2. 2Math E-BookRelease 2.1เรียบเรียงโดย คณิต มงคลพิทักษ์สุขเผยแพร่ทางอินเตอร์เน็ตที่เว็บไซต์ http://math.boxchart.com และไทยแวร์ดอตคอมRelease 2.0 13 ตุลาคม 2548Release 2.1 28 ธันวาคม 2548ตีพิมพ์ครั้งแรก (จาก Release 2.0) ธันวาคม 2548ในชื่อ “คณิตศาสตร์ O-NET & A-NET”โดยสํานักพิมพ์ SCIENCE CENTER (ธรรมบัณฑิต)ราคาปก 159 บาท (ลด 15% เหลือ 135 บาท)สงวนลิขสิทธิ์ตามกฎหมายห้ามลอกเลียนไม่ว่าส่วนหนึ่งส่วนใดของหนังสือเว้นแต่ได้รับอนุญาตฉบับตีพิมพ์มีจําหน่ายแล้วที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯร้านซีเอ็ด ร้านขายแบบเรียนทั่วไป และธรรมบัณฑิต3/1 ถนนอัษฎางค์ ริมคลองหลอดสนามหลวง เขตพระนคร กทม. 10200ธนาณัติสั่งจ่าย ป.ณ.หน้าพระลานในนาม ผู้จัดการโทร. 0-2225-7160, 0-2221-5884โรงแรมรัตนโกสินทร์ 7-Eleven ร้านธรรมบัณฑิตถนนอัษฎางค์ ไปกระทรวงมหาดไทยคลองหลอดแผงหนังสือสนามหลวงเดิมกระทรวงยุติธรรมวัดบูรณศิริแม่ธรณีสนามหลวงถนนราชดําเนินตรอกสาเก

3. คณิตศาสตร O-NET/A-NET 3เซต ระบบจํานวนจริงฟังก์ชันตรีโกณมิติเอกซ์โพ.+ลอการิทึมลิมิต+ความต่อเนื่องอนุพันธ์+อินทิเกรตเรขาคณิตวิเคราะห์กําหนดการเชิงเส้นความน่าจะเป็นตรรกศาสตร์จํานวนเชิงซ้อนเมตริกซ์เวกเตอร์ทฤษฎีกราฟสถิติ ลําดับ+อนุกรมพื้นฐานเพิ่มเติม¤íÒªÕé樧ภายในหนังสือเล่มนี้ประกอบด้วย เนื้อหาคณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พ.ศ.2544 ช่วงชั้นที่ 4 (หรือ ม.4 – ม.6) ครบทุกหัวข้อ (ซึ่งพยายามเขียนให้กระชับที่สุด) และ โจทย์แบบฝึกหัด ที่เรียงลําดับจากง่ายไปยาก พร้อมทั้งเนื้อหาและเทคนิคการคํานวณที่ควรทําความเข้าใจเพิ่มเติม เนื้อหาบางบทเรียนสามารถเริ่มทําความเข้าใจได้ทันที แต่บางบทเรียนก็จําเป็นต้องใช้พื้นฐานความรู้จากบทเรียนอื่นประกอบด้วย ดังนั้นเพื่อป้องกันการสับสนผู้อ่านควรศึกษาเรียงตามหัวข้อดังนี้นอกจากนี้ในตอนท้ายยังมี ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ ครบทั้ง 14ฉบับ (ต.ค.41 ถึง มี.ค.48) และวิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม (2532 ถึง 2548, เฉพาะข้อที่เป็นคณิตศาสตร์) เพื่อใช้สําหรับฝึกฝนเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย (O-NET / A-NET) อีกด้วยในท้ายบทเรียนและท้ายข้อสอบมี เฉลยคําตอบและวิธีคิด กํากับไว้ทั้งหมดแล้ว โดยเฉลยวิธีคิดในหนังสือเล่มนี้เป็นเพียงการสรุปความคิดรวบยอดของข้อนั้นๆ ไม่ได้แสดงวิธีทําอย่างละเอียดทุกขั้นตอน ทั้งนี้เป็นความตั้งใจที่จะเน้นให้ผู้อ่านได้ลองคิดและเกิดความเข้าใจไปพร้อมๆ กัน เพื่อให้ทําข้อสอบได้รวดเร็วขึ้น เชื่อว่าหากผู้อ่านได้ให้เวลาทําความเข้าใจเนื้อหาอย่างถี่ถ้วน และฝึกทําโจทย์แบบฝึกหัดไปทีละขั้นๆ พร้อมกับตรวจเฉลยทุกข้อ ก็จะติดตามบทเรียนจนจบได้อย่างลุล่วง สิ่งที่ต้องการแนะนําในที่นี้คือ หากมีข้อสงสัยให้รีบถามจากผู้รู้ ไม่ควรปล่อยให้ติดค้างอยู่ :]Math E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

4. คณิตศาสตร O-NET/A-NET 4แนวโจทย์ข้อสอบเข้าฯ ในปัจจุบันโจทย์ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยปัจจุบันนี้เปลี่ยนแนวไป ทําให้หลายคนบ่นว่ายากขึ้นมากส่วนตัวผู้เขียนว่าเป็นข้อสอบที่ดีเพราะเริ่มเน้นความเข้าใจในเนื้อหา ในนิยามหลักๆ ของบทเรียนลักษณะข้อสอบแบบนี้อันที่จริงไม่ถือว่ายาก แต่ค่อนไปในทางลึกซึ้งมากกว่า คนที่จะทําข้อสอบแบบนี้ได้ถูก จะต้องรู้ลึกและแม่นจริง สูตรลัดกลายเป็นสิ่งไร้ค่า และการขยันเรียนที่โรงเรียนโดยตลอดพร้อมกับทําความเข้าใจในแบบฝึกหัดเพิ่มเติมด้วยตนเอง จะได้ผลดีมากกว่าการกวดวิชาเรียนคณิตศาสตร์ยังไงให้ได้ผลดี(1) ปัญหาแรกของคนที่บอกว่าตัวเองเรียนไม่รู้เรื่องเลย ทําโจทย์ไม่เป็นเลย อยู่ที่เรียนผิดวิธีครับ ถ้าไม่เข้าใจบทเรียนให้ลองถามตัวเองว่าเกิดจากเหตุใดต่อไปนี้(ก) ไม่ตั้งใจเรียน กรณีนี้ไม่มีวิธีแก้วิธีใดดีไปกว่าการบังคับตัวเองให้ตั้งใจเรียน :](ข) ถ้าตั้งใจแล้วแต่ไม่เข้าใจ แปลว่าผู้สอนอาจจะถ่ายทอดได้ไม่ดี แบบนี้คงต้องย้ายไปเรียนกับคนที่สอนแล้วเข้าใจ (เข้าใจกับสนุก หรือเข้าใจกับมีสูตรลัดเยอะ เป็นคนละเรื่องกันนะครับ!)(2) ทีนี้พอเข้าใจบทเรียนแล้ว การที่จะทําได้ดีไม่ดี อยู่ที่การฝึกฝนอีกอย่างหนึ่งด้วย เหมือนที่มีคนกล่าวไว้ว่า ดูเขาจับปลาร้อยครั้ง ก็ไม่สู้ลงมือฝึกจับปลาเองแค่สักครั้ง ยิ่งทําโจทย์เยอะและแปลก จะยิ่งได้เปรียบ เพราะความแม่นยําลึกซึ้งในวิชานั้นสอนกันไม่ได้อีกสิ่งหนึ่งที่ควรปรับปรุงคือ แทนที่จะจําวิธีแก้โจทย์เป็นรูปแบบตายตัว อยากให้ “มองคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือ” คือฝึกมองให้กว้างว่าแต่ละเรื่องที่เรารู้นั้น เอาไปเป็นเครื่องมือช่วยแก้ปัญหาจุดไหนของเรื่องไหนได้บ้าง ต้องบอกได้ว่าทําไมโจทย์ข้อนี้ถึงควรทําด้วยวิธีนี้ หรือรู้จักมองว่าเนื้อหาบทไหนเชื่อมโยงถึงกันได้บ้าง (ซึ่งในหนังสือเล่มนี้ได้แทรกคําอธิบายถึงความเกี่ยวโยงไว้ให้บ้างแล้ว) การฝึกแบบนี้น่าจะทําข้อสอบได้ดีขึ้นครับ..นับตั้งแต่เริ่มลงมือพิมพ์จนวันนี้ใช้เวลาถึง 2 ปี และหนังสือเล่มนี้คงจะยังไม่สําเร็จด้วยดีถ้าขาดบุคคลเหล่านี้ หากหนังสือเล่มนี้มีส่วนดีประการใด ก็เป็นเพราะบุคคลทั้งหมดนี้ครับ..- อาจารย์ทุกท่านโดยเฉพาะอาจารย์คณิตศาสตร์ ที่ได้ให้วิชาความรู้กับผม ขอขอบพระคุณอ.ชัยศักดิ์ และ อ.จงดี (สาธิตปทุมวัน) เป็นพิเศษครับ ทั้งสองท่านเป็นต้นแบบที่ดีในการสอน- ป๊า ม้า ยังคงเข้าใจและยอมเรื่อยมา บอยกับน้องยุ ช่วยพิมพ์เฉลยอย่างขยันขันแข็ง- ผู้เขียนหนังสือเรียนและคู่มือต่างๆ ผู้ออกข้อสอบเข้าฯ รวมทั้งเว็บไซต์ของ สกอ.- อ.สมพล (กวงเจ็ก) และ อ.พนม สนพ. Science Center ที่ให้โอกาสนําเสนอผลงาน- ชง สําหรับความคิดริเริ่มพิมพ์ชีท และกล้า สําหรับความคิดเรื่องข้อสอบพื้นฐานวิศวะ- น้องภัค น้องหนึ่ง น้องโอ๊ต น้องเคน สําหรับข้อสอบทั้งสองวิชา รวมไปถึงน้องๆ ทั้งหลายที่เคยเป็นศิษย์กันมา ตั้งแต่ใช้ชีทลายมือเขียนมาจนกระทั่งพิมพ์เสร็จ (ขึ้นหลักร้อยแล้ว แต่ยังจําได้ทุกคนครับ) โดยเฉพาะแอน, เนย์, เภา, ตูน เป็นน้องกลุ่มแรกที่ได้ใช้หนังสือเล่มนี้ ให้คําแนะนํา และช่วยตรวจแก้ข้อสอบด้วย- ความร้ายกาจของ “เจ๊ชุดดํา” แห่งฟู้ดเซ็นเตอร์ชั้น 3 ที่ทําให้เกิดความคิดว่า คนเราควรทํางานในหน้าที่ของตัวเองให้ดีที่สุด แล้วผมก็เดินกลับบ้านมาเริ่มพิมพ์หนังสือเมื่อสองปีที่แล้ว!- Thaiware.com, Boxchart.com, f0nt.com ... สามเว็บไทยใจดีมีข้อสงสัย คําแนะนํา หรือพบข้อบกพร่อง กรุณาติดต่อผู้เขียนที่ kanuay@thai.comและสอบถามปัญหาต่างๆ ได้ที่เว็บบอร์ดใน http://math.boxchart.comยินดีตอบทุกปัญหาครับ :]ขอบคุณที่ให้ความสนใจครับคณิต มงคลพิทักษ์สุขMath E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

