reemplazo, P(B|A) = 6
7
2
3 2 6
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = 7 × 6 = 42
H. Avil´s
e UPV
35/71

109. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
H. Avil´s
e UPV
36/71

110. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
Si se realizan dos lanzamientos independientes:
H. Avil´s
e UPV
36/71

111. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
Si se realizan dos lanzamientos independientes:
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49
H. Avil´s
e UPV
36/71

112. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
Si se realizan dos lanzamientos independientes:
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.7 = 0.21
H. Avil´s
e UPV
36/71

113. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
Si se realizan dos lanzamientos independientes:
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.7 = 0.21
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.3 = 0.21
H. Avil´s
e UPV
36/71

114. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
Si se realizan dos lanzamientos independientes:
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.7 = 0.21
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.3 = 0.21
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.3 = 0.09
H. Avil´s
e UPV
36/71

115. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
Si se realizan dos lanzamientos independientes:
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.7 = 0.21
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.3 = 0.21
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.3 = 0.09
Note que la probabilidad de estas combinaciones suma a 1
H. Avil´s
e UPV
36/71

116. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 4
Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A =
“Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5})
u
H. Avil´s
e UPV
37/71

117. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 4
Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A =
“Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5})
u
3 1
P(A) = 6 y P(B) = 6
H. Avil´s
e UPV
37/71

118. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 4
Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A =
“Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5})
u
P(A) = 3 y P(B) = 1
6 6
1
P(A ∩ B) = P({5}) = 6
H. Avil´s
e UPV
37/71

119. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 4
Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A =
“Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5})
u
P(A) = 3 y P(B) = 1
6 6
P(A ∩ B) = P({5}) = 1
6
P(B|A) = P(A∩B) = 1/6 = 6/18 = 3/9 = 1/3
P(A) 3/6
H. Avil´s
e UPV
37/71

120. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 4
Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A =
“Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5})
u
P(A) = 3 y P(B) = 1
6 6
P(A ∩ B) = P({5}) = 1
6
P(B|A) = P(A∩B) = 1/6 = 6/18 = 3/9 = 1/3
P(A) 3/6
P(A∩B) 1/6
P(A|B) = P(B) = 1/6 = 6/6 = 1
H. Avil´s
e UPV
37/71

121. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 4
Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A =
“Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5})
u
P(A) = 3 y P(B) = 1
6 6
P(A ∩ B) = P({5}) = 1
6
P(B|A) = P(A∩B) = 1/6 = 6/18 = 3/9 = 1/3
P(A) 3/6
P(A∩B) 1/6
P(A|B) = P(B) = 1/6 = 6/6 = 1
N´tese que P(A|B) = P(B|A)
o
H. Avil´s
e UPV
37/71

122. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 5
Una f´brica produce partes que son o buenas (95%), o con
a
defectos menores (4%), o para la basura (1%). Las partes
pasan por una inspecci´n que siempre detecta las que son
o
basura para descartarlas. ¿Cu´l es la probabilidad de que se
a
embarque una pieza buena?
H. Avil´s
e UPV
38/71

123. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 5
Una f´brica produce partes que son o buenas (95%), o con
a
defectos menores (4%), o para la basura (1%). Las partes
pasan por una inspecci´n que siempre detecta las que son
o
basura para descartarlas. ¿Cu´l es la probabilidad de que se
a
embarque una pieza buena?
Sea A = “La pieza es buena”, B = “La pieza tiene alg´n
u
defecto menor” y C = “La pieza es basura”. Adem´s,
a
P(A) = 0.95, P(B) = 0.04 y P(C ) = 0.01. Considere tambi´n
e
C’ = “La pieza no es basura”
H. Avil´s
e UPV
38/71

124. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 5
Una f´brica produce partes que son o buenas (95%), o con
a
defectos menores (4%), o para la basura (1%). Las partes
pasan por una inspecci´n que siempre detecta las que son
o
basura para descartarlas. ¿Cu´l es la probabilidad de que se
a
embarque una pieza buena?
Sea A = “La pieza es buena”, B = “La pieza tiene alg´n
u
defecto menor” y C = “La pieza es basura”. Adem´s,
a
P(A) = 0.95, P(B) = 0.04 y P(C ) = 0.01. Considere tambi´n
e
C’ = “La pieza no es basura”
P(A|C ) = P(A∩C) ) = P(1−C ) = .95 = 0.9595
P(C
P(A)
.99
H. Avil´s
e UPV
38/71