1) O documento discute transformações lineares entre espaços vetoriais, definindo-as como funções que preservam adição e multiplicação por escalares. 2) É mostrado que o núcleo e imagem de uma transformação linear são subespaços vetoriais e que a dimensão de um espaço é igual à soma da dimensão do núcleo e imagem. 3) Um isomorfismo é definido como uma transformação linear bijetora e dois espaços vetoriais da mesma dimensão finita são sempre isomorfos.

1. Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co
Willian Vieira de Paula
4 de abril de 2012
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 1 / 12

2. Defini¸˜o
ca
Defini¸˜o
ca
Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre um corpo K . Uma fun¸˜o
c ca
T : U → V ´ uma transforma¸˜o linear se:
e ca
1 T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ), para todos u1 , u2 ∈ U, e
2 T (λu) = λT (u), para todo λ ∈ K e todu u ∈ U.
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 2 / 12

3. Exemplos
1 T (u) = 0 (fun¸˜o nula).
ca
T : K 3 → M2 (K )
2 a+b 0
(a, b, c) → T (a, b, c) =
0 c −b
3 Se Ta : R → R dada por Ta (x) = ax
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 3 / 12

4. Lema
Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre K e T : U → V uma transforma¸˜o
c ca
linear. Ent˜o:
a
1 T (0U ) = 0V .
2 T (−u) = −T (u), para cada u ∈ U.
m m
3 T αi ui = αi T (ui ), onde αi ∈ K e ui ∈ U, para
i=1 i=1
i = 1, . . . , m.
Demonstra¸˜o = exerc´
ca ıcio!
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 4 / 12

5. Teorema
Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre K . Se {u1 , . . . , un } for uma base de
c
U e se {v1 , . . . , vn } ⊂ V , ent˜o exisgte uma unica transforma¸˜o linear
a ´ ca
T : U → V tal que T (ui ) = vi , para cada i = 1, . . . , n.
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 5 / 12

6. Defini¸˜o
ca
Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre um corpo K e T : U → V uma
c
transforma¸˜o linear.
ca
1 O conjunto {u ∈ U; T (u) = 0} ´ chamado de n´cleo de T. Nota¸˜o:
e u ca
NucT ou KerT .
2 O conjunto {v ∈ V ; ∃u ∈ U com T (u) = v } ´ chamado de imagem
e
de T . Nota¸˜o: ImT .
ca
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 6 / 12

7. Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre K e T : U → V uma transforma¸˜o
c ca
linear.
Proposi¸˜o
ca
KerT ´ um subespa¸o vetorial de U e ImT ´ um subespa¸o vetorial de V .
e c e c
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 7 / 12

8. Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre K e T : U → V uma transforma¸˜o
c ca
linear.
Proposi¸˜o
ca
KerT ´ um subespa¸o vetorial de U e ImT ´ um subespa¸o vetorial de V .
e c e c
Proposi¸˜o
ca
T ´ injetora se, e somente se, KerT = {0}.
e
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 7 / 12

9. Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre K e T : U → V uma transforma¸˜o
c ca
linear.
Proposi¸˜o
ca
KerT ´ um subespa¸o vetorial de U e ImT ´ um subespa¸o vetorial de V .
e c e c
Proposi¸˜o
ca
T ´ injetora se, e somente se, KerT = {0}.
e
Proposi¸˜o
ca
Se B = {u1 , . . . , un } ´ uma base de U, ent˜o {T (u1 ), . . . , T (un )} gera
e a
ImT .
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 7 / 12

10. Teorema (N´cleo e Imagem)
u
Sejam U e V dois espa¸os vetoriais sobre um corpo K , com dimU finita e
c
T : U → V uma transforma¸˜o linear. Ent˜o
ca a
dimU = dimKerT + dimImT .
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 8 / 12

11. Isomorfismos
Defini¸˜o
ca
Se T : U → V ´ uma transforma¸˜o linear bijetora, dizemos que ela ´ um
e ca e
isomorfismo.
Se existir um isomorfismo entre dois espa¸os vetoriais U e V , dizemos que
c
eles s˜o isomorfos. Nota¸˜o: U ∼ V .
a ca =
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 9 / 12

12. Isomorfismos
Defini¸˜o
ca
Se T : U → V ´ uma transforma¸˜o linear bijetora, dizemos que ela ´ um
e ca e
isomorfismo.
Se existir um isomorfismo entre dois espa¸os vetoriais U e V , dizemos que
c
eles s˜o isomorfos. Nota¸˜o: U ∼ V .
a ca =
Proposi¸˜o
ca
A inversa de uma transforma¸˜o linear bijetora ´ tamb´m linear.
ca e e
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 9 / 12

13. Proposi¸˜o
ca
Sejam U e V dois espa¸os vetoriais sobre K de mesma dimens˜o finita
c a
n ≥ 1 e T : U → V uma transforma¸˜o linear. Ent˜o as seguintes
ca a
afirma¸˜es s˜o equivalentes:
co a
1 T ´ um isomorfismo.
e
2 T ´ injetora.
e
3 T ´ sobrejetora.
e
Demonstra¸˜o = exerc´
ca ıcio.
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 10 / 12

14. Teorema
Dois espa¸os vetoriais de mesma dimens˜o finita s˜o isomorfos.
c a a
Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares
co 4 de abril de 2012 11 / 12