5. คณิตศาสตร O-NET/A-NET 5ÊÒÃa¡ÒÃeÃÕ¹ÃÙŒ(e¹×éoËÒ·Õè㪌Êoº O-NET/A-NET)ตั้งแต่ปีการศึกษา 2549 เป็นต้นไป การสอบคัดเลือกเข้ามหาวิทยาลัยจะเปลี่ยนระบบเป็นแอดมิสชั่นส์ (Central University Admissions System) ซึ่งแบ่งคะแนนสอบออกเป็น 4 ส่วน1. GPAX รวมทุกวิชาในระดับ ม.ปลาย [10%]2. GPA เฉพาะวิชาหลัก 4-5 วิชา ต่างๆ กันไปแล้วแต่คณะที่เลือก [20%]3. O-NET (Ordinary National Educational Test) สอบรวมทั้งประเทศ [35%-40%]เป็นข้อสอบบังคับ นักเรียนทุกสาขาจะต้องสอบ มี 5 วิชาได้แก่ ภาษาไทย ภาษาอังกฤษคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และสังคมศึกษา (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ชั่วโมง) ... ซึ่งนักเรียนแต่ละคนสอบ O-NET ได้เพียงปีเดียว หลังจบ ม.64. A-NET (Advanced National Educational Test) สอบรวมทั้งประเทศ [30%-35%]เป็นข้อสอบฉบับเพิ่มเติม มีรายวิชาต่างกันไปตามสาขาที่สอบ (ไม่เกิน 3 วิชา และอาจมีวิชาความถนัดของแต่ละสาขาด้วย เช่น วิศวะฯ สถาปัตย์ ครู ศิลปะ ดนตรี สุขศึกษา) ข้อสอบจะครอบคลุมเนื้อหากว้างและลึกกว่า O-NET (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ชั่วโมง ยกเว้นวิทยาศาสตร์ 3 ชั่วโมง) โดยคณิตศาสตร์จะใช้สอบสําหรับนักเรียนที่เลือกสาขาคํานวณเท่านั้น ...นักเรียนแต่ละคนสอบ A-NET ได้ 3 ปีหมายเหตุ (1) O-NET และ A-NET มีการจัดสอบปีละ 1 ครั้ง ปลายเดือนกุมภาพันธ์(2) ทุกวิชาจะมีข้อสอบส่วนอัตนัย เป็นแบบเติมคําตอบสั้นๆ (Short Answer) ด้วย(3) ชื่อวิชาต่างจากระบบเดิม คือคณิตศาสตร์ 1 (O-NET) จะง่ายกว่าคณิตศาสตร์ 2 (A-NET)ค่าน้ําหนักของวิชาคณิตศาสตร์ในการสอบแต่ละสาขา- สาขาบริหารธุรกิจ พาณิชย์ บัญชี เศรษฐศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 20%- สาขาวิศวกรรมศาสตร์ และสาขาเกษตร | GPA 4% | O-NET 8% | A-NET 10%- สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ เทคโนโลยี สิ่งแวดล้อม | GPA 5% | O-NET 7% | A-NET 10%- สาขาวิทยาศาสตร์สุขภาพ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 10%- สาขาสังคมศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวิชาอื่นแทนได้) | O-NET 20%- สาขาการจัดการ การท่องเที่ยว | GPA 5% | O-NET 14%- สาขาสถาปัตยกรรมศาสตร์ | GPA 5% | O-NET 8%- สาขาครุศาสตร์ ศึกษาศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 8%- สาขาวิทยาศาสตร์สาธารณสุข พลศึกษา การกีฬา | GPA 4% | O-NET 7%- สาขาศิลปกรรม วิจิตรศิลป์ ประยุกต์ศิลป์ | GPA ไม่ใช้คณิตศาสตร์ | O-NET 7%- สาขามนุษยศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวิชาอื่นแทนได้) | O-NET 7-10% | A-NET ไม่แน่นอนรายละเอียดเพิ่มเติม อยู่ในเว็บไซต์ของ สถาบันทดสอบทางการศึกษาแห่งชาติ (NIETS)http://www.ntthailand.comMath E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

6. คณิตศาสตร O-NET/A-NET 6หัวข้อคณิตศาสตร์พื้นฐาน (สําหรับข้อสอบ O-NET)บทที่ 1 เซต (ทั้งหมด)บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ 2.2 และ 2.5)บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ (เฉพาะหัวข้อ 3.5)บทที่ 5 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ 5.2 และ 5.5)บทที่ 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (เฉพาะเกริ่นนํา และหัวข้อ 7.9)บทที่ 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (เฉพาะหัวข้อ 8.1)บทที่ 13 ลําดับและอนุกรม (เฉพาะหัวข้อ 13.1 และ 13.4 ที่ไม่เกี่ยวกับอนันต์)บทที่ 16 ความน่าจะเป็น (เฉพาะหัวข้อ 16.1 และ 16.6)บทที่ 17 สถิติ (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ 17.5 และ 17.6 และสมบัติต่างๆ)หัวข้อคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (สําหรับข้อสอบ A-NET)คือทุกหัวข้อในหนังสือเล่มนี้รวมทั้งหัวข้อเพิ่มเติมที่ไม่อยู่ในหนังสือเรียน ได้แก่บทที่ 2 การหารสังเคราะห์บทที่ 13 อนุกรมแบบอื่นๆ ที่ไม่ใช่เลขคณิตและเรขาคณิตบทที่ 16 การนับในกรณีอื่นๆ (หัวข้อ 16.4)บทที่ 17 สูตรลดทอนในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตMath E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

7. คณิตศาสตร O-NET/A-NET 7ÊÒúa­เรื่อง หน้าบทที่ 1 เซต 111.1 สับเซตและเพาเวอร์เซต 121.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต 151.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซต 21บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง 312.1 สมบัติของจํานวนจริง 322.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือ และตัวประกอบ 362.3 อสมการ 392.4 ค่าสัมบูรณ์ 442.5 ทฤษฎีจํานวนเบื้องต้น 48เรื่องแถม ถ้าไม่มีเครื่องคํานวณ จะหาค่ารากที่สองได้อย่างไร 58บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 593.1 ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่าความจริง 603.2 สัจนิรันดร์ 633.3 การอ้างเหตุผล 653.4 ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ 673.5 การให้เหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัย 69เรื่องแถม มองตรรกศาสตร์ให้เป็นการคํานวณ จากพื้นฐานของดิจิตัล 82บทที่ 4 เรขาคณิตวิเคราะห์ 834.1 เบื้องต้น : จุด 844.2 เบื้องต้น : เส้นตรง 864.3 ภาคตัดกรวย : พื้นฐานการเขียนกราฟ 924.4 ภาคตัดกรวย : วงกลม 944.5 ภาคตัดกรวย : พาราโบลา 964.6 ภาคตัดกรวย : วงรี 994.7 ภาคตัดกรวย : ไฮเพอร์โบลา 102บทที่ 5 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน 1195.1 ลักษณะของความสัมพันธ์ 1205.2 โดเมน เรนจ์ และตัวผกผันของความสัมพันธ์ 1215.3 กราฟของความสัมพันธ์ 124Math E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

8. คณิตศาสตร O-NET/A-NET 8เรื่อง หน้า5.4 ลักษณะของฟังก์ชัน 1275.5 ฟังก์ชันประกอบ และฟังก์ชันผกผัน 131เรื่องแถม หลักในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน fog 146บทที่ 6 กําหนดการเชิงเส้น 147บทที่ 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1577.1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติในวงกลมหนึ่งหน่วย 1587.2 ระบบเรเดียน และการลดรูปมุม 1607.3 สมการตรีโกณมิติ 1627.4 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1657.5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างมุม 1667.6 ฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติ 1697.7 เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 1717.8 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ 1727.9 การประยุกต์หาระยะทางและความสูง 173บทที่ 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม 1878.1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และกฎของเลขยกกําลัง 1878.2 การแก้สมการที่เป็นเอกซ์โพเนนเชียล 1918.3 ฟังก์ชันลอการิทึม และกฎของลอการิทึม 1928.4 การแก้สมการที่เป็นลอการิทึม 195เรื่องแถม จําเป็นต้องตรวจคําตอบของสมการ (หรืออสมการ) เมื่อใดบ้าง 204บทที่ 9 เมตริกซ์ 2059.1 การบวก ลบ และคูณเมตริกซ์ 2069.2 ดีเทอร์มินันต์ 2089.3 อินเวอร์สการคูณ 2119.4 การดําเนินการตามแถว 2159.5 การใช้เมตริกซ์แก้ระบบสมการเชิงเส้น 216บทที่ 10 เวกเตอร์ 22710.1 การบวกและลบเวกเตอร์ 22810.2 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ 23010.3 เวกเตอร์กับเรขาคณิต 23110.4 เวกเตอร์ในพิกัดฉาก และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย 23310.5 ผลคูณเชิงสเกลาร์ 23510.6 เวกเตอร์ในพิกัดฉากสามมิติ 23710.7 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 240เรื่องแถม สิ่งที่ไม่ต้องรู้ก็ได้ : ลําดับการคิดค้นเนื้อหาคณิตศาสตร์ 250Math E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

9. คณิตศาสตร O-NET/A-NET 9เรื่อง หน้าบทที่ 11 จํานวนเชิงซ้อน 25111.1 การคํานวณเบื้องต้น 25211.2 สังยุค และค่าสัมบูรณ์ 25411.3 รูปเชิงขั้ว 25611.4 สมการพหุนาม 259เรื่องแถม ใช้จํานวนเชิงซ้อนช่วยคํานวณเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ 268บทที่ 12 ทฤษฎีกราฟ 26912.1 ส่วนประกอบของกราฟ 27012.2 กราฟออยเลอร์ 27212.3 วิถีที่สั้นที่สุด และต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด 274บทที่ 13 ลําดับและอนุกรม 27913.1 ลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต 28013.2 ลิมิตของลําดับอนันต์ 28213.3 อนุกรมและซิกม่า 28413.4 อนุกรมเลขคณิต เรขาคณิต และอื่นๆ 285บทที่ 14 ลิมิตและความต่อเนื่อง 29514.1 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต 29614.2 ลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด 29814.3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 300เรื่องแถม การคํานวณลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด ด้วยกฎของโลปีตาล 306บทที่ 15 อนุพันธ์และการอินทิเกรต 30715.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง 30715.2 สูตรในการหาอนุพันธ์ 30915.3 ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด และค่าสุดขีด 31215.4 สูตรในการอินทิเกรต 31715.5 อินทิกรัลจํากัดเขต และพื้นที่ใต้โค้ง 319เรื่องแถม เทคนิคการอินทิเกรตโดยเปลี่ยนตัวแปร 332บทที่ 16 ความน่าจะเป็น 33316.1 หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ 33316.2 วิธีเรียงสับเปลี่ยน 33516.3 วิธีจัดหมู่ และกฎการแบ่งกลุ่ม 33716.4 การนับในกรณีอื่นๆ 33916.5 ทฤษฎีบททวินาม 34116.6 ความน่าจะเป็น 345เรื่องแถม เรื่องของการนับจํานวนความสัมพันธ์ จํานวนฟังก์ชัน 358Math E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

10. คณิตศาสตร O-NET/A-NET 10เรื่อง หน้าบทที่ 17 สถิติ 35917.1 การรวบรวมและนําเสนอข้อมูล 36017.2 ค่ากลางของข้อมูล 36317.3 ตําแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล 37417.4 ค่าการกระจายของข้อมูล 37817.5 ค่ามาตรฐาน และการแจกแจงแบบปกติ 38317.6 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล 388ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ 1 (14 ฉบับ) 403ฉบับที่ | ตุลาคม 2541 408ฉบับที่ | มีนาคม 2542 417ฉบับที่ | ตุลาคม 2542 426ฉบับที่ | มีนาคม 2543 435ฉบับที่ | ตุลาคม 2543 444ฉบับที่ | มีนาคม 2544 453ฉบับที่ | ตุลาคม 2544 462ฉบับที่ | มีนาคม 2545 471ฉบับที่ | ตุลาคม 2545 481ฉบับที่ | มีนาคม 2546 492ฉบับที่ | ตุลาคม 2546 502ฉบับที่ | มีนาคม 2547 512ฉบับที่ | ตุลาคม 2547 523ฉบับที่ | มีนาคม 2548 532สถิติคะแนนสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ 1 541ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม (17 ปี)(เฉพาะข้อที่เป็นคณิตศาสตร์)ชุดที่ 1 | รวมปี 2532 ถึงปี 2541 542ชุดที่ 2 | รวมตุลาคม 2541 ถึงมีนาคม 2548 573โจทย์ทดสอบ : เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยชุดที่ 1 (มี 2 ส่วน) 588ชุดที่ 2 599ภาคผนวก : Math E-Book ฉบับเข้มข้น 604ดรรชนี 645Math E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

11. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต11{s,e,t}º··Õè1 e«µ“กลุ่มของสิ่งต่างๆ” ในวิชาคณิตศาสตร์จะเรียกว่า เซต (Set) เช่น เซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, เซตของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7, เซตของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, ฯลฯ สิ่งที่อยู่ภายในแต่ละเซต เรียกว่า สมาชิก (Element หรือMember)นิยมตั้งชื่อเซตด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C และเขียนสัญลักษณ์แทนเซตด้วยวงเล็บปีกกา ดังนี้ { } เช่น ให้ A แทนเซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, B แทนเซตของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7, C แทนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, D แทนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่น้อยกว่า 7, และ E แทนเซตของจํานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 3 ถึง 33 จะได้ว่าA {= อาทิตย์, จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร์, เสาร์}การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต จะคั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวด้วยจุลภาค (comma)B { 2, 1, 0, 1, 2}= − − หรือ B {0, 1, 1, 2, 2}= − −การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต สามารถสลับที่สมาชิกในเซตได้โดยความหมายไม่เปลี่ยนC {2, 3, 5}= D {2, 3, 5}= จะกล่าวได้ว่า C D=สมาชิกตัวที่ซ้ํากันนับเป็นตัวเดียวกัน และไม่ต้องเขียนซ้ํา (360 2 2 2 3 3 5= × × × × × )E {4, 5, 6, 7, ..., 32}=หากมีสมาชิกเป็นจํานวนมาก อาจใช้เครื่องหมายจุด “...” เพื่อละสมาชิกบางตัวไว้ในฐานที่เข้าใจMath E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

12. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต12เซตที่หาจํานวนสมาชิกได้ เรียกว่า เซตจํากัด (FiniteSet) และสัญลักษณ์ที่ใช้แทน “จํานวนสมาชิกของ A” คือ n(A)เช่นในตัวอย่างข้างต้น n(A) 7= , n(B) 5= , n(C) 3= ,n(E) 29= นอกจากนั้น เซตจํากัดที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย จะเรียกว่าเซตว่าง (Null Set หรือ Empty Set) ใช้สัญลักษณ์ { } หรือ ∅นั่นคือ n( ) 0∅ =เซตที่จํานวนสมาชิกมากจนหาค่าไม่ได้ เรียกว่า เซตอนันต์ (Infinite Set) เช่น F แทนเซตของจํานวนเต็มที่น้อยกว่า 2,G แทนเซตของจํานวนใดๆ ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1F {1, 0, 1, 2, 3, ...}= − − − , n(F) หาค่าไม่ได้G เขียนแบบแจกแจงสมาชิกไม่ได้ แต่เขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ในรูป { สมาชิก | เงื่อนไข} คือG { x | 0 x 1}= < <อ่านว่า เซตของ x (สมาชิก) โดยที่ 0 x 1< < (เงื่อนไข)สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “เป็นสมาชิกของ” คือ ∈ เช่น 2 B∈ , 3 C∈ , 0.5 G∈สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” คือ ∉ เช่น 2.5 B∉ , 4 C∉ , 0 G∉ขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจ เรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) หรือเซต Uนั่นคือ สมาชิกของเซตทุกเซตจะต้องอยู่ใน U ทั้งหมด และจะไม่สนใจสิ่งที่อยู่ภายนอก Uเช่น ถ้า { 2, 1, 0, 0.5, 7}= − −U และ H { x | x 0 }= > จะได้ว่า H {0, 0.5, 7}=แต่ถ้าเปลี่ยนเป็น =U เซตของจํานวนเต็ม จะได้ว่า H {0, 1, 2, 3, ...}=การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขควรระบุเอกภพสัมพัทธ์กํากับด้วย แต่ถ้าไม่ได้ระบุไว้โดยทั่วไปให้ถือว่า U เป็นเซตของจํานวนจริงใดๆ (R )เช่น H { x | x 0 }= > มีความหมายเดียวกับ H { x | x 0 }= ∈ >R1.1 สับเซต และเพาเวอร์เซตสับเซต (Subset) คือเซตย่อย จะกล่าวว่า B เป็นสับเซตของ A ได้ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A ด้วย (และ B จะไม่เป็นสับเซตของ A หากว่ามีสมาชิกบางตัวของเซต B ไม่เป็นสมาชิกของเซต A) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B เป็นสับเซตของ A” คือ B A⊂และ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B ไม่เป็นสับเซตของ A” คือ B A⊄ตัวอย่างเช่น A {m, p, r, w}=จะมีเซต B ที่ทําให้ B A⊂ ได้ถึง 16 แบบ ดังนี้∅{m} {p} {r} {w}{m, p} {m, r} {m, w} {p, r} {p, w} {r, w}{m, p, r} {m, p, w} {m, r, w} {p, r, w}{m, p, r, w}S ¢ŒoÊa§e¡µ! S»Ãao¤ {a, b} A⊂ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇ‹Ò a A∈ æÅa b A∈S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! Se«µµ‹o仹ÕéÁÕ¨íҹǹÊÁÒªi¡e·‹Òã´{ , 0, 1, {2, 3},(4, 5)}∅¤íÒµoº¤×o 5 µaÇ ä´Œæ¡‹ e«µÇ‹Ò§, eÅ¢ 0,eÅ¢ 1, e«µ {2,3}, æÅa¤Ù‹oa¹´aº (4,5)¹a蹤×oe«µ¹aºe»š¹ 1 ¤Ù‹oa¹´aº¹aºe»š¹ 1{(1, 2),(2, 1), {1, 2}, {2, 1}}¤íÒµoº¤×o 3 µaÇ ä´Œæ¡‹ ¤Ù‹oa¹´aº (1,2), ¤Ù‹oa¹´aº (2,1), æÅae«µ {1,2}(¤Ù‹oa¹´aº 1-2 ¡aº 2-1 ¶×oÇ‹Òµ‹Ò§¡a¹ 测e«µ1-2 ¡aºe«µ 2-1 ¶×oÇ‹ÒeËÁ×o¹¡a¹æÅaäÁ‹µŒo§¹aº«éíÒ¹a¤Ãaº)e«µ¢o§ª×èo¤¹ã¹»Ãae·Èä·Âã¹¢³a¹Õée»š¹e«µ¨íÒ¡a´ËÃ×oo¹a¹µ ... ¤íÒµoº¤×oe«µ¨íÒ¡a´¤Ãaº ¶Ö§æÁŒ¨íҹǹÊÁÒªi¡¨a´ÙÇ‹ÒÁÒ¡¢¹Ò´ä˹ 测¡çäÁ‹ÁÒ¡¶Ö§o¹a¹µ¹a..Math E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

13. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต13เพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู่(กฎการนับนี้จะได้ศึกษาอย่างละเอียดในบทที่ 16)มีของ n ชิ้น หยิบออกมาทีละ r ชิ้น ได้ไม่ซ้ํากันทั้งสิ้นn n !r (n r)! r !− ⋅⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠ชุดโดยที่ x ! 1 2 3 ... x= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅เช่นถ้าเซตหนึ่งมีสมาชิก 7 ตัว จะมีสับเซตที่หยิบสมาชิกมาเพียง 3 ตัวอยู่7 7 ! 1 2 3 4 5 6 7353 4 ! 3 ! 1 2 3 4 1 2 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠แบบข้อควรทราบ1. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต A∅ ⊂2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง A A⊂3. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตทั้งสิ้น n2 แบบ ... (เช่นในตัวอย่างข้างต้น 42 16= )4. บางตําราใช้สัญลักษณ์ ⊂ แทนการเป็น สับเซตแท้ (Proper Subset) ซึ่งจะมีเพียง n2 1− แบบเท่านั้น (คือนับเฉพาะเซตที่เล็กกว่าเท่านั้น ไม่นับตัวมันเอง) และใช้สัญลักษณ์ ⊆ แทนการเป็นสับเซตใดๆ (นั่นคือ A A⊆ แต่ A A⊄ ) ... แต่ในเล่มนี้จะรวบใช้เครื่องหมาย ⊂ แทนการเป็นสับเซตใดๆ ทุกแบบ รวมถึงตัวมันเองด้วยเพาเวอร์เซต (Power Set) คือเซตที่บรรจุด้วยสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้เพาเวอร์เซตของ A จะใช้สัญลักษณ์ว่า P (A)ดังนั้น ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P (A) ย่อมมีสมาชิก n2 ตัวเช่นในตัวอย่าง A {m, p, r, w}=จะได้ P(A) {m} {p} {r} {w} {m, p} {m, r} ... {m, p, r, w}= ∅{ , , , , , , , , }• ตัวอยาง ใหเขียนสับเซตทุกๆ แบบ และเขียนเพาเวอรเซตของก. A {a}=ตอบ มีสับเซต 12 2= แบบ ไดแก ∅ และ {a}ดังนั้น P (A) { , {a}}= ∅ข. B {a, b}=ตอบ มีสับเซต 22 4= แบบ ไดแก ∅ , {a} , {b} และ {a, b}ดังนั้น P (B) { , {a}, {b}, {a, b}}= ∅ค. C {2, 3, 5}=ตอบ มีสับเซต 32 8= แบบ ไดแก ∅ , {2} , {3} , {5} , {2, 3} ,{2, 5} , {3, 5} และ {2, 3, 5}ดังนั้น P (C) { , {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}= ∅ง. D = ∅ตอบ มีสับเซต 02 1= แบบ ไดแก ∅ ดังนั้น P (D) { }= ∅S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S¹Œo§æ Áa¡¨aÊaºÊ¹ÃaËÇ‹Ò§ ∅ ¡aº { }∅Ç‹Òµ‹Ò§¡a¹o‹ҧäà ...∅ (e«µÇ‹Ò§) e»ÃÕºeÊÁ×o¹¡Å‹o§e»Å‹Òæ äÁ‹ÁÕoaäÃoÂÙ‹ã¹¹aé¹eÅ (¨íҹǹÊÁÒªi¡e·‹Ò¡aº 0)¨ae¢Õ¹Êa­Åa¡É³e»š¹ { } ¡ç䴌测¶ŒÒ¶ÒÁÇ‹Ò¡Å‹o§ãºË¹Ö觫Öè§ÁÕ¡Å‹o§e»Å‹ÒoÕ¡ãºoÂÙ‹¢ŒÒ§ã¹ ¹aºe»š¹¡Å‹o§Ç‹Ò§e»Å‹ÒËÃ×oäÁ‹¤íÒµoº¡ç¤×oäÁ‹e»Å‹ÒæÅŒÇ㪋äËÁ¤Ãaº¡çeËÁ×o¹¡a¹¡aº “e«µ¢o§e«µÇ‹Ò§” { }∅«Öè§äÁ‹ä´Œe»š¹e«µÇ‹Ò§oÕ¡µ‹oä»æÅŒÇ ...ËÃ×o¶ŒÒµoºÊaé¹æ ¡ç¤×o n( ) 0∅ =测 n({ }) 1∅ =S ¢ŒoÊa§e¡µ! S»Ãao¤ {a, b} P(A)∈ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇ‹Ò {a, b} A⊂¹a蹤×o a A∈ æÅa b A∈Math E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

14. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต14• ตัวอยาง กําหนด E { , {0}, { }}= ∅ ∅ ใหหา P (E)ตอบ , { }, {{0}}, {{ }}, { , {0}}, { , { }}, {{0}, { }}, { , {0}, { }}∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅{ }• ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A {1, 3, 5, 7}= และ B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}= ใหหาก. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X P (A)∈ตอบ คําวา X P (A)∈ ก็คือ X A⊂ดังนั้น มีเซต X ที่เปนไปไดทั้งหมด 42 16= แบบหากศึกษาบทเรียน วิธีเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมูแลวจะทราบวิธีคํานวณอีกแบบ ดังนี้4 4 44 41 4 6 4 1 161 40 2 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + = + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠แบบข. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X P (A)∈ และ n(X) 2<ตอบ คําวา X P (A)∈ ก็คือ X A⊂ ซึ่งมี 16 แบบ (ดังขอ ก.) แตขอนี้ตองการ n(X) 2< เทานั้น... หากศึกษาบทเรียน วิธีเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู แลวจะทราบวิธีคํานวณ ดังนี้4 441 4 6 1110 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠แบบ ...(ถายังไมไดศึกษา ก็คงตองเขียนนับเอาโดยตรง)ค. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A Y⊂ และ Y B⊂ตอบ ตองการ A Y⊂ ก็แปลวา สมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองอยูใน Y ครบทุกตัว ... และ Y B⊂ แปลวา2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไขY B⊂ แลว) ... การที่ 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เปรียบเสมือนการหาสับเซตทุกแบบของ {2, 4, 6} นั่นเอง จึงตอบวา 32 8= แบบแบบฝึกหัด 1.1(1) กําหนด A, B เป็นเซตที่มีลักษณะ A B⊂ และ A B≠ ถ้า x A∈ และ y B∈ แล้วข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(1.1) {x} B⊂ (1.3) {A} {B}⊂(1.2) {y} A⊄ (1.4) {A} {B}≠(2) ให้ A {{ }, a, b, {a}, {a, b}}= ∅ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(2.1) { } A∅ ∈ (2.3) {{a}, b} A⊂(2.2) { } A∅ ⊂ (2.4) {a, b} A∈ และ {a, b} A⊄(3) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่(3.1) ถ้า A B⊂ และ B C⊂ แล้ว A C⊂(3.2) ถ้า A B∈ และ B C∈ แล้ว A C∈(3.3) ถ้า A B⊄ และ B C⊄ แล้ว A C⊄Math E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

15. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต15(4) ให้ A เป็นเซตใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(4.1) { x | x A } {A}= = (4.3) { x | {x} A } {A}⊂ =(4.2) { x | x A } A∈ = (4.4) { x | {x} }⊂ ∅ = ∅(5) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(5.1) ถ้า n(A) 5= แล้ว สับเซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ(5.2) ถ้า n(A) 5= แล้ว สับเซตแท้ของ A มีทั้งหมด 32 แบบ(5.3) ถ้า n(A) 5= แล้ว เพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ(5.4) ถ้า n(A) 5= แล้ว สมาชิกของเพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 ตัว(6) ถ้า A มีสับเซตแท้ 511 เซต แสดงว่า A มีสมาชิกกี่ตัวและในจํานวน 511 เซตนั้น สับเซตที่มีสมาชิกเพียง 5 ตัวมีกี่เซต(7) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่(7.1) ∅ ∈ ∅ (7.5) P ( )∅ ∈ ∅(7.2) ∅ ⊂ ∅ (7.6) P ( )∅ ⊂ ∅(7.3) { }∅ ∈ ∅ (7.7) { } P ( )∅ ∈ ∅(7.4) { }∅ ⊂ ∅ (7.8) { } P ( )∅ ⊂ ∅(8) ถ้า A { , a, {b}, {a, b}}= ∅ แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(8.1) P (A)∅ ∈ (8.6) a P (A)∈(8.2) { } P (A)∅ ∈ (8.7) {a} P (A)∈(8.3) P (A)∅ ⊂ (8.8) {b} P (A)∈(8.4) { } P (A)∅ ⊂ (8.9) {{b}} P (A)∈(8.5) { , a, {b}} P (A)∅ ∈ (8.10) { , a, {b}} P (A)∅ ⊂(9) ถ้า A { , 1, 2, 3, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}= ∅ แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(9.1) { , {1}, {1, 2}} P (A)∅ ∈ (9.3) {{1}, {2}, {3}} P (A)∈(9.2) { , {1}, {1, 2}} P (A)∅ ⊂ (9.4) {{1}, {2}, {3}} P (A)⊂(10) [Ent’39] ให้ S {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}= แล้วจงหา n(X) และ n(Y)เมื่อกําหนด X { A P (S) | 1 A= ∈ ∈ และ 7 A }∉และ Y { A X |= ∈ ผลบวกของสมาชิกภายใน A ไม่เกิน 6 }1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซตการแสดงเซตด้วย แผนภาพของเวนน์และออยเลอร์(Venn-Euler Diagram) ช่วยให้เห็นลักษณะของเซตชัดเจนขึ้นการเขียนแผนภาพดังกล่าวนิยมให้เอกภพสัมพัทธ์ U เป็นกรอบสี่เหลี่ยม ซึ่งภายในบรรจุรูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ที่ใช้แทนขอบเขตของเซต A, B, C ต่างๆ โดยจะเขียนให้มีบริเวณที่เซตสองเซตซ้อนทับกัน หากว่าสองเซตนั้นมีสมาชิกร่วมกัน ดังภาพS ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S¤ÇèaÇÒ´æ¼¹ÀÒ¾e«µ A æÅa B ã¹æºº·aèÇä» ¤×oãËŒÁÕÊÁÒªi¡Ã‹ÇÁ¡a¹¡‹o¹(eËÁ×o¹¡aºÃÙ»¡ÅÒ§) æŌǨҡ¹aé¹eÁ×èo·ÃҺNjҪié¹Ê‹Ç¹ã´äÁ‹ÁÕÊÁÒªi¡ ¤‹o¢մËÃ×oæÃe§Ò·ié§ä».. ·íÒ溺¹Õéoo¡Òʼi´¨a¹ŒoÂŧ¤Ãaº..Math E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

16. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต16UA BUA BUBAACB2 310 45 7911UUA BUA BUBAUA BUA BUBAUAUA BUA BUBAA และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน A และ B มีสมาชิกร่วมกัน A เป็นสับเซตของ Bสมมติว่า A {0, 1, 2, 3, 4}=B {1, 3, 5, 7, 9}=C {2, 3, 5, 7, 11}=จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้การดําเนินการเกี่ยวกับเซต เป็นการทําให้เกิดเซตใหม่ขึ้นจากเซตที่มีอยู่เดิม1. ยูเนียน (Union : ∪ ) ... เซต A B∪ คือเซตของสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B ทั้งหมดยูเนียนของ A กับ B ได้เป็น B2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection : ∩ ) ... เซต A B∩ คือเซตของสมาชิกที่อยู่ในทั้ง A และ Bบางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น AB (คือ ละเครื่องหมายอินเตอร์เซคชันไว้)อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็นเซตว่าง อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็น A3. คอมพลีเมนต์ (Complement : )เซต A คือเซตของสมาชิกที่ไม่ได้อยู่ใน Aบางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น cA หรือ A4. ผลต่าง (Difference หรือ Relative Complement : − )B A− คือเซตของสิ่งที่อยู่ใน B แต่ไม่อยู่ใน A ... หรือ B A B A− = ∩จะเรียก B A− ว่า “คอมพลีเมนต์ของ B เมื่อเทียบกับ A” ก็ได้ข้อสังเกต โดยทั่วไป n(B A) n(B) n(A)− ≠ − แต่ n(B A) n(B) n(A B)− = − ∩Math E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

17. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต17สมบัติที่เกี่ยวกับการดําเนินการของเซต• การแจกแจง • คอมพลีเมนต์ และเพาเวอร์เซตA (B C) (A B) (A C)A (B C) (A B) (A C)A (B C) (A B) (A C)A (B C) (A B) (A C)∩ ∪ = ∩ ∪ ∩∪ ∩ = ∪ ∩ ∪− ∪ = − ∩ −− ∩ = − ∪ −(A B) A B (A B) A B P (A) P (B) P (A B)P (A) P (B) P (A B)∪ = ∩∩ = ∪∩ = ∩∪ ⊂ ∪หมายเหตุ ในภาษาอังกฤษบางครั้งอ่าน A B∪ ว่า A cup B และอ่าน A B∩ ว่า A cap B• ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A {1, 3, 5, 7}= และ B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}= ใหหา(ในขอ ก. และ ข. จําเปนตองใชความเขาใจเรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู ดวย)ก. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A Y∩ ≠ ∅ และ Y B⊂ตอบ วิธีคิดตางจากตัวอยางที่แลว (A Y B⊂ ⊂ ) เล็กนอย ... ขอนี้ตองการ A Y∩ ≠ ∅ แสดงวาสมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองมีอยูใน Y (มีกี่ตัวก็ได แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A Y∩ = ∅ )การอยูกี่ตัวก็ได แตไมอยูเลยไมได ก็คือการหาสับเซตทุกแบบของ {1, 3, 5, 7} ที่ไมใชเซตวาง นั่นเอง ในขั้นตอนนี้จึงได 42 1 15− = แบบ ...อีกเงื่อนไขคือ Y B⊂ แปลวา 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียงบางตัวของ 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Y B⊂ แลว) ... ขั้นนี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 32 8=แบบ ... คําตอบขอนี้ตองนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขั้นตอนทําใหไดผลลัพธตางๆ กันทั้งสิ้น 15 8 120× = แบบข. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} Z∩ ≠ ∅ และ Z A⊂ตอบ วิธีคิดเหมือนขอ ก. ... นั่นคือ ตองการ {1, 2, 3} Z∩ ≠ ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 3 ตองมีอยูใน Z(มีกี่ตัวก็ได แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A Z∩ = ∅ ) ที่สําคัญคือ สมาชิก 2 หามอยูใน Z เพราะจะขัดแยงกับอีกเงื่อนไข (Z A⊂ ) ... ในขั้นตอนนี้จึงได 22 1 3− = แบบ ...อีกเงื่อนไขคือ Z A⊂ แปลวา 5, 7 จะอยูใน Z กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียงบางตัวของ 1, 3 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Z A⊂ แลว) ... ขั้นนี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 22 4= แบบ... คําตอบขอนี้ตองนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขั้นตอนทําใหไดผลลัพธตางๆ กันทั้งสิ้น3 4 12× = แบบค. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} Z∩ = ∅ และ Z A⊂ตอบ ขอนี้งายที่สุด เนื่องจาก ตองการ {1, 2, 3} Z∩ = ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 2, 3 หามมีอยูใน Zเลยแมแตตัวเดียว เมื่อประกอบกับอีกเงื่อนไขคือ Z A⊂ จึงไดวา สมาชิก 5, 7 เทานั้นที่จะอยูใน Z (กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เพราะแม Z = ∅ ก็ยังทําใหเงื่อนไข Z A⊂ เปนจริงอยูดี) ... จึงไดคําตอบเปน 22 4= แบบMath E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

18. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต18C P(C)2 4 60• ตัวอยาง ถา C { } 0 {{ }, 0} { , {0}} {{ , {0}}}= ∅ ∅ ∅ ∅ ∅{ , , , , , } ใหหาคาของก. n(P (C))ตอบ เนื่องจาก n(C) 6= ดังนั้น 6n(P (C)) 2 64= =ข. n(P (C) C)−ตอบ n(P (C) C)− ไมไดคิดจาก 64 6 58− = ... เพราะโดยทั่วไปสมาชิกของ C นั้นไมไดอยูในP (C) ทั้งหมด การจะคิด n(P (C) C)− ตองดูวา สมาชิกของ C นั้นอยูใน P (C) กี่ตัวเริ่มพิจารณาเรียงไปทีละตัว เริ่มจาก ∅ “อยู” (เพราะ ∅ เปนสับเซตของทุกเซต นอกจากนั้นการเขียนเพาเวอรเซตใหเปนระเบียบยังมักจะเริ่มดวย ∅ ) ... ตอมา { }∅ ก็ “อยู” อยูในขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปหนึ่งตัว (เซตวางที่ปรากฏในนี้เปนสมาชิกตัวแรกสุดใน C ) หรือกลาววา “อยู” เพราะC∅ ∈ ... ตอมา 0 อันนี้ “ไมอยู” เพราะไมใชเซต สิ่งที่อยูในเพาเวอรเซตใดๆ ได ตองเปนเซต!... ตอมา{{ }, 0}∅ อันนี้ “อยู” มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปสองตัว (ในที่นี้เปนตัวสองกับตัวสาม) หรือกลาววา “อยู” เพราะ { } C∅ ∈ และ 0 C∈ ... ตอมา { , {0}}∅ อันนี้ “ไมอยู” เพราะ {0} C∉ ...และสุดทาย {{ , {0}}}∅ อันนี้ก็ “อยู” เพราะวา { , {0}} C∅ ∈ มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปหนึ่งตัว (เปนตัวที่หา) นั่นเองสรุปแลว สมาชิกของ C นั้นอยูใน P (C) 4 ตัว ดังนั้น n(P (C) C) 64 4 60− = − =ค. n(C P (C))−ตอบ n(C P (C))− ก็ไมไดคิดจาก 6 64− ... แตตองดูวา สมาชิกของ P (C) นั้นอยูใน C กี่ตัว ซึ่งมีวิธีคิดเชนเดียวกับขอ ข. คือได 4 ตัว หรือกลาววา n(C P (C)) 4∩ = ... ดังนั้น จึงทําใหn(C P (C)) 6 4 2− = − =หากดูแผนภาพประกอบจะเขาใจยิ่งขึ้นเราทราบวา (ขอ ก.) n(C) 6= และ n(P (C)) 64=จากนั้นนับในขอ ข. วา n(C P (C)) 4∩ =จึงได (ข.) n(C P (C)) 2− = และ (ค.) n(P (C) C) 60− =ง. n [(P (C) C) (C P (C))]− ∪ −ตอบ จากขอ ข. กับ ค. (หรือจากแผนภาพ) ไดคําตอบเปน 60 2 62+ =(นํามาบวกกันไดทันที เพราะสองสวนนี้ไมไดซอนทับกัน)แบบฝึกหัด 1.2(11) กําหนดให้ A B {0, 1, 2, 3, 4, 5}∪ = A B {1, 3, 5}∩ = B C {2, 3, 5}∩ =A C {0, 1, 2, 3, 5}∪ = A C {0, 3, 5}∩ = แล้ว ข้อใดผิดก. A B {0}∩ = ข. B C {1}∩ = ค. A C {1}∩ = ง. B A {2, 4}∩ =(12) ให้เขียนเซต C B ∪ แบบแจกแจงสมาชิก เมื่อกําหนดให้{ x | 1 x 10 }= ∈ < <U I เมื่อ =I เซตของจํานวนเต็มMath E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

19. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต19B { x | x= หาร 3 ลงตัว} และ C { x | x 5 }= <(13) [Ent’38] ถ้า A {0, 1}= และ B {0, {1}, {0, 1}}= แล้ว(13.1) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด A P (B)∈(13.2) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด {1} P (A) P (B)∈ ∩(13.3) ค่าของ n(P (A B)) n(P (A B))∪ − ∩ เป็นเท่าใด(14) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(14.1) ∅ = U (14.7) A A ∩ = ∅(14.2) = ∅U (14.8) A A ∪ = U(14.3) A (A B)⊂ ∪ (14.9) A − = ∅U และ A A − =U(14.4) B (A B)⊂ ∪ (14.10) A A− ∅ = และ A∅ − = ∅(14.5) (A B) A∩ ⊂ (14.11) A A− = ∅(14.6) (A B) B∩ ⊂ (14.12) A B A B − = ∩(15) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(15.1) ถ้า A B⊂ แล้ว P (A) P (B)⊂(15.2) ถ้า A B∪ = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅(15.3) ถ้า A B∩ = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅(15.4) ถ้า A B− = ∅ และ B C B− = แล้ว A C ∪ = U(15.5) ถ้า A B− = ∅ และ B C− ≠ ∅ แล้ว A C− ≠ ∅(16) สําหรับเซต A, B ใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(16.1) A B A B∩ ≠ ∪ (16.5) ถ้า x A∉ แล้ว x A B∉ ∪(16.2) A B B A− ≠ − (16.6) ถ้า x A∈ แล้ว x A B ∉ ∩(16.3) A B A B ∩ = − (16.7) ถ้า x A∉ แล้ว x A B ∈ ∩(16.4) (A B) B A∪ = − (16.8) ถ้า x A∈ แล้ว x (A B )∈ ∪(17) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด(17.1) A (A B)− ∩ (17.6) (A B) B∪ −(17.2) (A B) B− ∪ (17.7) (A B) B∩ −(17.3) (A B) B− ∩ (17.8) A (A B)− −(17.4) A (A B)∩ − (17.9) (A B) (B A )− ∩ −(17.5) A (A B)∪ −(18) ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่(18.1) ถ้า A C B C∪ = ∪ แล้ว A B=(18.2) ถ้า A C B C∩ = ∩ แล้ว A B=(18.3) ถ้า A C B C− = − แล้ว A B=(18.4) ถ้า A B = แล้ว A B=(19) ให้บอกเงื่อนไขที่ทําให้ A B A− = อย่างน้อย 3 กรณีMath E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

20. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต20(20) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด(20.1) [Ent’21] (A B) (B A) (A B)− ∪ − ∪ ∩(20.2) [A (A B)] [B (B A )]∩ ∪ ∪ ∩ ∪(20.3) ( ) ( )[(A B) (B A)] A A [(A B) (B A)]− ∪ − − ∪ − − ∪ −(20.4) ( )[(A B) (B C )] [(D E) (C E )] (A E ) ∪ ∩ − ∪ − ∩ − ∪ −(21) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(21.1) (A B C) (A B C) (B C )∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∪ = U(21.2) (A B C D ) (A C) (B C) (C D) C∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ =(21.3) P (A B) P (A B)∩ ⊂ ∪(21.4) P (A B) P (B A) { }− ∩ − = ∅(21.5) ถ้า A B⊂ แล้ว P (A B) P (A) P (B)∪ = ∪(22) ให้ A {0, 1, 2, 3}= , B {{0}, 1, 2, {3}}= และ C {0, {1}, {2}, 3}=ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(22.1) P (A) P (B) P (C ) { , {1}, {2}, {1, 2}}∩ ∩ = ∅(22.2) P (A) P (B ) P (C) { , {0}, {3}, {0, 3}}∩ ∩ = ∅(22.3) P (A ) P (B) P (C) { , {0}}∩ ∩ = ∅(22.4) P (A) P (B ) P (C ) { }∩ ∩ = ∅(23) ถ้า n( ) 35=U , n(A) 22= , n(B) 18=ให้หาว่า n(A B )∩ จะมีค่ามากที่สุดได้เท่าใด(24) ถ้า n(A) a= , n(B) b= , n(C) c= , n(D) d=n(A B) b∩ = , n(B C) c∩ = , n(C D) d∩ = แล้วให้หา n(A B C D)∩ ∩ ∩ และ n(A B C D)∪ ∪ ∪(25) ให้ A, B, C เป็นเซตซึ่ง P (C) { , {a}, {c}, C}= ∅ , n(P (A)) 8= , n(P (B)) 16= ,C A⊂ , C B⊂ , {b, d, e} A B⊂ ∪ และ b A B ∈ ∩ ข้อใดผิดก. d (A B )∈ ∪ ข. e (C B )∈ ∪ค. b (A B )∉ ∪ ง. {b, e} (A B)⊂ ∪(26) เมื่อ A { , 1, {1}}= ∅ และ A B ∩ = ∅ แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(26.1) n [ P (A) P (B)] 8∩ = (26.3) P (A B) { }− = ∅(26.2) {1} P (A B)∈ ∩ (26.4) P (B A) { }− = ∅(27) [Ent’36] ถ้า A { , { }, 0, {0}, {1}, {0, 1}}= ∅ ∅ แล้วจงหาจํานวนสมาชิกของเซต [ P (A) A ] [ A P (A)]− ∪ −(28) มีเซต A ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้กี่แบบ(28.1) A B {1, 2, 3, 4, 5}∪ = และ B {1, 3, 5}=(28.2) A B {1, 2, 3, ..., 15}∪ = และ B {2, 4, 6, 8, 10}=Math E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

21. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต21= + -= + +- - - +·íÒ¤ÇÒÁe¢ŒÒ㨴ŒÇÂÃÙ»ÀÒ¾¡ç´Õ¹a¤Ãaº..(29) กําหนดให้ A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}= และ B {1, 2, 3}= แล้วจะมีเซต X ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ได้กี่แบบ(29.1) B X A⊂ ⊂(29.2) X A⊂ และ B X∩ ≠ ∅(30) ถ้า B A⊂ โดย n(A) 10= , n(B) 4= ให้หาค่า n(C) ในแต่ละข้อต่อไปนี้(30.1) C { S | B S A }= ⊂ ⊂(30.2) C { S A | S B }= ⊂ ∩ ≠ ∅(31) กําหนด A {0, 2, 4, 6, 8}= B {0, 1, 2}= C {1, 2, 3}= D {0, 2, 3}=ให้หาจํานวนเซต X ซึ่ง X A⊂ และตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้(31.1) B C X∩ ⊂ (31.3) B D X∩ ⊂(31.2) B C X∩ ⊄ (31.4) B D X∩ ⊄(32) ถ้า {1, 2, 3, 4, ..., 8}=UA {1}= −U B {2, 4, 6}= และ C {1, 7}=มีเซต D ที่เป็นไปได้กี่แบบที่ตรงตามเงื่อนไข (B C) D A− ⊂ ⊂(33) กําหนดให้ { x | 2 x 6 }= ∈ − < <U I เมื่อ =I เซตของจํานวนเต็ม2A { k | k }= ∈ U และ B { k | k }= ∈ Uจํานวนสมาชิกของเซต C { x | A B x= ∩ ⊂ และ x A B }⊂ ∪ เป็นเท่าใด(34) ให้ A {a, b, c, d, f}= และ B {a, c, d, e}=เซต X ซึ่ง X A B⊂ ∪ และ A B X∩ ∩ ≠ ∅ มีกี่เซต(35) ให้ A {1, 3, 5, 7, 9}= และ kS { B A | n(B) k }= ⊂ =ให้หาค่า n(S) เมื่อ 1 4 52 3S S S S S S= ∪ ∪ ∪ ∪(36) กําหนดเซต A, B เป็นสับเซตของ U หาก n( ) 100=U , n(A ) 40= , n(B) 55= ,n(A B ) 32∩ = แล้วค่าของ n(A B )∩ เป็นเท่าใด1.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซต• โจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์ จะใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ช่วยในการคํานวณส่วนประกอบต่างๆและมีสูตรในการหาจํานวนสมาชิกในเซตเพิ่มเติมดังนี้สําหรับ 2 เซตn(A B) n(A) n(B) n(A B)∪ = + − ∩สําหรับ 3 เซตn(A B C) n(A) n(B) n(C) n(A B)∪ ∪ = + + − ∩n(A C) n(B C) n(A B C)− ∩ − ∩ + ∩ ∩Math E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

22. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต22UMath Engก ข คงMath Socialง จก ข คฉThaiช• ตัวอยาง จากการสอบถามนักเรียนหองหนึ่งซึ่งมีจํานวน 30 คน พบวามีนักเรียนชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร 12 คน ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 15 คน โดยชอบทั้งสองวิชาอยู 5 คน ถามวามีนักเรียนในหองนี้ที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชาอยูกี่คนวิธีคิด จะสังเกตไดวา U คือนักเรียนในหองนี้ และมีเซตอยูสองเซต คือ ชอบเรียนคณิตศาสตร กับชอบเรียนภาษาอังกฤษ (ซึ่งมีบางคนชอบทั้งสองวิชา แสดงวาสองเซตนี้มีสวนซอนทับกัน)วิธีที่ 1 “ชอบทั้งสองวิชาอยู 5 คน” จะได ชอง ข เปน 5“ชอบเรียนคณิตศาสตร 12 คน” จะได ชอง ก เปน 12-5=7“ชอบเรียนภาษาอังกฤษ 15 คน” จะได ชอง ค เปน 15-5=10ดังนั้น จํานวนคนที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชา คือชอง ง นั้นสามารถคํานวณไดดังนี้ 30-5-7-10 = 8 คน ... ตอบวิธีที่ 2 ขอมูลที่โจทยใหมาไดแก n(M) 12= , n(E) 15= , และ n(M E) 5∩ = …ดังนั้น เราหา n(M E)∪ ไดตามสูตร n(M E) 12 15 5 22∪ = + − =ดังนั้น จํานวนคนที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชา เทากับ 30 22 8− = คน ... ตอบ• ตัวอยาง ในการสอบของนักเรียนชั้นหนึ่ง พบวามีผูสอบผานวิชาคณิตศาสตร 37 คน วิชาสังคมศึกษา 48คน วิชาภาษาไทย 45 คน โดยมีผูที่สอบผานทั้งวิชาคณิตศาสตรและสังคมศึกษา 15 คน ทั้งสังคมศึกษาและภาษาไทย 13 คน ทั้งคณิตศาสตรและภาษาไทย 7 คน และมีผูที่สอบผานทั้งสามวิชาเพียง 5 คน ถามวาที่กลาวมานี้มีนักเรียนอยูทั้งหมดจํานวนเทาใดวิธีคิด มีเซตอยูสามเซต คือ สอบผานคณิตศาสตร สอบผานสังคมศึกษา และสอบผานภาษาไทย (ซึ่งมีผูสอบผานหลายวิชา แสดงวาสามเซตนี้มีสวนซอนทับกัน) โจทยไมไดกลาวถึงผูสอบไมผาน ดังนั้นอาจไมตองเขียนกรอบสี่เหลี่ยมแทน U ก็ได (คือไมมีชอง ซ)วิธีที่ 1 “ผานทั้งสามวิชาอยู 5 คน” จะได ชอง จ เปน 5พิจารณาการสอบผานสองวิชา จะได ชอง ข เปน 15-5=10,ชอง ฉ เปน 13-5=8, ชอง ง เปน 7-5=2พิจารณาการสอบผานหนึ่งวิชา จะได ชอง ก 37-10-5-2=20,ชอง ค 48-10-5-8=25, และชอง ช 45-2-5-8=30ดังนั้น จํานวนคนรวมทุกชอง 5+10+8+2+20+25+30 = 100 คน ตอบวิธีที่ 2 ขอมูลที่โจทยใหมาไดแก n(M) 37= , n(S) 48= , n(T) 45=n(M S) 15∩ = , n(S T) 13∩ = , n(M T) 7∩ = และ n(M S T) 5∩ ∩ = …ดังนั้น เราหา n(M S T)∪ ∪ ไดจาก n(M S T) 37 48 45 15 13 7 5 100∪ ∪ = + + − − − + =ดังนั้น จํานวนนักเรียนทั้งหมดในชั้น (ที่กลาวถึง) เทากับ 100 คน ... ตอบถึงแม้การคิดด้วยสูตร (วิธีที่สอง) ทําให้คํานวณได้รวดเร็ว แต่โจทย์บางข้อก็เหมาะกับวิธีแรก (แยกชิ้นส่วน) เท่านั้น ดังเช่นโจทย์ส่วนใหญ่ในแบบฝึกหัดต่อไปMath E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

23. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต23แบบฝึกหัด 1.3(37) นักเรียน 80 คน เป็นนักกีฬา 35 คน เป็นนักดนตรี 27 คน และไม่ได้เป็นทั้งนักกีฬาและนักดนตรี 32 คน ถามว่ามีนักเรียนที่ไม่ได้เป็นนักกีฬา หรือ ไม่ได้เป็นนักดนตรี อยู่กี่คน(38) [Ent’33] จากการสํารวจนักเรียนห้องหนึ่ง พบว่ามี 20 คนที่เรียนฝรั่งเศสหรือคณิตศาสตร์(โดยที่หากเรียนฝรั่งเศสแล้วต้องไม่เรียนคณิตศาสตร์) มี 17 คนที่ไม่เรียนคณิตศาสตร์ และมี 15คนที่ไม่เรียนฝรั่งเศส แล้วมีกี่คนที่ไม่เรียนทั้งสองวิชานี้เลย(39) [Ent’34] จากการสอบถามผู้ดื่มกาแฟ 20 คน พบว่าจํานวนผู้ใส่ครีม น้อยกว่าสองเท่าของผู้ใส่น้ําตาลอยู่ 7 คน และจํานวนผู้ที่ใส่ทั้งครีมและน้ําตาล เท่ากับจํานวนผู้ที่ไม่ใส่ทั้งครีมและน้ําตาลดังนั้นมีผู้ที่ใส่ครีมทั้งหมดกี่คน(40) พนักงานบริษัท 34 คน ถูกสํารวจเกี่ยวกับการสวมนาฬิกา แว่นตา และแหวน ปรากฏว่าสวมแว่นอย่างเดียว 5 คน จํานวนคนสวมนาฬิกามากกว่าจํานวนคนสวมแว่นตาอยู่ 1 คน จํานวนคนไม่สวมนาฬิกาเป็น 3 เท่าของจํานวนคนสวมแหวน นอกจากนั้น คนสวมแหวนทุกคนสวมแว่น แต่คนสวมนาฬิกาไม่มีคนใดสวมแว่น จะมีคนสวมนาฬิกากี่คน(41) [Ent’26] นักเรียนคนหนึ่งไปพักผ่อนที่พัทยา ตลอดช่วงเวลานั้นเขาสังเกตได้ว่ามีฝนตก 7 วันในช่วงเช้าหรือเย็น โดยถ้าวันใดฝนตกช่วงเช้าแล้วจะไม่ตกในช่วงเย็น, มี 6 วันที่ฝนไม่ตกในช่วงเช้าและมี 5 วันที่ฝนไม่ตกในช่วงเย็น ถามว่านักเรียนคนนี้ไปพักผ่อนที่พัทยากี่วัน(42) จากการสํารวจสายตาและสุขภาพฟันของนักเรียน 160 คน ซึ่งมีนักเรียนชายอยู่ 100 คน(นักเรียนชายสายตาไม่ดี 30 คน และฟันผุ 35 คน) พบว่ามีนักเรียนที่สายตาดีและฟันไม่ผุอยู่ 80คน (เป็นชาย 55 คน) และมีนักเรียนที่สายตาไม่ดีทั้งหมด 50 คน ฟันผุทั้งหมด 60 คน ถามว่ามีนักเรียนที่สายตาดี หรือ ฟันไม่ผุ รวมทั้งหมดกี่คน(43) ในจํานวนนักเรียน 35 คนซึ่งเป็นหญิง 11 คน ถ้าพบว่าชอบเล่นบาสเกตบอลกับฟุตบอลอย่างน้อยคนละอย่าง โดยมีนักเรียนชาย 16 คนชอบบาสเกตบอล นักเรียนหญิง 7 คนชอบฟุตบอลนักเรียนชอบบาสเกตบอลทั้งหมด 23 คน ฟุตบอล 21 คน ถามว่านักเรียนชายที่ชอบทั้งสองอย่างมีกี่คน(44) โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชาย 600 คน หญิง 500 คน ในจํานวนนี้มีนักเรียนที่มาจากต่างจังหวัดรวม 300 คน เป็นผู้ชาย 200 คน และมีนักกีฬารวม 50 คน เป็นผู้ชาย 30 คน โดยมีนักกีฬาที่มาจากต่างจังหวัด 25 คน เป็นชาย 15 คน ถามว่านักเรียนชายที่ไม่ได้มาจากต่างจังหวัดและไม่ได้เป็นนักกีฬาด้วย มีกี่คน(45) เซตของจํานวนเต็มเซตหนึ่ง หากนํา 3 หรือ 4 ไปหารจะปรากฏว่า 4 หารลงตัวอย่างเดียว 6จํานวน, 3 หารลงตัวทั้งหมด 8 จํานวน ซึ่งเป็นจํานวนคู่ 3 จํานวน, ทั้ง 3 และ 4 หารลงตัว มี 2จํานวน, และ 4 หารไม่ลงตัว 18 จํานวน ซึ่งเป็นจํานวนคู่ 4 จํานวน ถามว่าจํานวนสมาชิกของเซตนี้เป็นเท่าใด, จํานวนคู่ในเซตนี้มีกี่จํานวน, และมีจํานวนที่ 3 หรือ 4 หารไม่ลงตัวกี่จํานวน(46) [Ent’31] จากการสํารวจความนิยมของผู้ไปเที่ยวสวนสัตว์ 100 คน พบว่า 50 คนชอบช้าง, 35คนชอบลิง, 25 คนชอบหมี, 32 คนชอบแต่ช้าง, 20 คนชอบหมีแต่ไม่ชอบลิง, 10 คนชอบช้างและลิงแต่ไม่ชอบหมี, ให้หาจํานวนคนที่ไม่ชอบสัตว์ทั้งสามชนิดนี้เลยMath E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

24. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต24Uกข22 232011ค9(47) [Ent’38] จากการสํารวจผู้ฟังเพลง 180 คน พบว่ามีผู้ชอบเพลงไทยสากล 95 คน เพลงไทยเดิม 92 คน และลูกทุ่ง 125 คน โดยแบ่งเป็น ผู้ชอบเพลงไทยสากลและไทยเดิม 52 คน เพลงไทยสากลและลูกทุ่ง 43 คน เพลงไทยเดิมและลูกทุ่ง 57 คน และทุกคนจะชอบฟังเพลงอย่างน้อยหนึ่งในสามประเภท จงหาจํานวนผู้ที่ชอบเพลงไทยสากลเพียงอย่างเดียว(48) [Ent’39] ในการสํารวจความนิยมของคน 100 คน ที่มีต่อนายก, ข, ค โดยที่ทุกคนต้องแสดงความนิยมให้อย่างน้อย 1 คน ปรากฏว่านาย ก ได้รับคะแนนนิยมมากกว่านาย ข อยู่ 6 คะแนน และเขียนแผนภาพได้ดังรูป ต่อไปนี้ข้อใดผิดก. นาย ข ได้คะแนนนิยมน้อยที่สุดข. ผลรวมของคะแนนทั้งสามคน เป็น 199ค. ผู้ที่ลงคะแนนให้ นาย ก เท่านั้น มี 10 คนง. ผลรวมของคะแนนที่ลงให้คนใดคนหนึ่งเพียงคนเดียว เท่ากับ 24(49) ในบรรดานักกีฬา 100 คนซึ่งเป็นชาย 60 คน พบว่ามีนักบาสเกตบอล 35 คน เป็นชาย 20คน, มีนักเทนนิส 28 คน เป็นชาย 15 คน, มีนักวอลเลย์บอล 40 คน เป็นชาย 22 คน, เป็นทั้งนักบาสเกตบอลและเทนนิส 14 คน เป็นชาย 6 คน, เป็นทั้งนักเทนนิสและวอลเลย์บอล 16 คน เป็นชาย 10 คน, เป็นทั้งนักบาสเกตบอลและวอลเลย์บอล 20 คน เป็นชาย 11 คน, และมีนักกีฬาที่ไม่ได้เล่นกีฬาสามประเภทนี้เลย 12 คน เป็นชาย 8 คน ให้หาว่านักกีฬาที่เล่นครบทั้งสามประเภทมีผู้ชายมากกว่าผู้หญิงกี่คน(50) จํานวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 100 มีกี่จํานวนที่หาร 2 และ 3 และ 5 ไม่ลงตัวเฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(1) ข้อ (1.1) และ (1.4) ถูก(2) ข้อ (2.1) และ (2.3) ถูก(3) ข้อ (3.1) ถูก(4) ข้อ (4.3) ผิด(5) ข้อ (5.1) และ (5.4) ถูก(6) 9 ตัว, 126 เซต(7) ข้อ (7.1) และ (7.7) ผิด(8) ข้อ (8.6), (8.8), (8.10) ผิด(9) ข้อ (9.3) ผิด(10) 32, 6(11) ข.(12) {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}(13) ผิด, ผิด, 16-2(14) ถูกทุกข้อ(15) ข้อ (15.3) และ (15.5) ผิด(16) ข้อ (16.3),(16.4),(16.6) ถูก(17.1) A B− (17.2) A B∪(17.3) ∅ (17.4) A B−(17.5) A (17.6) A B−(17.7) ∅ (17.8) A B∩(17.9) ∅(18) ข้อ (18.4) ถูก(19) A = ∅ หรือ B = ∅หรือ A B∩ = ∅(20.1) A B∪ (20.2) B(20.3) B (20.4) (A E)∩(21) ถูกทุกข้อ (22) ข้อ (22.3) ผิด(23) 13 (24) d, a (25) ง.(26) ข้อ (26.4) ผิด(27) 61+3(28.1) 8 (28.2) 32(29.1) 16(29.2) (8 1) 16− ×(30.1) 64(30.2) (16 1) 64− ×(31.1) 16 (31.2) 16(31.3) 8 (31.4) 24(32) 16 (33) 4(34) 56 (35) 31(36) 13 (37) 66(38) 6 (39) 11(40) 13 (41) 9(42) 130 (43) 6(44) 385(45) 26, 12, 24(46) 13 (47) 20(48) ค. (49) 22-13(50) 26Math E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

25. คณิตศาสตร O-NET/A-NET เซต25BAxCABเฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)(1.1) ถูก เพราะ ถ้า x A∈แสดงว่า x B∈ ด้วย ดังรูป(1.2) ผิด เพราะโจทย์บอกแค่เพียง y B∈ , ยังไม่ชัดเจนว่าy A∈ หรือไม่ (อาจจะอยู่หรือไม่อยู่)(1.3) ผิด ถ้า {A} {B}⊂ แสดงว่า A {B}∈ ซึ่งผิด เพราะ {B} มีสมาชิกตัวเดียวคือ B(1.4) ถูก เพราะ A B≠ (โจทย์กําหนด) ดังนั้น{A} {B}≠ แน่นอน(2.1) ถูก (ในโจทย์นั้น A มีสมาชิกอยู่ 5 ตัว และ{ }∅ เป็นสมาชิกอยู่ในลําดับแรกสุด)(2.2) ผิด เพราะ { } A∅ ⊂ แปลว่า A∅ ∈ ซึ่งไม่จริง(2.3) ถูก เพราะ {{a}, b} A⊂ แปลว่า {a} A∈และ b A∈ ซึ่งจริง(2.4) {a, b} A∈ ถูก (เป็นสมาชิกอยู่ในลําดับสุดท้ายในโจทย์) แต่ {a, b} A⊄ นั้นผิดเพราะว่า a A∈ และ b A∈ ด้วย แสดงว่า{a, b} เป็นสับเซตของ A แน่ๆ ดังนั้นตอบ ผิด(3.1) ถูก (ข้อนี้เป็นกฎที่ควรทราบ)(3.2) ผิด เช่น B {A}, C {B}= = ดังนั้นC {{A}}= ... จึงได้ว่า A C∉(3.3) ผิด เช่น A C⊂ (A อยู่ใน C)แต่ B อยู่นอก A กับ C ดังรูป(4.1) และ (4.2) ถูก(เป็นไปตามนิยามของการเขียนเงื่อนไขเซต)(4.3) ผิด เพราะ {x} A⊂ คือ x A∈ จึงต้องได้ผลเหมือนข้อ (4.2)(4.4) ถูก เพราะ {x} ⊂ ∅ คือ x ∈ ∅ ซึ่งพบว่าไม่มี x ใดๆ ตรงตามนี้ ดังนั้นเซตในข้อนี้จึงเป็นเซตว่าง(5.1) ถูก คํานวณจาก 52 32= ... แต่ (5.2) ผิดเพราะต้องเหลือ 31 แบบ 5(2 1)−(5.3) ผิด เพราะ P(A) จะมีเพียง 1 แบบเท่านั้นแต่ภายใน P(A) มีสมาชิกอยู่ 32 ตัว... (5.4) จึงถูก(6) จาก n2 512= จึงได้ n 9= ตัวและสับเซตที่ดึงสมาชิกมา 5 ตัวจาก 9 ตัว มีอยู่9!1265! 4!= เซต (แบบ)(7.1) ผิด เพราะเซตว่างตัวขวาต้องไม่มีสมาชิก→ แต่ถ้าเป็นแบบข้อ (7.3) จะถูก(7.2) ถูก เพราะว่าเซตว่างตัวขวามีซับเซต 02 1=แบบ คือ ∅ (ตัวมันเอง)หรืออาจบอกว่าเพราะ “∅ (ตัวซ้าย) จะเป็นสับเซตของเซตใดๆ ทุกเซต” ก็ได้(7.4) ถูก เหตุผลเดียวกับข้อ (7.2) นั่นคือ รูปแบบ∅ ⊂ จะถูกเสมอ → ดังนั้น (7.6) ก็ถูกเช่นกัน(7.5) ถูก เพราะ P( )∅ ∈ ∅ แปลว่า ∅ ⊂ ∅ (จะเหมือนกับโจทย์ข้อ 7.2)(7.7) ผิด เพราะ { } P( )∅ ∈ ∅ แปลว่า { }∅ ⊂ ∅และแปลว่า ∅ ∈ ∅ (จะเหมือนกับโจทย์ข้อ 7.1)(7.8) ถูก เพราะ { } P( )∅ ⊂ ∅ แปลว่า P( )∅ ∈ ∅และแปลว่า ∅ ⊂ ∅ ถูก (จะเหมือนกับโจทย์ข้อ7.2)(8.1) P(A)∅ ∈ แปลว่า A∅ ⊂ → ถูกเสมอ ไม่ว่า A เป็นเซตใดๆ ก็ตาม (รูปแบบ ∅ ⊂ )(8.2) { } P(A)∅ ∈ แปลว่า { } A∅ ⊂ และแปลว่าA∅ ∈ → ถูก (เพราะในโจทย์ มี ∅ อยู่ใน Aด้วย)(8.3) P(A)∅ ⊂ ถูกทันทีเลย! เพราะเป็นรูปแบบ∅ ⊂(8.4) { } P(A)∅ ⊂ แปลว่า P(A)∅ ∈ ตรงกับโจทย์ข้อ (8.1) ซึ่งถูก(8.5) ถูก เพราะ { , a, {b}} P(A)∅ ∈ แปลว่า{ , a, {b}} A∅ ⊂และแปลได้ว่า A∅ ∈ และ a A∈ และ {b} A∈ซึ่งพบว่าเป็นจริงทั้งหมด(8.6) เป็นไปไม่ได้ที่สมาชิกของ P(A) ไม่ได้เป็นเซต→ ข้อนี้จึงผิด(8.7) {a} P(A)∈ แปลว่า {a} A⊂ แปลว่าa A∈ → ถูก(8.8) {b} P(A)∈ แปลว่า {b} A⊂ แปลว่าb A∈ → ผิด(8.9) ถูก วิธีคิดเดียวกับข้อ (8.8) นั่นคือ {b} A∈เป็นจริง(8.10) { , a, {b}} P(A)∅ ⊂ แปลว่า P(A)∅ ∈จริง, a P(A)∈ ไม่จริง, {b} P(A)∈ ไม่จริง ดังนั้นข้อนี้ผิดMath E-Book Release 2.1 (คณิต มงคลพิทักษสุข)